장음표시 사용
101쪽
DE Exox ioNE RADICUMSchol. III. Si vero denominator stoctionis , requa radix erui deber , non set numerus quadra
numeratore per denominatorem , extrahitin ex facto radix , cui supponitur 'semer denominaxor . Erit igitur datae fractionis radix . Rario est , quia ρ η 7 per Ax. 3. Cap. 3. AEq-lium aurem fractionum aequalis es rarix , pnois de
Schol. IV. Fractio non quadraru feri pores quadrua per dissonem, vel muri lcationem. Sis iamrsa per 3fντ per Ax. 3. Similirer et x a bis p idem Ax. Ex quibus habetur radix quadrata , 2x paret. Ceterum xam pro integris, quam pra factis radix maxime propinqua haberi pores per Logarithmos , de quibus inferius.
Ex dato numero radicem cubicam axtrahere. I. R Ivide numerum datum A in membra, imi cipiendo dextrorsum, ita ut singula meminbra contineant tres figuras, excepto primo membro, quod aliquando duas, vel unam tantum conistiner . Qitot erunt membra, tot erunt numeri r dicis inveniendae. a. Quaere radicem cubicam primi membri sinu strorsum, si sit numerus cubicus ; sin minus, sume radicem cubi proxime minoris in tabella sup rius posita , quae in lam exemplo est: a , quam pone ad dexteram, ut in B. 3.
102쪽
CAP. V. PRop. III 3. Ex hae radice fiat cubus 8, quem subtrahe ex primo membro Ia , Sc residuum scribe infra lineam, ut in C. ' . Ad hunc residuum adde unam sequentiginembri figuram, nempe I, fit I , quem divide pertriplum quadrati radicis inventae , nempe per Ia, quotus 3 erit altera radicis figura , quam pone
3. Ex radice a 3 fac cubum Ia Io, qui subtrahi debet ex utroque membro numeri . Cumque nihil remaneat, signum est, numerum datum esse
revera cubunia Haec operatio toties repeti debet , quot sunt membra numeri dati, ut in sequenti exemplo erit manifestum . Sit aliud Memplum. Esto numerus M II 39osas, cujus radix cubica quaeritur.
I. Radix cu in primi membri H est 2, quam pone' in N, ejusque cubum. 8 subtrahe ex II ,r manet 3, quem scribe infra litieam in R. a. Adde residuo R sequentem alterius membri
figuram 3, fit 33 , quem divide per triplum quadrati
radicis inventae a, hoc est per Ia, quotus a erit secunda figura radicis, quam pone in N3. Ex radice et a fiat subus Io 8 , qui aus ratur ex numero S II 39o , nempe ex duobus
103쪽
8 Da ExTRAcTIONE RADICUM membris numeri dati Μ, remanent 742, ut in T. . Ad, hoc residuum T addatur ex tertio membro numeri u figura 6, fiet 7426, qui divisus pertriplum quadrati radicis inventae eta, hoc est per 343a, dat quorum S, qui ponatur in Ν, eritque tertia radicis figura.. 3. Demum fiat cubus ex , tota radice 223, nempe II 39o623, qui ablatus ex numero Μ nihil relim quit , proinde numerus datus est cubus.
Ratio autem pendet ab ipsa cuborum genesi . Nam in priori exemplo cubus Ial67 . qui oritur ex radice 23 , continet primo cubos 8 & 27. paratiuina&3. Secundo triplum quadrati radicis ax3. Tertio triplum quadrati radicis 3xa, hoc est
104쪽
' CAP. V. PRop. III. 8s' Coroll. Haec praxis omnium facillima , traditur a Neotono in Arithmet. Uniυ. , & tribus paucissimis continetur. I. Ad residuum, quod orbtur ex subtractione cubi ex unoquoque numeri dati membro , additur una tantum sequentis membri figura . a. Diviso illo residuo una cum figmra adjecta per triplum quadrati inventae radicis, quotus dat alterius membri radicem . 3. Ex numeris radicalibus f quotquot illi sint fit cubus,
qui subtrahitur ex totidem membris numeri dati, quot sunt ipsi numeri radicales inventi . Quae qui dem ex allatis exemplis satis patent. Schol. I. Cum aliquid remaner , fgnum es , numerum datum non esse exacto cubicum , ac proinde radicem inventam non esse numeri dari , sed maximi cubi in eo contenti . Residuum reprimitur per fractionem hoc pacto : residuum ipsum ponitur supra lineam loco numeratoris οῦ pro δε-
