장음표시 사용
141쪽
. 1 Ο9 S OTL V T I o QI IE LY I ONT M. ant 27. Esto numerus Iete, cui si addo 7, & ab eodem subtraho II, & utrumque coniungo , efficio 1 -- :hinc si tollo i numerum ipsum, restant IR - Α, qui bus si addo Α, efficio I die, aequalem hisce 27 : ergo 17
est numerus quaesitus. Nam si illi Addo I, conflo 34:s adimo II, relinquuntur I6: summa 3 , Ac k6, est 3 o, ex qua si tollo ari restant a 3, his si ddo 4, consso a .
numarum dosideratum Nonum Dentur duo numeri, quorumdiisereotuist ii hac lege , ut si quartam partem summae illorum ducam in a, Ac ex producto tollamus, relinquanxur χO. Sit numerus minor erit igitur maior Ieterin D. Summa utriusque est 2 ΜΦ Ia , quarta pars, lae in quadducta in χ, iacit 1 v φ ό : Vnde si demam 6, restat I ae, aequalis χo. Ergo et O est numerus quaesitus minor: ergo
maior 3 2 : summa utriusque 1 2, quarta pars Is ducta in facit a 6. Vnde si tollam 6, restant zo.
- Decimum . Progressionis Arithmeticae primus te minus est , vltimus ηo; summa omnium 282, quaero quis sire numerus terminorum. λ Pono esse Iete: summa primi,& vltimi est 47, quae in k a , semissem numeri terminorum ducta, facit ergo 28a, & lj sunD aequalia. Facta igitur diuisione, erit numerus terminorum Ιχ. Differentia progressionis, reperitur per reg gulam tertiam. Progress. Arith. Vndecimum . Quidam mercator lucratur 3 suae pecuniae: de summa expendit 8 1 residui lucratur e penditque de hac postrema summa a s denique residui huius ultimi lucratur Α, atque expendit xi: Rc tandem reperitis as aureis amplius habere, quam ab initio habuerat . Quaero quot ab initio habuerit au. quot iam
142쪽
L 1 3. I I CAP. IIL A Rτ IL I I o habeas 3 Pono habuisse iste, cui , addita, facit Ex his sublatis 3 r ni lae - 8, ibus si addatur A,
fient Iori exhis dempta Irs relinquunt V-1s, huius est ae - quae addita his hi, faci - - 30, siue 2 χ--so. Vnde si, si tollantur s, reinctant 2 ae- 3 s. Haec cum numero hoc ar silerent pecuniam, quam ab initio habuit, erunt haec Σ Μ -- si, his Q v - as aequalia; & si ab utraq; parte tollatur rete, haec haec I R-3s, his 21. Rursus si Vtriq; pa ti addantur', erunt & haec iso, huic Iste aequalia: ab
initio ergo habuit sio au. iam habet 8 s. ARTI CVLvs II.
EXEMPLA, UVAE. SO-la diuisio soluit.
Primum exemplum . Quidam mercator rogatus,
quot haberet pecunias, respondit si pro mercibus darem I, & 4 meae pecuniae 3 tu vero mihi donares so, haberem Eoo: quaero quantum habeare t Pono habe- re 1 q, ex qua si I, & ε tollantur, restant se, quae cum so seciunt ειχε so: sunt ergo so, MEoo aequalia; & si ab Utraque parte tollantur so, erirunt & haec Hete , his is o aequalia. Diuisis igitur so per φε R, proueniunt IoOO; atque tot mercator habet au. Nam l. de iooo sunt 6oo; l est aso; quae , subtracta de iooo, relinquunt Iso; his si addantur so;
Secundum. Dividaturn merus Ioo in duas partes, ut ἱ maioris sint aequales minori cum s. Ponatur ma-
143쪽
ior iste: erit Igitur mitior rao- Ιχ. Maioris I sacIurirminor cum s iacit Ios et V : sunt ergo haeo εχ. his I O, - Iae aequalia. Et si viriq; parti addaturiae haec I , his ros. Diuisis ergo io 1 pet Ilete,
proueniunt sio, pars maior; erit igitur minor qO.-Mλ'
toris ἱ sunt 41 , totidem quia minor cums facie, bena
Tertium. Da numerum, a cuius triplo, si tollam 'o, residuum duplice, a producto deducam I4o, residuum duca in . a producto tollam Ioo, restet nihil. Quaero qui sit numerus 8 Pono esse i Μή a cuius triplo si tollam 3 o, restant 3Μ - ro, ab huius duplo gre-6o, si ded Ca I o. restant εχ - χoo: haec in ducha,progignunea χ-8oci; a quibus si tollam Ioo, restant 2 ae -- 9 ω quae sunt aequalia nihilo. Sive haec χ4χ-soo sunt qualia unio. Et si viriq; parti addatur scio, erunt &hqC agete, his 'oo aequalia. Diuisis igitur 9 Oo per 24ete proueniunt 3 l, numerus quaesitus. Si enim ab eius triplo
arat tollam so, restant & si ab huius duplo 16s, demam I 4 , restant 2s; ac deniq; si a quadruplo huius
nimirum a I Oo, tollam Io o restat O.
