장음표시 사용
81쪽
66 Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.
Si enim s fieri potest) G A Messet medietas helicis, fiat helicis portio G BN aequalis portioni G A M, nimirum ςllipsis helicem quoque secabit in N ex praecedenti. Sed quoniam GAM est helicis medietas,erit M AGBNintegra helix,quare puncta M Nsunt in eodem cylindri latere. Aeverὁ sunt quoq; purusta M N in
ellipsi; ergo puncta M N ci in his
sint in eodem cylindri latere) sui ounum punctum, helixq; propterea sibi ipsi occurreret,quod fieri Inon potest, quod demonstraret
Sit in cylindro helix A BC., quam iaceon duce ellipses, parallel . AC C DEF ι 'quae sint plano cylindri per axem aucto AF ere ἡctae, sitq; helix ABC medietate miriqrri uidaturq; helix DBE bifariam in B, iungaturq; BE. Dico BC perduetarn plano
82쪽
Ducatur cylindri latera DH EI, tum panturq; D E
'doniam eth-psium plana secatur plano DE I H, erutDEHI sectio
interse parallelς. Unde BEno est ipsi HI A
parallela , &quoniam plana L EF ACG sunt parallela, lineaqι BE occurrit plano DEF, eadem BE plano quoque R CG Occurret,quod demonstrare oportebat. Eodemq; modo patet ductam lineam BD plano AC G occurrere.
Ex his facile colligitur helicem B A aequalem esse ipsi BC. Propter enim plana DEFAC G parallela dc propter helicis regularitatem in cylindro, quae ubicunq; eodem modo se habet secabitur helix, ita ut pars D A sit aequalis E C,' quod cum sit B D aequalis B E,
83쪽
68 Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.
Sit similiter helix ABC, cui occurrat elli psis A C G in duobus punctis A C, diuidaturq; ABC bifariam in B, ducaturo; per B planum ΒΚ ipsi AC G plano aequigilians. Dico ΒΚ helicem in puncto B contingere.
si fieri po- test, planum ΒΚ helici quo
quoniam puncta BE sunt in plano B Κplano AC Gparallelo , in Aneaigiturquo que BE erit plano AC Gparallela, quae quidem esse non possint, squidem BE cum AC GConcurrere, & non concurrere, fieri non potest,planum ergo B Κ heu'cem contingit in B, quod demonstrare oportebat. PR. Diuilirso by Corale
84쪽
De Cochlea Lib. II. Sit in cochlea helix ABC, in qua duo ubi cunque sumantur A C, iungaturque A Cducaturque cylindri latus C Κ, iungaturq Α Κ, helicis vero portio ABC bifariam di uidatur in B, & inter A B utcumque sum a. tur punctum D, & fiat B E aequalis B D. iungaturque DE, dividanturq; rectae AC DE bifapam in ΟΡ, connectaturque ΒΡ.PO. Dico BP o rectam lineam esse,& non solum ipsis A C DE perpendicularem, Ve-
.riam Etiam Plano AGK erectam eue.
sit AG Κ is circulus basi iquidi '
85쪽
Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.
