장음표시 사용
111쪽
8 idi Vbaldi e Muchionibus M. COROLLARIUM
Ex hoc manifestu est huiusmodi pum humsupremum tam ab initio distare, veluti punctum infimum a medietate. Cum enim sint helicis quartae aequales sintq; EM K EN Laequples,erunt ΑΚ LB aequales, sunt vero I M LN aequales, ergo AM BN inter, se sunt aequales.
Iisdem adhuc positis ellipsis 'ero per E
dem secet in K L, non in prima quarta λ E neque in secunda EB, si dividantur pqrtioqnes EAΚ E BL biseriam in 'Mdietas vero helicis AEB inquatuor diuida
tur partes quales punditis P G. ' Picb lis esse
punctum supremum, dc inter AFi .existere'
112쪽
Q Ioniam enim ellipsis helicem
a puncto ri distare, quam N a puncto fVeluti etiam aequaliter ab E distare . Cunenim EM K EN L sint aequ8leis N harundimidiae EM, EN aequales erunt intersequia cum sint quarte E A E B equale ,er ψη& MA h B aequale .n I
113쪽
8 6 Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.
' dictis peripicuum est quando elliptis origonti aequid istans heliseri seς at, uxest . punctum supremunt, Ec infimum semper in dimidia helice existere', supremum 4 in prima helicis quarta 3 insmum vero in se
Ex ijs etiam, quo: diist sunt, uniuersalitia
constat in praefatis cochleis suprema punista aequaliter ab initijs helicium distare , veluti puncta infima in earum medietatib ad
Quo magis fuerit inclinata cochledis piactum supreritum erit propinquius initis infi
pses origonti aequid ista ires siue permitium, liue per quartam helicis transeuntes ipsam possint helicem dispescere.
114쪽
Habeat cochlea AB inclinationem modo, ut BCD, modo ut BCE, sitq; inclinara magis in angulo B CE, quam ut BCD, sitque laelix AFB, & quando cochlea est inclinata,vt BCD, sit lupremum punctum G, infimum vero H, quando autem inclinata fuerit, ut BCE, tunc sit sipremum punctum L, infimum vero M. Dico punctam L propinquius ςsse ipsi A, quam G,
M vero propinquius ipsi B, quam H. I telligatur orizon modo per CD, modoper CE transiens,orizontioque per CD aeqnidistans sit ellipsis AF, quae primum transeat per initium A, orizonti vero per CE sit similiter aequidistans ellipsisAN, sitque ACBo parallelogrammum per axem orizonti erectum. Quoniam enim CB Ao sunt parallelat;planaque per CD AF, α per CE AN sine parallela ; linea AO aequales constimet angulos cum ellipsibus, veluti CB cum orizontibus CD, CE. inare maiorem constituet angulum AO cum ellipsi AF, quam cum dipsi AN, siquidem angulus BCD maior est angulo BCE, ex quibus sequitur ellipsim AF maiorem helicis portionem abs indere,quam ellipsis A ut sciliceimaior sit helicis portio AG F, quam ALN, &quoniam Ges punctum sarremum, quando cochlea est inςlinaxa, ut B D, esit punctum G sex antea demonstratisin medium inter AGF, ob eandemque causam punctum L est medium inter ALN. At ero qu niam maior est A GF, quam ΑLN, erit&horum dimidia, nempe in G, maior, quam Aia unde constat punctum L propinquius ego ipsi A, quam G, quod cum infima puncta aequaliter distent ab helicis medietate; veluti puncta suprema ab initio;erit igitur punctum M ipsi B propinquius,quam H. '. Quod si ut in a. figura, in ellipses orizonti qui distantes ducantur per punctum F, sitque A F quarta helicis, ellipsisq; PF T stae uidistans orizonti per C D, ellipsis vero QFS sit aequid istas orizonti per C E. Ducatur cylindri latus FR. Eodem modo ostendetur maiorem esse angulum, quem RF efficit cum ellipsi FS, quam eum ellipsi FT, quare ad alteram ellipsium partem, maior erit angulus, quem constituit RFcum ellipsi FΡ, quam cum F unde ellipsis FP maiorem helicis M α tar
115쪽
88 Guidi Vbaldie Marchionibus M.
portionem abscindet, quam ellipsisF quare inaior est helicis portio F L P, quam F G Q S: horum dimidia,maior nempe eit FL, quam FG.
siquidem FL dimidia est FLP, &F G dimidia F G quapropter punctum L est propinquius ipsi quam G , unde dc M ipsi B pro Ipinquius existet , quam H. inao igitur cochlea magis est inclinνta, eb punctum supremuim propin- . . iquius est helicis initio; infimum veω ,ro medietati,quod demonstrareoportebat.
