Institutiones arithmeticæ Paulini a S. Josepho Lucensis ... cum Praxeon chronologicarum appendice

91쪽

72. DE CALCULO DECIMALIles 73o in Iet, & prodiictum dividatur per Iooo, in m 9 ς habentur ergo , proinde

la LII.

FIO E. Igitur. particulae . datae conficiunt novem uncias, seu b unius pedis Romani. . Similiter scire volo , quot asses , seu quot pa tes scuti Romani , quod in asses Ioo dividitur , contineant idecimales particulae 36 Io. Cum per

Desin. r. sint 3 6 I o zz , si ducantur 56 Ioini Ioo, & productum dividatur per Ioooo , erit in 36 Φ Continent ergo assies 36 Φn, hoc est asses 56 , & unius 'quadrantis Romani semissem. Ratio innititur regulae proportionum, de qua

inferiuS. Schol. I. Simon Stevinus , decimallium auctor ingeniosissimus, eas Ioco fractionum vulgarium adhibem das propo uiri, summo quidem ealculi commodo, cum decimales tractentur sine molestia , non secus ac int gri essent numeri , ut vidimus . Ax recentiores mih matici Tacquetus, Praesexus, ReFneau , m us, re alii hoc praeclarum inventum illustrarunt , additis quoque demonstrarionibus , quae in auctore desiderabam

Schol. II. Ceterum fractiones decimatis in oninifere Morbes magni sunν usus , maxime vero in approxim iione radicum in Algebra. Proinde Anal=ticis nostris. Institutionibus haec ipso de calculo Decimali notitia fuir tanquam appendix adjecta.

92쪽

De extractione Radicum.

I numerus quicunque ducatur in se ipsum , ut 3 κ 3 producitur p , qui dicitur numerus quadratus , propter a logiam , quam dicit ad quadratum Geometricum . Item si ducas 4 x 4.ritur in pariter quadratus. Illi vero numeri 3

' 4 , ex quibus in se ductis planum illud , seu

quadratum oritur , dicuntur latus quadrati, seu radix , & exprimuntur hoc signo M, quod signum

Si radix 3 multiplicet quadratum se , Vel 4multiplicet Is , tunc producitur et , vel qui dicuntur eubi; quia repraesentant corpus aquai, ter longum , latum, & prolandum , quod , Ge metris denominatur culms , & numeri illi 3 & 4 , dicuntur radix , seu latus cuborum 27 , & 64. Quod si cubus ipse per suam radicem multiplucetur , ut 27 x 3 , oritur quadrat quadratus 8I . Si iterum 8a K 3 , oritur quadrato-cubus , dc sic deinceps. Haec producta recentiores Mathematici vocant dignitates , seu potesates ἰ nempe Vocant radicem dignitatem, seu potestatem primam: quadratum secundam , cubum rertiam , quadrato-qua-dratum qu rram, quadratoecubum quintam 3c quas etiam literis sic exprimunt , a ' a' a

93쪽

74 Da ExTRACTIONE RADICUM DEFINI ΥΙΟ.EXtractio igitur radicis quadratae, vel cubicae &c. seu secundae, tertiae, vel quartae potestatis &c. est inventio illius numeri , qui semel , bis , ter , vel pluries in se ductus illam potestatem genuit ,

adeoque ab ipsa potestate denominatur radix se,. eunda , tertia, quarta &c. Si numerus datus centenarium non exoedit , 3est quadratus, ejus radix habetur ex tabella quae sequitur ; ut si quaeratur radix quadrati 64 , ejus radix invenitur 3. Quod si numerus non sit qua, dratus , ut ex. gr. Io, sumenda est ex eadem l bella radix proxime minor , hoc est ', quae in se ducta producit ', quadratum maximum comtentum in dato numero IO.

Schol. I. Nota , qumeratum m us superare quadrnum proxime mi r dupti radicis quadrisi minoris plus uno rate . Sic I 6 - ωx is qua

nempe II.

nempe se x 4 4 3-37 , , sic de aliis .

