장음표시 사용
81쪽
quarta, habente ao terminos, Is in F ducantur, 3c producto terminus primus addatur, eonflabuntur I oo,
Secunda. Primus terminus habetur, si sublata unitatre E numero terminorum, reliq uum in disserentiam d catur, Sc prdductum ab ultimo termino tollatur. Vt in hae progressione Io. 2o. 3 o. o. 1 o. 6o habente sexterminos , si uni as ex s tollatur, reliquum in disserentiam Io ducatui, producetur so, quibus ex vitiamo termino 'i deductis, restant Io. terminus primus. Tertia, si prinius terminus ab ultimo tollatur, retia
quum per numerum Vnitate minorem numero terminorum diuidatur , prodire progrestionis differentia. ut in progressione proxima, si tollam to ex μ, reliquum s o diuidam per numerum unitate minorem, numero terminosum , proueniunt Io, differentia progressionis. Quarta, si sublato termino primo ab ultimo, reliquum per differentiam diuidatur, & quoto unitas adda
tur,prouenitnumeruS terminorum . Ut si in eademia, Progressione Io tollam ex fio, reliquum ρον differen tiam so dividam , sic quoto unitatem addam, exu
. Quinta, si ab ultimo termino primus tollatur, rem
duum erit summa differentiarum, P .
82쪽
DE PY,GREssIONE GTO METRI ea 'gregato textremor*m. Ut in his tribus v. A. s, est tam duplum medii, quam aggregatum eXtremorum I 6. i Secunda. Datis quatuor continuis, erit summa me diorum aequalis summae extremorum-
Tertia. Duplum cuiuscumque est aequale aggregato quorum aequaliter hinc inde distantium. Vt duplum ipsius 8, est aequale aggregato ex I & Is facto l aequaliter autem, a & is ab 8 hinc inde distant in prima pro
Geometrica progressio est series numerorum eadem se proportione superantium, cuiusmodi sunt sequetes. I. a. q. 8. I 6. 3 a. 64. I a 8. 23 6. I I a. IOZq.aO48.4O96. 8I 92.&c. I. 3. 9. 27. 8 I. 243.729. 2 I 87. 6 F 6 I.
Summa omnium habetur; si primus terminus tollatur ab ultimo, residuum diuidatur per numerii Vestate minorem denominatore propollionis est autem denomi- nator duplae 2; triplae 3; quadruplae 4. &c. & quoto addisut ultimus terminus. Ita inuenies summam Om- 'nium primae progressionis esse I 63 8 3; secundae 9 16s;
Geometrica progressio duplex est, continua, & dis. creta. Continua est,quando onmes termini praeter pri- . mum,
83쪽
Vides ergo in has dupla progressione ., 8.16. 32.1 .a128, amnes terminos ςsse antecedentes, de consequo tes, praeter primum. & vltimum, quorum illotantunia est antecedens . hic tantum consequvn etl l ' : ' p. c Progressio discreta est, in qu rion omnes terinini sunt antecedentes, & consequentes, huc est: non est, .e prim ad secundum; ita secundus adventur ,: sed tam tum , utprimus ad secundum; ita tertias ast quartunia. Talis progressio cemituu In his quarum nutireriς 2. . 3
& 3 sesquitertia propomo. t 2 mPII l. Proportiones Asecretae oocurrum plerums in regula proi
rum . Vt melius intelligantur proprietates geometricae pringressionis notabis, Numerum in se ipsium ductum diei Quadratum, ut est numerus 9, qui nascitur ex 3 in se. D quidem ter 3 sunt s. Deinde idem numerus in qua-3ratum ductus dicitur cubus, ut est numerus 17; nam ter 2 sunt 17. Idem numerus ductus in cubum , dic, tur biquadratum: Idem in biquadratum dicitur superi solidus primus Acc. Prima proprietas. In omni progressionEgeometrica L 3 con-
84쪽
continua numerus tertius est quadratus, 3c uno praete misso quintus,septimas nonus, undecimus, dcet Quartus vero est cubus,& duobus praetermissis septimus,l cimus , decimus tertius, &c. Rursus quintus inbiquMdratus. Ac tribus praetermissis, nonus, decimus tere
