장음표시 사용
41쪽
adde C,habetis e N III ao, cui aequetur I. Piso. nam to adina ira m oportuis,n .mma Iecundiata; teri r congceretur. Ergo communibus de ad n .se ιιι trasendas θι xtrina pares noti 1 ad biti a desint a N-Ρ.9 1 socciffrious, risIN a id FHι N. mma O S. 2 auferin, relinquitur a s. tantus R. Caetera sunt in promptu. Ad de ita sese C Iabes a N- f. tanta esse oportu o ad Saddam ergo os aequuntur a δε - . eoo aequantur a Nergo ι Nesssum resiss-ar ilicetIo. cstc. Nar ummam omnis Osiris autor, non ι Minerit fuga minutiarum.de qua alio diximus loco σά escripti P siriptioe . nes quoa attiner quarum oliastes meminit fient se in Graecos ripto singulis problematis suae quas vocamus operatrones ordine exposita ars ad marginem a raptae. uerium has omisi, modo quod operosum admodum sit tries tuos formis auras miraris mulo magi quod is csse contextu, schol , cst nostris Maeo annotationibus abrens ea, o pressu λ repraesentantiarinam typos nos quos suis lucis inseruimus. De quo tamen monodum lectorem duxi. ut O- de hoc:
π i N. Idem alia uia & ratione Cum primus & secundus tertium stiperen in uni ero ro ponamus tertium esse iN crgo primus & secundus iun cti . faciet i Niro. Ruesus cum secundus& tertius primo amplius habeant Io. pono secundum as, nempe semissem numerorum ro & 3 cuinq; primus de secundus sint limul r N tro,secuniado ablato, primus restat i N-1. Rcitat ut tertii & primi summa medium coni neat.& praeterea 4 atqui ea summa est 2N-3. hoc ergo aequatur os. dc adiecto. utrinque defectu a N aequamur 7o.& i N. 3 . Et cum Primus statuatur iN-1, istique erit 3 o. reliqui iam fiant inuenti.
Morem/. numeri or me exponantar, ita ut quocunq; eorum reliqui coniuncti summam maiorem constituant: sumanturq; duo excelsin, qarovisionis reliqui unam aliquem superauerant: quiam medio est bur modi duorum excesuum. semper namrrum o lentit,ad quem reliquorum exesus non est relata . Exemplam, Sint 3 numeri zo, 3 o. o: a sint Pocos eorum re qui coniuncti nia: .cr si exosi ao er 3ο tu dom s pra Αο, i orexcessu o er6o iunctor pupra r o,s o melium boram excessuum,puta i o cr so si s . crin ad quem reli uor ex μὴ in non est compara inani ad ro: ad no limatas fuit excessus exterorum: ad F nc nequaquam. Rursuti
reliquorum excessus non fuit coctaeus. Den excessus εο er ro supra ;o, est Io. excessus zota 3 ex Vra o. ea ι o. medimn borum excessauris Eo .ad quem numerum excessas reliquorum relatus non . it. Demonstremus idem de quatuor numeris hi sint 2o. 3o 4 o. sci. Excessus numerorum 2o, 3O, O, supra so, est O. excessio 3ο,4O, O supra 2O, r ioo meditam inter excessiis io er Aolata Ossimirum coniani duo 3o o. ad quos reliquorum excellius cmmati non fuerunt. S iter e nisi si medium excessum qui sunt 3 , Ο, o Iupra zo. 4O,s ,δO,supra 3 o. sumaturi deinceps quater imbum quatuor inieris praehenditur sitae Alliud theo. turm trabias: in qui s. qa nquies, aesie leinceps ne etiam proponi potest. Datis duobus quibuscos nusiori
meris arithmetica progregione, summam omnium exprimens numera partem aliquotam habebit cognominentini mero terminorum illius progre ionis Me est tres fuerint numeri,irientem si quatuo quadrantem, ac dem
s. Et pars ista,medius erit terminorum Sint ita exponi numeri quius. 2, A, S, O. Summa omnium Ioz
m. I sint quins, o habebu quint tem. Di t is est terminorum in ordine messio laco situs. ita mim duo quo Me numeri coniuncti. ut supra demouirat fuit, OOmmam componunt quae partem aliquotam biisset iterminorum numero, qui est a denominatam .ae uest, qui in medio duorum inae, etiam si id non uissentiretur quia binarius medio caret. Histra constituta.denuo exponantur tres narim. in quibus Uradamus, ιβ duo excessus con solarissimis si ima numerum esse ituer eos situm medio loco, r eum ad quem excesin ii sit comparatue quod uit demon ratum. M numeri et O, 3o, O, excessuaro Cr 3o iunctoriasupra εο, est 1 ex Fus 1 o o supra i , so. Duo numeri iocr soconiunctisunt so R ergo partem a binaxio dinoni natam habet, quasse mi is, sol ilicet mctius inter i o. Enimuer4 illi tres numerι arithmetica prores fione e positu ἰim summam so constu antiis trientem habebit, uidelicet ;o, medio loco positata in serie trium. Ergo propter libri omnia, ibπσι cx scienti in Diophantus pronuntiauit , Quando primus π secvndus teri superant numero zo: A suta ternas primum mero so: cis it: cito excessis aOσsO: G
42쪽
LIBER I. 27 Ilainta ad quem iussu inaest excessus reliquorum cpparatio, G qui mei sit inter ro σ3os mismectrumque est so et habet semit Iem,nimirum et s. esse as. Ergo camari, se tot unitates sicundo ad signare,
