Guidi Vbaldi e Marchionibus Montis De colchea

101쪽

Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.

Ex hoc manifestum est in hac cochlea plura dari posse puncta infima, pluraq; suprema. Infima enim sunt ea, quae in linea BC reperiuntur,suprema Vero,quae in linea AD existunt; cochlea soliςet plures helices habente.

Si in cochlea , origonti inclinata helicis initium fuerit sublimius, quam medietatis punctum;dimidia vero helix in quatuor sit aequales partes diuisa ; huius dimidiae helicis supremum punctu erit in prima quatuor partium; infimum vero erit in postrema, punctumque supremum erit medium intermitium, &ubi ellipsis per initium transiens origonti aequidi- stans helicem secat; infimum vero erit medium inter punctum medietatis,dc ubi ellipsis per medietatem transiens orizonti aequidlitas helicem secuerit.

102쪽

De Cochlea Lib. II.

-c sit A B cochlea, sitque orizon CD, inclinatio F Item sit BCD, existente AB parallelogrammo per

axem orizonti erecto,

dimidia helix A EF, pu .ctumque A sit sublimiu , . quam helicis medietas F. Diuidatur helis AEF in 'iii

quatuor aequales partes,

quarum prima sit Ac, postrema vero F H. Diuid ,. latur enim helix in quatuor

i yxς , primum diuidendo

ifariam in Q deinde bi- i sfariam in G H.) Deinde sit ABE ellipsis origontia qui distas;quat he licem secet in E, secabit enim,quia cum si puctum A sublimius, quam F, puncta vero AB qqualiter ab orizonte distanti, erit B sublimius,qua F, propterea punctum F est inter BC. Dimidatur helix A E bifariam in K. Rursum sitelli s FL M orizonti aequi distan quae helicem secet in L, siitq; punctum N helicis medium inter L F.Dico huius medietatis helicis AEF punctum K supremu esse,&inter AG existere, N ve- id esse punctum infimum S inter L F rsp iri. Ducatur per K planum KO plano AEB aequidistans; similiter Per N ducatur ellipsis N P, quae tit FILM aequidistanti forrbellipses ABE' FLM, planaque ΚΟΡN parallelogrammo.A B per xei a fi ecta ornab&orizonti parallela, planaq; ΚΟ 'N helicem contingent in punctis K N. cruoniam igi- tur planum κο est ortis ui aequidistis, , omnia helicis puncta erunt orizonti P pinquiora,Pan putam ἔ, siquid emplanum KO contingit helicem in K, unde sequitur punctum g esse omnium supremu, similiter quoniam planum P N est otifcuenti aequidistans. omata helicis, puncta eruntsublimiora, quam punctum N, Vpde punctum N est Omnium insiauha. Quoniam aure punctum F est inter BC, ellipsis ABEhelicem secabit in prima helicis, quarta in A quae est medietas helicis A F, quare eru helix AK L minor, qu*m quarta ; similiterquoniam ellipsis FLM helicem secat ex contraria parte,veluti cilipsis AEB, ita scilicet, ut helix FNL sit aequalis helici AKE, eru FL minor, quam helicis quarta FQGAt verὁ quoniam helicis portiones AE FL fiunt

minores helicis quarta, & earum medietates A Κ FN minores erunt, quam AG FH, punctum ergo Κ est inter AG, de N inter FH, punctum igitur supremum Κ, &infimum N in cochlea reperiuntur,ut dictum et quod demonstrare oportebat.

43. primi

103쪽

6 Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.

Ex hoc patet supremum pusistum ita ab initio helicis distare, veluti punctum infimum a puncto medietatis. Cum enim in x helicis portiones A E F L aequales, & harum dimidiae ΑΚ FN interse aequaleSerunt. .