nominatore autem sumitur disserentia inter cubum datum , re cubum proxime maiorem minus unita. re . Sit exemplum , Miracta radice cubica ex numero , habetur radix 3, ct residuum 19 , qhoderit fractionis numerator ' disserentia autem inter cubum 27 μ radice 3 , Ο cubum proxime maiorem 6 ex radice 4, et 36 Φ I per Schol. a. ad Defin. Auferatur unitas , remanent 36 pro denominatore fractionis . φὶ ergo radix . cubicia
numeri dati 3 Φ Ξ, Schol. II. Si quis propinquiorem radicem , reqvae a vera infensibiliter disserax , cupit , addat aliquot ensearum ternarios ad ipsum numertim datum, ct prosequatur radicis Myractionem . Dc inde
105쪽
ῖό DA ExTRACTIONE RADICUM inde. ev radice inventa abiiciamur is dexteram tot figurae , quor e brarum tonarii fuerunx ari cti ; reliquae enim figurae dabunt radicem int gram eum fractione , cujus numerator erunt ipsae figurae reiectae, denominaνον vero unitas eum totcnbris , quot ternarii e phrarum fuerunt additi , es fere modo , quo de radice quadrata diximus. Schol. III. Cerreum tam cubica , quam alia su periorum potestatum radices , longe facilius pre agebram expediuntur , maxime per formulas N tonianas , quae generales sunν , er ad omnem radicem retrahendam valde faelles , re expeditae . Proinde hune fontem adeanν , qui rem funditus percipere cupiunt. Examen habetur ter ducendo in semet radicem cubicam inventam , & addendo illi residuum , si quod fuit. Restituitur enim cubus , seu numerus datus, si erratum non sit.
Eae fractionibus decimalibus radicem eum dratam, o cubicam extrabere. EX dictis satis pater ratio extrahendi radices ex fractionibus communibus. Pro Decimaliabus autem peculiaris est regula. I. Si extrahenda st radix quadrata , observetur, an decimalis dati apex maximus si par , ut in A; tunc enim extrahitur radix omnino, ut ex integris per Prop. I. huius ς & prima radicis nota afficitur apicis maximi dimidio, ut in B.
106쪽
CAP. V. PRop. V. 87Si vero apex maximus sit impar , ut in C , adjecta typhra., fiat par, ut in D , extractaque radice, ut supra, habetur radix quaesita, ut in R
Patet ratio, cur prima radicis nota assici debeat dimidio apicis maximi decimalium . Nam si sit quadratum unitas cum cyphris et, 4, 6 &c. ut Ioo, Io GO , goo ooo 3cc. unitas ipsa cum dimidio ejus modi cyphrarum erit radix quadrata , nempe IO, Ioo, Imo &c. Cum igitur apices stent loco denominatorum Wr Coroll. I. Cap. 4. constat propositum.
II. In extractione autem radicis cubicae, obse Vetur , an apex maximus decimalium tri secari possit, in contingit in Μ ; tunc enim extrahitur radix cubica , ut ex integris per Prop. 3. hujus , di prima radicis nota assicitur apicis maximi triente, ut in N. Si vero maximus apex trisecari nequeat , ut vides in R; adjice unam, vel duas cyphras , ut trisecari possit, ut in S ; tum extrahe radicem cubicam T, ut supra,
107쪽
tI DE ExTRACTIONE RADICUM Demonstr. similis est praecedenti . Nam si fiat
cubus ex unitate cum aliquot cyphrarum ternariis:, ut 1 COO , IOUOCOO Sc. unitas ipsa cum cyphr rum triente erit radix cubica, nempe IO, IOo 3cc.
proinde prima radicis cubicae nota assicitur triente maximi apicis , cum apices sint loco denominatorum, ut dictum est per Coroll. supra citatum.
βuaestiones aliquot res untur per radicis , quadratae , vel cubica extractionem.
I. Ux exercitus habet strenuos milites I326, I quos omnes in acie quadrata ad praelium ordinare Vult, quaeritur, quot milites in fronte , seu latere stabunt, & quot futuri sint ejus agminis ordines.
