장음표시 사용
151쪽
i3a DE PROGRED. ARITHMETICIS mae maximi ac minimi termini ducatur in numerum terminorum . a. Si summa maximi 8c minimi ducatur in numerum terminorum , & productum per et dividatur . 3. Quia vero in progressione terminorum imparium numerus medius aequatur dimidio summae maximi ac minimi ex Iem.' hinc sequitur , haberi progressionis summam , si numerus medius ducatur in numerum terminorum imparium.
Datis terminis maximo , re minimo , necnon re numero terminorum, disserentiam invenire.
A Maximo termino aufer minimum, &resduum
divide per numerum terminorum unitate minutum, quotus dabit differentiam quaesitam. In praec. exemplo campanae horariae a maximo termino Ia aufer minimum I , & residuum Irdivide per numerum terminorum unitate minintum , nempe II; quotus a dat disserentiam quaesitam a
Ratio desumitur ex lemm. 3. Nam Ia continet minimum terminum I , & praeterea toties continet differentiam , quot sunt post terminum I usque ad ipsum inclusive Ia termini, qui nimirum sunt II: proinde , ablato minimo termino , residuum continet toties disserentiam, quot sunt progressionis termini minus uno ; adeoque diviso r sduo
152쪽
CAP. SVII. PRop. III. r 33siduo per numerum terminorum unitate minutum habetur disserenita a
Minimo termino, disserentia , re numero terminorum datis , invenire
DUc differentiam in numeriun terminorum uni tale minuturi, & producto adde minimum terminum , summa dabit maximum. Sit ' exemplum . Dux exercitus distribuere vult praedam' in expugnatione Urbis collectam inter , strenuosi milites, ut Fimi arcem occuparunt; hoc pacto , ut uuiitisi qui moenia superavit, dentur aurei Ioo, penulti I 3o, antepenultimo I 6o, dc sic deinceps: quaeritust, quantum retulerit pecuniae primus . Patet minimum terminum esse Ioo, differentiam 3 o , & in umerum terminserum o. Duc proinde go in 39 , & . producto IIIo adde minimum terminum Ioo , habebis maximum I 2IO, , praemium scilicet primi militis . Ratio patet momm. 3. , eis M Corali.
153쪽
daris , numerum terminorum . invenire.
A Maximo austr. minimum , & residuum divi.
de per disserentiam , quotus unitate auctus
. Sis exemplum est multitudo librorum hac conventione , ut minimus liber ster ivliis et , secundus tuli is 4 , tertius 6 8α. vlthni vero libri pretium fuit tutiorum 4oo, quaeritur librorum numerus . Auser minimum 2 a maximo Mo, 3c residuum 398 divide. per differentiam a P, quotus I99 unitate auctus , sia est aco , est numerus terminorum, seu litirorum, qui quaeritin . Similiter artifex de opere per clando convenit hoc pacto, ut primo die selvantur tibi asses ao , secundo die asses as, tertio asses 3o , & fic deinceps. Ultimo die, quo opus instavit , accepit asses 163, quaeritur quot dies operi insumpserit . Aufer terminum minimum ao a maximo 163, &residuum et 45 divide per diiserentiam 3 , quotus est ast, qui unitate auctus dat dies 3 o. Ratio propositionis desumitur ex lemm 3., ut manifestum est. PRG
154쪽
N 'lingoni sunt summae progressionum
Arithmeticarum ab unirate incipientium. Di cuntur in specie Triangulares , si differentia prin
gressionis sit a r Quadrati , si ditarentia sit a Pentagoni, si 3 : Hexago, ni, si : Heptagoni, si I &e. A
sertiuntur autem haec nomia bna a figuriscisomraricis, in L .
