장음표시 사용
61쪽
Scholion hoc n7 est interiamo magna cadissedissiciem. In Diophanto aB IV est me m. i quod totare obscura ubi enim legitur μοναδων γ .μοναδμ.Grc Mendu est ρονα ν ε - μῶα. 8μον μνγ. μονάδες αρατμὸς oc In hoc e similib. exemplisse rememineris ubi ni anteire deminutionesicus enim sicub facias, succedet negocisi. Sic enim res haber
Σ-υholio uoluit inrerpretari,iale eis. Ponit Diophatus Assir amissos , quadrante, itate pura s. se ad lito mentetrimi, qui e I ι N,cias itur 3 t i N. Ergo tam tandes eis, P .ut triente ui, ad masprimo, cr quintanum teri, res do addasH detractoi N, .nt a schoc des Ni sublatu silicet osterit teri' quintat 3-t qui adb N ad ditus,s O t fecerat notum est enim quaesis inter aditionem es subtractionem reciprocatio. caetera et cana. Poria uel ex secund ositione factae intia es, arbitrio tuo pos te o uis sol riones iis problemarsi fabricari, uel in integris uel in moti, numeris. ilutenim im pedit, quivra Nonas i es aut ia Maut quotu . Et secundum sito γ ιαρramum I, sol
tionis numera erunt adnoseros quairupti. Siamdustriae Lelioris iacomperiendia retinguere maelo, quam in refacili ex nenda morari.
NAVI. In enito quatuor numeros,ca lege ut quiuis eoru se cotinuo in se ille ii certa sui parte dederit: hac ultro citroq; facta detractione & additione, sumniaruaequalitas exsistat. Primus secudo sui triente, tertio secundus sui quadrante, tertius quarto sui quintante, primo quartus sui sextante tribuat:&co tributione hac consecta, aequalitas exstet. Statuatur primus 3 N, ut triens eius haberi possit. Secundus unitatu, ut haberi quadras possit Atq; hic, ubi quadranti suu abiecit. Sc primi trien te postmodo est auctus,th i N t 3. Ergo cita primus suo triente amisso, adeptus de inde sextante quarti, it iN 13. At amisso a N manet a N.Ergo sexta quarti pars,qua accepta fiat i Na 3, est 3-IN: quartus ergo i 3--6N. Superest, ut quartus a misso sui sextante, ubi adsciuerit quin tante tertii, fiat i Ni 3. at sextate suo 3-i Nspoliatus, retinetiue 3 N. quod si ei addantur iaci N-Ir, fieri Ni 3. ergo ON-ia est quinta pars terti j.Tertius ergo 3O N-6o.Tande reliquum cst, ut tertius abiecto sui quintante acinde qua diate secudi auctus, ciat i Ni 3. Atquintante abiecto sit a 4 N- 8, qui b. si iungatur quadrans secundi, erunt 24 N- 7. -- aequalia i N--3. Est ergo i N, & iuxta praescriptu, primus erit V , secundus ':. tertius 'l'. quartus .Abiiciatur denominatio partia, erut integri primus iso, se. Lundus 92, tertius Iro,quartus ii . qui dc legib.quaestionis satisfaciuntis cHOLION. kN' A Deprehension est υ N aequariso ergo so diuido pre assunt ad . na a in as, ' d: quatuoryp si tu quae perar diuisicut in methodo partiendi ostensim est uni ci. Quia autem non ex diuersis forma ult habere, pura ex miliarib. ex mirasti induas quoq: unitate; murias resoluit in vigesimas tertias particulas, in , quibus ad ae eonficiunt i . idem enim est dicere, i Nesse fi b Mi esse c- - tc.P Q sim usuris LGr so sunt iso OP cam pri in posuerimusI Reritis VP. Dc secunta hii quaeras sunt ρ2.Tertim tam iiso N- σα quod adso N attinet, erat . scd propi sios in D, inde audirentur '. namstridies es sunt 1 So. supersunt 'U, . tantus est tertius. Q ri spo
62쪽
ii qualentarii soleo ira glia rates, id est3. cy bricta est numerus parti . ite cum diuiso. nome ute quadrat
. paritente ducitur. Ergo in Fac quas proposita quae lione cum partiamur so maiore numerram per ae minor L maiore dico. ni lamelli so CT as N aequalia Mnt,tame ab mute so quin a t maior est na unu uilibet unitati de II partes so a tribuuntur uige ni tertiae. π1o namem est partiam, i iacum diuiso: nomen aui as parilisente deductum. Quod si as per so duo isset, calu:i unitati ex o. as quinquagesimc obtigiscat, numero partiumas eo cucum sui M. nomine deducta a pari irru clam cari unitas m asparticulas sit di imbuta: quia secundus elipositu :bunem as duxit, Er sta in): orta pro secundo posuit: ac numerita non et . . sed is esset iuuentus, quod is in in partib. quoci; reliqκis pro ' bis fecit. cim enim non soleat multis uti mineteris in pure exmp ur ita etiarite egit crinuentis unitam partibus, abi ciatur, inquit ma denominatio: id est, in I N sit γ' inuentus, io illa iam non ut partes unitarum, sed ut hue gras visitato quinqsaginta usurpa. Porro aequalitas numeror ι bee e l. primus iso amisso quem secundo dat suo triente Fo, mi ci I .. ccepti, st sextante Parti, it tist secundus ga am Foquadranteas, quem tertio dat retinet O. triente primi, fo accepi R, t IV . Terrim lao qMntantem suam
dans quarto, rei met y π accepit, as quadrante fecundi fit L .Q arratus ii sextan: cm Ic ty dans primo, tinct ρ .cr quinta me teri ,id est a acceptos: IIp. XYLAN DR . Satis omnia sint explic uin se vides ut emtaudarum sicuπdurum radicum πιι positio primi or sicundi tui fata sicut, lara , ve 'solutionem pinionis ι nutes ortari esse , periori proposivione mouut. Caeterum quod mulriplicibi Integris. loco paratum fictarum at tur ab ictu Ommum communi denominat on ,id iure cit, ut doctrina re ortionum testatur. Uua enim artium cognomino, eadem totorum interse u uicissim est ratio Inde quintia Lua ΣαπNUι I. In eniantur tres numeri, quorum quiuis si certam partem reliquorum
colun foris accipiati omnium exsistat aequalitas. Accipiat primus reliquoi siluinnis
trientem secundus summaercii quoru quadrantem: tertius sumniae rc liquo tu quinta rem itaq; fiant omnes aequales. Esto primus numerus i N: reliquis aliquot unitatum multitudo tribuatur, cona pendi gratia trientem trabens. Silat ri secudus Oc tertius coniuncti 3. Et quoniam primus triente rcliquorum auctus sit ita et t. sumantur omnia quater. Quater ergo secudus csi reliquis, est ter siecudus cu tribus uniuersis.