Ex dato numero I 326 extrahatur radix quadrata per Prop. I. hujus , quae erit 3 6 cum resi duo 3 o. Constabitnt igitur singuli ordines militibus 36, eruntque ordines pariter 36. Remanent autem milites 3o . Proinde ut ipsi quoque in acie disponantur , augeri debet quadrati latus unitate, ita ut singuli ordines habeant milites 37. Itaque duplicetur radix 36, fit 7 a, additaque unitate habetur 73, numerus scilicet militum addendorum ad quadratum lateris 36. Sed 3o jam supererant, ergo 43 tantum erunt addendi ad numerum I 326, ut fiat. I 369, numerus quadratus, cujus radix 37. Hoc patet eae Schoc I. hujus. a. Est
108쪽
CAP. V. PRop. V. is a. Est turris alta pedes Ioo , quae in ambitu habet fossam latitudinis pedum o , fabricanda est
scala , quae ab ulteriore ripa pertingat ad cacinmen turris, quaeritur ejus longitudo . Fiant quadrata numerorum I Oo , & 4Ο , quae simul addantur, fit summa II 6oo . Hinc extrahe
radicem quadratam , erit scalae fabricandae longitudo pedum Io7 Φ per Prop. I. o' Schol. 2. 60dem. 3. Volo fieri circulum duplum, triplum , qu druplum &c. alterius circuli dati , seu cujus nota est diameter in aliqua mensura . Sit diameter circuli dati pollicum 6 , lin. 3 , Ic quaeratur circulus ejus duplus. Reducantur musices ad lineas , eos multiplicando per Ia , & ad. dendo producto lineas s , fient lineae 77 , qua rum duplum est is , qui numeri inter se multiplicentur, & ex proelucto II 838 eruatur radix quadrata , quae invenitur Io 8 - - E. per Pr pos. I. Circuli ergo dupli diameter erit linearum ro8 Φ , hoc est pollicum p . . 'unius
Schol. God de ei reulo dictum es , extenditis
quoque ad quodlibet Polingonum regulare , ne σβηadratum, Penragonum , Exagonum oee. se eo ram duplum, triρlum , quadruplum inveniri opo reor, dato uno ipsorum latere. Sed haec ad Geometriam pertinent , & a Prop. ao. l. 6. Eucl. de
. Fabricanda est cisterna cubica , quae contineat aquae pedes cubicos 689a I , quaeritur qua in sutura sit ejus latitudo , longitudo ac pro-landum . M Ex
109쪽
po DE ExTRACTIONE RADICUM Ex numero 68sa I extrahatur radix cubica, quae per 'U0. 3. huyus dat pedes 4I , unde innotescunt omnes ipsius cisternae dimensiones.
I. Data diametro globi ferret, lapidei , vel
plumbei , qui libram unam ponderat , quaeritur diameter pro globo ejusdem meteriae librarum 2 , 3, 4, 5 3cc. Diameter data intelligatur divisa in partes 1 Oo,
erit ejus cubus Ioo ooo . Tum ex ejusdem cubi duplo , triplo , quadruplo &c. nempe ao oo- ,3 COCOOO, MOCooo 3cc. radix cubica extracta per
Propos eis. dabit diametrum quaesitam globi ibbrarum 2, 3, &c. Seu , cubus diametri datae ducatur in pondus, seu in numerum librarum globi , cujus diameter quaeritur , & extrahatur ex producto radix. Invenienda sit diameter globi plumbei librarum 8 et cubus Ioooooo x 8 m 8ooomo, cujus radix cubica et om dat diametrum quaesitam. Hare: est regula ealibrae, cujus ope ex data diametro globi unius librae diametri reliquorum gi horum ejusdem materiae determinantur; εc hinc quoque innotescit tormenti bellici cavitas , seu
6. Depopulante saevissima lue Athenas , comsultus suit Apollo Delius, qim pacto illa cessa. t ; respondit , pestem cessaturam , si ejus ara ,
quae cubica erat, dupliearetur. Hi ne ortum est celebratissimum de duplicatione cubi. problema. Fuerit igitur ejus cubi latus palmorum Ia, e ius duplum a . Fiat ex Ia quadratum , quod multiplicetur per 24, erit Ia ra m I 44x m 3 36. Extrahatur hinc radix cubica, quae dat palis
110쪽
biea fabricari debet ex latere palmorum II cum Damonibus , proinde problema erit practice, non autem Geometrice tolutum , quod ab oraculo p. tebatur. Ratio huius, 3c praecedentis pendent ex Prop. I 8. l. Ia. GA., er Prop. II. Cap. 6. sequentis , quae hujus loci non sunt. Sed . haec pauca sussiciant ad indicandum usum extractionis radicum , qui in universa fere Methesi in immensum patet.
R Lahl Arithmeticae sunt quatuor. I. Est reia
gula Proportionum. a. Societatis. 3. ALligationis. 4. Positionis, vel falsi. Prima est omnium praecipua , & a qua reliquae omnes pendent . Quo melius ea intelligatur, nonnulla sunt, de numeris proportionalicius, eorumque Propri tatibus praemittenda.
I. Aiis, sive proportio est duarum eiusdein I generis magnitudinum mutua quaedam secundum quantitatem habitudo . Ut si comparetur Ia ad 4, intelligitur Ia continere ter 4 , & habere rationem tripli : alter terminus dicitur ant etaens , alter consequens. M a II. Duae