Institutiones arithmeticæ Paulini a S. Josepho Lucensis ... cum Praxeon chronologicarum appendice

71쪽

5a DA CALcui FRACTORUM quotus dabit minuta prima 33 , & remanent partes unius minuti primi . Ut invenias secunda duci a 3743 x 6o, & dividendo per 47 33, qu tus dabit min. lecunda II. Luna igitur ad stellam

pervenit diebus 3. hor. Io. min. 33. sec. 17.

II. Quod si datae fractionis denominator non exacte dividit productum, ut si et reduci debeant ad fractum, cujus denominator est 8 productum 16 , quod oritur ex a x 8 , non exacte dividitur

per denominatorem 3 , nam remanet II tunc ρο-

natur quotus 5 supra denominatorem datum 8 , eique jungatur fractio orta ex residuo , nempe τ , quae erit fractionis fractio ; & facit hunc lenium , duae tertiae in actavas redactae dant quinque octavas, & unam tertiam unius octavae , scilicet τ τ- τὶτ . autem et idem valeant ac - Φplet pater. Nam ziz m per Propos 7. huius;

τ per Prop. 2. Schol. Hine habetur ratio explorandi valorem minutiarum in partibus earum notioribus p ur se

scire velis quid valeant et unius scuti Romani in Iuliis, vel ossibus . Gia 1 o usii , aut esses Ioo inciuης scuςum Romanum I , duc numeratore-3 in I O , aut in Ioo , o productum divide per denominaxorem I , erunt in primo cou in , im secundo , hoe est yulii se aut asses 6o . Item dantur unius pedis , scire volo quor pollices haec fractio importer . uia Ia pedem I e tunsi duco 3 x ia, ex produeium 36 divido per γ , quores dat 3 , unde habentur .n hoc es pollices I ,

72쪽

CAP. III. PROP. V. 53diυHi in Ia lineas , facile erit meplorare, quid im, portet una septima pars unius poliicis. Hae praxis et usio dicitur valutare i Rotii.

PROPOSITIO R

Hactiones ad integra revocare. iL numerator denominatore suo major est, fractio reducitur ad integra , dividendo numeratorem per denominatorem. Sic τ' divitae per 3 dant integra Item'divisae per Ia dant sintegra. II. Qiiod si denominator non exacte di vidit numeratorem , fit ex residuo minutia. Proinde divitae

Per 3 dant integra s τ . Similiter V divitae per Idant 3 7 Schol. Hine habetur pravis redurendi monetas , pondera, ac mensuras in alias speciei altioris . Sisufes 33o si dividantur per Ioo, reducuntur ad scu-- Romana 3 , seu 3 et . Pariter minura a divis per 6o, dant horas a. Pares divisiores Hos Ioo dr 6o esse denominatores minutiarum , per quos eorum numeratores dividuntur per hanc Prop Iisionem.

73쪽

PROPOSITIO VI.

Numerum integrum in minutiam dati nominis reducere.

SIt datus integer V. gr. 3 reducendus in fractum, cujus denominator sit 7. Multiplica integrum .ipium 3 per denominatorem datum 7 , & pmd dio subscribe ipsum denominatorem 7, erit fractio ouaesita V. . Similiter unitas reducenda st in f rium , cujus denominator sit s , erit ρ zza adictis ad Definis. I. Cap. hujus. Schol. I. Si integro euilibet supponatur unitas , si fractio ; vel quasi fractio inretro aequivalens ,nx - ε, 8 m. quod pro mini leolone , t

ditimne fractorum annotetur. Schol. II. Hine vero oritur maxis redueendi mois metas, pondera, ac mensuras in alias inferioris spme ei. Sinr sexto Romana 33 redueenda ad asses , multiplica sue x ioo, sabebis asses Isoo. Irem mu- Laria Romana Io eonverrenda μν in passus, quia passus tooo milliare I siciunt, due Io x Iooo , μην passus so ooo. Parra in bis Memptis numeros α os Ioo, er Iooo esse denominatores daros, po quor multiplicantur numeri integri 33, o, ursanrse ctiones se ,misHa hanc Propos

74쪽

CAp. III. PROP. VII.

PROPOSITIO VII. Fractionem fractionis ad simplicem

fractionem reducerc.

