장음표시 사용
111쪽
va DE REGULis ARITHMETICIS II. Duae rationes dicuntur similes , eaedem , vel aequales s quod idem est ) cum antecedens unius t ties continet suum consequentem , quoties antecedens alterius continet tuum conlequentem. Vel cum antecedens unius toties continetur in tuo consequemti , quoties antecedens alterius continetur in suo consequenti. Sic I 2. :: 3. I. sunt rationes similes, vel eaedem , vel aequales , quia Ia & 3 ter continent suos consequentes &I,&4. Iaz: I. 3. dicuntur similes, quia 4 & I ter continentur in suis consequentibus Ia & 3. III. Quatuor illi' termini , s eu quantitates eamdem rationem habentes, ut Ia. 4:: 3. I. dicuntur Proportionales. Et si termini medii bis sumam tur , ita ut eadem quantitas semel si consequens respectu praecedentis, & semel antecedens respectu consequentis , ut et , 4 , 8 , in nuibus 4 bis sumitur , dicuntur eontinue Proportionalis . Si umro nullus terminus bis accipitur,. ut Io. I :: a. I. dicuntur termini discretim proportionAes. '
I. CI quatuor numeri proportionales fuerint , O factum ex primo , & quarto , aequale est facto ex secundo , & tertio. Eit Props I9. l. 7.
Sint quatuor proportionales I . et o :: 4. I 6 Siculi 3 x i 6 dant m 8o' Ita etiam χox 4 dant m 8oII. Si datis quatuor numeris, primus se habeat ad tertium, ut reciproce quartus: ad secundum , fa-- ctum
112쪽
CAp. VI. PROP. I. 93ctum ex primo , & secundo aequale erit facto ex tertio , & quarto. . . t Sint quatuor numeri dati 8, quia imter primim 6, & tertium 3 est eadem proportio dupla, quae . inter 8 & 4 , erit 6. 3 :: 8&4; ergo ex lem. I. 6x 4 3x8 24 ; ergo i ctum ex primo , & secundo aequatur fatio ex ter Mo, 3c quarto. III. . Si factum dividatur per unum ex suis s ctoribus prodibit in quoto alter factorum. Sit factum v. g. et . quod ortum sit ex 4 ix , si dividatur per 6 oritur a.
De Ropula Proportionum. REgula Proportionum , quam ob praestantiam& immensam utilitatem , auream vocant , d cet modum 'inveniendi e tribus numeris cognitis quartum ignotum proportionalem , qui nimirum habeat eandem proportionem ad tertium numerum datum , quam secundus' habet ad primum ' ideoque dicitur regula Proportionum , vel etiam regula Trium , quia ex tribus datis eruit . quantum . En praxis . e .
I. Disponantur ordine tres numeri dati , itae ut is , qui quaestionem habet annexam statuatur tertio loco ; ille vero et duobus aliis , qui curi hoc est homogeneus, hoc est qui eandem rem signuficat ac terminus tertio loco positus , primo loco
113쪽
s 4 REGuias ARITHMETICIς II. Multiplica tertium per secundum , & pr ductum divide per primum, quotus dabit quartum proportionalem quaesitum . Res tribus exemplis illustratur. r. Uinae panni et stant scutis y , quot scutis si hunt ulnae Ia ejusdem panni terminum qui ha het annexam quaestionem , sunt ulnae Ia : hic si, tuatur loco tertio, loco autem primo terminus huic homogeneus, nempe ulnae 3, scilicet oenae 3 . fur. 9 :: ulnae I 2. sων ....
Duc ra x s, & productum Io8 divide per 3 ,
quotus 36 dat quartum proportionalem quaesitum. Nam , ut patet. 3. 9 :: Iz. 36 a. Rex Salomon in aedificando templo habuit operarios Ι 8oom. Ponamus cuilibet. operario quintidie solvisse tantum asses Io. Quot scuta Romanasngulis diebus expendit
Si oper. I. asser Io. quid operi 18O OO . Multiplicatis 18oooox Io, producitur I 8oooo , di cum unitas non dividat, habentur pro quarto proportionali asses I 8 ooo . Hos divide per a Gos resectis duabus cyphris fiunt scuta Romana fingulis diebus solvenda I 8o . - 3. Fixarum motus ex Ricciolio & Flamsteedio
fingulis Ioo annis procedit gr. I. 23. 2o, quot an ni
114쪽
CAλ IV. PRop. I. rini requiruntur ad totum coeli ambitum , seu gr.