Ex ijs, quς dicta sunt, manifestum est, qua do ita inclinata est cochlea, ut in dimidia heli Ce reperiantur puncta suprema. & infima; suprema ubicunque esse posse in prima helicis
quarta; infama vero similiter ubicunque in se cunda helicis quarta, neutra tamen in puncto quartae. Patet quidem Corollarium a decima
quinta huius propositione, usque adhuc, sed excepta decimanona propositione , in qua' punctum supremum eis in medietate helicis , infimum vero in initio de quibus sane punet:s
116쪽
Caeterum quamuis liςc ex ijs,quς di cta sunt, perspicua sint; attamen ad exquisitam dictorum intelligentiam nonnulla aliquo indigent discrimine. Nam punctum supremum, veluti etiam infimum duplici possunt accipi ratione ;nempe simpliciter, &absolute, vel se cundum quid , supremum simpliciter, intelligitur punctium,quod sit omnium helicis puncto tum supremum nunc do punctis in medietate tantum helicis exi stentibus loquimur in supremum vero secundum quid, intelligitur punictum, quod sit nonullorum tantummodo puncto tum premum; idcm- sue intelligi debet de puncto infimo. Idcirco ponatur quarta helicis ΔΕ, helixque. AE p in trςs diuidatur aequales partes AF FG GH Quando iguur supremum punctum accipitur per absolute simpliciter li
upremu, tunc oportet ut iuprcmum sit in aliquo puncto portionis AF, at non in puncto F; nam quando punctum F est supremum , tunc elidipses ex AB orizonti aequi dist antes helicem contingunt in GF, &in Ev ι .hoc casu duo sunt puncta F B suprema ; quare F est tu promum secundum quid, cum n pnsit omnium punctorum helicis AEB, absol uesa premum Num reperiatur B supremum ut F. At vero quando et li-plis ex A orizonti aequi distans helicem secat, tunc ipsam necessario secabit inter AG; siquidem ellipsis AG helicem contingit, ac propterea supremum punctum erit inter AF, cmque simplicit cr supremum, quia omnium helicis AFB punctorum supremum existet, ut patet in
Caeterum quando ellipsis ex A orietonti aequi distans helicem non secat; ellipsis vero per. Ε transiens orizontiq; aequi distans helicem secet, tuncfacta FH aequali F E, dico primum ellipsim ex E helicem secare inter HE; namquando ellipsis ex A belicem contingit , ut dictum est,continget in G, atque tunc ellipsis per si transiens helicem se- 'cabit in M, quiacum ambae ellipses sint origontia quid illantes, ncce stei est, ut punctum supremum F sit medium liue rhelicis puncta AG, &Inedium inter H E, ut ex iis, quae antea dicta sunt, mani sessum est. Itaq; sellipsis ex A origonti aequi distans helici non occurrerit, ellipsis vcio ex E dictae ellipsi aequi distans helicem secuerit; necessario eam secabit inter H E, unde & punctum supremum erit inter F E, & quo maior fuerit inclinationis angulus BCD, eo ellipsis per E ori Zonti aequi diit sminorem helicis portionem abscindet, quare, &eὁ magis, eius medietas, hoc est punctum se premum puncto E accedet, ac per consequens punctum infimuni quali distantia propinquius erit puncto E, at l, hoc
117쪽
9 3 Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
punctum supremum non est absolutδ, simpliciterque supremum, quia non est Omnium punctorum helicis AEB supremum;squidem supremum omnium est B; ideo est supremum secundum quid, idestpynctorum tantum illorum est sipremum, quae sunt in helice existente inter ellipsim per F transeum tem,orizontiqueaequidistantem. Eodemque protius modo ut dictum est in punctum infimum duobus modis accipi potest;namellipsis per B transiens, vel secat,vel contingit helicem,vel ipsi non occurrit; sitque quomodocunq; tunc quando punctum infimum erit inter GB, eritabsoluth simpliciterq; infimum, quia erit omnium helicis AEB punaorum infimum . quando autem punctum infimum erit in G, vel inter EG, tunc erit infimum secundum quid, quia non est omnium helicis punctorum, haec autem omnia exin, quae dicta sunt,perspicua sunt.