quot Mutatilia simios urinae tot o consta .rion temere hoc aut uitii facite nes enim heis eadem, quae iuu positione semita locum Met. Hunc enim,crem quot unitatum sit N ignoretur, seo arbitratu haud abs reponit. . At tibi expressa est aestatum alicuivi numeri congeriennon ut fors obtulit, sita ut arithmetici ordinis ratio sagites, talem numerum statuit.Nos autem hinc duecto ratiocinandi arra mento, per absolutos nameros, nihil adhoc opus babentes Algebricis seu denominam quaestionem explicabimus. ci primus Cr secundin tertium excedant numerozosecundus autem ea tertius primam 3 o erit ergo fecundus borum excesuum dimidium,hoc est as Mirsu cam secundus er tertius primum excedant in so; tertius m primus secundum in qΟ: erit ergo teritur borum excelsua semi A. pote 3s.Denis cum tertius o primus secundo habeant amplius 4 O; primus cr secundus tertio ro: si mi is horum excessuum erit primus nimirum Io. Diophantus autem hoc sic construit. Tertium quaesitorum poniti N.cr cum primus ac secvndus eum numero zo excedunt,iuncti bi erunt i N t 2o. Quorum cum alter inuentulsit secundus nempe,is . ea quam demonstrauimus ratione) a summa detractus hic prim in resin quit i N Namsi abi N t io, o erendum sitas,hoc est 2O s. iN manebit, sed cui de iit s.Et cum summa tertii de pii mi debeat secundum,ac praeterea AO continere .duos illi conficiant a N s hoc ergo aequatur 6s.Cum enim dea monstratum sit secundum esse as, o terti Ac primum eo amplius 4o. constat eos praestare totum secundum cr o insuper. unt autem a s er εο vilicet cf.Qnae porro proposita unt, addendo C diuidendo inuenies. XYLANDRI .
missimodi quae Iones,qualis sic a Dua, in si quente abire tractata, o Pndunt quid rei sis logisticen uessem teri, ignarum arathmetic ubtilitatis. Vulgus logi rumper regula λquantitatis ea ab olueret, non na o labore, ut ostendimus. Inophantus admodum sultiti, retus numerorum progressionem arithmeticam hahenrib. proprietatis consideratione: mod co negorio rem planamheris. 'pothesis aut elis scho fios det me est cepisse est demonstrando se
securus bonis interpreti perfunctus munere nu&probis p m detur Olim . mihi sane ps in restaud russi cubate sic crobtulisset. NNohetcua's operationib. expositis morari A rem hoc moneo in 'vulcre theoremata interpretis in conssectum uenire quia udo se indus ae lictorum comeni exploradum. Enimuen quo omi sum esse a Diophanto, or asichob
sera nobis autem Crindui Doncior rationib. 'ta compertum, quo cu theoremati chobasia cANO Meodem e nunc demum animaduertimus commos uideorsub tecturus. In hum modi quaesti inui noster.
nibus simper eas es excessuῆ quae 'serum qui quaeruntur numerorumsumma. Nos id tanta intelligere debes de , in quibus excessio Cresionem arithmeticam constituunt, quod sim Diophanteo casu deriam de qui suis es, citra exceptionem. Dat multo est a bor noster
non o quo modoscho sies autor propositum extra i stebram holuit, eo retus quem de monstrauit canon a uia. Ita excessuum Aoru emisias eum numera exhibeat, ad quem nultas reliquorum excessus est opparatu eodem nos omnia se uemus. Sim uerbigrana tres numeri ALB, C. A se B ucat amplius qua CBese C simul. samplius f A. Cese A iuncti. p am
flluu g N. Excessus at, f,' quo ciri arithmeticamprogressionem constitutitnu am summa uero 71.quanta etia erit imorum numerorum. quoposito,critus etiam quaestio explicantur. Narsi ut Diophari rationemρrior sequar I de ri auferas, dups terti' habebo s . ergo terrimans ins de ri a cra duplum primi habe , qui est is, ta restauinuerisso. Aufer desumma omnlusum primi or terr j,ar csti hoc est a de r rel-quitur II secundus. Iamuenitur ρ de υ subtractis,cum residuum sitfecundi duplum. Vertiam per excessis binorum sim eo mo siet, etsi excessus si neutiqua arithmetica regre mone cohaereant. euod neputes adunsi exemplum ad in canones aho breuitere excplo ma abamus. Tres mercasore oracla tem tmerum nes mihi significata es uel ors uni cur i, uel omnia etia caput quantῶ est. tamen id accepti. OB sortes, so ampliusfusse librarum AE C. at B ac C sortes, aso amplius fAEC er hortes, siue Bampluresueuisesbo Certe hiene so,ayo. o.arithmetica pro reffionem nusiam unquam ct tuentinumma eis . . eadems etiam numerorum qui quaeruntur. Ata hoc qui ripatebit. lanie sino a amma, ut ante, seu admculos binoia excessis referatur ratiocinatio. Etenim nihil ccitis,isi arithmetica progre ui Gexcessis seu exres, aso ct iso summa ac A D. cuius m is numera Costedit, ad que neuser exces a referebatur. Et cade ratione excessus iso π so iactis emis A repraesemaut so serro uti R. est aut AIoo, SI 'C o pueru esse H edes uti uoles. Obseruau igitur hoc loco haria reriano sors mirabro quantactocculta auro progre onu arithmetica. de qua alibi quicquatruaera legere
43쪽
as DIO PHANTI ARITHMETIcrs ππ. Quatuor numeri sunt inueniendi, quorum terni iuncti reliquum superent
eo qui requiritur numero. Oportet autem datorum quatuor numerorum interualla habere semissem, maiorem quouis ipsorum numerorum. Postulinur, ut primi. sc- . cundi,ac tertii summa quartum excedat numero ao.Secundi icitii, ac quarti, primuzO.Terti j, quarti, ac primi secundum O. Quarti primi ac siccundi tertium So. Ponatur sumima quatuor numerorum 1 N. dc citin primus, i cundus, ac tertius quartum supcrciat numero ro: & eodem numero quatuor iuncti superent duplum quarti: quatuor autem iuncti coniiciant a Ni ergo a N duplum quarti super. at numCro zo.& duplum quarti cita N-ro. ergo quartus, i N - io. His ipsis de causis citam primus est 1 N- is secundus i N-ao tertius t N-23. Restat ut horum qua morsum malit a N.atqui est 4 N-7O. Ei ergo squatur 2 N.&i Nest 3s. Ergo lux - . . . praescriptum quaestionis numeri sunt primus 2o, siccundus 13, tertius io, quartus M. ihi respondent conditionibus quaestionis.
