장음표시 사용
151쪽
quod ex multiplicatione partiunt fit', diuisum rei paratium differentiam , reddat o . Partes pribas Ire; altera in-ste, quae in se duelae faciunt rare i q. Differentia partium est χχ-IE: nam si Ia IV. en idie subtrahantur, restant 2 -I 2; per qua differentiam δε irai, - Iq dividantur, erit quotus ετ n; qui est aequalis numero I7l. Hi duo numeri ducti ad ean: dem denominationem iaciunt &-, quae sunt etiam aequalia. 'Abieeto ergo denominato, re communi, erunt quoque numeratores', 'χti,& IO 1e - 42o, aequales facta reductione. Emi haecizq his χο - 46v aeqdalia. Diuisis iaM 'Ι6 asper 2 q, proueniunt 2IO-23ste.' SEmissis numer1 ra dicum est II ἀ- , ad eius quadratum I 1 l. absolutus propter signum 4- additus, facit 3 14. ex hirit 'radice quadrata I 8l, si semissis numeri radicum : proptet ignum - , subtrahatur,restant 7, pars maior eritergo minor s. Nam hi numeri in seducti saetunt si merus per eorum differentiam a diuisus reddie
Septimum Dentur duo numeri, quorum dis rentia sit 8, hac lege, ut. si disserentia quadratorumqipsorum subtrahatur ex ipsorum rectangu Io, relinquatur. I. Pono primum esse , R : erit ergo aIter IVΦ8.
Quadrata ipsorum sunt 1q,&iq-i in disserentia quadratorum ςst qua ex Jestangulo
152쪽
ipserum, quod est i q Φ 8 se, subtracta, relinquuntur1 q - 8sa -' 6 , quae sunt aequalia. I. Si igitur utrique pahit addantur 64, erunthaec iq -8re, his 6I aequalia. β i rursus trique parti addantur 8 v, erit&hociiq, his 6s Φ8Μ aequale, cuius radix 13, est numerus minor:
omuum . Sunt tres numeri proportionales. quorum summa est y I. medius 1 i. quaero qui sit primus, quitertius ρ Pono primum esse au; & cum secundus sit a I; erit xertius Io - I M. Quoniam vero quando tres numeri sunt propoleonales, e st rechangulum extremo is rum, aequale quadrat edij, fit ut haec 4 I, his 7O e - rq sint aequalia ; & si utrique parti addatur I q, erunt Schaec 4 IH-q, his 7 C-aequalia : rursus si ab 'traque parte demantur 4 I, erit&hoc Iq, his 7 --44 I aequale. Semit si L numeri radicum est 3 1, eius quadrasitum I 243 , unde subtractus absolutus, relinquit 78 huius numeri radix χ8 addita semissi, facit λ3 , subtra icta ex eodem relinquit r. Sunt igitur hi tres numeri et tr. 63 simul facientes 'I quaesiti, sunt onim, Π quae
Non Umis, Dentur duo numeri , murum quadrata habeant proportionem hanc faciantque quadrata cum numeris, I 628. Quia quadrata ponuntur habere proportionem hanc habebunt in meri hanc ἔ ί numeri enim 3, 2, sunt numeroru 9, de radius uare si primus numerus ponatur I Μ: erit alia ter : summa quadratorum est ἐ', summa n- rorum fae: ergo haec sunt his i 6 1 3 i aequalia; dc - ' si ab
153쪽
s ab utraq; parte tollant ira haec ly' , his I sag diuisis ergo i 6- per ly , proueniunt κελ: G1 V. seris istis numeri radicum eis SV eius quadratum φ , , ad quod additus absolutus, ne it sol . I, ex huius radice quadrata Et SV: si tollatur semissis numeri radicum, restant 22, numerus primus vergo cum alter ad hunc proportionem habeat sesquialteram , hoe est talehi, qualis est inter 382, erit a tres Decimii illi. Duo caupones habent vinum. Primusso; alter Iro Heri suras, vendit posterior unam mensuram Vno aureo carius, quam priore Venditione per cta, habent ambo limul au's Quaero quot men .suras quilib-vno aureo vendi mire 3 Pono priorem vno aure0 vendidisse fete: ergo alter uno aut eo vendi. dii I. I. adeoq; prior omnes . 4; posterior omnes aureis vendidim Hare simul iaciunt
quae sunt his aequalia, siue his l'. Quὰ si ad eandem denominationem reducatua, erurit haec ram his ε' HV aequalia, sublatoque communi denominatore, haec 2zo v Φ 8o, his ψ q- pacta ergo xeductione, dc diuisione, pilotieniunt tu iust numeri radix eis ψ: vendidit ergo prior mensuras mno au, posterior s. Nam si diuidas 8o per proue Eluntio. si rao per s; proiiuniunt a , quae simul sa.