Atqui ter secundus adiunctis tribus sit Ni . unde si auseras i N t 3. relinquetur adi t i triplum secundi. Ergo sic cundus est IN toportet porro tertiit ad iii nato reliquorum tanqua in unius quintante, ficti itati. Omnia sumantur quinquies, & eadem ratione inuenietur tertius iN t l. Restat ut hi tres coniuchi facianti N t 3. te nitur i N, Q.& omissa denominatione partis, fit primus is, secundus i7, tertius 19. dc implent conditiones quaestionis.
scis Llo N. Expoctius quot ns numeras unus eorum aliquoties sumatur. reliqui omnes semel: rursumq; omnes viri eum Theorema ipso semel fumo urit me autem semel minus qua prius sumebatur summa utriusis seriei erunt equales. sint numeri si xv
ata, fumantur si es, nor quater em IS. rursum I. R. .e temarius ter, II. summae aequales. His ita collisutis. Olimia inquit diant quadrupla tumira ubi loquitur de quas te. quincupla,vbi de quintare. M . se deinceps. Omnia. lnetiit id eii ex siecitdus. y reliquoru Dona quadrans,qui ad umit. su citur reliqu rii d:ἰorum
quadras ipsos duos num ros rellisaar: QE dicit, si dixisset. Sumatur secudus quatur, liquι duos el. Quado arat. vi pupra nihl rauimus,unm quatre ex reliquoru pusq; si ci posset,aequitur ter illi,er om*b semel fumis: Ergo. ter sic din,inquit, tu trib. ad iris, erit Ni .Qvoluero dicit,tale M. Cim primus reliquora duoru triente ad scito iactu siti N et t.necesse Metia secuta reliquom duorsi adbumto quaerite feri IN I ceteram quia ignoramin quar visu reliquora quadras: π tamEhoc adiecto secutas allaturus I N t I: quadruplicetur ergo Cr i me, reliquoru qtrahas id est. ipse quater sumatur,reliquom uteri se cl)ient omnia Ni .ia quide ecadus semet,
o Giquoru quadras,t N t I coicia u. ii cu idelit secutis quater Er reliquis et M. p sectius ter o tres singuli semel si austri tres numeros,hoc est,a N ty Ni : quod es terse udus o tres semel residusi mi triplus cundi, scilla et I Ni I. ergo ipse enu secundus IN ' . lGn speciemin in eo quod dicis, O milia sumantur
quinquies. Nam er Mic sit militer Acemus: Quinquies tertius adiunctis duobus,quater erit tot us una cum tribus numera proposivis. Fient autem s N i a. una sita cras summam trium I N t s. re stat quadrupla rurati , Nta , ergo tertius tN t q. rivuin porro I N, fecundu IN tertia N coniuncti diu iant IN lv πν id sartat θ atsho. aequatur I N is. Arestro utri ul; IN l. relinquuntur aequabaa N er sit I N. t i et . cara autem heis duodecima pars inueniatur: liquet in duodecim uncias secari unitatem : σι ii μοι l . scilica iacitur in uncias secta , cta vacia addita . Erit ergo muri Ia unciarum, I Naut cra
63쪽
autem II vncisrum: er uncia superabit unitatem. am cura morserit ili, em in imiarium ab initio po tam mul riplicolis iv fere is initar N procedet no per pantes unitatis sed per unitam. Enimve fc abiecta partia Mneminatione, ut pro Uurpemus II, idem potera de canone, Omnia quater,&c. experiri ita an , ut fiamul postulata quae mons persequamur. Posito primo G unitatum s reliquorum, qui unt Ir er 1ρjunctor z trimatem accipiens, puta Iastas.Oportet avit sicunda, 7,quadrante resiporu iunctora adsumpto, feri zy. id sic siet. Sumes V quater,idest cliti quadrante reliquisti, quater rabebis Miso. baec coiancta P Quod si πter accipias,id est m. π samma ipsorum trium,quae est ρ, detrahas a Ioo relinquisur si, ilicet triplum secandi. si ergo est i .eriis tr idae quod IN t τ scilicet II π ψ.nam st triens usitatu in ιa disse. NYLANDRI .