s c H O L I O N. Haud ess reconditio baec adiecta est. illam si qua de quatuor ex fio emm omium minae semissem que I in proposito linam erit. mmmis enim H, reliqui aeqMic kWipi quatuor exces eram peril acri ergo tantus emerget, quantus etiam erit iN eo numero, qui ipsi i Ndebcbitari verbι gratia, i N ei. idem hoc pacto μι ι N-so. atqui is quidemnisil e .hoc enim relinquitur ubi totam de toto aufertur. 'Augebitur autem ab ardum hocs maioretiam semisse omniam ex sua aliquis eoriam ponatur. Ductus talui quae 'd stionis tractaude ide est pi duodevigesimae. Hoc obstruantam eii,Quod at in se propontione. xbi de trib.n meris er excesibus agitur, mn se opus condation 1 praefriptione: ιta Mim de quatuor girur, necesse est tim iseris iam semissem quouis illorum esse maiorems de quilis, trient si des x,quadrantem.ac sic deincepi uis
per binario absit nomen partis de summa excerptae,i numero terminorum. Dcut nomen quadranta binario excedit binarium,quintantis ternarium extant A qaaternionem. c autem tractatio baius quaestionis eadem sit, quae e lpropositionis undevigesimae cui illam. ita hanc quos conabιmur nudis numeris emonstrare. cum primus. secv dra. I teritus quartum numero tofi perent qWari s amentirimas, Er secundus tertium se: mini coniunctipriamMosecandus 3 s. r D c mfriundo,tertim luari innat ultra prim habeant φ . remus autem, cuartus
a Martinet adabsurdum, quodaecia tnetlecta cossitione quae quaestionem circumsicrabit,
quiuis potestsupputando experiri or hactenm suis multa exempla sunt proposita. Porro sicut iribus hoc modo propositis numeru, excessuum summa semper eadem es qua numerorum se
excessus arithmeticam habeant, ae non habeant o res nemo itast de atuor aetatur, prorsus excissum Amma ad numeror summam duplaeis si de quing, tra a. O sic deinceps. . quod est in textu H. - ἀεικι ἐκα- sic raram legenia, non μέζονα θ' ἐκα ν ἰκα- o F adnumeros , disserenita referas, nihil interest. Interpres de numeris accepit autoris uerba ego reddissi Deius exemplo excesse Mane arithmeticam conduntprogres ionem. Sed ni fa , B s, C Dis L BCF pra Dexcedit δ. BC upra Azy. CD u a B in D ARPupra Crs. δυχ ura te noliae interualgorum aequali ιπι nihilominussumma excessuum , . Amma nummorumar dupla est. Ratio ina Pu citra alebram quaestionu. satu es commode exposita asichol
44쪽
rarim est rati plum ut numerenes necesse poni exempla.
Mi. Cum primus,secundus, ac tertius iuncti quartu excedant numero ro. esto quartus i N.ergo reliqui IN tro. Rursus cum secundus, tertius, & quartus iuncti primo amplius habeant so ponantur secundus & tertius iuncti tot unitatum quot eis semissis duorum excessuum ac & 3 o. nimirum sint ambo 23.Et quia primus, secun diis ac tertius sunt similli Niro, hinc 23,utpote se cudo ac tertio subtracto primu relinquetur IN-3. Iam cum secundus, tertius Ecquartus iuncti primum superet numero 3o ac tertius, quartus,& primus iuncti emiυ amplius sint 4o: ergo tertius ec quartus iuncti sunt 3s. Et cum quartus sit i N, crit tertius 33-i N. at secundus &teritu, iuncti erant 23 Inde aufer tertium, restat secundus iN-iO.Reliquum iam cst, ut quartus primus.&secundus iuncti, bo amplius sint quam tertius. At coniuncti hi tres faciunt 3 N-r , S tertius 33-I N. Ergo 3 N-i3 siuit FO amplius' quam 3 i N. Ergo sue i N aequantur 3 N F. fit i N 23. reliqua ex praescripto quae
Rursum heri eadem, ae supra, notanda erant:quod non acuit. Vides autem quam expeduis is haec operandi ratio quam contra impedita se lubrica rauantuatis regula m Greenere quae honum. cl bet qua eripotes itis me hoc problema per insoluere ut intest nisi Le ctor non contemni tamen anua quo poleniturpotiora. Sit o Meruns B CD msi maeae porse Poso. Ponamus tam S. ι Δ rgo CD erunt 1 ut so Et cum C Di sint o amplius quam B, fad CD adyce, o ad B. habebis aequationem inter ι' o se a Niso I Gergo ira utrobii ad ecto ain o aequantur a Niso. se o utrans abiectis ac aequantur a N-ια ergo i 'est 1 H. Habes B. Haufer de ι rosa, quae e um RCDι iso,rel quitur C D ioc repete dum est. Qι R erit mys e A BD, ctio ad c nam tantum ei deest adsumma L A D implendam flet aequaris inter ιRt so see o-- R demor Rinuenies esse ire igida er de 'i, hcet Nesergopositionum haec uerma. A, t 2 Γ, /N f. C, t Io.D, .s-t xt M AC B C, cstas adde ado ut librum sismmam impleat, habes aequationem inter I Is ct G-ι x hoc es additis utrobique defectib. D aequantur Nolao,A. roinde B quinario minus, sec. Non inelegans eis hic ductus reo ed nihil adsutilitatem Diophanteam,aut ad canonis nos i breuitatem. Mi i. Propositum numerum in tres alios partiri ut uteruis extremorum adiuncto medio ad reliquum extremum habeat quς postulatur rationem. Partiamuricio in tres numeros,ut primus cum siccundo tertij triplum: tertius cum secundo primi iquadruplum constituant.Ponatur tertius I N. cuius cum triplum conficiant primus di secundus: hi ergo sint 3 N. Ergo tres uincti facient N. qui aequantur icio.&est iN 23. Ad praescriptuni ergo tertius erit as. primus Ic secundus iuncti s. Rursum quia primi quadruplum faciunt secundus & tertius, pono primum i N, erunt secundus & tertius iuncti N. summa omnium s N, aequalisloo. ergo i N 2 o primus . At secundus & tertius, go. atqui tertius est et , ergo secundus ues. Hi satisfaciunt quaestiolum XYLANDRi.
