장음표시 사용
131쪽
I I: DE , REGULIs ARITHMEOCIstionis : si modii Ioo poscunt horas 3 quid dii 36οὶ Invenies horas I 8. Nam i
Quo tempore prima mola conficiet modios I 26, secunda Io8, tertia ra , quarta 34, qui simul additi essiciunt modios 36O. Demonstri Ut se habet sin primo exemplo ad 6 Φ 3 Φ, I simul sumptos in salsa positione , ita se habet in vera politione Ioo ad 6o Φ 3 3-io simul sumptos. Proinde regula stat in hoc ut numerus falsus Io, productus per numerum falsum 6 , ita se habeat per regulam auream ad ipsum numerum falsum 6 , sicuti verus numerus
R Esul duplicis 'stionis non unum , sed duos
supponit numeros, ut in Propos praeci di. ctum est , solvitque plures quaestiones , quae per unam positionem resolvi nequeunt. Omnes tamen quaestiones , quae per unam positionem solvuntur etiam per duas solvi possunt . Quando autem duplici positione opus sit, indicabitur inserius in Schol. En regulae ordo. I. Pone pro numero quaesito quemcunque numerum , qui dicitur Posirio , & cum eo .prmes iuxta
132쪽
CAp. VI. PRop. VIII. III iuxta tenorem quaestionis ; cui si non satisfaciat, errorem hoc est excessum , vel desectum , quo positio aberrat a numero quaesito ) iubscribe eidem positioni, cum signo , vel - , quorum unum plus , sive excessum, alterum minus, seu desectum
2. Ponatur alius numerus priore maior, vel minor , cum quo similiter examinetur quaestio proposita, cui si non satisfaciat, errorem pariter ei positioni subscribe cum signis Φ , vel - . Cum ambo errores sunt per excessum , vel ambo per desectum, dicuntur . Cum autem unus est per excessum , alter. per desectum , hoc est cum
signis diversisH-&- , dicuntur errores dissimiles. 3. Si errores sunt similes , ducatur prima postio in errorem positionis secundae , & vicissimpositio secunda in errorem primae positionis. Tum horum productorum differentia dividatur per disserentiam errorum , quotus erit numerus quaesitus.
. Si errores sunt dissimiles , productorum summa dividitur per summam errorum , quotus dat quaesitum. I. Tres iuvenes B , C lucrati sunt aureos 47. B obtinuit aureos I plus quam A; C tantundem quantum B , & insuper Io , quaeritur lucrum singulorum.
Pone lucrum A fuisse 4, lucrum B erit sC vero is . Adde simul 4, 9, 19, fiunt 32, at d bebant esse 47, est ergo error, seu desectus in is . Rursus pone lucrum A fuisse. 7 , erit lucrum B Ia , C vero a a , qui simul faciunt 4I, quae summa deficit a vera 7 per desectum 6.
133쪽
ri4 DE REGULis ARITHMETICIs Cum itaque duo errores similes sint nempe ambo per desectum duc positionem 4 in errorem secundae positionis , hoc est in & positionem 7 in errorem I 3; fiunt duo producta et & io 3, quorum differentia est 8I , quem divide per disserentiam unius erroris ab alio, idest per ρ , su trahendo errorem 6 ex alio errore Is quotus 9 dat numerum quaesitum. Itaque lucrum A fuit aureorum 9, B vero I , & C a , quorum summa est 47.
II. Si utraque positio sit excedens, praxis est Omnino eadem . Ponamus enim lucrum A fuisse Ia , erit lucrum B II , & lucrum C 27 , qu rum summa est 56, excedens numerum datum sper errorem s.
Pone iterum II pro lucro A erit lucrum BI6, 3c lucrum C 26 , quorum summa 33 adhuc peccat per excessum 6 . Cum igitur errores simules sint nempe per excessum duc positionem Iain errorem 6 alterius positionis , & positionem II in errorem 9 . Tum sirbtrahe productum minus 7 a ex majori producto 99 , & residuum a divide per differentiam errorum s &', hoc est Per
134쪽
CAp. VI. PROP. VIII. II 3 per quotus 9 dat numerum quaesitum, ut prius. Post. Iz, Erri in s Post. II, Ere. Φ 6 R
9χ II 99 Disseri a IIII. Quod si una positio sit excedens , altera deficiens, summa productorum dividitur per lummam errorum , ut dictum est supra num. 4. Sit idem exemplum claritatis gratia.