36o percurrendos Primo gr. I. 23. 2o reducam. tur ad minuta lezuiada per multiplicaironem, . iuulicet I x 6o Φ 23 zzz 83 χ6otaret i=8o zo fiunt 3οoo. Similiter si- 36o x oo x oo itum 1 296ooα Dic jam, si minuta secunda socio dant annos Ioo, quot annos dabunt 'minuta lacunda Ias6Cωρ in venientur per regulam auream anni a I9aa , qui nimirum annum Platonicum conficient.
Coroll. Ex hoc exemplo manifestum est , te minos proportionales regulae aureae, antequam regula ipsa instituatur , in homogeneos esse reducendos , si sorte numeris heterogeneis constent . Sic si dicatur, librae I unc. 3 veneunt scutis 4 ,& assibus 5o, quot scutis stabunt librae 12 8 LLbrae reducendae sunt ad uncias in primo & te tio termino , & scuta ad asses , & tres termini proportionales erunt unciae 63 , ag. 4IO , unc.
SchoL Cum integris ad mera fracti , missistegri reducuntur ad fractos e integris autem , quibus nulla es fractis , supponitur unisas I drim de regula proponisnum H, ut dictum est . Si di- casur lora I - fluum ex alietio canal, Iibrae Is AEquae, quot librae fuerit horas a et E Termini pr portionales redacti erunx τ, τ, τ . Tum verando juxta praecepta tradita in Prop. Io. O' II. Cap. invenies aqua hisas 26 τ.
115쪽
DE REGuLis ARITHMETICIs Demonstri clare insertur ex is . I. & 3. Nam cum in regula. proportionum supponatur dati tres numeri proportionales, & quartus , qui est igno. tus, dari possit ; factum ex secundo , & tertio aequale erit per lem. I. facto ex primo, & to, qui est ignotus . Proinde si factum ex likum do , & tertio dividatur per primum , innotescet quartus terminus per em. . 3. ergo patet ratio, cur tradita regula multiplicari debeat tertius per secundum terminum, δc factum dividi per pri
Examen regulae proportionum omnium expiablissimum habetur multiplicando primum terminum Per quartum, & secundum per tertium . Nam si producta sint aequalia, res bene processit . Ratio
De regula proportionum Composita .
REgula proportionum Composita dicitur , cum
praeter tres terminos in Propos praeci explicatos, alii quoque minus principales accedunt, quisgnificant tempus, lucrum, damnum &c. qui cum terminis principalibus per multiplicationem componuntur, ut fiant tres solum termini. Exemplarem declarabunt. - I. Iuvenes 4. contubernales expenderunt diebus Io. aureos Io ; quaeritur quot aureos solvere debeant iuvenes Ia diebus 3οὶ Tres principales termini simi juvenes 4, aurei 3o, & juvenes ia. Adjuve.
116쪽
'venes /-dies Io, & ad iuvenes Ia dies 3 o. Ducitaque 4 x ro, & Ia x D, habentur duo termini compositi o, & 36o. Dic ergo
do per 4o , ut in praee. Propos factum est , in. Venitur quartus proportionalis 4Io. a. Librae acio alicujus mercis transvectae R mam per milliaria 3oo poscunt scuta o; quaeritur expenti pro transvehendis libris oo ejusdem mercis per milliaria sco ρ Tres termini principales sunt librae et Oo, scuta G, & librae 4Οo . Minus . principales sunt milliaria 3oo, &. 5oo ς qui si multiplicentur per suos terminos principales , fient tres termini pro regula trium instituenda , nimi
rum εο o . 4or: a oo oo . I 33
Schol. I. Regula preponisnum eomposita es re gula simplex proportionum reperita ; unde eriam regula Dupli dicitur , quia duplicem quaestionem involmit . Proinde resolvit etiam potes in duas regulas simplices, in quarum abera ponuntur tres remini priseipalis' dari , tu' quaeritur quartus
proportionalis ' in altera vero ponuntur circumflantiae , seu rermini minus priseipales, in qu rum medio ponitur quanus proportionalis inven-
117쪽
De Regula proportionum Inversa.