Dii genter heu quos interpres id explicat, quo perob rea Diophantosis indicata, ct
pro demo irato urZMESed in Graeco ipsi cano mutilus est,quaeduata auriosa. nostrat statis cure faciae ex geri Causa cur is ἰοῦ Miticea uper repropositi Dei I 2ne rigata. . uod a sit interpres ait de numeros . scinintectigendum. Numeriar 'br Nil, ct 2 simi operatione Diophantea. quossi uesies interpretari Fu,ut loquuntur, restaure, Zositor Nesri uiuerea epe II, bustae II tota errares uia resolutenim debent,per Imrentu radicunt Aren .ac re uti demum denominatione actionis ab cere. ultro interris habeantur. Et
τι, γα se denommatune abit Menipartis, numeri sunt 13. 17. N. ct ις ac γ factant 3σ,ruorum triens II adis aditus, facit o.rursum II ct traunt Ia,quorum quadrans ae med ad litus reddit os rem 13 9 1 sunt so, reum quintans o MN agantam. Vae tas. Hompigebit aba huius exempli co ectiones,Mycere. a mereris, si theorema E, Omnia quate nou essem mente aut in promptu.Ponamus ae et Poctbta e muli. At Iedite rimae --. ii quaestioris at sciamus, seprimus cum restquam triente habeat ire ι. Iam si ponam, esse/q sic enim nunc raice cundum quantitatem ignoram Dier notaret eru cnt ia
ιἀπ i-ρ Nil is i is es t q. ositiones numerorum redacti, demum com ne abdicient Gnsminationem,erunt sprobro integra. Va rasolutione osse huiuspra mistis sum constat exsupra annotatu. N X II X. Inueniantur quatuor numeri, ut cum quis'; horum 1 reliquis trib.in una summa collectis prcscripta parte acceperit, omni u aequalitas exsistat Primus accipiat triente reliquoru secundus quadrante tertius quiritante: quintus sextante. Eoq; cofecto negocio, oes numeri sint aequales. Statuamus primu I N. tres reliquos ala quot unitatu numerii qui triente habeat, sitq; 3. Ergo primus, ubi a reliquis in unu collectis numerii triente acceperit, est i Ni L Oportebit ergo etia secundu, si a trib. c*teris in una coactis quadrante acceperit fieri IN 'L Rursum omnia quadruplicabimus: utemur a: methodo qua in praecedc te adhibuimus quaestione. Ita inueniemus secudu i N i stertiit iN quartu i N At quatuor numeroru imma debet ςsset Nis. Omni b. eosectis, i Nfit j. Eritq; primus 7.ssecundus 77. tertius 92.qua tus IOI.Hi praestant ea,quae requirit propositum.
64쪽
m o secundo cognomines. Si uero compositi sint productum diuide per continxnem eorum mensuram, quotiei ilundus erit. Porro hunc ita inaratum fundam cum totis compara, π eodem prorsus omnia modo confice. Exest . tiam .Fundum L numerum inuenire uolo qui habeat partes, sicini spem,trientem, quadrantem,quintantem Expono numeros partiti cognomines ata, ,.s. D cam ady primus sit,multiplicatis iis produco o. quem tundam appello habentium semisomae mentem: nol; alius minor ipso istas partes habebit . lamo compositi inuis comuni Vesura, butario diuiduntur. multiplicatio eorum gignit a : bvias producti semissem, puta cognominem mensure communi, accipio 12. ista fundushesbentirem a Grysia per i multiplico, iuni sio. qui, cum Io σs pristinuicesiit, undas dicetur habentia partes Asia ratio. bi primi inuicem sint numeri, ages ut prius. Si uero ciso bi occurrent utres nimira pam balebit comunimenμω cognomine. hinc alimus parie in alterii luis cito, producetur l*ndus. rsuras hunc ca tertio copara,ac deinceps ita perge. Quaeritur tundus habentiu partes','4,ι Expono numeros hispartib. cognomines R. ,1 σπω I ac primi sint, productu eretria aio F.nda
be babentium xσα. I sa quia Iami primi sunt, ea iis procreatum dico funda .sse habentiu j l. . reb
ergo siextantem totia altera multiplicauero, MI in Cosue io in σὶ rursum colunt promulo ita. bellina di habentiu ς. .ac sic deinceps. Ac tenenda est,simarat eos numeras tui sic inueniuntur, et eoru multiplicesinui si omnino alia partes requisitas habere. Heic ergo ca agatur de , l. Cr i r expono numeros II./y. Elcsi s est se primus productus ex iis , undis Q habentiu π v. quin π Iscopositi, comunem mensuram habent 3 π urem iras trien Eusci et i, is aut o siue ergo s in is siue o in ii duco go exsistet. π ob id unitas stea tur in nonagesimas partes. Denis primus numerus, qui est i N. est .sectaus ι N et id est oeso bie enim
quod Moli saepe eis mutilia, or uuiuis. quodex mea uersione resuripoterit, C rectius etiam inreta, . Maior sit.abiecta denominatione. E. c. α ας emn Graecornu a sente ita. Ego refcautus . Lundum, μώνα , uocat minimum numerum, ροι cura minutias habeat partes omnes quarum nomina proponuntur.
