장음표시 사용
181쪽
r4 9 Da NuM1RIs IRRATIONALIB. ELEM. enim duntaxat qui est ante parenthesin character multiplicantis 9. Ductis ergo II qi 6, in 49, proueniunt I a 29-oq 3 8 I6, hoc est, 3 1 : nam radix quadrata posterioris particulae 19 6 addita priori, efficit iras, cuius radix est Quando radix quadrata in suum residuum ducitur: ita agito. Connecte illa signo idq; duplici positu. D inde utriusque quadratum simul iunge, cum eorum r elangulo bis sumpto per .sec. Eucl. Exemplum. Sin diuq IoΦ.q2 θ in v IO--q24 ducenda. Connecta Illa signo Φ, & bis pone, ut in formula vides: . . . Deinde quadra mu q si o - υqi J - uq io 'pq ac tramq; particulam, ' cio φυqας- .q ao--Mqa4 hoc est . tolle cha. O - ψ q 24 Φ Io - υq 24 raeterem ante pare thesin politum,
Nam particularum quadrata sunt o q io Φ qt γ
cuius duplum. est 3o : Ergo quod ex multiplicatione ψq loq24 in P qcio - χέ fit. est χοφ Qq o . Duplicaui autem γε, propter dupli
182쪽
LIB. III. C Ap. I. ART. V. ET VI. Iso In diuisone reducitur, tam diuisor, quam diuidendust ad quadratum, postea fit diuiso, ut supra. Sint enim . iv q 2Φ qI62 diuidenda per 3, quadrata sunt r- r16α, & s. Diuisis ergo r per 9, proueniunt 8 : diui4s vero '. qI 62, per o 881 , proueniunt ψ qa: ergo quotus est o q 8Φ qt. Additio . & subtractio, fiunt per signa φ sc -; nam aliter fieri commode non possunt, nisi in binomiis. Mresiduis, ubi per omnia fiunt, ut de multiplicarione bunomiorum, & residuorum, iam iam diximus. Nam si . q Io-Foqχε & Qq Io- Qq 249 addenda sint, fient per multiplicationem ιο- . 83 Ο , cuius radix o q aec q3o , est eorum summa. Si vero vq iv - - qa ex ψq Io εὐ qa P sint subtranem da, restant Zo - ω q3O , cuius radia k qcλO uq 3Qεὶ
ANNOTATIO DE FRACTIS. Defractis hie nihiloccurrit praeripiendum, sic ut nec in superioribu , nisi quod eorum redActio, Additio, Subtractio, taci per omnιa flanti, ut de absoluiti rationalibus dictum est, dammodo habeatur ratio signorum, di characterum.
Binomium est numerus rationalis constans duobus nominibus d potentia tantum comensurabilibus. Ab Euclide in io element. Sex duntaxat binomiorum, Ac resi-
183쪽
Is I soLvTIO PRO os ITI ONO, residuorum species recensentur. Tres priores si une . quando quadratum maioris nominis ad excessum supra quadratum minoris, est, ut numerus quadratus ad numerum quadratum . Tres posteriores, quando qua dratum maioris nominis , ad dictum excessum, non est, ut numerus quadratus ad numerum quadratum. Priis mum binomium eis, quando maius nomen est longitudine, minus potentia rationale. Secundum, quando maius est potentia, minus longi-.tudine rationale. Tertium, quando utrumque potentia est rationale.
Idem de quarto, quinto, & sexto intellige, ure hic
DE RADICUM EX AEctione ex binomist, s resi V. .
