장음표시 사용
71쪽
mero inueniendo numerum quemcunque, eumque iuri proe ede iuxta quaestionis sententiam; quisi quaestio ni satis secerit, erit ille numerus quaesitus. Si non satis secerit,pon errorem infra positionem cum litera in vel
Mi, prout per excessum, vel sectum errarum fuerit .m Secundo pone alium numerum, cum quo , Ut cum priore, procede. errore cum litera P, vel M, infra postionem collocato. - - p 3Terei si uterq; error habuerit P, vel M , quae literaesgnificanτplim. & minus) subtrahe minorem ex maiore, residoum erit diuisor. si alter habuerit P, alter Μ, addet errores, eritque utriusque summa diuisor. i , I, Quarto, duc per crucem primam positiqneminera rorem secundum; secundam in morem primum; pr ductum minus tolle ex maiore, si uterque error habu in II vel M si unus P, alier M, adde producta. - ' Quinto. Residuum, aut summam diuide per diuis , rem ante repertum, Ac erit', quod prouemsi numerus
occultus, qui quaeritur. Ποῦ ' ......
Primum exemplum. nuo habent pecunias, si pis. tius dat secundo aut habet secundus tripi plus primo : si vero secundus datprimo 3 , habet Utem, aequam lem summam, quaero quantum quilibet habeare Pono pro peci vaprimi numertim que- r' arcunque . dummodo 29 - 31 - maior sit quam 7, uri Error M Q 8M. Error secundo possit dare 7. Primus Diuisor. Secundus Ponamus igitur primum habere ip aureos, ex quibus si dederit secundo 7, retinebit ipse Ia, cuius triplum est 6, ex quos tol-
72쪽
numerus cum minor sidnumero 26, errauimus per de-
Dctpm, hoc numero Α, qui est error primus. Ponatur secundo primus habere ii au. qui ubi secundo dederire p. retinebit ipse I ; ex cuius triplo 42, si tollo , r stant f s. pecunia fecundi. Qui si primo dederit 3, r tinebit ipse 3 1, & habebit primus 24, qui tumerus cum sit minor, quam 3 2, i rum per desectu ra hoc numero δὴ erratum est. Subtrahe minorem errorem ex maiore, & restabit Diuisor Duc deinde per crucem, tam secundum emorem in 19, prim- posi- . tionem s quani , primum Mem sin a i , secundam positionem, Sc produceHI s A, o 8 . Subtractis 8 ex Isa, restant 68. quibH mr 4 diuisis, proueniunta , pecussia primi. Rursus s.ducas, ram 8 io 29 , quam 'in 3s, produees λι λ D, subtractisque I o Mea xa. Ac res duo 9 a per Ddiuiso, pr.uenmut M, p. cunia secundi. Nam si primus, qui habet iri dubiacui, do, qui habet: a 3, septem bebit secundus 3o, pri- .mus Io. Si vero secundus oderit primo 3, habebiwVterq, o: quaestio ergo dic solui est. οὐ
Sec dum. Dividatur numerus 1 o in du*s parces, ut si minor ducatur in I, maior in 3, pro crisant
aequalia. Ponatur minorsos erit ergo maior I 8
si ille in , hicin 3 ducatur, producentur 6 Io, dco, erratum ergo est per desectum hoc numero
73쪽
natur secundo mistis' 8o, erit agimr maIor iso tis ille in hic in 3 ducaturi producentur 48otrerratum igitur est per excessum,hoc numero 8o. Summa errorum acio', es diuiser. si iam per crucem tam Iab in 8 ; quam. ducanturi producentues 6oo, dc 48oo; quorum summa i4 oo per Diuisoremaoo diuisa, reddit a, partem primam, & minore ; quaox a o stistraeta, restat maior I 68: nam tam ra. ux οῦ
quam i68 in a ducta, producunt eo . . ,
ANNOTAT go i , IGemma Frisius h ne retula extendit ad radicum extraia; multis exempla allat, non ducimus opera prerium Alura de ista dicere. Nam siproponatur talis quaestio. Dentur duonumesti in duplaproportione, ut 3n Jeducti procireent ρ δ,seuccedit regula G es vero talis proponatur. Dentur duo numeri, quorum ene sis in , ut in se dacti producant r 6 s , fastit. Caterum similium qu .sionum solutione etantur ex art. g. cap. I. lib. a. -
Praxin Italicam, Natia Compendia in regulis hactenus traditis con*lto omisi,quod Uu melim,qua regulis di tunmusertudine enim regularum obruimur.-υμ disicimus. tenacus e serent. uuis .n. non videt, si vel mediocriter in calculo μ exercitatus,posse in regula proportioni pro magnis homogeneoru terminis,minores eiusdeproportioni νb tuis 'pro I a Ff 6, hos I,s:pro a artar II X, hoν, P, Z: S.m tali nonatur quaest. Aureis a a s emo P I vruvi vini quatiuemo aurias Is sy totide dimas inuenio, quot inuenire diacerem, aureo I,emo δ I vrna' quot emo aurei Hrobis
74쪽
In ho cap primo agam fle numero ab iure tonsi derato. Secundo, de numero rδlato. Tertio, denumero geometricas fiSuras repraesentant .
