Institutiones arithmeticæ Paulini a S. Josepho Lucensis ... cum Praxeon chronologicarum appendice

61쪽

4a DE CAL Lo rura RORUMI. Emit quis serici ulnas 6o , pal. 6, une. Io, expenditque scuta Romana 2sa , asses Io , quaeritur quanti steterit ulna. Duc Manas clo in 8, ut

fiant palmi; & adde producto 6 , erunt palmi 48 . Hos duc in Ia , ut fiant unciae, additisque

unciis Io , erunt unciae 1842. Reducantur pariter seuta ad asses , & addantur asses Io, fient asses asa Io . Itaque dividantur per Prop. 6. Cap. I.

aisses astato per 38 et, quotus est 3 : hoc est uncia quaelibet valet assibus f , proinge unciae Ia , seu palmus, valet assibus 6o, adeoque palmi 8 , sive ulna , valet assibus 48o, hoc est sicut. 4, assibus 8 o. r. II. Fingamus lunam distare ab aliqua fixa gr.

45, min. 3Q, sec. 23, quaeritur quanto tem pore

1iellam illam luna assequetur. Ex Tas. Aubnsinis

luna motu suo diurno conficit gr. I 3. min. IO,

sec. 33. Proinde dividendi sunt gradus 43 , min. 3P, sec. 23 per gradus I 3, min. Io, sec. 33, ut habeatur appulsus lunae ad fixam.

fient minuta et 3 o. Haec due rursus in OO, &as.' de producto a 3 , habebis see. 163823 , numerus scilicet dividendus. Eodem pacto invenietur divisor, nempe min. sec. 4 433. Tum facta divisione per Propos. 6. Cap. I. habetur quotus 3 , hoc est dies 3 , & remanent partes scilicet unius diei, ex qua fractioia eruuntur horae Io, min. 33 circiter, modo explicando in Propos alia Cap. 3. Luna igitur ad stellam perveniet diebus 3, horis Io, min. 33. Examen dimisionis si peν mubiplicamiωrem. Nam

62쪽

. . CAP. H. PROP. IV. 43Nam sicin exemplo primo mult iplicaveris pos praee. ulnas G, pal. 6 , uno. Io per scur. 4ass. 8o, hoc eii uncias 38 a per asses - , fiet proh tum ago i , quod divitum primo per Iz, dei e per 8, dabit in quoto scut. Ista. Io. Simbliter in secundo exemplo ducto divisore Q 3s in quotum 3, addiroque ad productum residuonstituitur numerus, qui fuit divitus I 638as.

CAPUT III.

De Calculo Fractorum.

dicitur; est pars, seu partes alicujus nummii integri in plures aequales partes divisi . Ut si totum aliquid dividatur in tres partes aequales, &ex illis quispiam duas partes obtineat, dicetur habere duas tertias partes, scilicet τ , quae stassionemessiciunt. Itaque ad numeros fractos exprimendos duo numeτὸ requiruntur , alter qui lcribitur supra lineam,& dicitur Numerarer , quia numerat partes , quae de illo toto divito habentur : alter qui scribitur infra lineam , & dicitur Denominator , seu Nomia nator , quia nominat in quales partes illud totum suerit dirisum, nempe tertias, quartas, nonas&c. - videlicet.

63쪽

DE . CALCULO FRACTO M. Quae fractiones sc . pronunciantur, una rimas ψuna sertia, duae seprima , qua re nona , undeeimmige a o c. intelligitur pars, seu partes. . Si numerator aequalis fit denominatori, minutia aqualis est uni huegro . Sic aequivalent uni imiegro in trex partes aequales diviso. Adsunt enitas nes. partes: illius integri, adeoque sunt I. Item τ, τ &c. significant I. Hinc pates, uniatatem esse illud totum divisum in partes tertias , quintas, sextas &c. Si numerator fuerit denominatόm major, tunc minutia erit plus quam unum integrum. Sic τ plus sunt quam unum integrum in tres partes divisum,

sed imροrtant 1, 3c insuper et . Similiter q signim

cant tria integra & adhuc II. Minutia minutiae est pars alterius minutiae , in si s actibnis 2 sumatur dimidia pars , nempe τ, erit haec minutia minutiae, quae a maiori distingui solet per interpositam lineam. Sic et let signi, ficat dimidium trium quartarum. Compendii gratia utemur in posterum fignis ,

quae sequuntur. Signum aequalitatis. Sic a zzz b fgnificat duas quantitates a 3 b esse aequalenin Pius . Signum additionis . Ut a b significat summam duarum quantitatum a , & b. Sie3Φs significat summam 8 , 3c exprimitur 3 Φ3 8. - Μinin . Signum subtractionis. Ut a -bs i-ficat a minus hoc est a quantitate a subtractam

esse quantitatem b. Sic 3 - 3 m a. X Signum multiplicationis . Sic a x b fgnificat

a mulDissilirso by Coo li

64쪽

multiplicatum in b , vel per b . Ut 3x3 i5.