Duabus positionibus autor exemplum ab oluit sane quieteganter, se ad regula secundi
45쪽
Summa B Croo-ι Naequatur 'ut quadruplo A. M. Siti super regulam Mantis ris
heu irataris citius mulso fac breuius. Scho sto nuit Micha Lxxl l l. Inueniantur tres numeri, quorum maximus medi si excedat minimi ce . - ta aliqua parte medius minorem nina lini data parte: minimus datam incdij paria certo aliquo numero. Oportet autem medium tanta parte maximi praestare num mo, ut numero qui eam partem denominat in id quo medius minimo praemit multiplicato maior Numerorum exii stat multitudo quam in medio. Corallimi uirili maximum medio praestare triciate minimi medium minimo maximi triciat et mini mum denario praestare trienti medii. Statuatur minimus I N, dc procrea io. quosci licet numero mcdii trientem excedit . ut scilicet minimus compositus sit ex medii triente dcio. Vel sic statuatur medius 3 N. dccum minimus debeat trientem huius excedere denario,is ergo minimus erit 1N t io. R. cstat,ut minimum medius supere mente maximi. sit perat auic cum a N IO quantitate. hic ergo cst maximi mens, ct ipse maximus o N-3o. Oportet autem maximum medio praestare mente minimi at quo ei praestatiest 3 N 3Ο. atque hoc csse debet triens minimi: ergo iiii nimias est y N-ρ o. idemq; erati N ii OO. est ergo i N, iret. Ergo minimus citra maximus medius 37 s. atq; hi susticiunt explicanda quaestioni.
s c H o L i O N. conditio ad ecta exempla declaret M. Para maximi de qua agitur, est iriens. Excessat mel f supra minimum Σ-io. in hunc I multiplicat unde dicti parti nom ἰο so prodacit, q-is ni pri r Netua oui ui est duntaxat 3 puto alii referi non posse.
Et in i s numeris me 'si per minorem excessus es .cuim triplum splus qui l. VArare potuit a ror minui aeteri omni Valui pro tuosisset zo. mera rara in ent possur m aDUθ ρα . f. Opus totum est istunc .cr compendio in Iuuta. Epio alim repositum. Inuen re tres numeros quorum maximus ijs minimi medum si, peret: hic minimia
quadrante maximi minamus medi' inentem numero X. Sit minimus I Ni s rego messius saufer minimum,restat a se quadransscilicet maxim . ergo maximus yN-ya.
Gonem duectus,a N-Igignit IN .ct Numerorum unitates ρl essent quam mmedia Caeterum conssitionis Lia causam 'sed Ius Al bracae huius operationis abunde explicat. Vti uideas non esse ociosam hanc centrionem, esto hoc problema. D. tur tres numera, rum maximus medium precine missi immi medius minima semisse maximi mutamus sit simi u mediν auctus binario. Go misimu N t a, ut meaeus sit a x hine aufer montamum , superes I N-a, simi ra maximi. V ergo maximus a N- , quod si λδε dom, cum medius fueris a N /nt flosit fuisset, me Iam triente max muri re minimo, locum habui et q stio siseret enim maximus Gquodam in es se test uisa N. Maiar nume senarium ex dat. Nam si sit suerbigraria s, reum a 'rMars N- erunt i csec. v Noluamus sic corre u istionem. sera N med um de maximos σ,regat/N- σα sim si minimi ergo a ia. at ero ι N t a. sit ri . Numeri quaesiti s= as. δή. IV experi acile est Ham L bus maximus m Hum exced untde id, minimo, Erra, Iluti minima meaeus perat, triens Iaut ex 3o, maximo. ct minimus est , si mi V me o. . ππι v. Inueniantur tres numeri. iit maximus medium superet data minimi patre, medius minimii data molini parte: mininius datam parte inedij dato numero. Oportet
46쪽
LQt n E R I. l Oportet autem maximi partem cam dari, quae adiecta minimo, Numeros paucio res conficiat iis, qui pro medio numero ab initio ponebatur. Esto rursum minimus1N tio. medius 3N: ut huius trientem minimus stiperet denario. la cum uolo maxi mum medio praestate triente minimi, qui triens est 'Ni 3 : hune ad mediu addo, erit maximus Ni 3ἰ. Restat, ut medius quoq; minori, & trienti maximi iunctis sit aequalis. ij autem coiiciunt ab N in quod aequatur 3 N. medio uidelicet. & reiectis utrinq; aequalibus, Naequantur iii N. Vtrunq; per u multiplicetur. Erunt s N aequalesloo.d sti NM:. Eo de cum superiore hoc redit.
