장음표시 사용
171쪽
a 3 3 DE NUMER. IRRATIONALIB. ELEM. con stantes duabus particulis,& signo Φ, binomia. C5- stantes duabus,si ligno - esidua, siue apolomae. Conantes vero tribus particulis, & signis quibuscumque, trinomia; constantes quatuor, quadrinomia. Disputari etiam hoc loco solet imine radices irrationales, numeri an non. Sed numeros esse,duo argume tatuaden '. Primum est, quod ex duobus irrationaliabus produci possit rationalis, ut exdqs in . qao. fit IC. Aliorum est, quod . , t inter duos numeros continuos, ut inter a & 3. infiniti cadunt fracti; ita inter eosdem infiniti cadere possint irrationales, cuiusmodi sunt . qs. ψq6. ψ' . . 88. k89.dqIO. tqὲ 1.ψqI 2.&c. C A P V T Ι. In hoc cap. primo tradam elementa simplicium ,: se- eundo composirorum, & diminutorum, tertio uniue
Simplices irrationales, aut sunt comensurabiles,aut incommensurabiles. Item, aut habent eosdem, aut di- uersias characteres. si habent diuersos ad eosdem ante ioperationem reducendi sunt, hoc qui sequitur, modo. t Sampisces smatronales diuersos habentes 3 6 8 ehaeactokes, adeosrim reducere. ιν - Z N Gliscentur numeraseupra, cha racteres iu- afra. m hic apparee: deinde per crueem saetis mult/plicatio talis, qualem character indicat. Postremo ν-
172쪽
L 13. III. CAp. I. ART. I. I 4o rii producto uters character ρringatur. Exemplum. Sine
ad eosdem characteres reducendi hι duo numera dαι , Ndqδ. Collocationefacta, multiplicetur o quadrate propter characterem ψq per crucem ei respodentem: δ cubice propter eandem causam, ta producentur a s 6, cs s r a,quib- ρυ- atur mers character hoc modo dqα ρι a --dclieta 1 6. His expositis ad elementa reuertimur. Acq rimo quide, si habeant diuersos characteres reuocetur ad eolde, ac tunc si fuerint incomensurabiles addantur per Η-,subtrahantur per-. Quamquam non sit necesse ad eosdeillos characteres reducere, possunt. n. non reducti addI.
Visi ψq8 ad Qeet r. addenda sint, fient 4q8 re I 1. Si ψq8 ex .cei a subtrahenda, restabunt 2 - qq. Si habeant eosdem characteres, & incomensurabiles sint,adduntur quoq; perin, subtrahuntur per . Ut si dqI r,ad 4q i ρ, addenda sint, fient i qI ,- -ήq i s. si ψq II eKψqI 3 subtrahenda restabunt qi 3 uq II. Possunt triradices incomensurabiles quadrari per 4. secundi Eucli. addi. Si nimiru ad sumam quadratorum, addatur duplis λeius,quod ex ipsis gignitur. Vis 4q o &, qt 3 addenda snt. Summa quaὸratorvestr4. Nam quadratum irrationaliu, aut cubus,&c. habetur si ab ipsis character quadraticus, aut cubicus 3cc. tollatur, ita fit,ut horum durat tauqia qrs quadrata sint i i & 1 3, summa viriu': 14 Id quod ex ipsis fit, dq i 3, eius duplu dq372: ergo sum. ma ψq α --dque 2.9 Subita cito fit, si ex summa quadratorum , subtrahatur duplum eius, quod ex ipsis nascitur, hoc modo. ψq s 24'' dqs D.9Si sint c5mensurabiles, hoc est, si diuisi per aliquam
communem mensuram, quotos reddant quadratOS,cu- '
173쪽
x43 DE NUMER. IRRATIONALIB. ELEM. adduntur, summa ad quadratum. cubum,biquadratum, dic. ducitur: quadratum, cubus, biquadratum,&c. duincitur in communem mensuram, & habetur summa. In subtractione radix quoti minoris subtrahitur ex radice maioris, residuum ducitur ad quadratum, cubum &c. Exemplum. Sint addenda dqa ,&dq12. Diuisa per 3, communem mensuram, reddunt quotos quadratos
, quorum radices Sc a iunctae iaciunt 1, huius quadratum as ductum in 3 producit summam . Si dq i α, ex 4qa subtrahenda sint,subtrahitur radix minor E, ex maiore restat, I cuius quadratum I, ductum in 3, facit ψq 3, residuum . Secundum exemplum. Sint hi tres numeri ψq Eo, '.q s,dq8o addendi: diuisi per 1 reddunt quotos quadratos s, I 6: quorum radices 2, 4 iunctae faciunt'. huius quadratum 81, ductum in I, producit ψ q O s,
Tertium exemplum . Sint hi dee Io 8, dpe 3 2 addemdi. Diui si per reddunt quotos cubicos 27, 8: summa radicum est 1, cuius cubus os ductus in producit .cesOO summam . Sintian de Io8, ex pes subtrahenda. Diuisa per ψ, reddunt 27, Ias, quotos cubiacos, quorum radices sunt 3 ,εc si, subtracta illa ex hac,re. linquit a. cuius cubus 8 ductus in , producit ψ q 3 α.