NXIX. Datis duo b. numeris inuenire tertiit qui ductus in prior si utriiq;, alterum quadratu essulat, alterii latus eius qnadrati Sint dati numeri roo & s. is aut i qui queritur,i N. qui in roo ductus, ignit acio Nuns s N. Et cu alter hora quadratu, alter eius quadrari latus debeat eue,s N in te multiplicati sient as q: aequales 2 oo N. Ia uis trinq; Numeri charactere nomina deminuantur, c tutas N aequales 2 oo, dc iN fit s.
sc MOLIO M. Quadratias quantur eo sic. Si tres sint numm . quoru sectidi in tertia multiplicatione numerus fiat rens nomen ca ratione quae in primi ad territi: quod fit ductu primi in secunda aequale erit quadrato eius νοὸ secuta in terruis bai: vis hoc rursum in tertia ducto, producetur quale primo sint tres numerita . I. nisfaciant ra. Isi ad I ea duodecuplus a Ia babete nomErarione. Ergo quod fit ex primo in secanta, Is in , uris pote I aequale e P quadrato eius quod fiebat siecundo in tertia ducto. π quod e irrito ducto in id quod es eundo in tertia fiebat producitur S in D. nimirus G aequale est primi. Ergo numerus ad numora habet aliqua ratione,
numerus utiq; erit aliquis qui in minore ductus numera gignat, nominante maioris ratione ad minorem. tes: exercitationis causa plenioris demonstremus in numeris stactis sint duo moneri U a,este: ratio maioris admisnares cupias quialtera erit ergo numerus, qui in a malit plicatus o di id enim rationis dicte est nome λ pro suis e t. dividatur o per minor a viqia, ex Jotyἰ.hic est,qui in a ductus,o: producat. Ac sunt tres numeri ,IAs .a . in quit. Hi quod in prioribus licea st effare Primus inbecundu producit a 'cria ter ty, siant Ip. quib.aι. v si . II quadrates secudus in tertia. gignit e cuius qua rata itide a Q. sexies σ, funis si sexies 's. sem i ii is de os. siemissis de , l. summa particulara a Et denuo si per tertium a , multiplicatu signit M. ita pheu etiam cam ad ration habeant quadragintuplam erit aliquis numerus, qui in s multiplicatus, o pro dicit, Ude rationi nomen est. Deinde pers, habes x. is multiplicatus in roci, producet 11sto, quos uocat N, quia Ισoo bune a', ducenties continet. Idem y in s multiplicana o gignit, quos uocati N. nam o
65쪽
Nam cum qde Τ' ω π r o uicies quinquies hunc G comprehendat: Misas q sunt Im, quadrilum ia est, o procreatum Ex aequantur a rivi ex ipsisunt ἔσω ci in hoc modo donon strauisset os sequari a Nobi cit deinde. Deminutio I1 utrinq; Numeri charactere nomina densicianturisi ut mim prius asti milibus senilia isse Quia ti, a ' rat a re vita nunc alia uia utitur,un umero iubens omnia Munia id est,iadaci et in Nar N in unitates nomiis
libus adb angula, utriusis area I απ Armon se, nempe ab, 2 ast rura b Gas q. Latus dbest quincuplam adb QCr uici sim b e quincuplum adb π IN munitur LAIiterocissi I, Iam utrinque Numeri charactere. ci minueneri usa qmnaria N. Dialis iuri Ri m q, competant δ N. At quadratum S Numeros continens e se potest nullum, nisi quod sex unitatibus in hed ιλcta confictu:ut 1 N scilicet u L Ergo camqQy t N erit suestiges. in uniuersum enim, quot Numirorum era Quadratum, tot mutatu erit Numerus. Nou N eipsum ducens in suisquilas conlia sinitares, Scis q. ut si Nili
sat a MA NI, qa N: π sic deinceps Haec expositio praestat priori.
Non nemini etiam nimius fortasse uidebitur Pholiasses hei uisse ure mirum ob ra. sia
inutilia non sunt,quae tradit. Locus deparat logrammis in Graeco ea lacer ego totypo m a nodattinet ad fum LNποβιβασμον, A. m qaequanIur P , iami oras nota utrans aufertur Oftis Algebola nostra explicatum. Depre bionem hanc characrarum non uocant. Id rog primcipium hete usurparur, meri quadrarum omni numerii H se multi ex Genim ne is eis in inteirmo integris ambi stactio Hi adiecta in selis minuτys contra Fer ad in minus es latere. de quo alibi. Haec autem exempla, o similia, ab arti cibus 'nuntur,ureo incirion. occasione praeceptiones devirenturiri qui tales quaestiones nultam requirunt ingenum. ρ-- per enim minor qua raro diuidatur maior numerus, orituris qui quaeritur: Et duo pro
positi numera, si quidem in numeris non surdis se interaris quaestio con fit, emper Ani quadraiorum Miles. Da datis N era, ea lege ut tenim eos multipiscas, quadratum Or latus eius' ducat. quadratum minoru ,ergo numerus qui quaeritur ,ryproductι rasto esso hic latio Agiam quadrati. Dest HLDentur so ct 1 earim lege. uadratum minoris asGAdiuidat mar rem So,sent . ι, is qui quaeritum cIus in utruns, conficit asos. Propositiones elementorum quae citantur, c eae sunt.