ri quod hela addita conditio exprimit exi timo non pose aritor fieri: Sic autem heic fit. Triciis maximi .er minimus, summum consa tua Ni M N mit -ssiunt quam I N, qtumelio tribuuntur. lam a Niri ait etiaris N. as tantur ergo uir sa , N, Nil alii ab Mna parte M : ultera I N minus non a sui parie, ii orum me duum l N, quod aequat istis it . Q ia aut non per integros Ner ututates integras progressa est de mori Dat o sed per nonas partes utri liii: ideo per nouem Monta; multi 'thcat, ut fiant integri N cir lini dies inteatrae. Nouem enim nonantes c dixerim caiuscunq; tandem icciri, totam euin bon is minust edici unit i. m. Siti S mimia nonantepcr nouem multiplicatus, sty N l. at noum nonantes sunt uritim. ergo mul. iplicanio et asinum est SN. sedc Ii muto sumpta, tant π π s i ii et top.unitate quam eiunt g ab la. At . . que μι eo quatur Quoniam autem nona pars invenitur C in Abebricis. crin assio Mam eris: si minimum si ei rupi nimiamus, id si ρ N t ρο. erit medio ar N, Draximus Io N yo. Ac
quod Mic repetitam L que hinc anaret ad Asturicos numeros cos, m Nnomen geriam, re
spici non ad olutionis numeros quis . . ut enim neget a nimis esse, quam Μ xseris iis Vituri aes adderenturaequantio Veranti huncce I N, Asia si cretur. μαί autemsiluite helis quoques it minuit ras holi es. aboquin siue ante sinem, siue in t ofluestri aper denominatorem communem multiplices: idem es semperemm ct ubique locum hi ut d imas rima es decima Iau. pum .al .eg cpertinetes ἐν ad ilia Euclid pro postiones. O rationem squia impingerepos sint rudiores in subieci. C I Io. ergo medius 3 P . Triens de C, Ni additus ad RTumma cit 3 tΓ s s .ac tantus es ex quo onas prae crapto A. Huius adeo triens 1 πυ ad
Modo, unan Am duxi,ut leuior iuderet, utrum comedussus esset.De caetero liquere, quaesM-n m huius propositionis cum periore eandem esse: conditionis dumtaxat e res ione, π uia consciendae rei dissereritata v. Tres numeri sunt inueniendi, quorum si quis l. proxime ipsiim sequentisai partem, quae mandatur, dederit, inter eos qui dederunt & acceperunt aequalitas constitaratur. Impertiat sui triente primus secundum : lui quadrante secundus tertium: sui quintante tertius primum: ut poli hanc contributionem mutuam inter omnes sit aequalitas. Ponamus primum, concretii in numerum talem, quia
trientem debet dare, qui habeat trientem, puta 3 N. Secundum , quia quadrantem, unitatum ponatur. Is si dederit, accepcritq; imperata. manet 3 ti N. sequitur itiam primum, ubi de dcrit accepetitq; ea quae mandantur. sore 3 ti N. At hic. si tui triente dederit.&deinde acceperit 3-i N, aequalis demit erit 3 ti N. Vnde liquet 3-ita esse quinta tertii parie. est ergo tertius ib-s N. qui & ipse luam quinta parte ii dederit primo, dcipie acceperit 1 utpote quadrantem se di, crit 3ti N. at si ab co auferas 3-i N. qitituantem ipsius,rcliant ir-. N. & si addas huic residuoi puta quadrante secundi, sient i 3- N aequalc t 4 13. eritq; i N 2. Ergo iuxta prO- politum primus erit 6,lccundus , tertius F. Sconstat propolitum.