Numeri absolute considerni. Primo diuidsntur in Pares, & impares. Parea sunt, quoi binarius numerar;
Species parium duae sunm Sunt enit . . aut pariter pares, aut pariter impares saliter par est, quem numerus par per parem metitur, cuiusmodi est 3. quem a per metitur. Pariter impar est, quem par per imp rem metitur, Ut est numerus Io, quem a per 3 metitur. . Impariter impar non e1Ι species paris, sed imparis, cuiusmodi est numerus is, quem impar per imparem metitur, ut η per s. Proprietates parium sedc imparium sunU. Prima paradditus pari, secit parem. Secunda. Par additus impari, iacit imparem. Tertia. Impar additus impari,faci parem. Qua ria. Par Rh ractus a pari, relinquit parer Qui
75쪽
Li3. I. GAM ILII. ART. I. 34 Quinta. Par subtractvsub impari, relinquit imparem b.
Sexta. Impar subtractus ab impari, relinqu1t parem. Primus numerus est, quem sola unitas metitur, cuiusmodi sunt 3. s. . t i. 4 3. c. Primi inter se stini ι quos sola unitas metitur, cuiuLmodi sunt 3 & 4, 8 & 9, Io 6c i 3 δcc.
Numerus compositus est, quem aliquis numerus ine-titur; Cuiusmodi sunt . 6. 8. IO, Id. &c. compqsiti inter se sunt, quos aliquis numerus, qui communis eorum mensura dicitur, metitur.
Cuiusmodi sunt & 8, & χο&c. duos priores metiuntur a & 4. duos sequentes a. 3 des; duos tertios 2. Duos postremos a, & . Numerus persectus est, qui suis partibus est aequalis cuiusmodi sunt 28. -96. Abundans est, qui suis partibus est maior. Diminutus, qui suis partibus est minor. Intelligo per parte , partes aliquotas 3 seu quotos illorum numer*rum, per quoa diuidi possundi: Vt 6 diuidi potest per a 3 &76, quorum quoti Aeti, r. faciunt 6. Et 18 diuidi
potest per 2. . . 14. 2 R; quorum quoti I 4. I. 6. a. 4. iaciunt 28. Numerum Ia diuidunt 2.3. q. 6. IE; quorum quoti f. . 3 . 2. I. iaciunt 16, pluS quam Ιχ. Numerum Io diuidunt 2. 6c y ἔ quorum quoti s dc 2 f ciunt 7, minus quam io. Vnde 6 6c 28 sunt num ri persecti. I 2 abundans. : Io diminutus. Persecti inuenititur ex progressione geometrica duorum parium, Ut ex a & 4. ex Α & 8, ex 16 dc64 de I 28 3 ex a s 6 8c s I 2; ex Ioa & 2o48 &s. Si nimirum ex maiore tollatur unitas, residuum ducit-
76쪽
i rimes parti inter absolutos, non inter relato epono, quod eorum desinitiones absoluta ta absolutorum, non,
Hue pertinent proportiones, proportionalitates, Manedieta tes, siue progressiones, de quibus singulis com pendio est agendum ..
V Proportio triplex est, aequalitatis, maioris inaequali' latis. & minoris inaequalitatis. AEqualitatis est, quandor aequalis numerus ad aequalem refertur, ut 4 ad ψ. Maioris inaequalitatis est; quando maior numerus ad minorem ; Minoris, quando minor ad maiore refertur. Vtriusq; quinq; sunt species. Prima maloxii inaequali etatis dicitur Multiplex. Secunda superparticularis. Te tia superpartiens. Quarta Multiplex superparticularis. quinta Multiplex superpartiens. - Multiplex est, quando maior minorem aliquoties cin tinet. Vt bis, ter, quater decim, centies,&c. Cuiusna OAὸ di cernitur inter & et , inter ; inter χo dc ystinter Ioo 3c Io dcc. quarum ptima dicitur dupla , set cunda tripla, tertia quadrupla, quarta de cypla, c. PSuperparticularis est, quando maior minorem semel
77쪽
eontinet, & insuper unam eius partem: cuiusmodi pro. portio est inter ι 6c χ: inter 4 Sc 3 ; inter 9 dc 8. Prima dicitur sesquialtera; secuda sesquitertia: Tertia secquiquarta et quarta sesqui octaua. Est proportio super.