παπ. Inueniantur duo numeri, quorum sinam a & ex multiplicatione unius in alterum productus tanti sint, quantos poscimur. Oportet aut e numerorum iniicntorum summae quadratum, quadrato superare numerum qui ex ipsorum fit multitiplicatione. Hoc autem est ei lictum aliunde. Esto summa numerorum 2 O, productum multiplicationis ο6. Ponamus eorum interuallum a N. & cum summa ipsorust 2o,si huius semissem accepero io, dc differetiae semissem 1 N,& adiecero & detra- ' xero semissi summae rursum summa erit ro, partium interuallum a N. Ponatur ergo maior numerorum tot I N, crit minor io 1 N. manetq; & summa eadem. dc idc interuallum. Restat ut uno in alterum multiplicato producatur 96. At producitur Ioo i q.quod aequatur 96.&i fit r. Ergo maior est ia, minor s. dc implent
propos tae quaestionis leges.sciso LION Ma hute quaestioni conditio quaedam, nee non er aliquot si quentibu .ra Diophantus uocat mea quia Gm opi i φησὶ aluisti est di . quia hum modi conditiones non quosdam numeros habens obnoxios, q*Udamsi mrs Q in uniuersum numeri iis deuinciuntur,nes ulli sunt in quos eae non copWant.itas huius g cris Dia η tu conditiones aut limitationes appellantur. Nihil autem aliud conditio praesenti quaestioni adiecta di . est,quam
66쪽
ci . uJm quod bibet quinta propq iis libri Mementorim Mi. Gavi haec. Si recta linea in partes secetur aequales, item binaequales: rectangulum ab inaequalibus totius portionibus compraehensum cum quadrato disserentiae portionum, aequale est semissis lineae quadratos Tamen quaestio limitatione quadam indiget,quam sic explica. A. Necessse est ut quadrata scin fissummae mirus sit produllo partium uni ita in alteram . ut hic Summe zo semisu Io, eua si adratim tori amplim quam ρα nes eiiun hoc loco demium Quadrati unius considerimus. caeterum toti Nin Io-νNfunt reo-I q iuxta indicam methodum μ.D ctus ι N in Ioicit demum Io NI demus 1 N in eopiam rN, erro in Io,siciunt reo-Iq. I I N imios cit Io N.lta conficiuntur Io Ni I -r q-υ u.Crcum de limo N eorum praesentiam vici sim oblitteret, linquuntur ιυ-I q. Quos unitates equare natur unitatibus ab altera partis,aut etiam eas excederent: non flaret res. ferent enim I qet eliquot unistam, aequales nihilo. Iam quodsi ara tINinio ι N, ait ferit -ιq recte. cim enim defctutis copiam ictu
defictum tignat,er Nin N, procreet quadratum:recte etiam heis solitus ies in eis praesentiam ductus, aventiar mactaei produxit. Denis tam latus Quadrati in res tura, erit ιq .cr 1 - 1 q aequantur 's, additos de ictu utrobiq; ioo quantur qtρσe ab cla libus si squalia absqciantur,I qerit ψ.er i Nesta. Aliter. Hoc autem est aliunde cilictum.) li limitationis nasia dicit: nempe ne quales sint quos quaerimus numera sed inaequales. alioqui enim nes demonstratio succedet,neq; conditioni stabitur. Neq; vero in quales tantum ese oportebit sed potereti seruanda est altera, quam exposuimus onditio.
Hunus,ssitas, at essenderunt hunc, quam heu tradu Diophantis , summa in duas partis seu po suones Haudendi rationem,quarum altera tanto excedat emissem, quanto altera exu itur ab eo sui heicao in io, tr Nes io ν α)Iaepenumero conducere ad explicanda. quaestiones, alioqui insolabiles quod o loco ostendimus quales P. Certe hercui abris hoc compendio, sicut mribu, ex uari resso it tamcn incidet opus m connoam quationem, ubi diuerse duae geries uni comparanturat Diophantea Vpidosim ex manet. Quod autem ad πλασὶ ε
τι κον ista in ut nosvertimusὶ aliunde e scium Munet: ideo sic appellari non dubito mi etsi hanc condisionem non fera tamen omnino se inuenti numera inaequales eriant,oproductum g siorum quadrato numerosuperabitura summa semimis quadrato.Udemon ut quinta sicundi Eucliis, e dyte huc ochol aste ad partes uocata. nam diuisis Mesummae in duaτ partes, ad diuisionem rectae dineae eis accommodata, ars adeo inde V I a. ut se nosseuo loco monuimus, se Campanus ad decima extum non Sedes inductione experiri l. t. c Mucium tria exempla. Sint numerio ora a summa as productam Mastmis summa I , quadratum s. aufer
ctum, resis quadratus. Δuod numerorum inproposita quaestionestatuisses a rerum I Maher erat zo-rxcumsumma se Io. duc I NAnzo-ι , habes sto N-rZ il ρα idere factu trajectione quamsuo loco docuimus, i Zl l ao 2 ραμ 1 7 Ia uely.quaeri sexta Christiferi Rod pluregula suo idem ister etiam euem sit. Nam altero posito ι N , per hac diui ks ρα aberum exlubilis N. quo addito ad priore umma aequabitis Io. Heu facta reduritione se traueZione, rZ il aoR-ρfutante. Enimueia Canon a me ad quin rasicundi traditu huc etiamtela accommodari, ct citra Asturam quaestionis usseri. Nam S. . Lor G. sunt continu proportionales se producti quo Deis quaentur radix quadratissimser medio loco interpartes summae stabit. Ergo summae simi sim per insist duc, a quadrato sic facto ipsiumpro dia feri residui radix quadrata addita Oritra simis summae, pari
res ostendet Dentur ergo duo numeri,nuorum summa V, roductum uast misis summae, quadratum eis ι - : unde sitiao auferas, relinquitur Ia . cuim radix quadrata uad iures adimitur dictosimis ,siunt panes is es ao. Propositionem bancsichobotis uigesima optimam facit quia tria problemata fucrunt binis propositionibus tractar a. sisequentem, uocat ut si mociauam,quae nobas eatri si prima. Ita utramam huius ti lingesimamno minutata cum sis M. quia quadragesima unda tantum pora a Uuperiorum. Ouae menis I .nt,tuo tralara acile corriges in Graeco, nostrae ductaversionis. γ π X I. Dare duos numeros, quoru summa, & summa ite quadratorii ab ipsis qui sunt, exprimat madatos numeros. Oportet autem duplum summae quadratorum
utriusque, quadrato numero praeliare dc quadrato,quod est summae ipsorum. Hoc
67쪽
quoqi aliunde effictum est. Statuamus summam numerorum esse 2Ο, quadratorumeto S. Statuamus etiam,interuallum eorum 2 N esse.Erit ergo maior i ta tro. minorio-1N,alter summe semille maior Numero,alter eodem minor. differentia ipsis rum,2N, manente summa a . Superest, ut etiam quadratorum ab ijs Ortorii sum ina simos. atqui haec in uertitur a sagacio. id ergo aequatur 2o8. dc fit a N, 2. Ad rei maior ergo Ia, minor &soluitur quaestio.