Secunda proprietas. : Si quicunque terminus in oducatur in continua proportione . tantum aberit pro ductus ab illo, quantum ipse abest ab unitate. Ut in progressione prima, quartus, hoc est, 8 tantum abest ab onitate, quantum ipse abest a 6 . Unde manisestum est, .noo esse necesse, ut omnes intermedii terminitiinem ntur Vt si in prima progressione inuinire.πο- terminum vigesimum septimum, duco ici se decimum quartum, nempe 8 I satyroducoq; si io 8 8 6 hic igiς ductus progignit quinquagesimum tertium . Tertia proprietas. Datis tribus terminis quibuscu quς progressionis qOntinuae, erit qt dratuin medii is quale producto extremorum'. Quarta. Patis in continua progressione quatuor qui, buscunq; terminis, erit productum mediorum, aequale producto extremorum ,. Idem in discreta verum .estri si fuerit, ut primus ad secundum , ita tereius ad quartum des in regula oportionum stroductum primi, es qu ni aquale fueritproductaseecundi terriV,
Quinta. Quadratum cuiuscunque numeri progrectionis continuae . est aequale producta duorum aequali ut ab ipso distantium, . . ni
85쪽
di Musica progresso est vali trium nes iurum series. ut quae est proportio maximi, & minimi, ea si dissere tiarum maximi Ac medij, & medij atque minimi. Ut in his tribus numeris videre litet, s- , se of ferentia maximi. &medij est 13 medij dc minimi I. ipter quos est, proportio dupla, qualis Mi in est inter' a maximum,
. Reperiuntur tres musice proportionales; ex tribun ' rithmetice proportionalibus , si primus 4rithmetiec proportionalis in secundaaec tertium secundus vero interitu ducatur. Ita ex his tribus 1. 4 6.arithmetice pro portionalibus, reperiunturhitrus 8. Ia.IB musice Pr portionales. χ6d aurem eiusmodi numeri sinimusce proportionales, inde castat,quod in pleri'; reperian- ur tres illae proportione exquib. tota Musica pender; nimisu dupla, siue me rωv, quae octauam constituit: sesquialtera, siue Ris πεες , quae quinta costituit: sesquis: tertia, siue vi mo ιρων , quae constituit quartam. ce - nuntur enim in his numeris 6. 4.3. dictae proportiones: nam inter 6 est dupla: inters 6c sesquialtera: inter. & 3 sesquitertia. At in his 24. I 2. 8 cernuntur tripla.. quae est composita ex dupla, & sesquialtera, estq; apud musicos duodecima: dupla. & sesquialtera, hoc est, octaua, & quinta. Quod ut melius intelligas, noueris a. pud musicos esse undecim consonantias,non quod plures non sint, eum infinitae sin sed quod his arndecim ta- tum in cantilenis c*mponendis ut Mur musici. Sunraute istae I. 3.1 . 6. 8. IO. I 2.1 3. IS I P. ko; quamm hae sex P. s. q. I 2. Iy. s. sunt persectae Hae quinq; 3. 6. Io.
86쪽
. , Id lacri tesus melius intelliges
spacium in tot partes . sit diuisum,quot iaciunt duo numeri consonantiam coisponentes, numereturq; ex b in d minor numerus. ex dis a maior; atque eL d fulcrum erigatur; nam si in gantur chordae a e, e N edetur illa consonantia, quam numeri illi componunt .iExemplum. Octaua componitur ex 2. Sc re Si ergo a b a in d 2; c d in b. Unum numeretur, erigaturi ex d fulcrum, & utraque pars Chordae a e, e bi tangatur, edetur octaua. si vero ad intres, d b in duas diuidatur edetur quinta,& - , Aduertendum etiam est, duos Illos numeros, exqui- hus consonantiae componuntur, per modum stactionis j poni; hoc modo , φ. Iam si eonsonantiae consona tia addenda sit. ducantur tam superiores, quam inseriores in se; ita ut ex his l, octaua nimirum, dc quinta, sat haec siue k, nempe duodecima. Si vero Una ab altera subtrahenda sit, fiat id per crucem. Vt si haec Fex hac k, nempe quinta octaua sit subtrahenda, re- .manebit haec 1cilicet quarta. Sed haec musicis r linquimus. L
De numero figuras geometri SH repraesentante .