Quartum. Inueniatur numerus, cui si addatur φ sui, 8c 7, tantum supra po excrescat. quantu ipse est infra p. Ponatur numerus ille Iete: cui sipddatur 4 siti,& ν, fient λέχη 7. Hic numerus cum tantum sit supra 9O ; quantum i R est insta 9, fit. vis iae ex I9, & so ex Ilv I subtrahantur, residua 79- Iae. 6c I--7-so, sint aequalia. Quare si viriq; parti addantur so, erunt & haec 3 6'- rete his aequalia. Si rursus utrique parti. gddatur Ierunt i c haec 169, his ais Φ aequalia. , Denti
144쪽
Denique si ab utraque partodemantur 7, erunt & haec 16Σ his i in aequalia. Diuisis ergo. 162 per χὲχ pro is ueniunt 72. Numerus quaesitus, cui si ἡ sui cum addantur, fient 97, qui numerus tantum est supra so, quantum 2 sunt infra 79. . x Quintum. Ementium agrum Ioo aureis ait alter alis teri, si mihi tuae pecuniae l, Sc s aureos dareq. agrum emere possem. Infert alter, si tu tuae mihi dares, eme- Sem agrum . Quot quilibet aureos habet Pono primum habere Iete: alrer ergo habet Io I - siqui. dem cum k primi habet i cuius dimidium cum s additum pecuniae primi, conficit s 1 - a re, quae sun 'aequalia his 1 oo: &si ab utraq; parte tollam ss, erunt Ec haec s, his aequalia. Diuisis ergo Α, i per I proveniunt s4, pecunia primi, cuius k, nempe I 8 ex ioci sublata, relinquit 8 2, pecuniam secundi, huius enim dimidium 4 I, cum s additum pecuniae primi facit ioci.
Pari modo , pecuniae primi addita pecunia: secundi,
iorem Iae : erit igitur minor Io-iae: diuiso illo per hunc, proueniunt ri is, quae sunt aequalia his χo. Sive haec vitam, sunt his θ' aequalia. Etreductis illis ad eandem denominationem . haec his RPI 243',
145쪽
Septimum exemplumis. Viator quot diebus 7 milliaria conficit, alter a 2 diebus post ab eodem loco disce idit, peragitque quotidie milliaria 9: quaero quota die hic potarior priore cosequatur Hic primus 8 milliariacoficit,antequa posterior iter instituit,septies n. Ia sunt. 8 . Quare inueniendus est numerus, qui ductus in I, productoq, additis 84, tantum fiat,quatum si ide umerus ducatur in 9. Ponatur nu merus ille lae . quae dum
Elia in 7, iacit ae, quae cum 8 iaciunt V--8 Idemitum erus ductus in v fac id pete, sunt ergo haec varF8 , his saequalia; &subulis ab utraq; partes ae, haea 8 his xv. Diuisis igitur 3 per aete, proueniunt 2. A que tot diebus posterior priorem consequitur. Ductis enim x in 7, de producto additis 84, fiunt 378, totisdem fiunt ex 4t in 94. Octauum. Dividatur numerus 3 8 in tres continuε proportionales, ut quod fit a primo, & tertio proportionem habeat sesquialteram ad id, quod fit a primo Msecunda. Ponatur secundus Iste: erunt ergo primus
Ec tertius timui 3 8 -- I V. secundus in seductis iacit Iq: totidem cum faciat primus in tertium, fit, ut pro ductiim primi, & secundi habeat ad productum secum di in se proportionem sesquialteram, per proprietari
progrusio geomet. erit ergo quod fit a primo,& secundo
146쪽