Ias duponi possunt perpum. ' ia unitatibus espondentia ut ex Uriangulari . BCp, B . . . . C
II. ai. 43. Oct 91.Latus Pol OH est numerus terminorum Pr gressionis Arithmeticae, qui summantur , quod 'ubdem tot continet unitates , quot numerus ipse Polygonus terminos . Sic latus B C polygoni tri
155쪽
nus, ex quorum numero determinatur. Sic numerus angulorum in. Trisingulari s est y , ' in D. tragonis , in Pentagonis 3 &c. , Numenis olim angulorum superat semper duplici unitate disseremtiam . progressoriis generatricis , 'quod notetur . , Ex his iacile est solvere pmblemata qtue sequuntur . I. Dato latere , & . numero; angulorum nummrum polygonum invenire . Nam .esto datum latus di angulorum numerus 3 . Jam patet , addendos esse quatuHr terminos , cum latus datum unita ites quatuor contineat progressionis Arithmeticae cujus differentia est I . Nam 'angulorum nummarus 3 - et , dat disserentiam I . Erunt ergo te mini addendi 1 - 2Φ3- Io, qui erit numerus triungularis quaesitus . Sit exemplum , disponeret Volo .m uiridario i aliquot flores , sive arboresi, in forma . triangulari , ita ut in uno .latere sint arbores 4 , . quaeritur eorum numerus : pa
- 2. . Dat O. numero polygono , Scangulorum numero , polygoni latus invenire. Sit Polygonus datus II , & lingularum numerus 5.. Ex dictis constat differentiam seriei generatricis esse 3 , adeoque polygonum . datum II esse Pentagonu cui in prima serie numerorum naturalium respondet latus 6 . Quod manifestum est si ejusdem, seriei , cujus disterentia est 3, termini. ei summentur.
156쪽
CAp. VII. PROP. V. 137 schol. M addantur simul numeri polingoni, nempe Triangulares , aut Gadrati , aut Penragoni σα summa dat numeros 'ramidales, oriantur madditione Triangularium, vocantur 'ramidales Trianis gulares. Si ex additione quadratorum , 'ramidales uadrati. Sic si addas simul Hexagonos I, , II , 28, 43, 66 , ere. invenies numeros Dramidales mis Ἀρηο I, 7, 22, 3O, 93, I Q σαο se de aliis.
D. Progressonibus Geometricis.
LEMMA IRIN omni progressione Geometrica si terminus
quilibet in se ducatur, & productum dividatur per terminum primum progressionis, quotus dist, bit a primo termino locis duplo pluribus , quam ipse terminus. In progressione A terminus 8 tertio loco p stus , qui duobus locis distat a primo , ducatur in se , & productum O. dividatur per primum terminum et, quotus 3 a distabit a primo termino locis duplo pluribus , seu quatuor . Nam terminus 3 et est tertius proportionalis ad duos terminos a , & 8 , per Propos. Io. Cap. 6. proinde 32 toties continet 8 hoc est bis terminum interm dium 16 quoties 8 continet primum a , nempe A 2, 4, 8, I 6, 32,cu.
157쪽
bis terminum intermedium 4 ; adeoquo cum 3 a tantundem distet ab ipse i , quantum 8 a termi
no primo et duobus scilicet locis distabit ipse
3 et a primo termino locis duplo pluribus , nempe
Coroll. Hinc sequitur, quod si cuilibet progressioni Geometricae subscribamur numeri ordine na-xurali ab unitate , facto tamen initio a cyphra , quilibet progressionis terminus, qui producitur per alium in se ductum, & divisum a primo, habeat sub se notam duplo majorem , quam terminus a quo producitur . Sic in superiori exemplo terminus sa habet sub se notam 4, duplam ejus quam habet 8, ex cujus ductu producitur . Tales enim
numeri, qui exponentes, vel indices progressionis dicuntur, indicant, quantum qui que terminus distet a primo. Locum autem, seu numerum terminorum progressionis indicant unitate minorem . Sic 32, cujus index est , est: quintus in progressione te minus. Quod notetur.
bet termini in se ducantur , & productum di-Vidatur per primum terminum progressionis , quotus dabis terminum tot locis distantem a primo' , quot, unitates habent indices duorum illorum te minorum simul additi. In Progressione Geometrica B stibscribantur numeri ordine naturali ab unitate, ut dictum est in
prisc. Coroll. δc duo quilibet termini ro & o ,
158쪽
CAp. VII. LEMMATA.13squorum indices simul additi dant 4, ducantur imeter se , eorumque productum Mo dividatur per Primum I, quotus est 8o, cujus index pariter est Α, adeoque quatuor locis distat a primo termino per Corol citi B I, Io, zo, o, 8o , Iso die.