87쪽
Numerus planus est, qui gignitur ex ductu duorum numerorum in se. Ut si 8 in 6 ducantur, gignentur 68, qui numerus planus dicitur. -' Υ - Multiplicantes, voeantur latera.
III si in figura B C, latus AB pon tur 8, AC 6 pedum , figura ipsa
- dicetur Plana. Habet haec figura Scellulas, quae omnes sunt quadratulae,
dc dicuntur pedes quadrati, si quidem latera pedibus
Numerus quadratus est, qui ex numero in seipsum ducto creatur, cuiusmodi sunt q. s. I 6. 2s. φ6. 69.648I . IOD. dcc. Nam primus ex binario in seipsum ducto creatur, secundus ex ternario, tertius ex quaternario. Sunt praeter quadratos, numeri triangulares, penta goni, hexagoni, heptagoni, octogoni. Triangulares fiunt ex summa progressionis arithmeticς ab Vnitate incipientis, cuius differentia est unitas. Ita ex I dc a fie3, ex I. 2.3 fit 6, ex I. 2. 3. 4. fit I . dcc. Quadrati fiunt ex summa progressionis arithmeticae ab unitate incipientis, cuius disserentia est binarius. Ita ex x & fit 4. Ex I. 3.1. fit 9. Ex I. I. s. . sit Is. dcc.
Pentagoni creantur ex summa progressionis arithme. E s licae
88쪽
tiere ab unitate incipientis cuius disserentia est terna. rius; Ita ex I. θ. fit , ex I. . I fit i 2. α I. . T. I. fit ia. 8cc- 1 Hexagoni creantur ex summa progressionis arithmeruticae ab unitate incipientis, cuius disterentia est quate narius. ita ex I, 3. fit 6. Ex I. t is: Ex T. s. s. 13 fit a8. &c. - . Heptagoni fiunt ex simili progressione, cuius disse. rentia est 1 ; octogoni ex illa, cuius differentia esses 3ce. Me Numetrus altera parte longior est, qui producitur a duobus sola unitate differentibus, cuiusmodi sunt. a. 6. i. ho. E 'rimus nascitur ex I dc 1; secundus ex
quadrato costatei rati. se triangulo, , - . praecedente. Secundo, Imxagonum ex qua drato collaterasi, duplo praced tu trianguli. . Tertιo. Omnes Mevi transuersam
89쪽
uuintio. SemissemJummae Hexagoni. γ radici esse qua
Duplum quadrati mutilatum trian σulo collaterali, relinquere Potagonam renueri . e Septi,M. Datis tribuu triangularibuι τω Auas . seummam extremorum unitate excerire dupluris medij. vi M. Datis quatuor triangularibus continuis, jum .mam extremorum Mnario recedere siummam mediorum Nono. Duas continuor triangulares constituere quadrata
mei- Summam quadratorum duorum triangularium eontinuisum transtituere triangularem. M8s duo triangulares continuis ρο σήeoruns madratast oes F,Iactanta,rrianeularem nonum.
'decimo. Datis resim triangulariam eontinuis, productum extremorum cum medio sacere quadratum medij. Duodecimo. Datis quatuor triangularibus continuis producitum extremorum. cum medi et itate excedere productum mediorum. insulta alia deduere ex hac tabula im
- . ANNOTATIO II.d Si quis miretur, cur, quandostasim perfractum minin viro acto, quando ver ractus per integrum multiplicatur,minin integro pr ueniat, is rem hincfacile intelliger. uuando as duco v s, nempe in ad , de, ee producun-
90쪽
Possunt explanorumtmmerarum notitia huis distiuncula seduci. Morea circularis, cuius diametrus ea ἔ o o posuum, areaao iugerum . uuaros diametrus sits s o ρήμum, quot iugerum futura sit area t Accipe pro diametris quadrata diametram, hoc modo, Io ooo lao ista a X o o, Ureperara, operationeabsoluta, a X iugera.
Eodem modo agendum est, si area sit quadrata, pentagona, hexagona, tac. Sit enim area quadrata , cuius latera ponantur 3 o passuumG, area ra iugerum : quam si latera Ponantur ι oo passuum, quot iugerum sit area' ain pe