Primo. Ex disserentia quadratorum Uristis nominis i extrahe radicem quadrata . Secu σ
184쪽
Li a. III. CAP. II. ART. VII. I s a. Secundo. Radicem snuentam, tum maiori nomini adde, tam ab illo seubtrahe. Tertio. Radicem quadratam semissu illius Fumma coniunge e m radice quadrata sem stim relicti per signumias herat binomium. Disiungester- , urit apotome. Sit radix extrahenda ex hoc bii Omio I φυqI8O. Quadrata particularum sunt I96,& I8o, disterentia Im differentiae radix , quae addita 8c subtracta maiori nomini conflat I 8; relinquit Io. Horum semisses sunt ρ, &1; semissium horum radices 3. 8c ψ q s. Quibus signo in. connexis, resultat radix quaesita φ- - , q s quam si duxeris in se quadrate redibit. dictu binomium I ΦVqI8o. Si fuisset apotome haec I - - qi 8o, debuissent partu eulae sic diti ungi, 3 PqJε' Demonstratio pendet ex . pro p.sec. Eucl.
In hoc cap. exempla aliquor numerorum irrationa. tium absolutorum per propositiones proponemus. PROPOSITIO I.
Sit numerus 8 hoc modo secadus. Coniunge quadrata totius numeri 8,& semissis 4; nepe 6 , dc 16 efficiessso. ex cuius radice , q8o, si subtraxeris semissem. habebis segmentum maius . q8o - 4; hoc segmentu subtractu ex toto numero, linquit segmentu minus Ο - υq8o. Hanc sectione veram esse,ollenditur tum ex I i sec. Euclid. tum per additione partium; tum perduictu ma
185쪽
as 3 SOLVTro PRopos ITI Num segmentorum conflatur numerus totus 8; & tam ex ductu maioris in se;quam ex duetia minoris in totum, pro ducitur hic numerus 96-ψqsI2o, qui est residuum primum, eius radix est Qq Ο - 4. c. . .
DATA DIAMETRO CIMculi latera hexagoni, tetragoni, tri-- goni, pentagoni, octogoni,s de-
Sit diametrus ab I 2 Pe- in E mdum: erit igitur semidiameter l
Per 47. primi. Nam eius qua- dratum s, aequale est quadratis ipsarum di. te; quarum haec est 6; illa 3 pedum. Abscindatur de , ipsi d eaequalis, ex qua si subtrahatur di, erit te υq s ruae est latus decagoni per '. decimi tertii, cum be in iit secta proportionaliter per II. sec. Rursus quia quadratum ipsius c e aequale est quadratis ipsarum c iste per 47. primi; erit ce, 9O - ψqI6to quae est latus pentagoni per Io. decimi rerrij. Latus tetragoni ac sa-cile per I primi reperitur, est enim Latus de niqu
186쪽
Lr a. III. C A P. II. Is 4nique trigoni cs, erit per Iz. decimi tertij eqIo8.est enim potentia triplum semidiametri bi per Ia duodee. Latus octogoni ak sic inuenitur. Cum ac sit . q a, erit al-I8, cui cum aequalis sit i l, relinquet ii ex iksubtracta kl, 6 - ψ qi 8. Notis ergo a l,l k, erit a M . q 71 - -q2102 latus octogoni. -
ditan usi duobus lateri,us, latur
. ait triangulum ab c rectangulum.
exit igitur per ετ primi, ac Fq23 2. Et qui/ per Ai primi parallelogramismum c d duplum est trianguli ac b.
fix autem area parallelogrammi ex durictu laterum bc, ca in se: ergo area trianguli nascetur ex duetii lateris a cin semissem b c; vel contra, semissis lateris b c est y pedum : ductis ergos, hoc est o q8s in o qast, proueniearea trianguli ψq82o I 2. Sit secundo latus c b, o qui Qia o q 26 erunt ergo eoru quadrata 2I6, 26: ergo quadratum lateris ah, erit a o: ergo latus ipsum V qt o. Et quia ex ductu lateris a e in semissem lateris c b, vel contra, producitur area trianguli, Sc est semissis lateris
187쪽
aquilateri, vel 1 oscetis omnibus
Sint trianguli aequilateri a b c omnia latera ro pedum. Diuisa ergo basi ab in d bifariam, erit per 4 I. primi parallelogrammum d e, aequale tria gulo a b c : area autem parallelograminmi creatur ex ductu lateris ad in latus ..dc: ergo 3carea trianguli ab c. In triangulo ad c rein Elangulo, latera ad , ac sunt nota, hoc Io, illud sp dum : erit igitur per 47 primi perpendiculum , d c, Qq s , quo duisto in latus ad , proueniunt ψqI871,area trianguli ab c. Si hasis a b statuatur 4q8o, erit area trianguli ab c dqIsoo. Nam semissis balis ψqχodructa in ψq 1 de producit ψqIFOO. PRO PsITI . U.