DUR, vel plures fractiones fractionum ad unam

simplicem fractionem reducuntur hoc pacto. Multiplica singulos numeratores inter se , & singulos pariter denominatores inter se , dira prinducta minutiam essicient aequalem omnibus illis minutiis minutiarum datis. Sit minutia minutiae et)τὶ hoc est una quarta pars duarum tertiarum ad simplicem minutiam reducenda ; duc inter is numeratores I x a , & denominatores x 3 , erit Va quaesita minutia dira . Similiter redis tendat sint ad simplicem minutiae minutiarum

et s)τ, multiplicatis inter se 3xax3, item 4 η 3 x I , habetur nova minutia omnibus illis aequalis Prop. a. huius. Demonst. sensibili altituo exemplo res manis sta erit . Ponamus hanc ipsam minutiam minutum rum et 3 et et desumptam sui sis ex uno stulo Romano , qtia decem ivliis constat: dico hanc m, nullam minutiarum concinere unius scuti, nem Pe tres ivlios . Nam et unius scuti continent i julios , cum tulit duo snt j unius scuti . At et sex juliorum sunt quatoor tulit , ut patet, A et quatuor tutiorum sunt tres , tulit . Ergo evidens est, minutiam minutiarum et) τ et cominς nempe tres julios. Id

75쪽

55 DE CALCULO FRACTORUM Id facile illustrari potest dividendo lineam rectam in partes aequales tres, quatuor &c. Nam si quaeratur dimidium unius tertiae partis ejusdem lineae, patet illam esse parteua lextam totius. Divisis enim bifariam singulis illis tertiis ejus lineae Partibus , erit tota linea divisa in lex partes aequales; proinde unius tertiae iacit e . . iud erat &c. Haec regula apud vulgares Arithmeticos audit insuetare i Rotti .

PROPOSITIO VIII.

Fractiones addepe .

o adde simul omnes numeratores , eorumque aggregato denominatorem sublcribe . Sint adde

dae π, π, τ, τ additis numeratoribus i in a in sin 6 14 , fit fractionum summa τ a per Prop. I. hujus. II. Si fractiones addendae sint diversi nominis ,reduc ad idem nomen per Prop. 3. & operare , ut dictum est. III. Quod si addendi sunt integri cum Dams , adde seorsim integros , & seorsim fractos ; ut si ad 4 et addendi sint 3 et fiet summa 7 et . Res per se patet.

76쪽

Fractiones subtrahere.

o riana majori . subducitur, & residuo suta scribitur communis denominator . Sic τ - τ.

Item a

II. Si diversi sint nominis, reducantur ad idem nomen .per Prop. 3. , & operatio fit ut antea. III. Si ab integris subtrahenda sit aliqua se aio , reducantur integra ad , fractionem ejusdem nominis cum data fractione pes Propos L, 3c c tera fiant, ut supra. Subtrahere oporteat τ ex 4 , reduc 4 ad tertias , erunt τ . Deinde - τ

3 et per Pro f. s. Similiter subtrahe da 4nt a V ex 3 et , hoc est et ex et: reduc ad idem nomen has duas fractiones per Propos. 3.erunt P, & et , adeoque V δε α - 3 α , per Propos 3. Schol. Ut minutiae addi, vel subtrahi possiην , semper idem nomen habere debent, quod notetur. PROPOSITIO X.

Fractiones multiplicare.

I. CI multiplicanda est fractio per fractionem ,

duc inter se numeratores, itemque denominatores inter se , res Rerit consecta . Multiplican

da st fractio et x et ductis et x a , & 3 x s, ha-

77쪽

DE CALCULO FRACTORUM betur productum quaesitum n . Sic et η τ n τ per. Propos. a. . II. Quod si multiplicandus sit integer per se ctum, vel fractus per integrum , semper integro suppone unitatem , . ut fiat quasi fractio ; deinde Operare ut lupra . Sit multi micanda et x 7 suγposta. integro unitate, erit τητ, proinde P

dinum . . . . - '

III. Si vero alter multiplicantium - si integer m fra sto, reducatur totus ad stactum, multiplicando illum . per denominatorem ejuidem stam aut si multiplicari oporteat et et 'per ὸ, fiat τητ ; erit prodinum et . Similiter si uterque multuplicator sit integer cum fracto, uterque reducitur ad fractum ejusdem nominis cum minutia sibi avi haerente : ut sint multiplicanda 3 τ η S π , red cantur ad fractos , erunt τητ ' per Propos. I. . Demonsr. Ex regula tradita multiplicare se ctum A per fractum B est producere fractum C , qui toties contineatur in fracto B , quoties stactus A continetur in unitate . Nam sicuti fractus C .continetur bis in fracto B, ita fractus A bis continetur in unitate, ut patet ς ergo ex definutione multiplicationis fractus C est prodoctum fracti A multiplicati per fractum B.