q, quod divisuin per rae, producit numerum pri- qui subtra ita fiamma primi & terti j relinquit tertium 38 - φae, siue ' : δ . Ductus primus in tertium facit quod est aequale Iq, quadratu nimirum secundi, sue, sublato denominatore 9, eoque in I q ducho, erunt haec i s ' his 2 28-- I o q ae qualia. i Et si utrinque addantur oqhaec his Isci;& abbreuiatis characheribus haec 228, his I ae Diuisis ergo 2 28 per i 9, proueniunt I 2, numerus secundus, primus ergo, qui inuentus est τ'. erit 8, tertius I 8. Non tam . Quidam expendit suae pecuniae plus o aureos; qua expensione facta, relinqui illi erant 1 1o aurei: quaero quantum pecuniae habuerit λ Pono habuisse rete. . Vnde si expendat plus. 7o, restant - Io, quae sunt aequalia his χχo. Si igitur viriq; parti addantur m s erunt & haec Iae, his isto aequalia. Diuiss igitur aso, per proueniunt Tas; tque tot aureos habuit: ex quibus si I, dc o subtrahas, estant χχΟ. γDecim v. Quatuor inter se diuidunt Iocio aureos,secmdus toties capit 3, quoties primus 2, terti' toties s , quoties secudus quartus toties 7. quoties tertius 6 Quaero quisquilibet capiati Pono primum capere i& quia quoties primus capi ' a, toties secundus capit 3, dico. . a i I-l 3 , dc inuenio pro secundo I R. Rursus quia quoties secundus capit ψ, toties tertius capit s, dico.
I hae l. 1 , & inuenio pro tertio l. . Denique quia
quoties tertius capit 6, toties quartus capit 7, dico.
6 I l 7, Sc reperio pro quarto siue l
Suma omni u est squalis Iocio. Diuisis igitur . Oooper proueniui I pecunia primi; qua si ducas
productu diuidas per 1, in s iidit pecunia secudi 2 28R: H s hac
147쪽
ducta in f, producto diuiso per Α, prouenit peeunia territii 18saa. Deniq; haEduista in 7, producto diuiso pers, prodit pecunia quatit M H. Summa Omnium est
Iocio: bene ergo operati sumus. Undecimum. Habeo duo pocula, & Unum opereuis
tum quod aestimatur 9o aureis. Additum opereulo pre. cio minoris poculi facie summa duplam preeii maioris poculi: additum vero precio maioris, iacirsummam tria piam precij poculi minoris. Quaero luid utrumq; poculum valeat no minus valere Iae, cui si addantur si Oi erit summa I ΜΗ-9o dupla precij poeuli maioris: maius ergo valet a-Μ- s. Si iam so ad maioris precit poculum addantur, erit summa eripla precii minoris poculi: Ergo cum precium minoris positum sit IV, erunt haec 3ete, his μ-FI, aequalia; & si ab v. 7traque parte tollatur lae, haec χλχ, his I Diu ss ergo r3s per alae proueniunt si in precium minoris poculi : cui si addantur so, & summa per a diu,
datur, inuenientur τὶ precium maioris poculi.
Duodecimum. Quidam habet duo pocula, &
num operculum is Alterum poculum aestimatur 6o a reis, si operculum addatur poculo iso aureorum, erit
summa dupla preci j poculi ignoti: s addatur opere lum poculo precij ignoti, erit summa tripla precij p culi noti. Quaero quanti ignotum poculum, &opei culum aestimentur' Cum summa ignoti poeuli, & perculi sit triplaprecij noti poculi, valebunt simul 1go
aureos : Si igitur numerus ago ita diuidatur, ut pars cum clo sit dupla partis alteriua, proueniet Pr cium operculi. Sint ergo Partes I , & i 8Q- Iae, , Addan
148쪽
AManturi ad Iete, λψ fians De Fgo, quae cum iam dupla sit partis I 8 o - iae, si I 8o-- dupli centur, erunt haec I ΜΗ- ω, s 36o - aequalia, D, 'sacta. eductione haec sae, his 3oo. Diuisis ergo 3oo Per H pro leniun Ioo , precium operculi, alterum ergo poculum valebit 8o au. Decimum tertium . Est progressio Arithmetica raterminorum, summa omnium est i , differentia Quaero quis sit primus terminust Pono : ergo vi
timus erit 3 3 - 1 v per I. regul. progress: Arithmet. Summa primi, dc ultimi 3 3 Η- 2ae , quae ducta in 6, semissem terminorum , facit s9 8 Φi r Μ, aequalia hisag 1: igitur facta reductione, &diuisione, erit terminus primus . , t