Pone lucrum A filis is 3 , lucrum B erit Io ,& lucrum C ao , quorum summa 33 deficit a summa data 47 per desectum Ia ς 1umendus est
Pone lucrum A II , B vero i6 , 3c C as , summa omnium 33 excedit veram summam 4 in 6. Ducatur jam positio prima I in errorem 6,& vicissim positio II in errorem I et . Deinde quia errores sunt dissimiles , addantur duo producta 3o & I3a, eorumque summa a dividatur per
summam errorum I 8, quotus 9 dat. rursus num rum quaesitum, ut antea. Post. I , Err. - ΙΣ
135쪽
iis DE REGULIs ARITHMETICIs Sit aliud exemplum . Interrogatus Pythagoras de numero suorum discipulorum , respondit , e tum dimidium dare operam Geometriae , quartam partem Philosophiae , septimam partem iervare filentium: in super tres alios se habere instituendos. . tiae ritur eorum discipulorum numerus .
Ponatur discipulos habuisse , dimidium erit 28, quarta pars I 4, septima pars 8, quorum summa est 3o: his addantur illi 3, fiunt 33, deberent esse 56 ; est ergo error per desectum 3 ,
quem nota juxta ipsam positionem 36. Rursus ponatur discipulorum numerus III , dimidium erit 36 , quarta pars et 8 , septima I 6 , quae simul essiciunt 1 oo , addititque 3 , fiunt discipuli Io 3 . Est ergo iterum error per desectum 9 , quem nota ad politionem II 2. Iam duc positionem primam Is in errorem secundae positionis, hoc est in s , & vicissim positionem secundam II et in alterius positionis erro. rem 3 , proveniunt Io & 336. Cumque errores similes sint , eorum productorum differentiam 168 divide per differentiam errorum 6 ; quotus 28 dat numerum quaesitum discipulorum . Nam ejus dimidium est 14, quarta pars γ , septima 4, quae simul faciunt a 3 , addititque 3 , habetur nu.
136쪽
CAp. VI. PRop. VIII. at Postremo sunt tres numeri ignoti e , qui sumpti bini dant summam, ut sequitur a b zzz Sob Φ e m roa Φ e Quaeritur singulorum valor . Pone erit b 34, ergo c 36, proinde aq-e I 6. 36 , hoc est uer . Sed esse debebat εο ; ergo positio prima I 6 peccat per defectum 8.
sed debebat esse so; est ergo rursus error per defectum 4. Pro inveniendo vero numero , fiant cetera, ut supra; reperietur a m 2o, proindeb: 3o, c*ψo , unde a Φ c zo Φ o, seu 6o , quod quaerebatur. Schol. Indicium autem quando quaesto propos a
solυi non pusis per unam positionem , sed duplicem
omnino requirat , es cum quaesioni aliquis determisatus numerus additus est, qui una eum numero ad libitum posito debes assumi . Sis in priamo exemplo numeri illi determinari 3 , ο io , qui adduntur numero ad libitum pulto , indicio sunt duplici postrione opus esse . In secundo autem exemplo numerus ille determinatus discipulorum 3 non importat duplicem positionem , quia non nisi cir partes aliquotas et , : numrri quaesiti , unde quaesio illa eriam per simplicem positionem foLmi potes . Guaeritur enim num rus , eκ quo si au- sero' μr et, et, τ residum st 3 . Ponatur idem
137쪽
Ii 8 DA REcuLIs ARITHMETI Is numerus 56, qui prius; erit 36- -τ τα 6 , quod residuum debebat esse 3 . Dicatur er. go s residuum 6 provenit ex 36 , unde 3 8 Prodibit quartus proportionalis et 8 , qui quaestionem
Aurificis furtum in corona Hieronis regis
VItruvius lib. p. Cap. 3. refert , ab Archimede deprehensam suilla fraudem, quam artifex auream Hieronis regis coronam , admixta a genti portione , adulteraverat; sed quo praecise artificio id egerit , non satis constat. Duas tamen massas secisse dicitur, alteram ex auro puro ejusdem ponderis cum corona , alteram ex argento item puro ponderis ejusdem : tum haec tria in vas aqua plenum seorsim immittens , aquam inde effluentem sedulo exploravit, atque hinc quantum argenti in ea corona fuerit admixtum , invenit. Fingamus igitur coronae pondus fuisse lib. I a , item auri, & argenti massas ; & dum corona in vas aqua plenum demitteretur , effluxisse aquae libras 7 et , dum autem immergeretur auri massa , effluxisse aquae libras 7 et , immersa demum a genti massa, effluxisse aquae libras Io . Jam ex regula duplicis positionis ponatur, in ea corona fuisse auri lib. 9 , erant ergo argenti lib. 3. It