. Coroll. Hinc patet ratio , quare in minutiis productum multiplicationis C sit minus , quam iactores A dc B. Nam cum unitas sit ad ,

78쪽

CAp. III. Rιον. α ' sut B ad C ex Desin. multiplicationis per Prop. I. Cap. I.; & unitas major sit quam A , etiam Bmajor erit quam C, proinde C minor. . Schol.. I. Multiplicatio fractionum sis epiam eleganter per dimisionem , disidendo sitiere den

minatorem unius per numeratorem alterius minu-

sit et productum quaestum . Idem enim producitur , ac se more eo uero multiplicentur . Nam per Prop. a. - Schol. II. Si integrum eum minutia durendum

D in integrum, quod exacte dimi de sν per δε- nominatorem minuriae , ut st ducendum μ 38 Θκ i8 , practei primo resolvunx integrum in fractum , sitque ii6 , deinde diviso I 8 per demesianororem 3 , habetur quotus 6, per quem multi- ptisanx ipsum it 6 , re habetur productum quae tum 696 . Ratio per se paret. Schol. III. Si vero integrum durendum sola minuriam , ut 3 aooo x et , practici prius diavidunt 32ooo per 3 , deinde quorum 6 oo δε- eunt in 6.

Fractiones dividere. I. I termini divisoris exacte dividant terminos, dividendi , fractus , qui inde oritur , erit quotus . Ut si dividenda st minutia τ per et , di H a visis

79쪽

e o DE CALCULO FRACTORUMViss 4 per a , 3c y per 3, quotus erit τ . Simbliter si denominator sit communis , satis erit di-Videre numeratorem per numeratorem , deleto

denominatore ; sic dividendo τ per τ , quotus erit 3; & dividendo et , per τ , quotus erit a τ. Item dividendo et per et, deleto communi den

minatore, quotus . erit - .

II. Quod si termini divisoris non exacte di.

vidant terminos dividendi , aut denominator non sit communis , tunc inverte divisorem, ita ut d nominator ponatur loco numeratoris , numerator vero loco denominatoris, deinde duc tam num ratores inter se , quam denominatores inter se ,

productum erit quotus quaesitus. Dividenda sit minutia τ per et , inverso divisore , erit et x et za lqhotus quaestus. Ita si dividere oporteat et peret , hoc est , si dicatur, et unius scuti Romani dat et unius ulnae , quot ulnas dabit scutum unum: divisis inverso divisere et per et , qu tus dat ulnas a et . Nam et x τ ταza et per Prop. I. huyus. IIL Quoties occurrit fractus dividendus per integrum , satis est multiplicare denominatorem fracti per ipsum integrum . Sit dividendus et pera , duc Ixa, quotus erit . Item et divisus per 5 , dat quorum n. Nam semper integro

1bpponitur unitas .

IV. Cum divisor, aut dividendus , vel ute que est integer cum minutia , reducendus est integer ad minutiam sibi adjunsam ; ut fiat unica minutia , & operatio instituenda est , ut supra .

80쪽

CAp. III. PROP. XI. per Propos. I. Similiter sint dividenda is per La et, fiunt Domonstr. Dividere fractum A per fractum B est invenire quotum C, ad quem ita sit unitas, sicuti divisor B ad dividendum a ex divisionis definitione ad Prop. 6. Cap. i. Sed unitas est ad y fractum C , ut divitor B ad dividendum A. Unitas enim est ad C , ut denominator 3 ad num ratorem 4 ex Miom. I. Fractus autem B est ad fractum A, ut 3 ad 4e nam redactis ad idem no- .men A & B per Prop. 3. oriuntur fracti aequales Μ Ω Ν, qui ob communem denominatorem se habent ut 3 ad 4; ergo unitas est ad C, ut B ad A; proinde C est quotus quaesitus. Quod &c.

T '. lCoroll. Hinc patet ratio, cur in divisione minuistiarum quotus sit major numero ipso , qui divid tur; quod quidem accidit, cum divisor minor est unitate. Nam cum divisor sit ad dividendum , ut unitas ad quotum, erit permutando divisor ad unitatem , ut dividendus ad quotum, adeoque si du Visor minor est unitate , etiam dividendus debet effer minor quoto. Schol. I. Ubi oecurrit integer magnus. cum Ir

cto disidendus per integrum , ut 634 ' p s ,