' Decimum quartum,. Quinq; vinae panni nigri , dc panni rubri valent IIo aureos, dc eodem precio Irvinae panni nigri, & Is rubri valent 238. au. Quid una vina panni nigri, quid una rubri valet λ Pono v- nam nigri Valore Iae ἰ quinque ergo Valent sae, ac proinde rubri valebunt IIO- Eodem modo I rvinae nigri valebunt Ii Μ, quindecim ribri 2 28 -IIae . , Si iam dicas, 7 vinae panni rubri Valent Iios ete, quid valent Is, reperies ass*-iobae; sed & valent 23 8 - I Iete. Sunt igitur a 31- - Iokre, & 238-IIete aequalia; sactaque reductione, kae,& ak: Diuisis igitur a=Peryae, proueniunt 8; atque tot aureos valet' una vina panni nigri, dc quinque, οἱ quibus ex ino subtractis , restant 7o: ergo cum vinae panes,rubri valeant' o aureos ς valebis una. 1 α Rursus cum II vinae panni nigri valeant' 88
149쪽
Primum . Dentur duo numeri in dupla proportione, quorum quadrata in seducta faciant 1816 . Pono primum I : erit ergo secundus aete, horum quadrata
proueniunt 1 641, quorum radix biquadrata, propter characterem qq, est Ii, numerus primus: eritigitur se
Secundum . Dentur duo numeri in tripla propo tione, quorum cubi coniuncti faciant 96o . Ponat primus Iu erit ergo alter I ae; horu cubiconiuncti faciunt 18Μ; sunt ergo 28ve, & 96o aequalia. Quare diuisis 96c4 per 28pe proueniunt 3 φ, cuius radix cinbica propter characterem ce) ess 7, numerus primus: erit ergo secundus 2I. Tertium . Inueniantur duo numeri, quorum dis rentia sit io, faciantq; numeri illi in seducti 41 9. Po-- natur primus Iae . erit igitur alter I k-IO: hi numeri in se ducti faciunt ιq-ro R. Sunt ergo haec Iq-IO , his ψs; aequalia: δc si ab utraque parte tollantur Ioae, erit & a q, his ψ19 - Ioete, aeq uale. Cum ergo hi tres numeri seruent proportionem Arithmeticam, eorumq, exponentes sint a.o. I. poterit ex illis radix quadrata e trahi. Diuisis igitur I9 - IOR, per I q, proueniunt 'i 4ys
150쪽
Lt B. Π.C A P. II i. A Ret. III. II 84 9 - Ioae: huius numeri radices sentis Nam semissis numeri radicum est 1, eius quadratum af, ad quod additus absolutus, propter signum Η- , facit 48 3 huius numeri radici quadratae Ia, si addatur, & subtrahatur semissis numeri radicum 1, prodeunt dicti numeri II & 27.
Ruartum . Sit numerus ro in duas partes diuidendus, hae lege, ut partes in seductae, gignant f I. Pono primam partem Iae: erit igitur altera χο-Iae, quae in in se ductae saciunt χοα- 1 q, aequalia his si I. Factae reductione , erunt haec Eoae - 9 I, huic I q aequalia.
Quibus ex numeris, cum eorum exponentes I. O. 2, seruent proportionem Arithmeticam, potest extrahi radix quadrata. Diuisis enim Eo v - 9 I per I q, proueniueZO -'I. Ex quo iam extrahitur ra/ix quadrata. Semissis numeri radicum est Io; ex cuius quadrato I Oosubtractus absolutus propter sgnum - , relinquit 93
cuius radix 3 addita, & subtracta semissi, exhibet partes Is & 7, in quas numerus a o diuidendus proponebatur.
Quintum. Quaeratur numerus, qui maior sit alio quodam numero 6. alio minor 8, faciantque illi duo numeri in se ducti 9 1 r. Sit numerus ille ire.: eigo δvnitatibus illo maior erit I ae Η- 6 ue minor vero 8 Unitatibus, erit Iae - 8. Hi numeri in se ducti, faciunt i q- 2 - 68, quae sunt aequalia his 9 1 2 ; & facta reductione, erit i q, his 9 8 oo - 2 ste aequale. Dimidium humeri radicum est ι, ad cuius quadretum I, absolutus additus propter sigmina --, facit 9 OI: ad huius vero numeri radicem quadratam 99, additum dimidium numeri radicum, facit roo, qui est numerus quaesitus:m ior