similitcr,quoniam DI est ad I B, ut DIL ad
go erit I B dimidia LE., Caeterum quia ita est r. r.3δ DB ad BF, ut FG ad GH, erit CF
qualis GH, sed GA est aequalis G Κ, linea igitur F H ipsi A Keit aequi diuans.Itaque
cum sit planum A C Lbasi AGK erectum siquidem cylindri Ἀ-tus C Κ per quod planum transibasi est peipendiculare,)stque simuliter oblatera DF E H planum F DEH eidem basi AGK etechim,
sui vero planorum,&basis communes sectiones FH AK parallelae;e Eei 3.- go&plana FDEH ACK sunt inuicem parallela. At vero quoniam η circulus D IL est circulo AGK aequidistans, orit planum FDEH, hoc est D EL circulo DIL erectum. Itaque dividantur rectae AK
DL bifariam in MN, iunganturq; MO NP, quoniam igitur AC AK bifariam sunt diuisae in OM, erit O M ipsi CK aequidistans, similiter quoniam DE DL sunt bifariam diuis e in P N; erit PN
aequi distans EL, & quoniam latus C Κ est basierectum, erit OMbasierecthac propterea ipsi quoque B G tequi distras, parique ration ostendetur NP aequidistantem esic BΙ, conricct o tur autem GMIN, quoniam igitur, ita est A M ad M O, but A K i ad iΚ C, permutando erit A M ad AK, ut MO ad KC, est autem A M. diamidia AK, ergo trio dimidia est KC, at vero G B dimidia est quoque KC, erit igitur M O aequalis G B, sed ambae UB MOss. D. . sunt inter se parallelae; ergo ducta linea BO erit ipsi GM iaequali de aequi distans.Cύm autem sint,balis AG Κ, planumq; ACK inuicems, erecta,&est C M in plano basis,&planorum communi sectioni ΑΚ perpendicularis cum linea GM in circuli centrum tendatin erit GMΕἡj,. plano ACK erecta,sed ducta BO est G M aequidistans; erit igitur .ecimι. BO plano ACK erecta. Eademque ratione quoniam N P dimidia
aequalis, sed est etiam KΡ ipsi Bl aequidistans, erit igitur ducta BP aequi distans IN, sed quoniam plana DEL, &circulus D IL senter a.i,&est IN in circulo DIL, estque communi sectioni DL perpe δ. -do dicularis, erit IN plano D EL perpendicularis,quare BP plano DEL
86쪽
la; 'na , & eadem recta linea ab epdem puncto B virisque planis perpendicularis existet,siquidem eadem rectilinea parallelis planis recta est; ergo recta linea est BP &quo'nim B o est plano A C Κ erecta,erit B o ipsi AC perpendicularis,similiter quoniam BP est plano DEL e-reista, erit BP ipsi DL pςrpendicplaris, quod demonstrare opo
In cochlea sit helix A B C, sitque paral-lςlogrammum per axem A G, cui ad rectos angulos sit planum AN C; quod quidem helici occurrat ubicunque in punistis,ut A C, helix vero A B C bifariam diuidatur in B,
Sper B ducatur planum QR plano ANC
aequidistans. Dico planum QR nelici non occurrere nisi in puncto B.
87쪽
1 Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Si enim si fieri po- resti planum QR ipsi
A N C aequissilians occurrat helici in puncto ctiam Ε, iungatur BE, quae quidem cum sit intra culindrum, helice e secabit in punctis BF;
quod cum sint puncta iEB, in plano QR ipsi fANC a auid illante erit linea B E plano lANC qquidistans .Fiat BD aequalis BE, iun-gamurque DE AC ideinde ducatur cyli 'drilatus CK , iungaturque A Κ, line vero DE AC bifariani dividantur in P O. Ducaturque BPO, quae quidem, ex ijs,quae antea Ei ,-ὸ ostensa sunt, recta linea est;&est non solum ipsis DE AC perpendi- cularis,sed plano ACK etiam erecta.Quare linea DE plano ACK aequidistans existit. Itaque in plano ΑCΚ perpuli sitim, O ducatur
OS aequi3istans P,; etit utiq; OS inpians BFE, liquidem lia,. -- neae PE OS OPB in uno sunt plano, in quo est quoque linea Brilinea BE occurrit ipsi PE, eadem BE ipsi quo'; OS rivii. occurre*. Vnde necesse est: BE plano quoqu*ocquerere.' quod fieri non potest,sequitur enim lineam BE plano ANC parauselam non 'eme,ut sippositum fuit. Noli ergo plam ΗγldR I seio surrit,nisi iv 2,. qmd demonstrase'pwe x- i l 3 l - i O si iἰ
Ex hoc patet planum QR hesice in puncto B contingere. quod quidem planum insuperficie cylindri erit ellipsis.