- : : Siguum proporrionum aequalium . Sic a . br : e . d denotat eandem esse proportionem inter. Sc b , quae est inter e & δ. Ut a. 4 : : 3. 6. Item I . 3 : : P . 27 &c. Q Signum proportionis continvae . Sic Q a,

b e , denotat a esse ad b , sicuti b ad c . in a, , 8.AXIOMATA I. T TNitas se habet ad fractionem , ut denominator ad numeratorem . Sic I ' τ :2 3. 2.

Unitas enim ex dictis est totum divisum , quod se habet ad partem, quae est fractio ) ut fracti,nis denominator qui elt totum , quod fuit divi

sum ) ad sui pariem , nempe ad numeratorem . - ΙΙ. Minutiae, quarum denominatores habent ad suos numeratores eandem rationem , sunt inter se aequales , & valent omnino idem . Sic et , et , e , n, , H fractiones aequales , idem. que fignificant . Quod ex primo Axiom. , tum etiam per se patet . Nam singulae hae fractiones unius integri medietatem important. Hinc fractarum valor non ex magnitudine numerorum , quibus exprimitur , sed aestimari debet ex proporti ne majori , vel minori , quam numerator habet ad suum denominatorem ; proinde major est et , quam δε , vel et .

III. Minutia, cuius tam numerator quam denominator per eundem numerum multiplicantur , aut dividuntur , valorem non mutant . Sic mu

tiplicando et per 3 oritur H , quae idem valet ex

65쪽

46 DE CALCui FRACTORUM a. Axiom. Pariter dividendo per 5 , fit et e ut dem valoris cum . Item divisis et per 3 , fit et , quae idem Valet ex a. -ism. Schol. mirum interest , ων xFrones bactenus dicta bene intelligor , prius quam ad fractorum regulas addiscendas procedanι , alioquin docilia illis, oe valde obscura erunt, quae sequuntur a

PROPOSITIO L

Datis duobus numeris, maximam rarum , communem menjuram invenire .

MEnsura duorum numerurum communis dic, tur numerus , qui ill H exacte , Si sine rosiduo dividit ; seu numerus , qui aliquoties iumptus illos adaequat . Sic 3 dicitur mensura communis numerorum Ia & a I, quia alterum quater, alterum septies sumptus adaequat . Dicitur autem mensura maxima numerus, per quem solum duo numeri reducuntur ad numeros primos, seu mini

I. Dati snt duo numeri A 3c B , quorum memsura communis maxima quaeritur . Dividatur m

jor a per minorem B , 3c neglecto quoto , n tetur residuum C : deinde B dividatur per retaduum C , tum residuum C per residuum D , &se deinceps nulla habita exponentium ratione , donec tandem divisor occurrat F , qui praecedem tem exacte dividat sine ullo residuo ; hic erit m rima communis mensura quaesita .

66쪽

CAp. III. PROP. I. Exempl. r. A

II. Quod si post omnem divisionem remanet 1, fgnum est , nullam reperiri posse communem mensuram inter numeros datos , eosque esse inter se primos . Dati sint numeri Μ & N, divide majorem Μper Ν, 3c neglecto quoto , nota residuum R , ac sic deinceps prosequere ; occurrit demum I , adeoque numeri dati Μ 3c. N sunt inter se primi.

mmon ri per se manifesta est . Nam per comtinuam illam numeri minoris a majori subtracti nem is visio enim est compendiola subtractio devenitar tandem ad partem aliquotam , . et aliquantam nullierorum datorum. In primo casu pars illa aliquota erit maxima communis mensura duo. rum numerorum ; in secundo casu evidens est ,

67쪽

43 Dg CAL ULO FRACTO Mnullum alium numerum , praeter unitatem , meturi posse Numeros datos, adeoque sunt inter 1e primi per Desin. g. Scholis Nota , quemlibet numerum se ipsum meI metiri ; proinde dari potest monsura comma

nis maxima inter duos numeros , quorum alter

simplo sit, seu primus , σι alter compositus . Sic 7 es maxima eommunis mensura inter 7 2I . Num utroque diviso per γ , babetin et ij 3 . Dems er que dieriis per 3 , faciune I er II , adeoquσ3 6, maxima communis mensura re se de aliis.

Fractiones ad minimos terminos reducere . .