Data cochlea pundi a suprema, & infima,
nec non helicis portiones ascedentes,. descen
dentesque in dimidia helice inuenire. Si data cochlea fuerit origonti erecta, tunc helicis initium est punctum infimum , punctum vero medietatis est supremum ; unae ab initio helix deinceps sursum tendit semper. Quod si fuerit cochlea origonti aequidistans, punctum supremum erit helicis initium ; infimum vero medietas ; intelligendo hanc helicis medieta
118쪽
tem est e in parallelogrammo per axem ducto, orizontique erecto, hoc namque modo helix ab initio usq; ad me*etatem semper deorsum t 'dit.
Sit autem eochlea ΑΒ mclinata iiiii irHoc idem fiet, si ellipsis adhuc helicem secuerit in duobus punctis E L, ut in p. figura. Diuidatur enim heli, A E bifariam in G, crit quidem G punctum supremum, factaque FH aequali AG, erit H puniactum infimum, unde constat heliacem AG rursem, GH deorsum, de HB sursum tendere. Si vero ellipsis helicem mittigerit in vi in I, figura, eodem napdo diuidanii rhelix A E bifariam in G, erit ut que G purustum supremum, E infi- mum: belixque propterea' Α G sertiam, GE deorsum,& EB sursem tendit. In hac autem cochleς inclinatione,puncta GF sunt suprema,& A E infima.
119쪽
or Guid ivbaldie Marcitionibus M.
Pi aeterea si, ut in q.figura fueris cochlea AB, helixque AE B ellipsis voci per A orisolui uidissans u- is 1 DI icta helici non occurrat, proculdubio ι punctiam A erit infimum, B vero sise
Cςterum quantum ad portiones nil in σε et Ino rilicis asseeudentes,descendentesqhahi, R I A maduertendum eli i existente-AE imquarta helici' anellipsis per E m an m di m
amplius secuerit, nec he, quod sinon di*eseii, nisi iii Η, sinianturi iter EB EA quaevis puncta ΗΚ, liquet enim punistum Hi esse oria Zonti propius, quam B, & E, quam H, atque Κ, qtiam E; deniq; quam Κ, e conuerso autem ex A usque ad B, helix igitur ex A vsquoad B semperascendit, quare B puneium sirpremum, stilicet erita,
transiens helicem secuerit in punctis L Κ, ut in quintas ra. Dividantur heli- 3. i--EL ΕΚ bifariam in erit quidem M pu
θη.-us. ctum supremum, omnium -' tamen punctorum,quae sutin helicis portione tantum
ocirca in hoc casu,qua-uis punctum B sit omnium punctorum helicis AEBD premum,& A infimum,
120쪽
Rursum puncta suprema,& infima, portionesque ascendentes,clescendentesq; sola ellipsi per qua riam helicis transeunte inuenire.
sit AB cochlea incli- il orsi 'talinata, helix ACB, cuius quarta sit AC. Ducatur per C planum OriZontiatquidistans, quod in cf. lindro essciat ellipsina DEC, oportet supremum punctum, &insinu,
nec non portiones asce dentes, descendentesque inuenire. Primum ut antea considerandum est,an
Cem, nec ne, quod si non secat, erit A punctum insimum, S: B supremum ; helixque ab A vsque ad B semper ascendet,ut proxime dictam est.' Si vero ellipsis helicem secat, fueritq; helix, ut FCG, quam ellipsis secet in HK, eodem modo dividantur helicis portiones CH CK bifariam in L M, erit utique punctum L Ω- premum,St M infimum; h lixque AH ascendet, HM descendet,& MB ascendet. Quod si fuerit helix, ut NCO, cuius quarta sit NC, ellipsis verὁ DEC helicem NCO, neque in prima, neque in secunda quarta dispescat, perducatur helix ex No usque ad ellipsim in SP. Dividanturque eodem modo helices SNC COP bifariam in RQ, erit R punctum supremum , S nfimum, via debeticis portio SNR ascendit,& RCQ descendit,& QOP rursus ascendit,& hoc modo ellipsi tantum D EC, puncta suprema, infimaque infit per portiones ascendentes,descendentesque inuenire po terimus,quς quidem omnia prout ellipsis, vel primam helicis medietatem, vel ad alteram partem secat,inuenientur,ut ex vigesima,& vigesimaprima huius propositione colligere licet,quod demonstrare oportebat.