Haec quos conditio pia malica est,c uidetur abundare nisi sine id dicit.quodindicatum est rum s in Mus debere esse. Nos autem heiis limitationem hancce proponimis . Duplum quadrati desinisse ummae oportet mism esse summa quadratorum. Nam ex heu duplum quadrati a Io, qui est semi us sintne .cij cci aso, minus iasumma quadratorum cos. nam si aequarentur bric, aut illud hoc maia fieret res non constaret. Quod tem num rorem quadrata faciunt ara i Q.Vne euenit. Quadratum de Iot 1 N est Ioo t I N. quadratu de to N 'Ioor I Q N,ob canones alibi explicatos. Haec ubι colliuntur. ONσto Nsemata. mmunt,ta relinquitur summa quadratorum a cor a m eliqua fiunt manifesta. YYLANDR1.
Ex eo tyZo,quem ad aequationem AElgebruam ex gendam adieci quintaetrop. hin ca di Et mentorumfactia mi et es cur hanc quo' condit onemptisma uocarit Diophanimina schob M hmitatio eodem recidi. Sed se induerisne idem posti deprehendere in abrs exemptu. meri II. Amma 1'.quadratorum Io ct Iosumma ros. duplum ψω. .mmae 2 dratum ses inde ablatum, relinquit δ' quadratum, sec. Vis compend) heis eadem elucescit a uadrazum autem ita , quo duplum summa quadraroriam pani prasiae quadrato Iu-cANO N. ma,semper ea quadratum disserentia numerorum . Ergo cA NON .se candem . Duplica summam quadratorum a partibus prosechorum, inde quadratum summa: quam numeri quaestionis debent conficer aufer:residuae radix partium discriinen Oiicia - . diti ergo eius semis is si addatur adimati q: semissi sium mae numerorum, ipsi se pro
per me licet. ct heu ignscndum es disientibus. Sed certe Diophantea subtilit.υ ela lauta
αππ i I. Inueniendi sunt duo numeri quorum summa, itemq; alterius quadrat et supra quadratum alterius excessiis eam, quam postulamur,quantitate utrilinq; na beat. Esto sumina numerorum to quadrati unius supra alterum excessus m. Statuamus differentiam ipsorum 2 N,ut maior iit toti N. iiii nori I N. summa ao. dillurentia a N. Superest ut quadratorum otiam ab ipsis Ostorum interuallum sit 3 o. eltis autem 4o N atq; hi aequantiit So. fit rursum maior ta, minor 8,&quaestio loluitur.
scito LION. Haec quolio nullam requirit Emissionem. procedit enim in quibus stumeris, etiamsi fimini numerorum Crine Iam quadrarorum ponamus idem. Quod autem quaaratorum interuatam is Me quaestione' o N: id sic habet. Quadratum alterum est Iso tι QIas N alteri Iooti Q ao haec conis unda essent ω o N alterism Io N praesentiam.Nunc eam tantrum excessus consideretura zo N supra zo. N es Emptiss ao N σscipso: σ miminctii copia ac pouria,' exces o N. πYLANDRI. Si poneressumma numeroram s, o tantundem quadratorum interuasi , numeria eos Aroposito quadrarent . immo quiuis duo Mnitate disierentes, quod ex quadratorum natura
68쪽
D N Dndu ampliusfuisse subtractum quam ribuit,sici et ao Madduntur ergo ad maioris eo P , cst iste altam perhibetur oris
πππiii. lnveniantur duo numeri,quorum interuallum & qui fit altero in alterumultiplicato exhibeant eos qui praesicribuntur numeros. Necesse est aute quadruplum producti multiplicatione eorum cum quadrato interualli iunctilan, conficere quadratum. Quod & ipsum effictum aliunde est. Sit interuallu , productus ο6. Sonamus summam eorum 2 N, & cum interuallum sit nobis dictum erit maiori Nia, minori N- 2: manente & summa corum a N, & interuallo ι. Restat ut multiplicatio eorum producat 96. at signit i q- . haec aequantur 96. fit rursus maior ir, minor 8,& implent postulata quaestionis.
