장음표시 사용
131쪽
si characteres suerint ijdem fit multiplicatio, ut in primis radicibus. Nam 4 A in 6 A. iaciunt a A q. Sidbi uidenda snt 1 A q, per ψ R, prouenient is A. Si di uersi fuerint characteres, uterque retinetur in producto. Visi 3 V ducendae sint in A, producentur I χχ A. Siri ae A per 3 V diuidenda, prouenient 4 A, tollitur enim diuisinis chasa aero . Radicisse tractio fit ut diuisio. Nam s radix quadrata ex is A q si extrahenda, intilla 4 A. Si cubica ex 27 Ade, erit illa 3 A.
Regula A ebrae si e habet . Ponatur pro numero abscondito I ae, quae iuxta quaestionis tenorem examine tur, donec aequatio inueniatur. Deinde reducatur, si o- opus sit, aequatio. Postremo per maximum cossicum diuidatur reliquum aequationis, ili proueniet numerus absconditus . vel in quoto, velin aliqua eius radice, quae qualis sit, character cossicos diuisoris indicain. Ex hac regula apparet tres esse eius partes. Inuentionum aequa-
132쪽
. - ''. rL CAPCII. ART. II. 7 Io otionis,reductionem. D resolutionem: perre lationem intellige diuisionem, dc radicis extractionem .
Inuentio aequationis est, pro numero inueniendo ponere I te, hoc est, unam radicem; atque cum illa procedere secundum quaestionis sententiam, non secus, ac si illa esset numerus inueniendus. i it Exemplum primum. Inueniatur numerus. qui si d catur in 3, ex producto demantur 24. residui ducatur in f, producantur 2O. Pono numerum inueniendum
esse I ae, cum qua procedo, ut vult quaestio, hoc est duco IV in 3, & produco 3 aes ex quibus subtraho a ,hoc modo 3 Μ - λ .huius ψ, est I- 8, hic numerus ductus in producit s ae - o; qui numerus iuxta qua sionis sensum, aequalis esse debet, huic 2 o. Inuenta ergo est aequalitaς indor s ae - ΑΘ, & ΣΟ.. Secundum exemplum. Inueniantur tres numeri,hac lege ut primum secundus excedat numero hoc : secu- dum tertius hoc ε : siris id quod fit ex ductu primi in se-αundum mi'us eo, quod fit primo in tertium , hoc numero M.fQuaero qui sint numerii Pono primum asse I. ae: ergo secundus erit 1ΜΦ . Tertius Iael IO.
133쪽
etot Expire A'Io REOvJE ALGEBR. E. Primus de secundus in se ducti, de producto additis 41. faciunt 4 q- - V - 42. Primus & tertius in se ducti, faciunt a q- iore, qui numeri iuxta quaestionis sensum aequales esse debent . Tertium. Dividatur numerus et 4 in duas partes, ut si ducatur maior in 3, minor in f, addanturque producto minoris 2o, maioris 4, summae fiant aequales. Pono mmiorem esse I die: erit ergo minor 2 - Iae: maior ductus in ι, facit 3 ae: minor in F, iacit Izo - 1 ae: si huicao, illi addantur 4, erunt haec 3 ΜΦ , his ι εο--- ,
aequalia. Quartum Duo habent pecunias, quilibet certam summani, si primus dat secundo s aureos, hinet secundus duplo plus primo : si secundus dat primo io. h. bet primus triplo plus secundo. Quid quilibet habere pPono primum habere i die, qui si dat secundo 1 , retia nebit ipse IV --s: habet autem secundus, facta hac traditione . duplo plus, quam primo relietiim est: h, bet ergo secundus aete-- Ioue ex quibus si tollas ς, quae a primo accepit, habebit ipse 2 Μ- IF. Qui si det primo io, retinebit ipse a V - 21. & habebit primus ire Φio, triplo plus secundo: ergo si secundi pecunia relicta, nimirum 2 Μ - a F, triplicetur, erunt haec II ε ito, his 6v - s aequalia. Quintum . Diuidatur numerus 2 in duas partes, ut partes illae in se duetie, producant f I. Pono primam partem Iae r erit ergo secunda 2O - IV : Hae partes in se ductae faciunt χο Μ - I q: quare aequalitas est inister ZOv-Iq, &9 I. Ex his quinquet exemplis sicile videt Iector, quid sit inuenire aequationem .
134쪽
Consistit Reduetio in hoc,ut si unius tantum generis
adsint Cossici. tandiu ab una parte in aliam parriculae transserantur, donec ex una parte sit tantum collicus, ex altera tantum absolutus. Si vero plures sint collici, eadem translatio tandiu fiare, donec ex una parte si 'solus maximus collicus cum fgno Φ : ex altera parre minor costicus cum absoluto. Quae translatio fit tum
per signa Φ, - hoc modo, si ante trans lationem fuerio erit post illam -: contra si ante illam fuerit-, erit post illam q-; tum his duobus principiis.
Si aequalibus aquatia addad, qua consantur, erunt aqualia; cisi ab aequatibus aquatia demas, qua remanent, eruulo equalia.