particularis inter omnes numeros unitate sese excedentes, dc inter eorum aeque multiplices. Vt inter is :inter 363ch: inter 6O, Dicuntur 3 tr. 3 3, ipsorum ra& Ii aeque multiplices, cum creentur ex ductu ipsorum 1a,& ii, in 3: Similiter εο, dc 16 fiunt exrs & i , in . Superpartiens est quando maior minorem semel,& insuper aliquot eius partes continet: C iusmodi proportio est inter omnes numeros inter leprimos, modo eorti excessus sit plus quam unitas. Item Multiplex superparticularis,composita ex multiplics.&superparticulari est, quando maior minorem aliquoties,& insuper unam eius partem continet: Cuiusmodi
est inter Ac 1: inter 19 & 6; inter 29 6c 7: prima dicitur dupla sesquialtera : Secunda tripla sesquisexta: Tetitia quadrupla sesqui septima. Multiplex superpartiens, ex multiplici,& superpartiLuc6posita est,qfi maior minore aliquoties, i Insuper aliquot eius partes continet; cuiusmodi est inter 3 6c : inter i &,prima dici rur quadrupla superseptupartiens sextas: secunda dupla superquin tu partiens quartas. Proportio minoris inaequalitatis est qn minor cu maiore comparatur. Easdem quas prior habet species, sed
praefigitur illis particula s Sub ut submultiplex, sub - ,
- super inter eornm aeque multiplices: Cuiusmodi est inteusin, ocs: inter I & Io: inter Er&.rr: inter 8 Ima & secunda dicitur superquintupartaetia Ac quarta superseptemdecu partiens decim
78쪽
- dicitur esse proportio subdupla; inter a dc 3 subsesquialtera, inter 3 & Ia sub quadrupla &c. ARTICVLvs III.
Proportionum Compositio fit per Additionem,si satractionem, multiplicationem, & diuisionem, quam Cla. in fila lib. 9. Euclid. explicat. Cum eniim addit proportionem proportioni, addit inter se denominato.
res proportionis. Vt si addendae sint dupla & tripla. fieruinxupla, quod ex additione denominatorum a &ant Si addenda sit dupla sesquioctaua ad tripi in sesquiquaitam, fiet 1l, scalicet quintupla superoctu-
partiens tertias. Nam denominator duplae sesquioctauae est 2 L, triplae Icsquiquartae quae inuicem additae, iaciunt ζCum proportio proportioni sub trahit ur, denomina torminor ex maiore subtrahitur, ut si dupla ex sextupla sit subtrahe da restat quadrupla: si sesquialtera ex tripla. restat se mallera : nam denominator sesquialterae est
triplae a, siue ἔ: subtractis autem l ex s. restant bsue I . In multiplicatione proportioni , in se ducuntur denominatores proportionis, ut si tripla sit duce mda in quadruplam, gignetur duodecupla. Si tripla su- Perseptupartiens tertias in duplam tesquiquartam, hoc est, 3ν, in a , producetur 7b, hoc est, septupla s perseptupartiens quintas. - Eodem
79쪽
Eodem modo in diuisione diuiditur maior propo . tionis denominator per minorem is Ut si diuidenda sit decupla per duplam,proueniet quintupla: si quadrupla superquadrupartiens tertias per sesquialteram, hoc est, . per I s proueniet tripla sesquisexta, hoc est L. Vides ergo eodem modo proportionum Multiplicationemn Diuisionem seri,quo numerorum fractorum .
Authores plerique Analogiam vocant medietatem. Numerantur analogiae plures; sed ex illis tres sunt praecipuae, Arithmetica, Geometrica,& Musica,quas etiam progressiones appellamus. De singulis pauca dicenda iunct
Arithmetica progressio est series numerorum,in qua tres,aut plures numeri per eandem differentiam progrediuntur, ut hic est videre. 1. a. 3 44. F. 6. 7. 8, 9. 1 o. II. I 2. I 3. I 4. I s. IS. I I 8. 1 9. 2 o. 2 I. 2 2. 2 3. 2η. 3cc. a. 4. 6. 8. I O. I 2. I 4. I 6. I 8. 2 O. 2 2. 24. 26.
80쪽
Prima progreditur per unitate, semper enim sequens numerus praecesdentem unitate superar . Secunda, de , tertia per a. Quarta per s. Omnium summa facillimε habetur hoc modo. Adduntur primus & vltimus te mini; summa per semissem numeri terminorum ; vel f missis summae per numerum terminorum multiplic rer, & habetur summa omni ui . In prima progressione primus & vltimus termini faciunt is, quae in I 2 semissem numeri terminorum ducta saciunt 3 , summam Omnium' In secunda progressione summa prumi, & vltimi termini' 6, in i I, semissem numeri temminorum ducta Progignit sos, omnium summari . Eodem modo reperies summam tertiae 48 3 qua
Habetur quoque summa omnium imparium ab unitate incipientium, cuiusmodi est progressio tertia, si nu-Herus termitiorum in se ducatur: nam si 2 2, numerus terminorum)tertiκ progressioois, in se ducatur, procreantur 484, ut prius. Parium verda binario incipientium summa habetur, si numerus terminorum in numerum unitate maiorem numero terminorum ducatur. Si enim in secunda progressione χχ, qui est numerus terminorum, , ducatur in 23, procreabuntur o6, Ut prius.
Prima. Si numerus terminorum unitate mutilatus,du eatur in disserentia terminoru, productoq; addatur te