47쪽
Scholion hoc norit intelia no magno ta dissedissicietis. In Diophanta isti o eis medum, quod rotareis urat tibi enim legitur εὐνάδων γ' .Hναδες, ore legenia est ρον 3ων,οῦς- - μῆ α. ἡ ρ νώ γν γ. μοναδες ἄρα τtῶς, sec.In hoc e mes b. exemptas stemper memineris ad rioni anteire de minutionesierari enim sicubi factas, succedet negocia. Sic enim res haber
'us Echoliastes uoluit interpretamtale exi. Ponit Diophanu Aese I N L .La B am L sta ad me, irate putassi s.craddito triente primi,qui HI I N , colligitur' i Id. Ergo iis, tundesset DP . t menteseu, ad ma rimo,c quintantem terti, re duo ad duo δι rea 1 Ninunt eris Nirsublata cilicet sedet term quintatem y-rri, qui ada x ad ditus, 3 πιι fecerat. notum eis enim quaest inter adlationcm e sutractionem reciprociniis caeter suntliana. Porro uelex secunias tione facto intelli es, arbitrio tuopo e te quotus, solutiones tabumproblemata fabricari, uel mintegris uel infractu numeris. P ιhilemm Redit, quis primum ponas 1 inautia Maut qxotu . Et secundum stipo γ ια'imums, tionis numeri erunt ad nostras quai rupti. Sed industriae Lectorisia comperiendia relinquere malo, quam in re facili exponenda immorara. N XV I. Inuenito quatuor numeros,ea lege ut quiuis corii se cotinuo inseque
ii ccria sui parte dederit: hac ultro citroq; facta detractione 5 additione, sumniaruaequalitas exsistat. Primus secti do sui triente, tertio secundus sui quadrante, tertius quarto sui quintante, primo quartus sui sextante tribuat Scorribiuione hae conse ela, aequalitas exstet. Statuatur erimus 3 ut triens eius haberi possit. Secundus unitatu, ut haberi quadras possit. Atq; hic,ubi quadranti suu abiecit, do primi trieri te poli modo est auctus, fit 1Nt 3. Ergo eti1 primus suo triente amisso, adeptus de inde sextante quarti, erit iN t 3. At amisso ita manci a N. Ergo sexta quarti pars qua accepta fiat i Ni 3, cst 3-iN: quartus ergo is-6N. Superest, ut quartus a naisso sui sextante, ubi adsciuerit quintante tertii, fiati Ni 3. at sextate suo 3-i Nipoliatus,retinet 1, 3N. quod si ei addanturia 6N-ia, ficti ND. ergo 6N-ia est quinta pars tertij.Tertius ergo 3o N-6 aan de reliquum est, ut tertius abiecto sui quintante,deinde quadrate secudi auctus faciat i Ni 3. At quintante abiecto fit a N-- 8, qui b. si iungatur quadrans secundi, crunt 2 N- riae qualia iNO-3.Est ergo i l . & iuxta praescriptu, primus erit e, secuti diis tertius o. quartas c. Abiiciatur denominatio partia, erut integri primus ilio, L. cundus 92,tertius DO, quartus u . qui & legib.quaestionis satisfaciuntiscuo LION. 1 vfi 'ADeprehen umectas N aequariso. ergo Fo diuido per as, Lunt ad . t abras, se M quartior supersunt quae peras diuisa uir in mei do partiendi ostensum est fiunt Quia tem non ex ress summa Numeru uult habere, pura ex unitatib. Er minui s duas quos unitates metas resoluit in uige auertias particular, nimirum in N, quibus adice A, conficiunt xlv. idem erum est ducere, ιN RE, vel esse cum P ti.Partibus rem propositiis fatis'. Ter Iosuit Vo.ergo cam primum posuerimus I rarit is P. Et cum secundias fit . erit I 'aiam quateras sunt ga. riuu cum it so N- σα quod ad Io N attinet, erit sed propter subtrahendo, inde strentur in '.namsexagies z I sunt GSo. supersunt 'V . tantus est tertius. Quartus po ius iur ιν - σ N. is prepler is, nam ty inia' faciant . . sed ob defecti σN ob re oporteti. c nisi re t tum uint. Est ergo quartus VP .ut i intelliges quomodo IN 'at lι, id quos tenenis
48쪽
ii quaternarii. quaticini qua rates s estI. Ex heico est num crus parti m. ide cum diuiso. nomἴ dum qu/diarii n. piri ierite iuestu ergo in hac quoq; proponi: a qu ritioneri in partiamur so maiore numer m peras minore. maiore dico. ni tamet so G υ N aequalia sunt,tame absolare so quam 2 δ maior est numer is P unicuilibet unitati deas partesio attribuuntur uigesim tentae. π o numerus est partium, idecumisiuibo: nomen armi as partiisente diductum. Quia stas per so a - set, carui unitatu ex Fo. quinquagesimae obtigissent, numero pararum dis eo evicum diuiso timine deducta partiente. Iam citra unitas mas particulas set distributae quia secunditi est positivi δ:buncinas duxit, Cy yb inae orta pro secundo posuit: Manumerus non l. . sed so e 7 et inuentus. quod idem in partib. quos reliquis propo uis fecit Cium enim non soleat in tui uti numeris in suri exemplis: ita et a rite egit. cro uenius unitam partabare, abiiciatur, inquit 'arria denominatio: id est. cu I N sit inuentus, io illa iani non ut partes unitatum , sed ut inite gras vis tales qui et aginta usurpa. Porro qualitas n merata haec e l. Prtinus iso amisso quem secundo dat suo trirn teso retinet reo. π acceptu Us tante quarti, t My secundus sta ami Ibquadrante as, quem tertio dat, retinet ost CT triente primi, so acceptri it υβ . Tertius lao qui irantem suum P dans quarto, rei met ρ π ineptis aI quadrante G di fit L . Quartus G sextan: Iu in ty dans primo re tina 'Π quintam teri da est accepto a My. XYLAN DR .
