장음표시 사용
171쪽
isa DE PROGREss. GEOMETRIcIs 3, 4, 3 , , erunt quoti 6o, 3o, a , Is , I a, Io: quos esse in P Portione harmonisa --nifestum est. Nam
Hinc patet haberi progressionem terminorum harmonice proportionalium. Schol. I. Harum trium propositionum demonstrationes ad Anal in speciosam remittimus , unde facillime eruuntur , quae alioquin per viam buth ricam Iunx operosae. Schol. II. Ratio autem eur ratis numeri proin portionem harmonicam , seu Moicam constituere dicantur , es nimirum quia consonantias Musicas constituunt. Sic in numeris barmonice proportion
rera , constituens consonanxiam , quae .Diapente , seu Quinta dieitur . Item inter 4 π 3 es propo sto sesquiramia, eonstituens consonantiam , quam 'Diatesseron , seu Quartam vocans. Deinde interis tremos 6 re 3 habetur proponio dupla , quae Diapason , seu Octavam consonamtiam sicis. Schol. III. Datin etiam proportio Contr-harm nica, quα habetur eum datis 3ribus terminis sdisserenria primi, secundi es ad disserentiam secundi re renii , in tertius terminus ad primum . 3 , 5 , si numeri contrharmonice proporis
rim des o nam et , disseremia primi secundi rem
172쪽
CAp. VII. PROP. XIV. Is 3 misi , es ad i , disserentiam secundi re tertii ,
ur 6 ad 3. Irem Ia , Io , sunt murrharmoniace proportionales ; nam a. 4: : 6. Ia . me dicta sint in gratiam eorum , qui musicam amant , aur infrumentis Musisis student , ut hine num rerum mentiam sibi maxime necessariam intelli.
De Logarithmis, eorumque natura, atque inu.
CUM triangulorum resolutio, quae per sisnus, tangentes , & secantes habetur, a solvi debeat per regulam Proportionum oin qua multiplicatio , & divisio , ob numeros si Ptem , vel octo characteribus constantes , muti tum laboris, & taedii importare Blet ς hinc est , quod Joannes Neperus Scotus , vir nunquam satis laudandus , alios numeros pro sinibus , tam gentibus, & 1 ecantibus excogitavit, 3c ann. I 62o promulgavit , quorum ope sola additio praestat omne id, quod praestare solebat multiplicatio , &subtractio idem efficit , quod divisio . Tales n. meri vocantur Logari mi, quorum naturam, pro Prietates, & usum hic brevissime explicamus.
173쪽
I. TN progressione Arithmetica quatuor termi-I norum summa duorum extremorum aequatur mediorum summae . Sint quatuor termini dati I, , 3, 4; erit 4 in I m a Φ 3. Coroll. I. Hinc ut habeatur quartus Arithmetice proportionalis , ex summa secundi , & tertii termini aufertur terminus primus , residuum dat quartum Arithmetice proportionalem quaesitum. II. In progressione Arithmetica trium terminorum , summa duorum exirmorum aequatur duplo
termini medii . Dati sint a , 5, 8, erit a Φ 8
Coroll. Ι. Ηine datis duobus terminis Arithmetice proportionalibus ut habeatur tertius , ex duplo secundi aufertur primus. Sic Io- a m 8. . Coroll. II. Inter duos datos numeros medius Arithmetice proportionalis habetur , si accipiatur eorum summae semissis. Sint dati a & 8 , eorum summae semissis 3 est medius Arithmetice proportionalis , ut Pater.
De natura Log-morum, eorumque inventione.
I in mi sunt numeri Arithmetice proportion tes adjuncti , seu respondentes numeris Gemmetrice proportionalibus : vel sunt numeri , qui Arithmeticam , ubi si, quorum illi sunt Log-mi,
174쪽
mp. VIII. PROP I. IIs Geometricam servant proportionem . Ut si concipiatur series quaecuMue numerorum Geometrice proportionalium , ut in A , cui respondeat alia series numerorum Arithmetice proportionalium Vel C, vel D, qui crescant ut in B & C , vel decrescant, ut in D; omnes hi numeri B, C, Ddicuntur La ymi numerorum in A existentium, ' A B' C D Μ N
Qtiamvis autem Log-monim species possit assimi ad libitum, ut diximus, praestantissima tamen,& commodissima. est illa, quae cyphram, seu O pinnit pro Log-mo unitatis, 3c unitatem cum aliquibus cyphris, nempe 8. vel septem pro rog-monumeri denarii , ut vides in Μ δc N. Adduntur numeris in progressione Arithmetica procedenti. bus, seu Log-mis illae cyphrae , ut Log-mi magis exacti habeantur , ut dicitur in Trigonometria ido sinu toto respectu sinuum, tangentium, & secantium, utque calculus facilior evadat. - . , V a Co-
175쪽
rs 6 LOGARITHMIs Coroll. I. Ex eo quod Log-mus unitatis sit o ἐsequitur Log-mum numeri, qui sit minor unitate, ut sunt fractiones, minorem , esse quam O, qui proinde dicitur Log-mus defectivus , & designatur
Corol. II. Omnes Log-mi numerorum ab I ad io exclusive habent o pro prima nota ; qui iunt inter Io, & Ioo habent pro primo numero ι ; qui vero sunt inter iis, & Iooo habent pro primo termino numerum 1, qui inter Iooo. & I oo habent 3 pro primo termino, &sic desnceps. Hi numeri initiales I, 2, 3, 4,. I, &c. dicinatur characteriseisi , sivea indicat ita : nain indieant quot figuris constat in umerus absolutus, i cum sunt L. Q. mus, di puncto ab aliis separantur . . . Coroll. Hέ. Chara laristic Amperi unitate minor est numero figurarum numeri absoluti. Hine dato quovis . numero absoluto v. g. 8ao Io quinque figurarum , statim intelligitur ejus in-mo debe
M LY-mus unitatis si στρ Log mus facti aequalis aggregato De Log-mis factorum.