Haec itaque s - o, his r o, art. praecedente inuenta aequalia, ita reduco. Addo utrique parti o, & erunt haec s re, his 6o aequalia. Nam cum prior pars habeat 4o minus quam sae radices, si ab illis tollo 4o addo illis o: ergo & alteri parti o addere debeo, v 'Partes aequales manean Haec iq - - - - 4 2, his I q ε io die inuenta aequalia, sic reduco. Tollo ab utraque parte I q, & remanent haec ae Φ a, his i o Vaequalia. Rursiis tollo ab utraque parte 4ae, do remanent haec Aa, his 6 ae aequalia. Tertio, haec 3 ae Φ , his r o - ae inuenta aequalia
135쪽
io 1 et2pLic Ajio REGvLAE ALux BRAsolia, ita reduco. Addo. Vtrique parti sae, & erunt haec 8-- 4, his i o aequalia: iterum tollo ab utraque parte 4,&remanent haec 8 V. his It 6 aequalia. V Quarto, haec I ae Io, his 6 Μ - s aequalia, sic reduco. Tollo ab utraque parte Iae, dcerunt haec Io, his s ' - s aequalia : Rursus addo Vtrique parti Is, eruntque haec 8s , his 1 ae aequalia. Deniq; haec ΣΟ Μ- i q, his vi inuenta aequalia, sic reduco. Addo utrique parti I q, & erunt haec et C die. his 91 - 1 q aequalia : Iterum demo ab utraq; parte ν i. remanebuntque haec zo v - 9I, huic I q aequalia. Eidi ι lector facile intellare, quod signum Φjubtrahat ,
DE RES OLUTIONE SAue diuisione, s radicis extra- .
Diuisio in hoe consistit, ut, si secta regu chione, as vana parte sit absolutus, ab altera cossicus, absolutus pei' cossicum abiecto charactere, diuidatur: erit enim id ui prouenit, numerus quaestus. Vrsi in prima reducticiis ne dividantur 6o per Fae, proueniunt Ia, numerus, qui in prima quaestione art. i. erat propositus. Si in secunda quaestione 42 per Fae dividantur prois uenient 7, qui est numerus primus : erit ergo secumdus II, tertius IT.
136쪽
si in tertia, i 3 6 per. 8, dividantur, prouenient I , numerus maior: erit igitur minor 7. Stin quarta diuidaricax, 8s per Fae, pro Hient II, Pecunia primi : erit ergo iuxta quaestionis sensum, ps
In quinta quia ab una parte est cossicus maximus, ab altera minor cossicus cum absoluto, debet uterque, tam absolutus, quam minor costicus , per maximum cossicum diuidi, & exproducto radix quadrata extrahi. Diuisis igitur χο αε--9 I per I q, proueniunt λοχ- 'I. Huius radices per supra dicta inuenientur, ἔδ. . Semissis enim numeri radicum eiFI C, eius quadratum
aioo; ex quo subtra imis ab lutus propter signum - , linquit 9, cuius radix quadrata 3, addita, &subtracta semissi numeri radicum, manifestas facit partes 23, Sc& 7: hae enim partes in se ductae, progignunts 1; προ- quaestio quinta volebae. ANNOTA ΤΙ Ο Ι. Ex tribu rguticos partibin, hactentu explicatis di
stallima eis inuentio aquationis ,praeterquam enim quod ΦΗ- ῶcium regusrst, cognιtιone quoqi tum Geometra Arithmetica ; tum multarum aliarum artium cum primis opuslabe - ' ANNOTATIO II. Aduerto diligerer, quandoplurci numeriproponuntur in- νων edisemper istia primo inueniri,pro quo ponitur ἔ ae. Exe-plicausa, in hac quast. Tres diuidunt intersee roo aureos ea lege , ut secundus amplius capiat primo; tertim st amplis. secundo, quero quid quilibu capiac t Si pono Iae
137쪽
Ponamus ram secundum habere rhabet ergo primulae tertis. ι - ἔν. Summa sae - - 7 ε'aequaωι oor ab utras parte tollantur I : erunt hae s ete, hisys aqualia. Diuisis gitur s s per 3 V proueniunt 3 ι pe cuniasecundi. ' '. Ponamus vltimo tertium habere Iste habebit ergo secun dus IV - ε ις primu R- F : fmma setae a 6, ea aquatis Io o. additis igitur Uris parti a b erunt hac shis ιao aqualia. Igitur Ausi ab per 3ste, prouentuu a, pecunia tertii. ' Vides ergo, quod in prima polis G ιχ valeat a. I, in secunda s I, in tertia in a, siempers stum numerum inuenser, pro quo ponitur I R. Possent sussicere: sed quia regula haec, ut pleraque alia, exemplis solet clarescere, pergimus porro.
In hoc cap. Sex genera exemplorum proponemus. Primi generis erunt, in quibus, vel diuisor est , nitas vel nulla reductione opus est. Secundi generis sunt , quae
138쪽
sola diuisio soluit . , Tertij, quae soluit extractio radiacis. Quarti, in quo secundo radices occurrunt . Quinti, 4unt exempla geometricae Sexti, in quo contracte proposita, abstracte soluuntur.