COROLLARIU M is

Ex his perspicuum est etiam, Oando heli

cis initium superius est quam medietas, punctum supremum ubicunque esse posse inter A G: infimum ver' ubicunq; inter FL. El

lipsis enim AB Z helicem secare putest ubicunque in Actae ut ostensum est; ex quo sequitur punctum K ubicunque essu posse inter AG, sed ncm in C, quia G est medium ipsius A Qi ellipsisq; per punctum Q tran

sire no potest, quoniam necesse est, punctum

F esse inter BC, quae quidem ex quinta huius propositio'e patent, quod idem de pun

cto N dicetur. l l

104쪽

De Cochlea Lib. II

Si cochlea ita inclin ta fuerit, ut initium punctumque dimidiae helicis sint origonti aequaliter distantia, huius dimidiae helicis pilii

Aurni supremμm erit medium primae quartae insimum vero medium secundae.

esse, infimum vero est i . . . H. Ducatur per puncta , . t is

quippes estio ellipsia,quae sanehelicem secabitin E. Ducaturq; per Gplanum GK plano AEF aequidistans, &quόni hi AG GE sint aequaus, planum GK helidem continget in G, & .st GK origonti*quidistans, omnia ergo helicis puncta erunt orizὀnti propinquiora -- ' quam G, quare G est punctum s temum, hodena ue modo duc tur per H planum H L ipsi AEF aequi istans: cauod quidem e titoriZonri quoque aequivis Micheliceniq; contingetin HGniniim unctum H erit inmme ii, inti ruminfimum si uidem omnia helici spunctassent blimiora, quam punetiam H. Ma Dunctum G es:

105쪽

Cuidi Vbaldi e Marchionibus MCOROLLARIUM.

Ex hoc perspicuum est punctu supremum aequaliter ab initio distare; veluti punctum in

fimum a medietate.

Si in cochlea inclinata punctum dimidiae helicis fuerit sublimius, quam eius initium, ellipsis vero origonti aequidistans per initium transiens helicem secuerit, huius medietatis helicis punctum supremum erit medium inter initium, dc primum seictionis punctum; infimum vero erit medium inter sectiones, dc si helicis medietas fuerit in quatuor partes dici,sa, supremum punctum erit in parte secunda, infimum yero in tertia,

distans helic secetin punctis KL, sitquch I lix AEB in quatuor quales partes diuisa in punctis M N quarum

1ecunda sit EM, tertia vero EN, sit autem punc medium inter AGK, & H medium inter ΚΗL. Dico

106쪽

punctum supremum esse G, infimum vero H, & G esse inter ME, Δ H inter FN. Primum enim patet ellipsim AKF helicem secare in duobus punctae KL in quarta EB exHεstibus: si igitur intelli- . . gantur plana per G H transeuntia ellipsi AKF aequidistantia eodemmodo, ut in seperioribus ostendetur punctum G esse punctum su- pretii mi, ω H infimum,&quoniana AGK-maior est, quam quarta Ah erit me fietas. AG. maior A M, . Mare G critinWr ME. Dueatur autem ellipsis B OP ipsi AKF aequidistans, quae orizonti sute atqui distans Mit quoniam: BOP helicem similiter saeat exco- ,.ι tranaparte,quam efficit AKFi erit helix bHo aequalis AGK, BHOP ritualii ACKL. Rapniam igitur planum per H ipsi BO Parquidistins hilicem contingit, erit B H ualis Hos & quoniam ιαδε do maior est,quam quarta BHE, erit& BH maior,quam BN, unde punctum H inter EN existit. Punctum igitur,&ci quod dem monstrare oportebat iJS,I i JA:

COROLLA RIUM I

Constat ex hoc ita stipremum sunctum ab initio distare ut infimum a medietate. Sunt enitit AG BH aequales,qubniam sunt aedietates portionum A G Κ i B H O aequa

huma

. Ex his manifestum est etiam, in his pun- , cturi supremum ubicunque esse posse inter EM, infimum vero ubicunque inter EN. .

107쪽

Guidi Vbaldi e Marchionibus M.

PRO 'OSITIO XX.