174쪽
Primo, quando multiplicantes eosdem habent characteres, ducuntur numeri in se, retento communi ch ractere. Vt si , q1o ducenda sint in dq i 8, producuntur. q36o. Si die Iain 8 . producuntur 2 I si hoc est, ε. quia Ei 6 est numerus cubicus, & eius radix 6. i i. Secundo. Si rationalis in irrationalem sit ducendus, reducendus est prius rationalis ad speciem irrationali ut ad quadratum, cubum, biquadratum &c. prout irrationalis habuerit characterem dq aut dre, aut qq, &c. Vt si ducenda sint 4 q 3 1 in 8 , ducenda prius sunt 8 ad quadratum, ac deinde , q3 2 in dq64 ducenda, ut producantur qao 8. Si 6 in dreia, ducenda sunt 6 adcubum doe 2 i 6. Deinde dee I 2 in ψαM6 ducenda, v producantur dre 2D2.
Eodem modo si 8 diuidenda sint per ψq 4, ducenda
sunt 8 ad quadratum, ac deinde 4q64 per ψq diuiden da, ut proueniant m I S, hoc est, vi atem si diuiden da sint raper ψq8, diuidantur Hr 4, per ψq8, prouς-niant ψq18. Tertio. Si multiplicantes . vel diuidendus, de diuisor habeant diuersos characteres. ad eosdem ante operationem reuocandi sunt . Sint . te i 6 per ψ q 8 multiplicandi. Reducti ad eosdem characteres, faciunt ii q pe, . K 3 si
175쪽
Io 2. Sit quoque t ze8ooo per ψqr6 choc est per 4 diuidendus. Reducti ad eosdem characteres, faciunt', qte 6 oo m. qce o 96. Diuiso illo per hunc, prodeunt dque I 1 6 a s, cuius radix quadrata est ras; huius cubica 1. Diuisis ergo gooo per ψqI 6, prou niunt s. Quarto. Quando numerus quadrate, cubice, biquadrate,&c. multiplicatur, tollitur character, & res est perseeta. Vt si dq8 sit quadrandus, fiunt 8: si dre racubice multiplicandus, fiunt ra: s 4qq18 biquadrate, fiunt i 8, &c. Simili modo radix quadrata numeri sest . q8. Radix cubica numeri Ia, e re in . Radix bis quadrata numeri 8, est 4q I 8. ANNOTATIO.
INTER DUOS NUM Gret datos, quotcums medios pro portionales inuenire
Primo, diuidatur maior datus per minorem . Secuηdo,progresogeometrica ab unitate incipiens instituatur, terminos habens duobus amplius , quam quomunta med0 ιnueniendi, cuius progressionu denominatorsi quatin
Tertio, ex terminis inuentis extrahantur radices. Quadrata quidem,si unus duntaxat medius sit anuento , cuin
bica si duo siquaurata si tre3 3 seupersolida prima, si , γα
uuarto , radicet inuenis ducantur in mιnorem num ram datum . Ex emin
176쪽
stionales inueniendi. Diuisis Io δ per I, proueniunt a 3 6. Pramm ergo progressionis terminin est, 1 . Secundus a s ευνtivi 6s X s 6 , quartus δε IIIa os quintu ast st 72θε. horum terminorum radιces quadratae sunt . . a 6. O .as s. qua dum in minorem numerum datum I. roducunt s. ra δ. pya. γε i. -tergo hi tres termini e a. o . esta, anter extremos dato; s ta 7 6 t medij
. i. liud Mempiam ς Sint ister o F ra quatuor medij inuenienus. D uisis ra per , proueniunt s. Progressio sex Forminorum haec ea ι. s. st . a Z δ I. a 3. Horum termι' norum radices f.per otidiprims sunt. r. sis. siq-ψsia I. .fl r. s. V Ma ductae in datum nummrum minorem roducat . . sis or a. dq ργι 6. si a 6 8. si asty .l a. Debent aurem os .dsist, tac. non rn : seed in eius supersolidum primum, uimarum in ι oa duos, ut ex dictis mansfestum e f. uuando inter duos datos unu/ tantum medι- proportionatis inueniendis eris, ducuntur dati in se. exproducto radix quadrata extrahitur. ARTI CvLVs III. . i
si, quae de Additione & subtractione cossicorum rationalium circa signa m &-. Item de additione Scsubtractione simplicium irrationalium, dicta sunt, probe intelligantur, nulla hic difficultas erit . Nam & hie regulae illae locum habenD .
177쪽
s4s DE NON ER. IRRATIONALIB. ΕLEM. Prima. Eadem signa idemsignum ponunt, nisi insubtrassone, quando numerιρ postereponuntur, tunc enimμ trahitur fuerior μι inferiore, ct ex ψ t-; Uex - β, - -.. Secunda. D uersasigna mutant oeciem operationis, Sin additione Ronstur signum maioris numera , in Abira tione vero superiorM, siue maror usit, siue minor, siue aqualis.