4839274

94쪽

dato numero radiem quadratam, seu secundam extrahere. STt numerus A, ex quo radix secunda extrahen, da fiI.

. . .

1. Sub ultima figura ad dexteram notetur punctum , deinde sub antepenultima , & sic deinceps , ut totus numerus distribuatur in membras ut hic tria ) quae continebunt binas figuras , e eepto ultimo ad sinistram , si numerus figurarum sit impar, quod unam habebit. Quot erunt mei bra, tot figuris radix quaesita conitabit.. a. Quaere ex tabula superiori radicem primi membri ad snistram , nempe. I S, hoc est radicem proxime minorem , scilicet 4 , quam pone de trorsum post lineam, ut in B. 3. Duc radicem 4 in se iplam, & quadratum K a

95쪽

6 DE ExTRAcTIONE RADICUM 16 pone sub ipso membro 18 , ex quo submis: tur tum residao a quod notatur infra lineam , adde sequentes duas figuras 66 , quae simul f

, Radicem ipsam 4 duplica, fit 8 , quem p

ne in C pro divisore numeri 26 excluditur enim semper a divisione figura notata puncto & qu tum inventum 3 appone tum radici in B, tum divisori in C, unde fit 83. s. Per radicem modo inventam 3 multiplica omnes numeros in C positos , α priauctum et ssubscribe numero as 6 ; ae quo sista subtractione ,

remanent I7.

6. Adde huic residuo sequenm duas figuras 24, fient Iza 4; eandemque operationem Turius insiluer nimirum duplica totam radicem B, habebis 86 , quem pone in D pro divisore numeri r a exclusa figura ultimaὶ quotus erit a , quem ainpone tum radici 'in B, tum divisori in b, &per ipsam radicem a multiplica numeros omnes in D85a . Deinde productum Ira subscribe ipsi numero I724, a quo debet subtrahi ; cumqtae nihil remaneat, signum est , datum numerum esse vere

quadratum.

Sit aliud exemptam . Extrahenda est radix quadrata ex dato numero Μ 6oI56as. I. Dividatur in membra per puncta , incipiemdo dextrorsum modo jam explicato. Sunt quatuor membra , quorum primum ad sinistram continet unam figuram nempe 6 . Huitta radix proxime minor est a , quam pone in iv dextrorsus , ejusque quadratum subtrahe ex primo membro o, T

manent

96쪽

CAP. V. PROP. I. 77 manent a . quibus adde duas figuras sequem, membri , nempe o1 , fiunt ΣΟΙ.

quit ex numero zos , ut patet, proinde quotus 3 minuitur unitate, & ponitur tam in N, quam in R unius 4, qui ductus in ηο producit 176, quod subtrUum ex zor relinquit a I. 3. AVe hiile residuo duas sequentes figuras 36, efficturi 'M . Repetenda est eadem operatio in ties, quot restant membra in dato numero . Nunuri duplicanda est radix a4, 3c per ejus d plumis

97쪽

suin . 8 , quod ponitur sinistrorsum in ae, divDadenda lunt a 35 relicta ultima fisura quotus s est nova radicis figura , quae ponitur 'in N ,

tum etiam in . per ipsam multiplicando omnes figuras jn, exiitentes, habetur productum et assubtrahendum ex a 336 , factaque subtractione habetur asiduum I 3I . Cui adde ultimas duas figuras as , & operare ut iupra , invenies uItimam radicis figuram et , quam' pone in N & S, ac cetera prosequere , ut saepius dictum est . . Est igitur radix quaesham et Ia , remanent 33a I , adeoque numerus datus non est revera

quadratus.