ciunt ε , Ut quaestio voluire. Sed extraham in radicem quadratam ex hoe numero Semissis numera radicum ef/-ταν fl addaia
quas emis numeri rari cum addamur flent siue in . Undecimum . Detur numerus, ex cuius bi quadrato si tollantur io quadrata, residua sint o; I I. Pona
154쪽
ponatur numerus Iv: erit eius biquadratum T qq ex quo si tollantur loq, erunt haec Iqq - loqhis 36OO3II. aequalia. Si virique parti addantur - ioq ἰ erit & hocvqq, his 3 oos II-FIOq aequale. Radix numeri 3 oosa ioq 18 9 , ex quo nu ero, cum numerus ra die um habeat characterem hunc q. eruenda est radix quadrata, quae est 3, qui numerus est is, qui quaeritur. Duodecimum. Detur numerus, cuius biquadratum, Be cubus simul, ad 2 1 eius quadrata habeant proportiό-nem, quam 36 ad I. Ponaturnumertis ille IM: erit igitur eius quadratum I q, cubus Ire, biquadratum I qq. Quadrata Ei sunt ad rq q Ice ut I ad 36, Ductis ergo 2 rq in 36, erunt haec Iqq-bite, his 16q aequalia. Etiab utraque parte tollatur ire, erit hoc Iqq , his py6q-laequale. Hic locum numeri radicum tenet Ite; absoluti 1 6q. Expodentes horum characterum q q, ire, q, suntos. r. ex quibus si sub trahatur a , restant a. r. , ut proinde, abbreuiatis characteribus, 1q aequale sit his - I re. Semissis numeri radicum est L ad cuius quadratum 4 additus absolutus, propter signum ΗΦ, sa-. Cit 7 ii l. Ex huius radice 2 A, si tollatur semissis numeri radicum propter signum - , restant et , nu
merus quaesitus. Abbremara autem nunc tantum chara Nerespossunt,quando eorum exponentessunt numeri. uuando duo sunt numeri, tertu o, abbreuiari non possunt, Uxpraecedente exemplo, in quo exponented erant M, , o.