Exemplum Additionis, In hoc φxemplo duo priores
ciem operationis, hoc est pro Additione fit sinit Elio. Duo quarti cum sint diuersorum nominum, addi non possunt nisi per signum*; sed adduntur simul quartus superioris, & vltimus inferioris ordinis, quod uterque sit rationalis. Item quartus inserioris . & vltimus sup rioris ordinis, quod eosdem characteres gerarim, Iam vero, quia 4 qi62&dq72 sunt eiusdem generis .gere, que qr 62 signum Φ : dq72 vero signum- , fir , ut si hie ex illo subtrahatur restent 4q18. Irem , quia lo ge rit signum-I I s vero Φ, fit, vis Io ex Istollantur,supersint 6. Summa ergo omnium est ψqI8lgidi 3. Exemplum subtractionis. Duo secundi mutant speciem operationis.
178쪽
quartoinferioris ordinis, Sc mutatur Φ in -, iuxta prumam regulam. Tertius inferioris subtrahitur a quan. t superioris ordinis, & restant dq 3. subtrahitur dentique ritimus superioris ab ultimo inferioris, & mutatur in in -, iuxta primam regulai ,. Quia vero δ q 8, de .qi 28, seriunt Vqaoo; Et - 4q3, atque --dqI 2, faci- init. q2I , it, Vt restent 4qZoo - ψq27 - λ.
ne, s diuisione compositorum,s diminutorum.
Multiplicatio irrationalium compositorum,&diminutorum, fit per omnia, sicut simplicium , dummodo circa signa regula de multiplicatione costicorum rati natium tradita, seruetur, quae sic habet Eadem sigηa ponunt Φ, Diuersa - . Addo Unicum e emplum. Sint 18 Φ dqs , in 6-ήq24 ducenda. D co. s in i 8, & produco Io8. Secundo, duco 6 in . q s
179쪽
habent characteres, eos ante operationem ad eosdem esse reuocandos 4 vr' de multiplicatione simplicium
diximus. Multiplicatio haec desumpta est ex 4. see.
. De diuisione multa dici possent: sed paucis me expedio. Aut enim diuisor est simplex. aut compositus. Si simplex, per illum singulae diuidendi particulae sunt diuidendae, siquidem eosdem cum diuisore habeant characteres. Si diuersos, ad eosdem ante operationem sunt reuocandae. Exemplum . Sint 4q 8- q 1o per. q diuidenda. Diuisis dy 8 per tque prouenuintήqIa. Diuisis vero dqχoperdq , proueniunt ψqs. Si verodq2ΟΟ- .ce o, per a sint diuidenda, prouenient dqs. - ψα Io. Diuisis enim dq2oo per a , hoc est per ψῆ proueniunt 4 q s o; diuisis vero dα8o per c hoc est,per
characteres, ad eosdem reducantur, ac deinde qce Is 384, per qcesa a dividantur, dc prouenient qα32. Si diuisor sit compositus, sintque particulae radices quadratae, aut biquadratae, reducendus est diuisor ad simplicem, hoc modo. Signum posterioris particulae in mutetur in - &-, in Φ; atque in diuisorem hoc modo mutarum, ducatuetam diuidendus, quam diuisor, ut producantur noui, diuidendus, Ac diuisor.
180쪽
dueetur hic nouus diuidendus d q 648oo - dq288oo sue 4 qui1 oo: & hic nouus diuisor io. Diuis sergo .q αoo per Io, siue per dqim, proueniunt dq72. Si diuisor habeat tres particulas quadratas, aut bi- quadratas, mutetur particulae ultimae signum Φ in 3, - in Φ, inque diuisorem hoc modo mutatum , ducatur tam diuidendus. quam diuisor. Quo facto, si diuisor fuerit simplex, bene quidem i. Si compositus a lia reductione opus erire. Exemplum . Sint Iao diuidenda per dque OΦdq3 α-dqI8, ducantur, tam 1 to, quam q s o - ψq 3 a q18, in ψqsO-uq 2- 'q I 8, dc producentur 4qIZOOmo φήq46o8oo - 4q2ssa , hoc est, ψq Io 3 68GO, nouus diuidendus. & I i, nouus diuisor. Diuisis ergo .qI o 3 68oo per I , hoc est, per ψqὶ 73 6, pro
Pro radicibus cubicis, supersolidis, &alijs, vide Al-tebram Clauii cap. 23. .
Hic priori loco de multiplicatione, ili diuisione agendum est. Multiplicaturus ergo numerum quemcunque uniuersalem irrationalem in alium, duc ante operationem utrumq; multiplicantem ad quadratum 4
Exemplum. Volo multiplicare ψq si r*dqi hoc ests, P er 7. Quadratu multiplicandi est 1 iΦνq i 6 tollitur