SIT factum et , cuius factores sunt 4 3c ε,
erunt quatuor termini Geometrice proportionales , ex Desin. multiplicat . , I. 4::6. 24,rumque Gymi erunt in proportione Arithmet,ca, ex Prop. a. Sed Log-mi extremorum 24,
176쪽
CAp. VIII. PRop. II. 137 aequantur Log mis 4 , 6 , per Iem. I. Log-mus autem unitatis ex hypothesi es, o ; ergo si Lον
mus unitatis sit o , Losemus facti re itiatur lumina: ex Log-mis emcientium 4 3c 6 . Q iod &c. Coroll. I. Hinc tequitur . Log mum numeri compositi plani leu solidi aeqiralem esse aggrega. to ex Log rnis laterum tale planum , vel lolidumessicientium . Sic Loymus 72 aequatur summae
bus omnibus conlurgit numerus 72. Coroll. II. Sequitur etiam , Log-mum numeri
quadrati duplum esse Mymi ejus radicis, &Gν mum cubi triplum Log-mi suae radicis : nam factores quadrati , & cubi iunt idem numerus bis, vel ter lumptus. Coroll. III. Si Log.mum dignitatis cujuscunque κ' , πῖ , π 8cc. dividas per exponentem talis dugnitatis , nempe per a , vel 3 , vel 4 3cc. habe bis Log.mum radicis eiusdem dignitatis. Contras Log mum datae radicis multiplices per exponentem alicujus dignitatis, habebis Log-mum ejusdem dignitatis. Sit ae 3 m 8, ejusque log.mus ex tabulis o.9o3osoo: divide per exponentem 3 hunc LN-mum , quotus o. 3o Io 3oo erit Log-mus re pondens radici ; si vero Log-mum O. 3oIo3- multiplices per exponentem , habebis ovio 3 oo
177쪽
Si Log-mus unitatis es o , disserentia Log-morum
duorum numerorum aequatur Log-mo quotieorundem numerorum.
SInt duo numeri a & 6, & differentia eorum
Log-morum sit o. soao6- , dico hanc effe g-mum quoti eorumdem , nempe 4. Nam cum sit divisor ad dividendum, ex Desin. divis , ut unitas ad quotum , : erunt quatuor termini Geo. metrice proportionales 6. 24:. I. . 4, eorumque Log-mi in proportione Arithmetica ; ergo per lena, a. hujus, Mymi numerorum γε, & I aequam tur Mymis extremorum 4 & 6ί. . sed ex hypinthesi Log-mus unitatis est o , ergo si ex Log monumeri 24 auferatur Log-mus divisoris 6, Log-mus residuus , seu differentia Log-morum 24 & 6, erit aequalis Mymo quoli , nempe o.6O2O6- , qui respondet numero 4, nempe quoto. Quod &α CorolL Hinc habetur , summam MPmorum di visoris, & quoti aequalem esse Log-mo dividendi.
Numeri euiuscunque Log-mum invenire. PIveniendus sit Log-mus numeri 7 . Statuatur progressio Geometrica I , Io, IoO, IOOO &c.& assumantur Mymi his terminis respondentes
178쪽
CAp. VIII. PROP. IV. meo modo , quo dictum est in Propos ti bufus . Deinde unitatem A, & denarium B auge tot ehphris , quot placue- U
niatur ergo inter C G si *-8 373
179쪽
iso DE LOGARITHMIs. ideoque inter ipsum Ε, & proxime minorem D inveniatur medius Geometrice
Proportionalis F , qui minor est ipso E; proinde inter F& E inveniri potest medius G , qui adhuc minor est ipso
E . Atque eadem ratione inquirendo inter proxime ma
minorem , inveniuntur medii Geometrice proportionales
Ν &α donec tandem occurrat medius Proportionalis Z αγ.OODOoo , qui nullo penitus excessu , vel desectu differt ab ipso numero septenario. Deinde sicuti 'inter A Sc B inventus fuit medius Geometrice proportionalis C , sic inter eorum Log-mos inveniatur
180쪽
medius Arithmetice proportionalis , per
Erit hic Log-mus ipsius numeri C. E dem modo reperiri debent omnes alii Log-mi mediis Geometrice proportionalibus D, E, F, G &c. respondentes: quo facto, habebis Mymum numeri dati 7, nimirum C.8 5 8O. Coroll. Hac methodo inveniuntur Lostmi numerorum primorum 2, 3, 3, 7, II, 13, 7, 19 &c. Suppetunt tamen modi, quibus tantus labor imminuitur. Nam invento Loymo numeri v. g. 6. si hunc dividas, semissis dat Log.mum numeri 3, per Coroll. a& 3. Propos et huyus . Item invento Log-mo numeri 6, habetur Loseus num ri et, nam si dividas 6 per 3, quotus est 2; sub. tracto igitur Log-mo numeri 3 a Log-mo numeri 6, residuum dat Log-mum quoti et, per Prop. 3.h us. Pariter subtrahendo Log-um numeri a modo inventum a Gymo numeri Io, habetur Logus quoli 3, per Prop. 3. cic, & sic proportionaliter de aliis. Corol. Inventis Log-mis numerorum primorum, facile habentur Log mi numerorum compositorum. Nam si Log-um binarii duples, triples , quadruples &c. habebis Log-mos totius seriei 2, 4, 8, 16, 3a, &c. si idem facies cum Loymo ternarii , habebis seriem Loymorum pro Mumeris 3,