장음표시 사용
161쪽
Datu aviquot progressionis Gram Mea terminis , qumcunque alium , etiam mediis non cognitis, invenire.
DAii sint aliqui termini Geometricae progresissonis re inveniendus sit ejusdem terminus v. gr. Vigesimas. Hujus index erit Is, nimirum unitate minor numero termini quaesiti , per . oli. Iemm. 4. Subscribe terminis datis numeros
naturales ab unitate , facto initio a cyphra , pe Cori cit., & duc 8o, qui in progressione quintum locum occupat, & distat a primo locis 4 , in seipsum, eiusque productum ὸ oo divide per prim uesterminum 5, quotus et 28o distabit a primo termipo iccis duplo pluribus, quam ipse 8o , hoc est locis S per lemm. 4. Eadem ratione due Iaso in se ipsum , & productum divide per 3, quotus 32 768o, distabit a , primo termino locis duplo pluribus , hoc est Isper lemm. cit. Cum autem index 16 ab indice te mini quaesiti is differat per desectum 3, duc 3 et 768o per terminum, cujus index sit , hoc est per εο,& productum divide per 3, quotus 26aI44o erit te
minus vigesimus quaesitus. Nam cum ex constructione terminus 262I4 ost productus ex duobus terminis 32768o, & AO, quorum indices sunt 16 & 3 , seu ist , & diu sesus sit per primum terminum 5 , distabit tot locis
162쪽
. CAR. VII. PROP. VII. I 3 eis a primo termino, quot unitates habent duorum illorum terminorum indices I 6, & 3 per Imm. I. hoc est locis I9; adeoque eius index erit 19 , proinde terminus in progressione vigesimvsper Coroll. Imm. 4. Quod erat &c. Coroll. Patet idem esse quaerere datae progressionis terminum Zo, ac terminum exponentis, seu indicis I9, unitate minoris termino quaesito:
eruntur nonnullae Progressionis Geometricae quaestiones is 1. Uaeritur , quantum frumenti ex uno irruticet granci haberi posta annis Io, si se inponatur ab unoe grano produci posse singulis
annis grana. Ion, licet revera multo plura produci
Illae ergo Im granae secunda anno producent gemties centum grana, nempe Io, o , &sic deinceps in proportione centuplaia Inveniatur huju& progressionis decimus , seu ultimus terminuς, qui per Pr pos praecia erit IOOPO, OO , OOoO, OOOO, OOm, hoc est unitas cum cyphrix et o . A quo si auferatur minimu& terminus I Oo, messiis. primi anni , & rem duum di idatur per denominatorem proportionis unitate minutum , hoc eis per99, 3c addatur quoto ultimus terminus supra inventus, erit O ium granorum summa per Prop. I.
163쪽
r PRodrass. GEOMETRIcis Quam nec totius Europae horrea caperent Ponamus enim ad unam Romanae librae unciam requiari grana 6oo ; ad libram unciarum I 2 requirumtur. grana 72oo. Cum autem Romanum ut vocant ) Rubium sit pondo librarum 6 o, requirumtur ad rubium unum grana Mo8ooo; dividatur Per hunc progressionis summa, dabit quotus rubi
a. Rex, cui ex annuo redditu proveniunt terdecies centena millia nummorum argenteorum ,
statuit eiusmodi redditus alicui ministro locare hoc pacto, ut singulis annis per unum mensem solvat sibi primo die assem I, secundo die asses et, temtio vero 4, in proportione dupla diebus 3o, quaeritur summa solvenda regi. Inveniatur progressionis duplae ab T incipientis terminus 3o per Propos Iraeci erit 33687ostra, qui, duplicetur, & a duplo auferatur unitas; erit assium summa Io7374I823 , per Schol. I. Propos. 6. EX qua resectis ad dexteram duabus notis, habetur
3. Scheramus Indiae rex proposuit Sessae Dahilaudo, qui latrunculorum ludum a se inventum illi
exposuerat, ut in proemium peteret quantum vel- 'let. Ille vero nihil aliud petiit , quam ut tritici granum prima areola positum continue duplicaretur, donec ad ultimam 64 perventum fuisset. Levissima regi primum visa res est: led facto computo ab rithmeticis, inventum est. neque in ejus regno, ne que in toto terrarum orbe reperiri eam tantam tritici copiam, nempe I 8 2 671 613. Hoc PM
164쪽
CAp. VI ΙΙ- PROP. VIII. I sschoL I. Hane doctrinam qui perceperis, haud mirabitur id, quod sacra historia narraν de muLritudine filiorum Israel, qui egressi sunν de Amrapro . Cum enim eo profecti essent non plures , quam 7o, ira mutriplicati sunt, ut pose annos Iao,
inde exierin3 ad sexies centena millia belurorum hominum, praeter pueros, fenes, ac mulieres. Schol. II. Ainirando Geometricae progressionis duplae ab I incipientis usque ad terminos Ia -- Husiυe inermenta, quor sciliser scalarum gradibus Romae ad templum Aracaelitanum ascenditur , prosecutus es integro libro Romae edito an. I 652. Fri Ludoυicus Paris de Monte Fano Min. Obse . , in quo ror , ac ram lepida congerit, ut nesciar , Mirum magis Geometrica progressionis incrementa , an hominis mentum , vel otium mireris. Schol. III. De progressione Geometrica infinita per infinitos reminos descendente non loquimur , quod haec uronis Arithmetici sudium 3ranscendar ,
di per Anal in ea longe facilius explicetur.