Decimum teritu. Est alicuius progressionis Arithmeticae ab unitate incipientis sum a s I ,disseretia 4. Qua rutur vltimus terminus. Pono esse Iete. Ex quos per regul. 4. progresis Arith. tollo primu reliquum per disserentia κο di do,& quoto unitate addo. habeo nutileru t/rnitis 'I no-
155쪽
primi & vlsinii termini nimiru IΜΦΙ,Educo '' P'ν. summam terminorum: sed & si, est eadem sumnia: er go dc si sum aequalia, quae si ad eandem deno,. minationem reducantur, & communis denominator tollatur, erunt sc haec a 'ΦΑΜΦs , his Ia 8 aequalia.&sa ieri reduetione hoc I q. his Ia s-6ae, cuius numeri is , quin est terminus ultimus. i Dccimum quartum. Quidam conficit milliaria Ioso. , Primo die unum, secundo 1 amplius : tertio rursusi fiamplius . & eadem deinceps differentia. Qu i r qua 1 in tempore totum iter absoluat' ρ Pono iste dieru. U , M si tolipna I, & residuum ducam indifferentiam μproductoq addam primum terminum, efficio in timum serminum; per regul. I. progress Arith. cui si 'ado primum, hoc est, I, essicio', quo in semiinsem n umeri terminorum, nempe in ducto Moduco, summam omnium ter minorum ; sed &eaderi summa est ioso; sunt ergo 'αε'' & Ioso aequa ia: e go dc iacta reductione ad eoidem terminos, com-'mnni denominatore abiecto haec Iq ae, his Iosem, & si ab utraque parte tollantur sae, hoc Iq, his Iopo e Fae, cuius numeri radix Ioo, est numerus dierur is quibus milliaria Iosto conficit '. ' . . HA
In hoc exemplorum genere pro seςundis radicibus
156쪽
omantur literae A, B, C,&c. quae pet reductionem ad pyimas reducuntur, ut exempla docebun . Primum exemplum. Inueniantur tres numeri, quo fiam primus cum I 36; sit duplus secundi, Sc tertii. Serucundus cum Igι, triplus primi,& tertit. Tertius cur
1 ἔ, quadruplus primi,& secundi. Ponatur primus Iae, qui quia cum I 36, est duplus secundi tertii, erunt secundus & tertius simul λ:eΦ68, quibus si addatur erimi omnes tres ,--68. Ponatur secundus i Atqui si subfrali, tur ex i restant primus δc tertius, i qmἐν 1 A. Quia vero sec sidus cum 18 , hoc est, IAH
ius si ab utraque paris tollantur a is hae e 1 ula.
157쪽
numerus primus. Ergo sectaus, qui an uetus est i ἐχ-s. erit 3 2: tertius vero, qui inuentus est I bae I9ὲ, eries s. Nam si 24 ducantur in I .prouenient 27, quae cum s iacium 3 a. Et si a ducantur in Im, prouenient 38l, quae cum faciunt 48. . Quod autem inuenti tres hi numeri a , 31, 8 quaestioni satisfaciant, facile
Secundum . Tres habent pecunias, si seeundus, de tertius dent primo k suae pecuniae, habebit primus 1 oo Si primus, & tertius dent secundo i suae pecuniae, habe hit secundusi M. Si primus, & secundus dent tertio se suae pecuniadi, habebit tertius IOO.l Quaero quantum quilibet habeare Pono primum habere Iae; secundu, di tertium i H Si ergo secundus, & tertius primo si suae pecuniae dederint , habebit primus 1ΜΦ A et quae prunt aequalia hia :I oo; & si ab utraque parte tollat utiae haec ἡ Α, his alico- IV:quare& I A, his 3 Oo- R. Ergo secundus, & tertius, qui ponebantur habere I A,
habent a oo-: ergo Omnes tres habent sOO-2ae.