Si in cochlea inclinata punctum dimidiEhelici fuerit sublimius, suam eius initium, ellipsis vero OriZOnti aequidistans perinitium trais si uns helicem c6ntigerit, helixque dimidia sit

. In tr aequat CS partes diuisa; huius medietatis helicis duo erunt 'puncti sublimia ; nem tib

tertiae partis,duoque erunt puncta infima,scilicet initium, ac terminus partis secundae

Sit similiter cochlea AB, cu' ius inclinatio sit BCD, sitq; dumidia bella: AGEB sitq; B sublimids quam δε -ΑEBio tres partes diuid-r ν - ellipsis A ttimsiens Oimetontique aequidi s helicem tilagat. Dico B, acie inum primae terti partis esse puncta suprema, A verὁ,terminumq; secundae partis puncta esse infima, sit ellipsis AEF, quaesitorizonti mu distans; quae etiam contingat helicem in E. Rursus altera ducamrelli- e. . BGH helici AEF aequidistans,quae helicem nti et,ut in G, fitque Aet helicis quarta, & quoniam AEF helicem comingit, con-ν. bHM. acluserit in quarta IB. & quoniam ellipsis BGH similiter ex contraria patie helicem contingit,ut ellipsis AEF; erit pulvstum G inter AI, & AGE aequalis erit BEG. At verὰ quoniamplanum BGH helicem in puncto G contingit,& est si AEF aequi istans, erit punctum G medium portionis AGE, 'parique ratione, a iam planum 6.ivi. Α EF helicem in puncto E contingit, elisanos GH aequid flans, erit punctum E medium portionis BEG, puncta ergo G E helicem diuidunt in tria Kqualia,unde tres helicis portiones AG GE EB interse sint aequales,&quoniam ellipsis BGH est orizonti aequidistans;

108쪽

. . De Coclesea Lib. II. ' 8 i

erunt pinacta GB aequaliter aborizonte distantia, veluti quoque AE; sed similiter ostendetur ; ut in praecedentibus punctum G, esse supremum,& E infimum;ergo BG duo erunt puncta suprema,& Α E duo infima,&.s terminus es φ.idaeterii mul E veriectininus secundae,quod demonstrare oportebat.

his quae diista sunt, ea sit cochlea inclinata ellipsis ogipnti te quidisti per helicis initium transiens helicem secuerit1n quarta parte dimidiae hesicis', phnctum sv premum esse in octava Iimidi helicis parte, quod si ellipsis helicem se meritati tertia paste, punctum supremum esse in se . & ita in alijs,quod idem intelligendum est de puncto

infimo.

109쪽

: 1 Cuidi Vbaldi e Marchionibus M. PROPOSITIO XXI

Si in cochlea inclitiat punctum qimidiqhelicis' fuerit sublimitiis, quam eius anilium, ellipsis autem per initium pransiens origontique ςquidistans 'heliei Mn currerit; huius helicis dimidi punctum supremum erit helicis medietas, infimum vero initium. '

lix AEB, sitq; B sublimi d quam A, ellipsis vero A FGordipnti muta stans helicino

occurrat. co supremum pin ii

ctum esse B, A vero infimum Ducatur per B ellipsis ΒΗΚ ipsi A FG aequitiatims, quo I

pinquiora, quam B: omnia*'superiora,quam A; ergo punctum B supremum est, & Α infimum,quod demonstrare oportebat.

110쪽

De Cochlea Lib. II. 83ΡROPOSITIO XXII.

hsdem positis; sit AE helicis quarta,si adhuc ellipsis KEL per Etransiens,origontiq; aequidistans dimidiam helicem AE B secuerit in KL. dividantur ΕΚ E L bifariam in M N. fueritq; helix AEB in quatuor partes aequales diuisa punctis O E P. Dico pun. Ehorum helicis qui sunt inter ΚMEN Lpunctum M esse supremum , & N ins mum, atque M esse in secunda parte OE, punctum vero N in tertia ΕΡ.