que per regulam proportionum dic , si puri auri
138쪽
CAp. VI. PROP. In II 'lib. I et dant aquae libras 7 et, quid lib. 9 P invenies lib. I l . Item, si puri argenti lib. I et dant aquae lib. Iol, quid lib. 3 P proveniunt lib. a n. Adde simul libras 3 et , & et , habentur aquae lib. 8 , debebant autem esie lib. 7 v est ergo
error per excessum , qui notetur cum signo in una cum positione assumpta P. Ponatur secundo in eadem corona fuisse auri
lib. 8 , ergo ex argento erant lib. 4. Dic igitur Per regulam auream , si auri puri lib. ia dant aquae lib. 7 et, quid lib. 88 inveniuntur lib. 4t. Similiter si argenti puri lib. I a dant aquae lib. Io et , quid lib. 4 8 proveniunt per regulam proportionum aquae lib. 3 e . Adde simul lib. 4 ,& 3 et , fit tum ma librarum aquae 8 et, debebant autem esse lib. 7 et . Peccatum est igitur rursus per excessum et , seu n. , qui notetur cum Φjuxta positionem 8, ut sequitur Posu. 9, Err. Φ
Ductis iam ς x 8 habentur ,& Ξ ; quorum differentiam Ε, seu 3 , divide
per differentiam errorum , hoc est Per p., quoius et , seu IO , dat auri libras quaesitas . Erant ergo immixtae et argenti librae.
Ut fiat examen dic, si auri lib. II. dant aquae lib. p
139쪽
DE REGULis ARITHMETIcis lib. 7 et, quid lib. Io 3 invenies lib. 6. Item si argenti lib. I a dant aquae lib. I o et quid lib. et invenies lib. I et . Adde igitur 6 , & I et , summa librarum 7 dat tantum aquae , quantum , dum corona immergeretur, effluxit. Schol. I. Sed nota non opus fuisse Arebimedi , aut cuiquam alteri , qui experimentum hujusmodi facere velit , conficere auri , vel argenti massas ejusdem ponderis cum corona I sed fatis esse ali-qsam auri , er argenti portionem noti ponderis assumere , ut habeatur inter auri , ac argenti pondus, er aquae effluentis quantitatem proportio. Schol. II. Per regulam duplicis positionis alia plures quaestiones pulcherrimae solvi possvnx , qu ramen unge facilius , universali modo per ALgebram expediuntur : a qua pariter peti debet Propositionis huius simplex , ac genuina demon-Fratio ς ur videre es apud Bernardum La, in Elementis Mathematicis ann. Iro edit. Paris. pag. 338. Demonserationes aurem aliunde petitae prolixae sunt admodum , ct implicara , quas proi de nos praetermittimus.
JDatis duobus numeris tertium proportionalem invenire.
DUc secundum in seipsum , & productum
divide per primum, quotus erit tertiuS pro Iortionalis quaesitus . Dati snt a & 8 , quibus resetius
140쪽
ius proportionalis inquiritur. Ducatur g x 8, &productum 64 dividatur per et, quotus 3a est numerus quaesitus. Sic a , 8, 3a, sunt in eadem proportione subquadrupla. Ratio patet ex I. lem. Schol. Si numeri dari sint inter se primi , hoc es unus non sit alterius multiplex , tertius propo tionalis non eris numerus integer , sed fractus . Sic datis a cr 3 inυenitur per hanc Prop. tertius pro
Inter duos numeros datos messium proportionalem invenire .
ΜEdius proportionalis inter duos numeros datos dicitur numerus , qui ita se haset ad . alterum datum , sicut alter datorum ad ipsum ς ita ut numeri dati sint extremi, & ipse medius; qui bis sumitur, semel ut consequens respectu prumi , 3c semel ut antecedens respect u alterius. Dati sint numeri & i 6 , inter quos medius proportionalis quaeritur. Duc illos inter se, & ex producto extrahe radicem quadratam , radix erit medius proportionalis. Sic x I 6 cu , ' cujus radix quadr/ta est 8 per Propos a. Cap. s. Sunt igitur 4, 8, 16 continue proportionales, nam 4.
8:: 8. I 6. Ratio patet ex I. lem. Schol. I. Si preductum ex numeris datis non sit quadratum , ita ut radix quadrata ab eo ervi non possit sine residuo; tunc medius proportionalis inum