Satis omnia sani explicata. o trides ut euitandarum se odarum raduum Varia o si is i- ωι cc secundulostitu Aut, quo, /temi lationem quaestionis infinitio ua rari posse, veriori propositione mouui. Caeterum quod multiplicibus integru loco flanium fractarum utitur abiecta omnium communi denominatione id iure cit, ut datarina 'oportunum testatur. Oue enim ραπυπm cognominum, eadem totorum interste, acuto sim est riuo I de quiniia Lau u. π N V ii. Inueniantur tres numeri, quorum quiuis si certam partem reliquorum coitinctorii accipiat. Omnium exsistat aequalitas. Accipiat primus teli litorii summς trientem: sectu adus summae reliquoru quadrantem: tertius summae reliquo tu quia talem itaq: tant omnes aequale S. Eil O primus numerus i N: reliquis aliquot unitatum multitudo tribuatur, compendii gratia trientem habens. Sin rq secludus sc ter lius coniuncti 3. Et quoniam primus triente reliquorum auctiis fit itari. sumantur omnia quater. Quater ergo sccudus cu reliquis, est ter se cudus cu tribus uniuersis. Atqui ter secundus adiunctis tribus sit N . unde si auferas ita t3. relinquetur 3 tati triplum secundi. Ergo sic cundus citi Ni;. Oportet porro territa adsuinto reliquorum tanquam unius quintante fieri itati. Omnia sumantur quinquies, & ea dem ratione inuenietur tertias i Nit. Restat ut hi tres coniucti iaciant i N t 3. Inueni turi omissa denominatione partis, fit primus 13, secundus 17. tertius I9. dc implent conditiones quaestionis.
sc HOLION. Expositis quotcms numeris si unus eorum aliquoties fumaturi reliqui omnes siemel: rursum . omnes uti Tlieorema ipso semel fuman: urit; be autem sim lini ius qua pria f. barum urima viriu'. series erunt aequales. Sint numeri se xμφ' ata, sumantur a Cr semel. r ternarius quater ient II. rursum a. R. - . externarius ter, rae summae aequales. His ita collitutis. Omnia nqiat iam quadrupla nimira ubi loquitur de grabate. quincupla, ubi de quintare. ause deinceps. Omnis.inquit id esst C secudus. reliquoru duoru quadrans,que ad umit. Et ci tu reliquoru liorum quadras ipsos duos ni reos restituat ide dicatselo dixisset. Sumatur siectaus quater reliqui duo semel. Quado utit. νι supridem strauimus,unus quaist in reliquoru puss semel positi equatur teria er omn)b semel sumta Ergo. . ter sic tu , ritiit,cu trib. ad citis, it Ni .Quod uero dicit tale G. cam primus reliquora duoru triente ad
scito jactat fili ιN: t.necesse ea etia secadu reliquora duoru assumto qua rate, fert Nir. cimam quia ignoramus quarus iit rei quora quadras: π time hoc adiecto fecudus si futurus I Ni L quadruplicetur ergo er i si cr liquora quadra . id est. ipse quater sumatur, liquora uteri semel lient omnia Ni . ea qui de secutasse et, G reliquom quadras,t N t I c utans. G cu idetis secutus quater er reliqui semel atq; sectam ter o tres inguli semel si ausa tres nameros hoe est, s N i I a Ni quod ellterstiti su , tres semel J restiti erit iris tu seis ridi, scilicet a Net L ergo ipse erra secundus I Nix. idem spectemin meo quod dicit, omisi alii mantur
49쪽
autem II unciarim: er umia superabit unitatem.lam cum emerserit et' t, eam in tentarium ab initio po tum πλι plica u. infimi Is alsitaIN procedet no perpari avitatis sed per Mutates. Enimuero cubiecta partiοῦ de nomisatione ut pro et Hurpoma , iam pol is canone, Omnia quater,&c. reperiri ita ane, ut Rmul postulti a quae Ilionis persequamur. Posito primo is unitaruinas reliquorum, qui sunt Iro Ist undi orsi trie tem accipiens .putu Ia sitas. Oportet aut secundu Ir,quadrante reliquoru iunclara ad uinpto. id sic fiet. Sumes V quater des okit Equadrantia reliquom, quate balebis heicyr. bee colancta β Qt uo. Quod si trire accipias id est si .cν summa ipsorurn trium,quae eit st, detrahat a ros reliniquetur Π, scilicet triplum secandi. is ergo est ι .Eriis Vide quod IN f scilicet V Cr .nam est triens liatu in Ia diuisae.
Diligenter heis quos interpres id explicat, queoersi rea Diophani uir indicata, o
pro de Dirato usurpasu. Sed in Graeco ipsi cans mutilus est, quae alia musa. nostra trastinis octore factae expetet. Causa cur Isint uti liceat. Venerepropos oerii a nobis algala. suod aut Interpres ais denumeras . sen intest endum. Numera ar 'bi P t l,ci sint eae operatione Diophantea. quos si Ages interpretari seu, ut loquuntur, resoluere, positoi desit aluere a Ust υ, b is es, cis , ora errares Hinresolutenim debent, crinuentu raduis umlorem acresoluti demum denominatione actionis ab cere, ultro integri habeantur. Ein
buti - pNllis tu et 1 Mqaeriositiones n merorum redacia,demum commian a cient Anominationem,erunt prorae ctis Her.Vana Otacion posse ιιι μοί tis sum constat eoupra annotatu.ππII X. Inueniantur quatuor numeri, ut clina qui'; horum a reliquis trib in un1 summa collectis prς script 1 parte acceperit, omni u aequalitas exsistat.Primus accipiat trientc reliquoru secundus quadrante tertius quintante: quintus sextante. Eo mcOsecto negocio, oes numeri sint aequales. Statuamus primu IN. tres reliquos ali quot unitatu numera. qui triente habeat, sitq; 3. Ergo primus, ubi a reliquis in unu collectis numeru triente acceperiti est a Ni L Oportebit ergo etia secundii. si a trib. Caeteris in una coactis quadrante acceperit fierii Nil. Rursum omnia quadruplica