88쪽
iDe Cochlea Lib. IIΡROPOSITIO XV.
. Data cochlea origonti erecta, infimum he
licis punctum est helicis initium ; supremum
Data sit cochlea ortiones erecta AB CD, quae helicem habeat A E; erit utique basis A BG orizonti aequi distans; itaque constat infimum punctum esse initium Α, cum semper helis ex A sursum tendat, ductis enim cylindri lateribus FG HK LM, maior est semper ΗΚ, quati FG, & L M, qu am HK, ex quibus sequiitD hlterum helicis terminum E supremum existere,quod demonstrare oportebat.
89쪽
6, Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Reliquum est, ut ostendatur,ellipsim helici amplius non occurrere. Si igitur fieri potest, ut in a. fgura,ὶ occurrat primum ellipsis h elici in duobus punistis MD, in prima helicis quarta AMG existen bus. Ducatur per D circulus D RΡ basi aequidistans, ducanturq; latera MR GE. Quoniam enim propter helicem ita est
&est punistum M in ellipsi ; ergo&propter ellipsimquoq; erit DR ad RM, ut DE ad EG, quod
esse non potest, dum propter ellia
psim maior sit proportio DR ad
, currat autem si fieri potestin ellipsis helici in duobus punctis FN in secunda quarta helicis G FB existehtibus, matur in helice AG punctum D, quod aequaliter diastet, a G, ut F. Ducaturque per D circulus basi aequidistans,quil tera cylindri secet in E P, & quoniam propter helicem ita est D E ad DP ad PF, ut in helice ita est D G ad GF,.ut DL adem em. E Ρ, eruiu DE EP aequales, & quoniam ita est D E ad EG, veDP ad D F; iuntque puncta GF in ellipsi; ergo punctum D in elliapsi esse ex demonstratisὶ necesse est. Quamobrem aliud in helicis quarta G A sumatur punctum M, quod aequaliter distet a G, Ni N, eodem prorsus modo, ducto per M circulo MIS basia quidistante, osteiidetur, pun m M esse in ellipsi. Qilare in prima helicis quarta G Aellipsis helici occurrit in duobus punctis M D, quod fieri non posse,
proxime demonstratum est. Verum neque potest ellipsis praeter puncta MN etiam helicem secare in B, quia cum ellipsis transeat pir G, hclici quoquc occurreret in A, atque ita contra id, quod supponitur lac lix AMG, veluti GN B ellipsit, neque in prima, neque in secunda quarta occurrere posset, quia helicis portio AMG a basii magis distaret,quam ellipsis,& GN B propiore sic ibas, quam ellipsis, ut patet in
quarta huius propositione. Quod si perducatur helix v in FIT, occurratque si fieri potest: helix ellipsi in H. Ducatur latus HO, Gmiliter, ut antea, propter ellipsim DLO ad OH maiorem habet, proportionem, quam DL ad LΚ cum sit DLO maior DL, &his, . LΚ maior OHὶ propter helicem, verbita est DL ad LB, sicut
90쪽
DLo ad OH, ergo DL ad LB maiorem habebit proportionem, quam DL ad L Κ, quod fierinonpotest,secaligitur ellipsis helicem in
tribus tantum punctis, vidiebimest, &c. quaequidem omnia demonstrare oportebat.
Iisdem positis, ellipsis vero HGK non secet quidem helicem AGB in quarta GA,
sed ad alteram partem, ut inpunet o M helice ad hanc Partem perducta ; si igitur perdu-Catur etiam helix ex parte B, fiatque GBNaequalis G A M. Dico ellipsim secare helicem quoque in N, portionemque GAM a basi magis distare, quam ellipsis portio G H M, helicis vero portionem CBN basii propinquiorem esse,quam ellipsis portio GKN, neque ellipsim helici amplius occurrere.