장음표시 사용
141쪽
ia a DE REGULIs ARITHMETICIsniri nullo': mori Nam don num ri/nν ra g. a I, radix quadrata Prop. citi ct schol. a erit 3 P. Adeoque erunt in continua proportioud
λ , 3 P , 5, es falsum , nam si reducantur ad idem nomen, erunt, V , U , 1 3 , is , 30,
millo modo iunx proportionales , ut patet. ' , Sciaml. II. Cum omne . quadratunn intelligi: possis. multiplicatum esse per unitatem , hinc omnis radia quadrata erit media proportionalis inter inisatem ,σ ipsum quadratum . Sie 23, radix quadrata numeri 6 a 3, es midia propoletionalis inter L ' 62 3, proinde I, 23, 623 Iunx in eadem ratione continua. Nam I . 23 :: a 3 . 6ῖ S.
Inter Σοs m eros datos duos medios proportionales
dratum. unius extremi ducatur in alterum
extremum, &. ex producto extra satur radix cubica' Prop. 3. .Cap. I. , quae erit duorum mediorum proportionalium prior. Deinde quadratum alterius extremi ducatur in alterum extre'. mum , &. ex producto pariter extrahatur radix cmbica, quae erit duorum mediorum proportionalium
Dati s ni numeri a & IS , quos inter invenure oporteat duos medios proportionales . Quadraminorem numerum 2, ejusque quadratum 4 ducin
142쪽
CA . VI. Pxop. XII. Iz3 in fiunt 6 , cujus radix cubica erit prior duorum proportionalium . Similiter quadratum a se terius numeri I 6, nempe 236 , duc in a , fiunt 3ia , cujus radix cubica 8 erit duorum proportionalium posterior , proinde et, 4, 8, 16 sunt in continua proportione, ut patet, cum sitia ad 4,
Schol. Si ad numerum datum , ct primum m dium proportionalem inventum, quaeratur tertius proportionalis per Propos. Io. hujus p vel se interimedium proportionalem inυentum, , alterum numerum datum inυeniatur medius proportionalis per Propos. II. huius; in utroque cclv obtinebitur secundus duorum mediorum proportionalium quaestus. Ceterum snumeri dati sint ratis, ut inde radix cubita obtineri
non pust sue fructionibus , tunc medii proportiona.
les inυeniri nequeunt, ut de uno' medio proportionali dictum es in Schol. I. Propos. Praec.
QU.ones aliquot practica expediuntur. ETsi quaestiones sere omnes , quae sequuntur ex regulis proportionum jam explicatis facile resolvi possint ; quia tamen eas ot inare, ataque expedire tyronibus negotium facessit, adeoque Arithmetici practici peculiares de his tractatus instituerunt, proinde nos praecipuas breviter indicabimus , ita tamen ut ex Ipsa praxi Oeerandi etiam
143쪽
Ia I. Marcellus debet Titio scuta Romana 343 . Cedit illi domum, quae locari solet annuis s cutis 53 τ, possidendam, donec debitum sit omnino lotu. tum, quaeritur quot annis eam Titius possidebit. Dividantur ic. 3 3a per sic. 33 τ redactis integris cum fractione ad fractionem ejusdem nominis invenientur anni 63, menses II, dies Ia, quod per se manifestum est'. 2. Impendit Paulus scuta Romana 4 i5. 33 in libras 383 mercis cujusdam coemendas , unde imcrari cupit scuta Io. So, quaeritur quanto singulas libras vendere debeat.
Addantur simul emptae mercis pretium , & lmerum inde faciendum , nempe 4 II. 33 -F SQ. So465. 83, quae quidem summa dividatur pernu'merum librarum 383, quotus dat unius librae pretium. scilicet sic. I: 2I. 3. Lucilius vendidit aureis sora landum, quem emerat aureis 8 oo ; quaerit quantum ex singulis Ioo lucratus sit Dic per regulam proportionum si 8 oo fiunt so7 et, quid Iooὶ Invenies Io 8. Fuit ergo ex sing tilis Ioo lucrum aureorunt 8.
Vel sic, subtrahe 8 oo ex sora , disserentia, seu lucrum est aureorum 67a . Die ergo , si 8 oo dat ora, quid Iooὸ invenies 8, ut antea. Examen fit si dicas, Ioo fiunt Io8 , quid 8 oes
. Fingamus ab eodem Lucilio solvendam esse pensionem scutorum Ioo annis quinque, hoc esticula' Ioo singulis annis ἰ quam ille emit parata pecunia , Alutis statim scutis 4oo . . Quaeritur .