FRactio dicitur ad minimos terminos reduci , cum alia illi aequalis, nempe valoris ejusdem,

minimis tamen terminis expressa reperitur. I. Data sit fractio ad minimos terminos reducenda , quaeratur maxima communis mensura inter numeratorem , & denominatorem , per ρομ f praeci invenietur 8 . Per hunc divide tam 16o , quam 296, fiet minutia ejusdem valoris ,δc minimis terminis expressa. per Axiom. 3. II. Sit minutia data reducenda ad minimos terminos . Inveniatur maxima communis mensura

inter p6 , & 6o , per Propos prae. erit Ia , per quem duisse utroque datae fractionis termino , habetur nova fractio et minimis terminis expressa . Haec praxis vulgo dicitur schisarie i risti. Demonstratio patet ex 3. Axiom. PRO.

68쪽

CAP. III. PRop. III.

Fractiones ad idem nomen reducere. FRactiones reducere ad idem nomen, est effcere, ut fractiones diversorum denominatorum eundem denominatorem acquirant, sed idem valeant , quod prius. I. Sint duae fractiones A & B ad commune nomen reducendae. Duc inter se ad invicem denominatores Ix4, & 4 1, erit denominator comis munis aci. Pro nuineratoribus inveniendis multiplicaper crucem , seu decussatim , numeratorem unius minutiae per denominatorem alterius, hoc est a κε, & 3 π 3, erunt novi numeratores 8 & II, qui directe collocandi sunt sub illa minutia, cujus numerator fuit multiplicatus, ut in sequentibus duobus exemplis apparet. Habentur ergo duae novae fractio. nes C 3c D ejusdem nominis, ut pater, & quidem valoris ejusdem per 3. Axiom. Nam termini fractionis A multiplicantur pereundem numerum, hoc est per 4 denominatorem fractionis B, unde oritur fractio C priori aequalis per Axiom. e r. Similiter termini fractionis B multipli. cantur per 5 denominatorem fractionis A, & oritur fractio D priori aequalis per idem Axiom. ergo fracti nes C&. D idem valent ac duae priores.

G II. Quod

C a D

69쪽

5v . DE CALCULO FRACTO-εII. Quod si reducendae sint ad i8em nomen plures quam duae fractiones , ut A, B, C aec duc Omnes denominatores inter se 3 x x ue fiet F communis denominator si, qui divisibilis est per singulos denominatores 3, 4, 3 , ut patςt. Ad inveniendos itaque novos numeratores , divide communem denominatorem 6o per 3 den minatorem fractionis quotus est ao, tertia scilicet denominatoris communis pars , quem duc innumeratorem 2, habebis 4o duas tertias partes ipsius σο, adeoque Σ τ per Axiom. a. Similiter diviso so communi denominatore per denominatorem fractionis B, habetur Is quarta pars ipsius si . Duc Is in s habebis 45, tres quar tas partes ejusdem εο , adeoque per Ax. 2. Eadem ratione invenitur ἰd --. Proinde fracti nes datae A , B, C, aquales sunt fractionibus R; quod per se manifestum est.

Coroll. Ex hac Propos. innotescit, utra duarum, vel plurium fractionum datarum sit major. Nam si

reducantur adi idem nomen, ex majori numeratore

apparet, quae si major . sic in superiori exemplo fractio B est veterarum maxima , quod indicat numerator fractionis N. Schol.

70쪽

CAp. III. PRop. IV. sa. 'hol. Cum deno naur unius hamonis exacto dividis denominaporem inreius, tune dua ius fractiones faelis redueuntur ad idem nomen , mviriptis cando per ilium quorum. perminos fractionis illius , e ius denominaνον suis diviser . Sint redueenda ad idem nomen fractiones ter , quia 3 dividiν exacto Is,muhipsiea per quorum I serminos fractionis τ , oria

ri Husdem nominis eum alia fractione. Uvd es

PROPOSITIO IV.

Fractionem ad aliam dari nominis .m ejusdem Oahris revocare.

I. Ata sit fractio θ , quae revorari debeat in

aliam , cujus denominator datus sit 6o. Duc numeratorem a x x productum Iaoduvide per denominatorem 3 , quotus erit numerator minutiae quaesitae ' , quae quidem est ejusdem ratoris cum minutia data per Axioma a. nam

Data sit fractio , quae sgnificet unius diei partes , ut in Propos 4. Cap. a. reducenda ad horas. Duc ais et o x a , & productum diu, de per denominatorem 743s , quotus dat horas Io & remanent partes unius horae. Quae ut ad minuta reducantur , duc et I 3o X G, &productum divide per eundem denominatorem pG a quin