gulam partia de ininationes pers multiplicm ratio iubeat. inuenseum quantus tIN, non in integrRscam si βη est in tutum unitatibus: undum quaero horum numerorum,quib. fracta denominantur. id est,nunteia qui huiusmodi nominum partes habeat is autem in sto. Nam butus triens eliso 'licet Fintantis bes. 0 h.' ' ι' ta λη νδε tussit v. pari decima uua est s. lam Rotaa.π ssunt I. Cr 'nditur unitas iis I, Gq. numerust proposi itatis, minor se ilicet tinitate maior',abiecta denominatione. Quomodo avit inveniatur fundus partes his
requisitas hine huelligi potest. Exponatur numeri a qui b. paritu nominabumia σω der prima et se H z
50쪽
LIBER I. . , qui si primi iuuicem unt. De esuriam in alterum productum appetabis tundum namimorum qui potes bdenti fimo crseeundo cognomines. si uero compositi sunt, productum Laide per communem eorum mensuram, quotiens fundus erit. Porro bane ita inuentum fundum inm tertio compara, Ur eodem prorsus omnia modo confice. Exest . plum.Fundum uenumerum inuenire loqui hil eat pariet, emi spem, trientem, quadrantem, quintantem. Expois no numeros partus cognomines G, , . L ad y primm sit, uultiplicatis que proluo ι . quem fundam e prilo habentium semiso ac trientem .inos alius minor ipso istas partes habebit. lam σ π compositi inuic comuni tesura. binario Goduntur.multiplicatio eo mira gignita : baius producti semispem, puta cognominem mensure communi, accipio ista fundus habentinm ι ::.F ur usta per i m stiplico, unt O. qui, cum 1a Ers pristi hi uicesint, undus dicetur habentius araci l. Alia rario. bi primi inuicem sint numeri, ages ut prius. si uero copositi occurrent utres nimisu parvi babebit comani victi sic cognomine. hane alteriora parie in Aterg luis cito, producetur Gndus. rum s hoc ita totio copara e deinceps ira perge. Q ratur iundus babentis partes ι, , QD mino numeros bis partib. cognomines I. s,σσ ca s M primi sint, productu eo Hr io aio 1 nasi
esse babentium Rαrsu q*ia lacri primi sunt, x ijs procreatum odico f. ni esse habentiu , . . Pereb
ta habentiu p.:, . . sic deinceps. Ac tenenda ea, duntaxat eos numeros qui ciruieniuntur,et eoru multiplices, nulla omino estu paries requintas bucre. Heis ergo cu agatur de ι, ι,π rr. pono n mero .s I. II. Et i g I as
sit primus, productus ex iis is, unius est habentiu Rursus is er is cinosti, comunem men uram habent 3,er uteri: itas triendos hi ueti ya2σSiue ergo in tys eo ni V ducas N ex stet. π ob id unitas fera turm nonagesimis partes. Donis primus numerus, qui est i N. est ecrdus 1N t l, id est so hic enim
IIuii exempti tra tio tota pedet a periori, o insatis fidelis rapolias phrisia, risi
quod si tu se in mutita, ct uuiis quod ex mea uersione restitui potent, se rectius etiam Dite gut. Mai sit .abiecta denominatione. E. K c. ἄλλας με scio est in Graeco nuru sientcua. Ego resemus . Fuodum, h/cia, uocat minimum numerum, qui citra minuit u habea artes omnes quarum nomina proponuntur.
NX ita. Datis duo b numeris inuenire tertiti, qui dirimis in priorii utruq , alterum quadratu ellulat, alter u latus eius qnadrati. Sint dati numeri 2 oo dc s. is aut qui queritur,i N. qui inroo ductus gignit a Oo N: in F, N. Ercii alter horti quadratu. alter eius quadrati latus debeat esse s N in se multiplicati sient as q aequales ro O N. ta tis trinq; Numeri charactere nomina deminuantur, et ut 23 N aequales aco, S i N fit s.
sciso LIO M. Quadrati J aequantur a cosc.Si tres ni numeri quoru secudi in teria multiplicatione numerus fiat idege rens nomen in ratione quae est primi ad tertia: quod fit luctu primi in feci. n. . aequale erit quadrato eius quod e secuta in tertius at ars hoc rursuram teritu ducto producetur aequale primo sint tres muneritas. . I. insficiant ra. erso adseu duodecuplus a ta babeten Erurione. Erro quod fit ex primo in secanda, Ioin , utam te quale est quadrato eius quod ebat siecundo in tertia ducto. quod e tertio ducto in id quod e secundo in tremu fiebat producit ars in II. mira C aequali est primi. Ergo numerus ad numera habet aliqua ratione. Cr numerus uris erit aliquis qui in minoia ductus numera gignat denominant E maioris rariores ad minorem tes recitationis causa plenioris demonstremui in numeris stultis sint duo moneri II Cy a est, ratio maioris admo nai P sescupla si quialtera. erit ergo numerus. qui tu a multiplicatus o id enim rationis dicte est nomὰλ pro Distri v. . datur o et per minor a inqua, ty 1icia, qtii in a ductus,o: producat. Ac sunt tres numeri,u. g. a. in quib. is quod in prioribus liceat il)ectare Primus infecunda producit a et na teris, misy.quis. a it u -,s quadratri siccusis in tertia gignit o , cuius qua ratu itide ah c sexto σ. sunt 3σ. sexies ita. βω uiliis de sta. siemi is de ἴ, z. Summa parti lara a Et denub c per tertiam a , multiplicatu gignit M. itaq;
I tu etiam cam asto adi rationen habeant quadraginta amerit aliquis numeria, qui uis multiplicatus, o pro dicit , unde rationi nomen es. Deinde o pres , habes I. is multipiti utru in roci, producet 1 o, quos uoc taco N, quia r o baneae, ducentici continet. Idem y lat s multiplica o gignit . quos vocas N. nam o