Corol. Hinc patet, ridicem inveritatu per divi. sionem unitate esse minuendam , si productum , quod fit ex multiplicationeri majus sit numero , a quo subtrahi dabat ; Qt in secunda figura radi- eis inventae factum est : quod quidem notetur. Schol. I. uando diυisor non .eontinetur in aliquo membro dividendo . apponitur in radice e phra , seu Vro , ut se erarabenda μ radix quaqarara eκ 3714. Qia sublaro ex primo membro 37 quadryro 36 r icis inυentae 6 remanet I

Schol. II. Si numerus datur nρn est Aa ratus , sed Gn ner re uum , ut in Altato exemplo resi

98쪽

duum rI4 ; tune fit ex residuo fractis , in qua

resduum ipsum. ponirur pro numeratore, pro δε- nominatore autem . dUmm radicis inventae . Si vero residuum sex mois tua radice , tune duplo radicis inυenta adiarur unitas . Sic in eodem ememplo, quia res uom εI maius es rota radice so, addita ianitate ad dudum MVinx radicis , erit fractis e , ae rora radix εο--rex Sch. I. pag. 74. Schol. III. Nulius numerus erit quadratus , qui horiae .d deseeram figuram Mitimam a , vel

Demonseri pendet a Prop. 4. lib. a. Esci. Nam mime si e dratus 186624 , qui producitur ex continet primo quadrata partium ' 3, . cundo, bis rectanguium 4 χ 3 . Tertio, his r riangissum ea. 43 κ et, seu rectangulum ex duplo ipsius 43, nempe g a; quod patet ad oculum,

99쪽

loco numerorum 4, 3, a, sumantur literae a Q; ut in nostris Insiit.

PROPOSITIO In

Radicem quadruam pre approximationem inquirere.

Extracta radice quadrata , si quid remanee ,

fgnum est , talem numerum non esse revera quadratum , neque habere radicem rationalem , quae numeris exprimi possis . Quanuis autem v xa radix sit impinibilis , potest tamen per fracti nes decimales ad veram radicem magis magisque approximari, ita ut excessus, vel defectus a vera radice sit minimus. En praxis. Adde numero , qui remanet post extramonem radicis , vel numero ipsi, a quo extracta fuit radix, tot cyphrarum paria , quot volueris, nempe oo, seu ooco, Ooomo &e. & ex numero re. fiduo una cum praedictis cyphris extrahe radicem

secum

100쪽

CAP. U. PRop. II. 8 secundam , ut moris est. Aufer deinde ex radice

tot figuras a dextera. incipiendo ) quot fuerunt

paria cyphrarum additarum . Reliquae figurae radicis exhibebunt radicem una cum minutia, cujus numerator erunt figurae ablatae , denominator Vero unitas cum tot cyplaris quot paria fuerunt addita.' Sis exemplum. Extrahenda , est radix ex numem Ia , patet radicem esse. 3 , & remanere 3. Adde ipsi Ia tria, cyphrarum paria , erit Ia OOOOGO. Extracta ex hoc numero . secunda radico per Propos. I. HIus invenitur 3 6 , . ex qua ablatis ad dexteram tribus, figuris , ob tria cyphrarum paria addita , erit . . radix 3 vera quidem minor ,

sed propinquior, & exactior , quam radix primo

inventa. . Schol. I. Si numero , ex quo radiκ secvnὰs eXrrabitur , minuria adhaerest , reducitur minutia in partes centesimas , ct extrahitur radia . E

trahenda sit radix o 6 et , reduc fractionem incenresimas per Prop. 4. Cap. 3. erit fractis , cui adde 6 , Iit , cujus radix quadrata eris - Schol. II. si denominator minutis , qπα

integro adhaeret , I x numerus quadratus , pol irnumerus integer ad unam cum ipso minutiam ν duci, re inde retrabi radiκ. Sic insuperiori exemplo 6 ' fieri, extractaque seorsim tum eu denominator tum ex numeratore radice , habetuar et a 'F τ , με antea . Unde patet modus extrahendi radicem quadratam ex meris fractionibus, qua numeris quadratis

L Schol.