Cerre timitationem hanc non modo experientia confrmar eoalum demonstratur Grais
nepossione secundi. Et quidem quadra - sic consscitur, semper eiu quadratus inmae , o
rum numerorum. Numeri 3 or Σι .inter assum is, o cum με. hoc quater, c i. adde io st adratum interuis seu a 34t,rarix assumma numerorum. meri 1 o ct a prodactia aso. id Merito ora et a Gemma 22 ,radix 3s,inum numerorum . Canon quos hinc
extruetur. Datu productu quadruplis adde quadratum interuas, radix si mae quadra tu,seummam numerorum monstra .Eisaddas ct almas interua um,simisissummae Hr r sidui exhibebunt numeros. Ita is y6 quadruplicato is,adde is, ad arum interuas, summa oo radix 2α ereo dea es is numeri. Ponamus interua tam ia,froductum a oo. Huius
quadruplum Scio, is i 4 4, quadratum interua I summa V . Hic numerus Mysurdus: orm ueris ergo numeris non darumlutio huius quaestionis. Meetia rigebrica offeratio monstribit, ubi rursus Diophoteae I breuior ors. Mitiorquam uulgata. numeri 1 6 UT IN 6. At i aequale a oo.hoceu i Zl l is s. Has 6 ergo eis i N. or numeri H Σ36t Q ac ras σ-ς quorum inter Eum az, froducum c binomy in residuum 22: o.summa H, . Heu,
N XXIV. Dentur duo numeri certa quadam ratione, ita ut eorum quadratorum summa ad numerorum summam eam teneat quae poscitur rationem. Sit maiornu merus minoris triplus. summa quadratorum ad ipsorum summam quincupla. Esto minori N, maior ergo 3 N. summa N.Summa quadratorum io q, quincuplum ad 4 N. ergo ao N aequantur Io q. fit i N, a.& est minor a maior 6 ac postulatis quςstionis satisfaciunt. scito LIO M. Fit i N a. id inuenisur. Cum togaequenturas Ne competunt in unumque . quadratua. Numeri. Pon es aute alius quadratiis quia Nnfiit, demto cuius latus est a. scut nustas qui 3Nualeat,demto cuturiatus s. ot enim Dymerorum est uadratus,tot unitatum eis Numerus ac uice uersa. aras hoc pertinet ad deminutionem agam notarum siue charactersi. rimmeri iunc ι L quadratorum summa o, quod est quincuplum ad LN XXV. Dentur duo numeri ratione certa ita ut summa quadratorum ab iis creatorum , ad ipsorum numerorum intcrstitium certam habeat rationem. Statuamus maiorem minoris triplum esse: summam autem quadratorum ad interstitium numerorii decupla. Sit minor 1N, maior erit 3 N. Summa quadratorum decupla esse debet aam teruallum numerorum. Est autem illa io q. hoc a N. ergo illud huius da decuplum.
69쪽
O DIO PHANTI ARITHMETicrs decuplum. Ergo ro q aequantur ro N. Vnitate utrinq; deminuto charactere. io N
NXX vi. Inueniantur duo numeri datae rationis, ut interuallum quadratorum quae ab ijs fiunt ad summam numerorum certam habeat ration em. Esto maior misnoris triplus interuallum quadratorum ab ipsis ortorum sescuplum summae nurnerorum. Statuatur minori N. erit maior 3 N. restat ut etiam quadratorum interuallusescuplum sit summae numerorum. Quadratorum interuallum est X innumero a
Tripta ect y ad 3 .quadratus irim g i .h iin y interstitiam 7 a. eius sextans est 3 2 ma illimeroriam a d A. Σπtavit. Inueniantur duo numeri in data ratione, ut etiam quadratorum quae ab ijs fiunt interuallum ad interuallum ipsorum num oriam rationem habeat Maepetitur. Esto maior ni moris triplus, quadratorum interualliana adnitiue riunt . terua lium duodecuplae rationis.Statuamus minorem iN, crit maior 3 N. Superest, ut etiam quadratorum interuallum ad numerorum interuallum sit duodecuplum.
Atqui hocesta N, illud g q. itaq; hoc illius est duo dccuplu: bc proinde r* N aequantur s q. Fit q: ruri lini N 3. dc aperta est demonstratio. Nimisit et hac ipsa ratione ii . uenientur duo numeri rationis propositae, ut ex multiplicatione corum prodii eius ad sium mam eorum rationem habeat praescriptam. Et rursum duo numeri ccriae ra- tionis, ut ex multiplicatione eorum productus ad ipsorum interuallum rationem eam habeat, quae mandatur. scuo LION.
Numm 3 triplus est s. π eum superat numero G. Quadratum maioris 3 i, quadrato minoris s. prolate mero Ia. qui ad 6 est duodecuplas. Poris ni a aurem iri , seu additamentμm, sic habet. sit in itis minoris triplus: prodactum mali: pluitonisag summam numerorum duplas silui Maria, Sit minor maior sthr.producunt autem alterum in alioum multiplicatus hoc debct esse a. summae ipsurum qux est o Mergo υN c Mi N, qu drani ἡ No aequantur Uem i Q, 3 π i N Ut 3. Erit ergo mior 9, ravior 3.pro ductam a summa i r,eiam duplum C quadrans ea a . Sit rursum maior adminorem triplus,er proludi A exius quater contineat ipsorum' intra uallam, si semissem. erunt rursum numeri 3 Cr 9. Ar or autem Diopbarato propterea ubie nou expo uise: qui, in m ruplici που numeris tau daemoni rara non possunt, ut priora: beae taxat in multi pucibus superparticularis sXYLANDRI.