Ex dato rerum numero combinniones omnes inυenire.
Combinatio rerum fieri dicitur, eum dato ceristo rerum numero, v. gr. octo alphabeti lit
ris , quaeritur quoties illae bis , ter , vel quater inter se combinari possint : hoc est quot binarii . quot ternarii, aut quaternarii ex ilis fieri. T I. Data
165쪽
1 6 DE PROGREsta GEOMETRICIς I. Datae snt igitur octo res , seu literaec, d, f, g, omneu binorum combinationes. Instituantur duae progressiones Arit, meticae naturales descendentes , subducta unitatea numeris 8 & a, tot scilicet terminorum , quot numerus minor z qui denominator combinationis binariae dicitur ) continet unitates, ut in & Bfactum est. Ducantur deinde inter se
8 & ς & productum 56 dividatur 'per produinum axi, hoc est per et, quotus 28 dat quaesitam binorum mul- titudinem. α l 3σί ατ me patet ex sequenti g literarum combinationeae ad ar af et ab '
ΙI. Scire volo quot ternorum Ccombinationes ex iisdem 8 literis 'haberi possint. Instituantur, ut su- Spra factum est , duae progressiones 'Arithmeticae descendentes C&D, l& productum 3 36 dividatur per prο- 6 ductum 6, quotus dat nume-Tum ternorum, qui peritur. CorolL
166쪽
CAp. VII. PROP. IX. 147 Corol. Eadem methodo inveniuntur omnes quaternarii , quinarii, senarii &c. ex dato numero . Proinde in ludo Romano, qui vulgo Lotro dicitur, in quo puellarum so nomina in urnulam mitistuntur , ut inde quinque tantum sortito extraham tur, binarii per hane Propos inventi erunt Aoos , ternarii II 48o , quaternarii a 355lpo , quinarii 43949268 r unde difficillima in hujusmodi ludis divinandi ratio satis apparet.
Ex dato rerum numero permurationes omnes
possibiles invenire. ΡErmutatio distinguitur a combinatione in hoe,
quod combinatio, dato rerum numero , Ostendit quot binarii, quot ternarii, aut quaternarii 3cc. ex eo rerum numero fieri possint , ut ex Prop. praeci manifestum est. Permutatio vero docet, quoties datae illae quantitates permutari queant , ita ut semper omnes accipiantur, variato solum ordine. En regula
Sumantur tot numeri in serie naturali I, 2, 3, 4 &c. quot sunt res datae , v. g. quinque literae , b, c, d, e, productum ex terminis seriei naturalis invicem multiplicatis erit numerus permutationum quaesitus, ut in .E & B patet. Nam sidentur duae tantum literae a , b , possunt bis pe mutari, si qualibet semel primum locum , vel f cundum occupet, ab , M. Si vero 'lentur tresa a, b , ς,
167쪽
1 8 DE PROGREςLGEOMETRICIς , c, permutari possunt sexies. Quo, A Blibet enim occupare potest semel unum I a locum , & reliquae duae, ut modo di- a , .ctum est , bis permutari . Nam cum c 3 etenet ultimum locum , possunt duae re- 4 liquae a , b , mutari bis , ac proinde I ehabentur duo diversi ordines abc , bac .ieto Rursus , occupante ultimum locum , permutari possunt bis duae , e ; & sic duo novuexurgunt ordines acb , eab . Denique si a teneat ultimum locum, reliquae dua e , , bis permutari queunt , unde rursus alii duo habentur ordines hca, cba. En simul omnes trium literarum a, b, cpermutationes.