Ponatur secundus habere I Br quo sub tracto ex 3 oo Rae, restant 3OQ Μ- IB, pecunia primi, dcxeriij. cuius 4 addita ad pecunia secundi, facit lB- ρ- quae sunt aequalia his Ioo, dc si ab utraq; parte tollantur 7s, haec ἔB-his 21. Si rursus utriq, parti addaintur lae, haec ἱB, his asin M'. ergo dc i B, his χε 3 3ὲ : iecundus ergo, qui ponebatur habere a B, habeo
Ponatur tertius habere Ic: ergo primus, Sc secumdus habent 3- - χχ-Ic; cuius λ cum Ic, facit
εο - ae, aequalia his loci, si ab utraque parte tollan
158쪽
secundus V-μ 3 3 se, habebunt q*nes tr sis sed & hibent' soa - 1ete. Haec in I HUs oo - 2ae sunt aequalia: & si ver i parti ad Muta , haec q-- 8 3 . his 3 oo. Rursus si ab utraquo parte toIlantur 8;φ, haec queae, his ar εἶ Diuisis erat 'per se, proueniunt s a, pecunia primi : se gundus ergo, & tertius, qui inuenti simi habere hae de-- habent 68. 76. Quaestionem legi
time solutam esse facile probabis. I . I L et: aereium. Duo habent pecunias. Primus dicit secum. do, si dederis mihi tuae pecuniata habebo tuo aureos:
secundus dicit primo, si dederis tu mihi ε tuam, habebin IIo: Quaero quot quilibet habeati Pono primum habere Iae, secundum B A. Si ergo secundus dederie primo A A, habebit primus Ire Φ s R,.hoc est raci: igutur facta reduistione, erunt; A, dc 'o rete aequaliarergo IA, dc 3 3 o - ae. Quare secunduῖ, qui ponebatur habere I A, habet 3 3ο - 3 ae. Cui si primus dederit ι Μ. habebit secundus 3 3 o re , hoc est,
Io: tacta ergo reductione erunt 22o . & ρεχ aequalia. Quare diuisis et 1 o per i ἔκ proueniunt 8o, pe- Cunia primi: ergo secundu q, qui inuentus est habere 3 o - 3 ete, habebit sto. Quaestionem recte soluta in
asse patere. Quartum. Dentur tres numeri, hac lege, ut prim
dc tertius habeant proportionem duosecuplam ad se- eundum ; secundus vero de tertius ad primum quinde
159쪽
vr snχπTro . vaE sv I h euplaniti quaero qui' si numeri r Estα primus Iae, tertius 3 M summa ι-rAἰest docti ecupla seeundi: e m secundu&est cui si addo tertium iA . essi cici , qui numerus cum si quindecuplus primi taederunt 11 V,& aequalia; dc si ab veraqe parte tollatur , erunt VIJ , & i aequalia : Igitur eumsedent i dabit , A. ergo rertius, qui ponebatur IA, erit a M'. hie cum primo IV. s cit I .lλ . . qui numerus cum sit duodecuplus secundi erit secundus a. V. Quare cum primi, Se secundi siri
Proportici, qualis est numerorum I 3, dc I 6, tertius qui inuentus erit Irsa, Habemus ergo treς meros I 3. I 6. I s, qui id quod propositum est pra stant. Idque in terminis minimis; nam in maioribus
alij esse possunt . Uthi tres ais. 3et. 318ι & hi i so'.
mese eeur mirabitu natuae a numerorum. Namsi ris res duos satum unitate maiorta, quam Funt deuomsnatorex proportioηis,sim I inueni primum, secundum. Vt sint inueniendi tm numeri, hac lege, ut primvi eum tertia fit quadruplussecundit, sicuηdus cum tertio quintupluερω mi; erat primm 1 oecundus 6. Tertius inuenitur. si vel secundin quadruplicetur , G ex prodνcto auferatur pri. mm; vel primu quintup bc cur . o ex producto auso' ratur secundus Vtrum enim feceris, reperata /s, n .
Sunt quaedam quaestiones, quae facilius per primas, quam per secundas radices soluuntur. Prima. Quin, i quc
160쪽
que habent pecunias, omnes sectus Nimo Is ' omnes secluso secundo i 6: omnes secluso tertio 14o. Omis
Quaero quantum quilibet habeare λ Si ponamus primum habere rete. habebunt reliqui tanto plus, aut mi. nus et R, quasso nu 'eri quibus e singulus, superant.
seeunda habetur apud Peletariu n de radicibus f eun is, quam Sc clarius habet habet pag. 34s suae Alge brae. Quae sic habere. Maerantur duo Eumeri, quorsim quadrata facillnt o: duo vero numeri in adu.sbrie. prodit quadratum maioris I9 6: igitur minoris e4tit ΙΑ , adeoque numeri ipsi a & ia.
Demonstratio pendae ex o seeundi Eucte Cum en οε ad sit ex duobus numeris fit medium proportionale inter
uadflata numerorumcla erit ut quadratum maioris, adia uod sit ox numnis, ita numervi maior ad minorem : σαν sum pono num/cum --orom β ae , erit minor