Tremtatas stius causa, cavam se a minutiam 'to Diophania i is indicati potias ριν pro pex caroacquiems . Neruae ginquitaredesideret duaproponam oblemata Dentur duo in quincupla ratione numera quorum productam .ra ummam sit aevum. Dergo Aneal ct sa.Item sit numerorum ratio traducit adra te algum Erurit n- ra P. --ter Eum V , per multiplicatum taura sit et i in muci pocatu . Adderem formae operationum, signauis raberem. In Graeco amorisfindam erat mendum inculcatum ἀχει' emr ν prox- αὐτων. cum hoc producZa nominasteria, i is quadratum utriri notet. H res ci chol ν integra in nosse si expetuerunt. πππi i N. . Inueniantur duo numeri datae rationis, ita ut minoris quadratus actinatorem habeat quae requiritur rationem. Statuamus maiorem minoris tripluni: quadratum minoris ad maiorem numerum esse rationis sescuplae. Esto minor itera
N, utiq; maior erit 3 N. Quadratum minoris i Q debet sescuplum esse ad numera maiorem. Ergo i mescuplum est ad 3 N. proinde is N aequantur i i Nest is minor scilicet ac maiorue . qui satisfaciunt proposito.
sciso LION. Proinde is N. id est minus seu tu sexies, equabitur maiora. nam fixies s N f. try N. ET et m a t Q. aequalis nimirum Is N. omnium nomina unitate deprimantur, erunt II aequales I N. ergo a nom
70쪽
ΑιL I n E R . . I. abs Rest termiora N,s s Crosa ,quadratus minoris se cuplas ad sin piatam or .Xπκ i N. Da duos numeros rationis quae imperatur, ut minoris quadratum ad ipsum minorem habeat cana quae poscitur rationem. Esto maior minoris triplus: dc quadratus minoris ad minorem, sescuplus. Erit rursum maior 3 minori N, manente quae imperatur ratione. rcstat ut minoris quadratum,i Q it sescuplum minoris qui est x N ergo 6 N aequantur i Qxst minor ο, maior is & fatisfit proposito.
uix usto arte citamefinget. ae etiam desiluentibin uolo acci propositionibus. Y L. Postulantur duo numeri certam haberites rationem, ut minoris quadratus ad summam numerorum, datam rationem habeat. Esto maior minoris triplus: &quadratus minoris ad summam numerorum duplus. Erunt denuo maior 3 N, minor i N. Minoris quadratus,et in duplus debet esse summae, quae est 4 N. proinde a N ae iii antur i i N est 3.minor scilicet mo maior a . Ii soluunt quaestionem.
sciso Lio N. naior a .minor I. io tripla.σ. est quadratia minoris, duplus urimae numerorum Ia. N L r. Inuenire duos numeros certae rationis, quorum minoris quadratus ad numerorum interuallum sit in data ratione. Maior sit minoris triplus quadratus minoris ad numerorum interuallum rationem obtineat sescupla Erit maior 3 N, minor ita. restatuti Q aninoris quadratus,ad interuallum numerorii. quod est a N, sit sescuplus. ergo i Q. ici curtus ad 2 N. aequabit ria N. & IN est it, minor: maior 36. Jc f iis fit proposito.
scia o Lios. Numerisso M.triplus maior mAOrici foram inter aram a . G t , quadratas minoris, ad bores in plus. N Lii. Iisde rationibus inuenientur duo numeri datae rationis, ita ulmaioris quadratus ad minorem numerum ea st,quae petitur ratione, rituumq; duo numeri datae rationis, ut quadratus maioris ad ipsum maiorem sit ea quam lubet ratione. ite duo numeri datae rationis, ut maioris quadratus ad summam numerorum ratione obtineat datam. deniq; duo numeri datae rationis, ut maioris quadratus ad numς- rorum interuallum datam habeat rationem
riparatis seu appindicis huius partes ita habent. Maior 6. minora Tatio tripta quadratus maioris 3 o ad mi
norem Gladecuplus. Rνrsum maior minor a:ratio tripIa. Io. quadratur maioris ad ipsam o sesuplus. Item maaior II inor rario tripla. Maioris quadratus I summae numerorum, qua est Is, nouencuplus. Denis maior o,minor z. ratio tripi . quadratus maiorisJσ,ad uu actum numerorum nouencuplus.
NLIli. Datis duobus numeris, tertius est inueniendus. ut de his porro tribus bi. nis in unum constatis,&in reliquum multiplicatis, cs producantur numeri,aequalibus se incrementis superantes.Duo numeri sunto 3 dc M. dc quaeratur tertius,ut deinde bini loco unius in reliquum multiplicati. producant numeros quorum aequalia sint interualla. Qui quaeritur esto i N.Is adiunctus ad s.fit iN t s. sic deinde multi plicatus in reliquum, qui est 3, facit 3 N tis. Rursus i N & 3, sunt i Ni 3. quod in reli quum,put a s multiplicatum, faciis N iis. Deniq; si coniungantur 3 &s, conficitur 8. hic in i N ductus facit 3 N. Enirn uero a Ni is non esse trium productorii in maximum, liquet. Omnino enim eum superat hic, s N tis. Ergo 3 N is aut minimus est productarum, aut medius. ac 3 N iis aut maximus est productorum aut medius. Maximus, medius, aut minimus esse potest 3 N: quia nondum constat quot unira xes conficant i N. Ponamus primo maximum esse, N t as: minimum 3 N tu. media
3 N. Iam si tres numeri sese aequalibus superent interuallis, duplum naedii faciunt d 3 comuncu