144쪽
CARNL PRop. XIII. I 23 quantum tueri ex singulis ioo percipiat. Dic per regulam auream , si scuta o fiunt 3oo, seu per Prop. 4. hujus, si 4 fiunt 3, quid Ioo invenies Ias; adeoque ex singulis Ioo habet lucrum
Mamen erit, si dicas ioo fiunt Ia 3, quid OOZ fiunt 3OO. Schol. I. Quaestiones hujus generis pertinent ad regulas lueri, Ieu simplicis meriti, ut vocant. s. Fabius debet Sempronio aureos 6so annis triis bus solvendos, hoc est singulis annis aureos 2Go. Paratus tamen est statim aureos creditori solvere, siquidem io ex singulis Ioo sibi relaxet. Quaeritur, quot aureos solvere debeat. . Adde lucrum Io ad Ioo. fiunt IIo. Tum per regulam auream ter repetendam quot scilicet anni sunt dic si rio fiunt aqo ; vel f per Prop.4. huius si ii fiunt io, quid aeto P fiunt 2 o . Rursus dic, si II fiunt Io, quid cetoo P invenies I 8I A. Demum, si II dant 1o, quid 18r 8, proveniunt I 63 a. Addantur simul ΣΟΟ, Ι 8I . , I 63 E . Erit summa 3 7 a. . Accipiet ergo Sempronius tantum aureos 5 7 G. .
Sehol. II. Nota in hae lani que hujus generis quaestionibus dici non posse, si ioo sunt so , quidetao p Θd necessario addi debere lucrum ipsum Ioad ioo . Nam nihil aliud proponisur relinandum , nisi lucrum ; proinde lucrum ipsum additur ad somtem , seu Ioo, ur baseatur IIo, primus regula a I
6. Eadem ratione si quis ad tres annos domum conduxerit cum annua pensione scutorum 3 oo ,
145쪽
irs DE REGULrs - Ak1THMETICIs domino autem ejus domus omnem statim summam in antecessum solvat ea conditione , ut sibi scuta 3 pro singulis Ioo compenset o dices , si Iosfiunt roo, seu dividendo io 3 , & roo per j I in si et i fiunt et o , quid 3oo 3 invenies et 83 τ. Ru sus, si ai fiunt et o , quid 283 τὸ fiunt 272 a, . Demum si ai dant ao , quid 27a ΔΤ proveniunt 239 . Horum summa 816 redactis se,ctionibus in partes centesimas ia antecessiim domus illius domino solvenda est. Quod si aurei illi 66o a Fabio triennio post k vendi sint; tunc additis, ut supra Io ad Ioo, sic si IIo fiunt Ioo , seu, per Prop. 4. hvus , si II fiunt Io, quid 66οὶ erunt 6oo. Rursus, si ii fiuntio, quid λοοὶ invenies 3 3 Demum, si II fiunt
Pronio solvendi sunt. i 1 Vel brevius, duc 66o x io x Io x lo Tet gooo,& productum 66-- , divide per II x is x Iai 33s, quotus dat 495 a, ut antea. 'i Schol. III. Haec praxis vulgo dicitur , stomare n
7. Accepit Caius. aureos 3oo cum usura aure rum Io ex fingul7s Ioo in annum ea lege, , ut
nisi solvat sngulis annis , fiat ex stenore auctio sortis. Nihil fuit a Cajo solutum toto triennio . Qtiaeritur, quantum ipse pro sorte , atque usurae . usura isneratori debeat Adde to ad isto sunt IIo : deinde per. regulam auream dic, si aurei too fiunt reto, leu si rosunt II, quid' 3oo p invenses 33o, hoc est 3oo pro sorte, pro usura vero primi anni Io . Ru
146쪽
Coroll. Hinc liquet, sortem datam , nempe aureos 3 , & summas deinde inventas per regulam Psoportiorum 'IIp. t 6os, & 663 et esse terminos sontinue sp portionales, cum omneu sint in eadem, Proportione , quam habet Io ad Il , proinde inter nem datam. & ultimili termini summam tot in. tercedunt medii proportionales , quoli ejus s uoris iuerant anni uno mesus, Hoc ipsum dei praecedentiquaestione debet intestigi. Schol. IV. Praxis hujusmodi , quae apud Latinos anatocismus , flve usura usurae , re a nonnullis usura Iudaica dieitur , est a Rege vetita . Ab Italis vocari Iolet meritum meriti , seu meritare acapo d' anno . Hae vero regula urimur , ubi fundus ex annuis fructibus continuo augeri, ac multiplicaris. Terentius debet, Gellio pro usura primi anni summam sortis δc scenoris simul scuta 46o8, pro quarto autem anno scuta 6561 ; quaeratur, quanta fuerit sors, quantumque faenus.