EXEMPLA, IN u VIBVSόAdmiser e I unitas, vel nulti reductione opus e t.
Exemplum primum. Detur numerus, cui si addantur, II, & ab eodem subtrah intur 7, prior sit duplus posterioris. Sit numerus ille ire: cui si addo ii: & ab eodem subtraho 7, fiunt I ΜΦ I I : rellant IR-74 Cum ergo iam numerus prior posterioris duplus sit, si duplicetur secundu , prunt haec iste φ Ihis aete- I aequalia. Et sit ab utraque parte tollatur I ae, haec II, his i die -I . Rursus si utrique parti addantur I , haecas, huic Iste: numerus igitur quaesitus, eli 2I : nam asdiuisa per Iae, reddunt 11. Secundum exemplum . Dentur duo numeri diis rentes septenario, hac lege, ut si minor ducatur in 1, 3e producto addantur : maior in , 6 producto addatur x, fiat maior duplus minoris. Sit minor iste: erit igitur miori ΜΗ t. Si minor ducatur in L .&producto avidantur 3 , sent 2χ- s: Si maior ducatur in 3, & producto addatur i, fient tete - 21. Cum ergo iam maior duplus sit minoris, si minor duplicetur, erunt hareflaelo, his 3 re Φ ai aequalia. Si igitur ab utraq; parte hi tollam
139쪽
I SOLUTIO QUAE 3TIO Num tollantur erum haec Iae*s,his thaequalia Issi sus ab utraq; parte tollantur 6: erit & Iae, aequalis hisce 16. Numerus ergo quaesitus minor,est 16, igitur maior 3. Tertium. Detur numerus ex cuius I si tolla itur So restent Ioo. Esto numerus Iae: dictae illius pantes sunt , summa I.ae, ex qua si subtra ham So, restant Iu-8o aequalia hisce ioci. Si igitur viriq; parti addantur 8o, erit& Iae aequalis hisce i 3o: igitur a 8o est numerus quaestus. Quartum. Detur numerus, ex cuiust, si subtraha tur I 3, residuu ducatur in q, proueniunt 8.Esto numerisus Iae, ex cuius , si tollo Is, restant--is: his ductis in q, proueniunt IV-sa, aequalia his 48. si igiatur utriqtae parti addantur sa; erit 6c Iae, aequalis Ioθ: ergo i oo est numerus quaesitus. Quintum. Duo habent pecunias. Primus dicit secumdo, si mihi dares unum aureum,haberem quantu tu i fert secundus, si mihi dares tu unum, haberem duplo plus te : quaero quantum quilibet habearet Pono primum habere rete. cui si secundus unum dederitarabebit Cum ergo inter ivl I,& pecuniam residuam secundi, ponatur aequalitas, habebit secundus cui si primus dederit unum, retinebit primus Iae-IAEMbebit secundus Cum ergo iam pecunia secum di si dupla primi. si quod primus retinet duplicetur, Grunt haec Eae-χ, his Ιχει aequalia : & si utriquo parti addantur 1, haec a ae, his Iae-1. Rursus si ab utraque parte tollatur I: haec s, huic Iae: primus ergo, qui ponebatur habere Iete, habet 1: qui si dederit secundor, retinebit ipse 4 habebit secundus 8, unde si tollatur I, rellabunt , pecunia secundu
140쪽
rae notetur mirabilis numdrorum natura. Namsaltem heri det δ, reperietur pecunia primi o secundi 1 6 ,quan4 4mnimerum creater ex ductu δ in F, ρο . Idem verumtae sis quemcuna. numerum ducantur F ct r. zz Mktum . Sunt duo numeri io. & 2s, de inueniendi
sunt alii duo, in quaὁrupla proportione, ut si maior assus,minor addatur ad χo, conflati numeri habeant tripla proportionem. Ponatur primus Iste: erit ergo secudus VI qui additistioribus eo quo diximus modo, facient,idc aes in Hi numeri ςum ponantur esse in tripla seoportione, dueaxur minor, nepe χοὐ Iae, in erui reque ni 66Φ3. aequaleri, his as Φηae, Si igitur ab utraque parte deminium die, erunt &hisso, his hyaequales: si sin b utraque parte tollantur an erunt&hi aequalis huic Iae. Numerus ergo mi nor, qui ponebatur IV ἰ erit 3s, cuius quadruplum x o; erit alter a o & 3 s iaciunt s y; ar' as, & r o faciunt IQ, qui numerus cum sit triplus numeri
Septimum . Detur numerus, ex quo s tollantur residdui I addantur 7; summa haec ducatur in 3, rursusque ex producto tollantur 18, restent 2I. Esto numeru Iae, ex quo si tollantur 3 , restant Ila - : tertia pars est cui si , addantur, sunt , haec in sinu ista rue φ i8: hinc si tollantur Is, restat et aequa- iis huic II: ergo ar est numerus quaesitus. Octauum. Detur numeres, cui si addam ἡ &exeoAdem demam ii; atq; ex conflati, & residui summa tot