IN regulis proportionum tum simplici, tum comis posita jam explicatis, ita se habet primus terminus ad secundum , sicuti tertius ad quartum , ut exempla allata satis monstrant ; proinde ex Propos I 4. lib. 3. Euch si primus terminus m jor, vel minor est tertio, etiam secundus major, vel minor esse debet quarto, ut consideranti patet. Solet autem nonnunquam accidere ex ipsa nat ra quaestionis , ut quanto major , vel minor primus terminus est tertio, tanto major , vel minor reciproce esse debeat terminus quartus secundo . In hoc casu regula proportionum dicitur inversa , quia scilicet terminorum ordo invertitur . Haerent hic tyrones primo , non bene dignoscentes , utra regula sit adhibenda. Sed quae sequuntur exempla, rem satis illustrant. I. Me res et o segetem aliquam metunt diebus4, quaeritur quot diebus illam metere possint messores Iop Patet majori tempore, adeo ut quanto major est terminus primus tertio, tanto major qu que debeat esse quartus incognitus secundo . Nam
118쪽
2. In obsessa Urbe ali possunt milites 13oo
mensibus 3 , quaeritur quot. milites ali poterunt mensibus σὰ Certe minor numerus. Proinde quam to minor est primus terminus tertio, tanto minor quartus erit secundo, scilicet
3 . IIOO : : 6 - FIO. 3. . Ex panno habente. latitudinem palmorum 3 requiruntur mihi pro vestimentis ulnae Io , quaeritur quot ulnae requirantur ex alio Panno , qui latitudinem habet pasmorum 4. Certum est , pauciores requiri , adeoque quanto minor est primus terminus tertio, tanto minor erit quartus secundo, nempe IanpaL non. Iam pal. . iam 3. Ioz: 4. 7
Ad inveniendum autem in regula Proporti num inversa quartum proportionalem , multiplicetur primus terminus per secundum, & productum dividatur per tertium . Sic in primo exemplo ductis ao x 4, productum 8o dividatur per 3ο , habetur quartus proportionalis 3. Demonseri sequitur 6 a. re 3. lemm. Nam in regula proportionis inversa cum se habeat primus N a termi-
119쪽
1ω Da RE LIs ARITHM ICIs terminus ad tertium , ut reciproce quartus ad secundum , erit o I. Iemm. productum ex primo& secundo aequale. producto ex tertio & quarto .
Producti autem , quod fit ex tertio & quarto , habetur unus ex factoribus datus , numerita scilicet tertio loco positus , ergo si per hunc dividatur productum aquile, quod fit ex primo & secundo , prodibit ex is . 3. quartus proportion lis quaesitus. Examen itaque regulae inversae fit brevissime , multiplicando primum terminum in secundum , M tertium in quartum. Nam si producta sint aequalia, res bene peracta est. φ . .
SchoI. I. Arithmetiei , in quibo PMquor , os Ilinant dignoscenda hujus regulae indicium huiusmodi . Cum proponitur aliqua res diverse a qua suor terminis quaestionis, rune proportio erit reciproca. , seu inversa . Sie in primo exemplo pro ponitur seges metenda , quae est res omnino divemo a quatuor terminis proportionalibus . In seexndo exemplo proponitur annona , quae est res dive so a quatuor terminis ' eiusdem quaesionis . Similiter in tertio vestis conficienda , quae proponitvr , es quid diversum a terminis in quaesione datis . Ime dictum sit in gratiam , ranum . Ceterum eπina quaestionis natura facile diiudicari potest ,
utrum proporrio directa sis, an inversa. Schol. II. Si . terminus , qui annexam habet quaestionem , ponatur primo loco , IecMndo duum loco terminus illi homogeneus, proportio inversa reducitur ad directam. Sie in primo exemplo messores io se labens ad messores a o , ur dies 4 M. : dies
120쪽
CAp. VI. PROP. III. Iordies s , proinde durendo eto x 4 , dicidendo productum 8o per primum terminum Io, habetur quam rus proportionalis, ur in Propos. I. hujus. Similiter in secundo exemplo menses 5 ad menses 3 ira se babenν, ut milites II oo ad milites adeoquepr δεα - 3 x Isoo diviso per primum terminum 'orixur quartus proportionalis 73o, ut 'antea. ii Schol. III. Regulam i erfam eo ostram ultra omittimus , quod irrones haud parum solear consum dere , ct in rebus Geometricis , vel etiam in homi
num commercio vix unquam occurris.
a plicantur nonnulla pro regulis proportionum . compendia.
I. in regula directa primus terminus prae- u cise continet secundum, vel f quod idem est praecise continetur in secundo , tunc reduci potest proportio ad minimos terminos per Prop. a. CV. 3. , & regulae praxis brevissima evadit . Sic exemplum, lib. 4. valent scuta Ia, quid libraes Reductis 4 &-1a ad minimos terminos 1 & 3 ,
betur quartus proportionalis 27, qui unitas non dividit. Pro regula inversa in primo exemplo Prop. 3. Si messiores et o exigunt dies 4 , quid messores Io Quia et o ad Io se habere debet reciproce, ut qua