. Quaeramur interj-og, &,636i duae mediae proportionales per Prop. n. b As e duc scillaei minorem 46M in se , fit quadratum Ma 3 3664, quo ducto in majorem producitur J393Ι-695 Hinc
147쪽
DE REGULis ARITHMETICIS Hinc autem extrahatur radix cubica, per Prop. Cop. I. prodibit II 84 , quae erit duarum propo tionalium minor, per Prop. I a. cit. Solvet igitur secundo anno pro sorte , ac scenore scura Si 84: atque hinc deducitur sortis quaesitae quantitas. Nam ex praeci Coroli. sortis summa, & teliquae omnes ,
. sunt inter se in proportione continua ; proinde secundi anni summa 318 se habet ad summam 46os primi anni, sicuti haec ad sortem quaesitam. Datis itaque duobus terminis II 8 , & so8, quaeratur tertius proportionalis per Propos Io. huyus , erit sors quaesita a o96. Hanc vero subtrahe ex summa data sortis & scenoris primi anni, nempet ex 46o8, innotescet ejusdem sortis usura, scutorum scilicet Ira, seu Ia - ex singulis ioo. Nam dic, si scuta o96 fiunt Mo8, quid Ioo et ' invenies a Iaz, hoc est Ia et ex gulis centenis.
De Progressionibus Arithmeticis,
O Geometricis earumque regulis.
PR*res is est complurium terminorum eademst ratione procedentium series . Si excessus', vel defectus , quo termini illi . procedunt , sit. aequalis, ut I, 3, 3, 7, 9, &ς. qui binario erescunt, Vel II, 12, 9, 3 &c. qui ternario ducrescunt , tunc oritur progressio Arisbmerica .
148쪽
CAp. VII. LEMMATA . ' Irs Si vero termini sint in continua ratione Geometrica proportionales . eo modo , quo in Praecedenti capite explicatum est , tunc habetur progresso Geometriea. De utraque hic breviter agemus. Datur etiam proportio Harmonica , seu Musi. ea, in qua tres termini ita ordinantur, ut eadem sit proportio maximi ad minimum , i quam habet differentia maximi & medii ad differentiam . me.
dii & minimi. Tales sunt numeri 3, 4, 6. Nam inter 6 & 3 est proportio . dupla , sicuti dupla est proportio differentiae inter o & 4, nempe a , ad differentiani inter &3, nempe I , scilicet 6.
Regulae progressionum hujusmodi consistunt in hoc , ut eorum terminorum series compendiose ,& sine prolixae calculationis taedio in unam sum.
I. TN progressione Arithmetica terminorum quo- I rumcunque , summa duorum extremorum aequatur summae duorum terminorum, qui ab e tremis aequaliter distant. Sint , 3, 5 , 7, 9, D. 'Erit 1 Φ ri 3 Φ 9. Item I in II m 3 Φ7. II. In progressione Arithmetica terminorum imparium summa extremorum , vel duorum te minorum aequaliter distantium , dupla est termini medii.
149쪽
In hae progressione septem te inorum summar in a 3 m 7 in 7 , seu 24. Item 3 Φ 11 I ,
pariteri 3 Φ9 2 I4. III. In omni progressione Arithmetica quilibet terminus continet primum , hoc est minimum ter. minum, & toties excessum , seu differentiam una minus, quot sunt termini post primum usque ad ipsum inclusive. Sint , 3, I , p, P, II. Terminus quartus progressionis p continet , ut patet, minimum terminum I, & ter differentiam a. Pariter 9, terminus quintus progressionis , continet I , & quater differentiam ipsam et . Ita quique II, terminus progressionis sextus, contineti , & quinquies differentiam 2, ut patet. Coroll. Hinc habetur maximus progressionis terminus , si differentia ducatur in numerum te minorum unitate minutum , 3c producto addatur minimus terminus . Sic in pnec. progressione , si differentia et ducatur in s numerum terminorum unitate minutum & producto 'addatur minimus terminus I, habetur maximus terminus 1 I. 'α
150쪽
Datis misimo ae maκἰmo progressionis Aritbmerica terminis, re terminorum numero, invenire summam.
REgula haec est : summa minimi ac maximi
termini multiplicetur per dimidium nuine. rum terminorum , productψm dabit lummam totius progressionis. Sit exemplum. Quaeritur summa omnium campanae pulsuum alicujus horologii , quod ab I h ra usque ad la inclusive , det pulsus pro horis
juxta naturalem numerorum seriem I, 2, 3, 6,
I &c., ita ut pro hora I septies , pro hora Iodecies, pro Ia duodecies pulset. Minimus terminus est et, & maximus Ia ; horum summa a 3 ducatur in , dimidium terminorum ὶ productum 78 dat omnes campanae horariae pullus pro horis 1 a . Cujus duplum dat pulsus borarios Imtegri unius diei. Ratio deducitur ex lemm. I. Nam cum summa extremorum aequalis sit duobus quibusque termis. nis aequaliter distantibus , rectangulum factum ex summa primi, & ultimi in numerum dimidium terminorum , necessario aequale erit summae totius progressionis. Multiplicatio enim est idem ac compendiosa additio ex dictis Prop. I. Cap. I. . Coroll. Hinc insertur , summam progressionis Arithmeticae pariter haberi, r. Si dimidium sum-R a mae