abe, ac b, bco, b ac , c ab , c b a, Eodem discursu ostenditur literas quatuor a, b,
c, d, permutaticnes 24 admittere, literas quimque a, b, c, d, e permutationes Izo &c. Corol. I. Hinc patet celebre illud carmen in honorem B. M. V. Tot tibi Virgo dotes , quot bdera Coeis. octo verbis conlians , subire posse permutationes 32O, non tamen semper merri ratione servata. Coroll. II. Hinc quoque habentur omnia dati nominis Anagrammata , leu quot modis , Variato ordine, disponi possint alicujus vocabuli literae, ut Roma ; cujus anagrammata sunt Amor , Mora , Maro , Ramo, Armo &c. qtiae olim ex depravato ejus, aetatis gultu literatores in deliciis habebant. ΡRO.
168쪽
Proponuntur aliqua Permutationum problemata.
o utuntur, & quotidie singuli accumbendi i cum variant , quaeritur , quot annis absolveturis haec locorum permutatio. Ductis invicem Ia progressionis naturalis Arithmeticae numeris I, 2, 3 &c. invenietur per Pr pos praec. permutationes 479 , Ool , 6 Oo, quas si dividas per dies 36s habebis annorum summam. a. Facta literarum 2 alphabeti permutatione , quaeritur , quot annoruna millia necessaria erunt ad omnes ejusmodi permutationes icribendas , etiamsi mille scriptores exi stant, qui quotidie Paginas 4oscribant , dc unaquaeque contineat permutationcs Io. Inveniatur per Propos praeo. permutationum summa ex literis et , quae ex Tacquet eit 6 ao , 48 , 4oi , 733 , a 39 , 439 , 36o , O O . Duc Ao η Io x iooo , produstum 2ooooco dat nume-xum 'permutationum singulis diebus .s cxibendum , quem duc in dies 36s , & per productum divide Praedictam permutationum summam , quotus d hit numerum annorum quaesitum. 3. Ex doctrina B. Alberti Magni de Angei Tum numero , Angelorum ordines, seu chori sunt ' : quilibet chorus continet 6666 legiones , D le-
169쪽
15o DE PROOREss. GEOMETRICIS gio quaelibet Angelos 6666 , proinde omnium Angelorum numerus est 399 , sao, OO ; quaer, tur quot fieri possint Angelorum permutationes , seu quot modis ordinem inter se Variare queant. In hoc tam infinitae multitudinis numero percipiendo , imbecilla mens hominum deficit.
. Datis tribus numeris Arithmetice proportional bus , tres numeros Harmonice proportionales invenire.,Ucatur Primus Arithmetice proportionalis datus in secundum, productum erit pri. mus proportionalis Harmonice. a. Ducatur idem primus Arithmetice propo tionalis in tertium, proveniet secundus Harma. nicus. 3. Denique secundus Arithmeticus in tertium ductus tertium Harmonicum producet. S;t eveNI. Proportio efficit Harmonicam Arithmetica
6, 3, 12 o Similiter proportio Arithmetica eruit Harmonicam 3, 7, ΠΑa I, 33 177.
170쪽
Datis duobus numeris tertium Harmonicet proportionalem inet mire .
DUC primum nomerum datum in secundum,3c productum divide per duplum primi minutum secundo , hoc est per differentiam dupli prumi a secundo, quotus erit tertius. harmonice Proportionalis. Dati sint 3 & 4 , qua ritur tertius in eadem ratione harmonica . Duc 3 x 4, & productum I a divide per 6-- , hoc est per et , quotus 6 dat numerum quaesitum. Similiter dati sint quaeritur tertius: harmonicus . Duc 6 x 8 , & productum 48 divide per Ia - 8, sea , quotus Ia est tertius harmonice proportionalis, ut patet ex dictis. iod si primi termini duplum sit aequale, vel minus secundo termino, tanc tertius narmonice Proportionalis inveniri non poterit; ut si dentur
S; numerus datus di datur per numeros Arisbme rice proportionales, quotientes erunt in Harmonicae proportione ..DAtus sit numerus ex. gr. eso, qui dividatur per numero& Arithmetice proportionales 1 ,3 v