Coroll. Hinc ad inveniendum quemlibet progressionis datae terminum, v. g. sextum , multiplicari debent inter se duo termini, eorumque productum divide per primum , ita ut eorum indices additi
eontineant tot unitates una minus, quot habet te minus quaestus. Sic ad inveniendum sextum pro
gressionis B terminum, ductis inter se et o & o quorum indices additi dant ue & producto divi
so per 3, quotus Iso erit lexius progressionis te minus, ut patet.
Datis minimo re maximo progressionis Geometricaeterminis, ac denominatore, summamrerminorum invenire.
A Maximo termino aufer minimum, &residuum
divide per denominatorem proportionis unitate minutum , additoque quotienti ultimo termino , habebis omnium terminorum summam. Sit exemplum . . Venditur equus eximiae pubS a , chria
159쪽
r o DE PROGREss. GEOMETRICIschritudinis hoc pacto, ut juxta clavorum nurneis
rum, qui in soleis ferreis figendis adhiberi solent,
solvatur pro primo. clavo I assta, pro secundo ci voa asses, pro tertio 4, 3cta deinceps in proporti ne dupla. Clavus ultimus importat asses et I 7 83648. Quaeritur assium omnium solvendorum summa. Aufer minimum terminum I ab ultimo, & residuum divide per denominatorem et unitate mutitatum, nempe per I; & quia unitas non dividit, remanet quotus idem ac residuum et I 47 836 7 , cui adde ultimum terminum , fiet totius progres-
sonis summa 4rs 967a9s: qui asses si dividantur per Ioo, erit pretium illius equi scutorum *9 967a,& asses 93, per Schol Prop. I. Cop. 3.
Ratio deducitur ex Prop. 34. lib. 9. Euel. Nam in omni finita progressione Geometrica, ut den minator unitate multatus est ad unitatem , ita
maximi & minimi differentia s seu maximus temminus , dempto minimo ) est ad totam progre
sonis summam, minus ipsomet maximo termino ;ut si fuerit progressio Geometrica in proportione tripla 3, P, 27, 8s , a 3 , erit denominator 3 unitate multatus, seu 2 ad I , sicuti et 3 -3, seu et o , ad totam progressionis summam, dempto maximo termino, boc est ad 3 Φ 9 Φ et 7 H- 8ileto: proinde diviso a o per a , habetur Iao, cui additur ultimus terminus 2 3, ut habeatur totius progressionis summa 363. Schol. I. Progressonis dupla ab unitate ine piem iis breυius habetur summa , si duplicetur terminus ultimus, re a duplo auferatur unitas. Sic in Priori
exemplo duplica ultimam re inum a I47483648 ,
160쪽
CAP. VII. PROP. VI. I Iae deme unitatem , residuum dabis summam totius pro gressionis 4ry 96729s , ut anua Ratio per se manifesta es, quia Gumminator unicate multatus es unLxas , qua non dividis; re addere quoto uisimum ter minum in hoc easu idem es , ae illum bis sumere . seu dupticare. Schol. II. Ex prognessone 2via ab I incipientea; 4, 8, I 6 σα habentur numeri , qui dicuntur Pe fecti , qui scillera omnibus huis partibus aliquotis aequm ira sunt , ut 6 , 28, 96 6 c. hoc pacto e adduntur oris dinatim progressionis duplae termini, donec eorumsum. ma sit numerus primus , ut I Φ a 3, i Φ a Φ 4m 7, 1 Φ Φ 8 - 3I . Tum numerus primus 3 , via r , vel si duciMur in numerum ultimo adisdit um , re producta oritur numerus perfectus. Me 3κata: 6, 7 c Vz. 28, 3 I x Ism 496. Et se de aliis , qui pauci δε- , sicuti in natura aliares, quae perfectae dicuntur. Nior intra deeem est 6, intra centum est a8 intra mitti e θ 4'6 , intra δε-na millia 3128 . On-es aut senaris , aux o lanario