Doni duobus lateribus. Una cum linea
in directum basi ducta, in quam radit perpendiculum
ex angulo basiopposito demissum, aream
188쪽
sine trianguli ab c scaleni latera
ac ab I 2 pedum: exterior linea b d i . Sunt igitur in triangulo rectangulo a d c duo latera a c, a d no
ra; ac quidem 3o; ad vero 26 pedum.
Quare cd erit Qq a 24 per ψ . primi; bc veris 4q ro. Et quia per i primi , triangulum ab c aequale est parallelogrammo sub d c, &semisse ipsius ab contento, si ducatur dc in s. hoc est, dq22 ii q 6, prouenien alea trianguli ab c. PRO Pos ITIO UI. . r
corporum regularium eidem sphara inscriptorum, data sthara dia
metro inuemm . Ponatur diametrus ab so partium , quae diuidatur in c bifariam : indita, ves ad si tertia; in e, vesa e sit quinta pars diametri. Ductis perpendicularibus sc , gd he , dc iunctis 'bs, b g, blii as, ag, ah, di- aidantur ah, ag proportionaliter in os & i per i i sec. Ac maius segmentum ipsius ah transscratur ex li in k, ducta ali. Quo facto, erit bglatus tetrahedri, bs octahedri; ag cubi; akicosa hedri, a i do decahedri. Posita nainq; diametro 3 o partissinritas, cu inter ad, db st media fi portionalis, , qtoobL 1 bs la- ,
189쪽
INSTITUTIONUM ARITHMETICA RVM.
NVmeri irrationales cossici duplici notantur charactere, hoc modos. τqEoae, quorum prior significat radicem quadratam ex Eo, secundus χο radices; ipse vero numerus sc pronunciatur. Radix quadrata viginti radicum . Possunt numeriirrationales cossici, Iro ratione valoris unius radicis, interdum esse rationa- es. Ut si huius. q2oae, una radix valeret 1, esset ipse rationalis, quod quinquIes 2o faciant IOo, qui numerus quadratus est, & pro radice habet Io. Si vero una radix valeret irrationalis esset, quoniam o q8Oete, qui ex 2o dc creatur, non est numerus quadratus. De his numeris duo breuiter pertractabo.
190쪽
l Componitur horum numerorumcalculus ex triplici ealcula, nimirum ex calculo rationalium cossieorum,S: absolutiorum, atque ex irrationalium absolutorum . Si enim incommensurabiles fuerint fit additio per*έ subtractio per -. Si commensuriniles Ac eosdem characteres cossicos habuerint adduniar & subtrahuntur, ut commensurabiles irrationales abs i. Ut si im 8 remdiuq 18 re addantur, fient Pq s o . Si 48ae sub tr hantur ex o q s o, rςstant . q 8 ω di Multiplicatio. & diuisio fit etiam,vt in superioribus, si eosdem habeant characteres radicales. Si diuersos.
ante operationem ad eosdem reuocantur, ure supra
3 1ae, hoc est 6ae. Si characteres radicales sint diuersi redueuntur prius ad eosdem i. Ut si sint . q8 ae per d Uei 6ae multipliacanda, reducantur hoc modo. Numeri cum characteribus cossicis ponuntur supra , chara- Δ eferes radicales infra. Deinde sit ) .' . remultiplicatio per crucem, iu- seifc,q- Ces I 2cexta characteres per crucem re