장음표시 사용
91쪽
ε Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Intelligatur per puncta A BParallelogramum per axem, d caturque per M circulus M IV basi aequidistans; qui ellipsini socer quoq; in S, iungaturq; MS, quae cum sit communis sectio circu li,& ellipsis,quorum plana sunt parallelogrammo ABler axesserecta, erit M S plano AB er cha, ductaque L Z circuli MIvplaniq; AB communi sectione, erit M S ipsi L Z perpendicularis . Deinde cylitidii latera du- cai tur GI N V, ducanturque V F NP plano AB per axem creetae, erunt sane MS VF NPinterscparallelae.vnde V F est in plano circuli MIV, &ipsi L Zperpendicularis, & quoniam it
Huales, ergo MISI I ZU inter . bse sunt aequales,eademq; ratione quoiiciam sent Aurum qualis,cum sint holicis quartae, erunt LI IZ circuli quartae ex quibusculigitur MS VF interse aeqtiales esse. Deipceps ducatur cylinc latus inter SI ubicunque sumatur punctum C, ducatu que cylindrilatus CDE, sitque D in ellipsi, F vero inheliceritaque quoniam propter ellipsim SC ad CD maiorem habet proportipnsm, quam Si ad I . si ipsis SC SI communis addatua circunferentia SLM: malo orii habebit proportionem M SC ad CD, quam M SI ad I G, propter helicem autem ita est M SC ad C E, sicut M SI ad I G, maiorem igitur habebit proportionem M SC ad CD, quam ad CE, quare maior est C Ε, quam CD, hacque ratione ostendetur omnia puncta helicis SDG basi propinquiora esse,qua helicis puncta EG, sed quoniam helix circulum in uno tantum puncto dispcicit;helicis portio QAM cum circunferentia MLS non conueniet, nisi in M, quare helici QAM a basi magis distat,quam circunferentia MLS, R cunferentia vero ML Sabas magis ut at,quana ellipsis portio M Hs,
ergo helix M M a basi magis distabit, quam ellipsis MI S, unde sequitur helicis portionem M AG a basi magis distare,quam ellipsis pomtio M HG. Hoc demonstrato sumatur inter I F, quod vis pun&m cylindrique latus ducatur OR T, sitque punctum R in helice, T
92쪽
vero in ellipsi. Quoniam igitur propter ellipsim SI ad I G maiorem liabet proportionena,quam S O ad OT, communis addatur SI Mipsiή SI SO, habcbit M SI ad ΙG maiorem proportionem, quam MSO ad OT, sed propter helicem M SI ad I G est, ut M SOad ORi habebit MSO ad OR maiorem proportionem, quam ad OT, minor igitur eli OR, quam o T, & hoe modo omnia punctaeulips, GP a basi magis distare ostendetur, quam puncta helicis GR X. Neq; enim potest helix occurrere ellipsi in P; nam quoniam helix pe transit per G; ipsi quoq; helici occurreret in S, quod fieri non hoste ostensum est; deinde in circunferentia UZF quodvis punctum sumatur Z cylindriq; latus ducatur ZΒΚ, quod helice secet in B, ellipsim vero in K. moniam igitur NP erecta est plano per axem ducto ΑΒ, cui etiam est erectabius,circulus nempe MIV; erunt puncta N P basi aequaliter distantia, unde ellipsis puncta in P KN existentia magis aba- si distabunt,quam puncta NP, quare maius est latus ΖΚ, quam UN. Itaque quoniam maior est M IV, quam MIZ, & ΖΚ maior est VN, maiorem habebit proportionem MIU ad VN, quam MIZ ad ΖΚ, sed propter helicem ita est MIZ ad Z B, ut Mi V ad UNmaiorem igitur proportionem habet M IZ ad Z B, quam ad Z Κ, quare maior est ZB, quam ΖΚ, ac propterea punctum B basi propinquius existit,quam Κ, atq; ita ostendetur omnia puncta helicis X BN propinquiora esse basi,quam puncta ellipsis PKN, ex quibus constatnelicis portionem G BN basi propinquiorem esse, quam helicis portio GK N. QOd autem helix mn occurrat amplius ellipsi, perducatur helix ex N, ut NY, & si fieri potest ellipsi occurrat in puncto Y, cylindriq; latus ducatur Ys. Quoniam enim circunferentia MIs maiores circunferentia Mi V, &pyiactum Y inelupsi existit; latus UN maius erit 9 Υ, habebitq; propterea MIs ad 9Υ. maiorem proportionem,quam MI. V. ad VN, sed pr pter belicem sicut MI' d s Y, ita est MI Uad VN, ergo MΙ9 ad pandem AY, &maioreri habet proportione, quam MI V ad V N. eandem,quam M IV ad V N, quod fieri non potest. Non igitur bella ellipsi ampliu* occurrere potest, quae quidem
Ijsdem positis, dico portionem G A Mhelicis meaietate minorem existere.
93쪽
66 Cuidi Vbaldi E Marchionibus M.
Si enim s fieri potest) G Α Messet medietas helicis, fiat helicis portio G BN aequalis portioni G A M, nimirum ellipsis helicem quoque secabit in N ex praecedenti. Sed quoniam GAM est helicis medietas,erit M AGBNintegra helix,quare puncta M Nsunt in eodem cylindri latere. Aeverδ sunt quoq; puncta M N in ellipsi ; ergo puncta M N cum sint in eodem cylindri latereὶ sux Vnum punctium, helixq; propte- Rirrea sibi ipsi occurreret,quod fieri non potest , quod demonstrarc
Sit in cylindro helix A BQ,iciuam secetit duae elliphes parallel in C G D E F quae sint plano cylindri per axem ducto AF ere
uidaturq; helix DBE bifariam in s. Iungaturq; BE. Dico BC perduc tam plano
94쪽
Ex his facile colligitur helicem BA aequa lem esse ipsi BC. Propter enim plana DEFA C parallela & propter helicis regularitatem in cylindro, quae Votcunq; eodem modo abet secabitur helix, ita ut pars D A sit aequalis Ea quod cum sit BD aequalis BE,
95쪽
Cuidi Vbaldi e Marchionibus M PROPOSITIO XII.
Sit ssimiliter helix ABC, cui occurrat elli psis A C C in duobus punctis A C, diuida turq; ABC bifariam in B, ducaturo; Der B planum ΒΚ ipsi AC G plano aequissistans. Dico ΒΚ helicem in puncto B contingere
si fieri potest , planum ΒΚ helici quo
quoniam puncta BE 1unt in plano B Κplano AC Gparallelo , lia Aneaigimrquoque BE erit plano AC Gparallela, quae quidem esse non possunt, squidem BE cum AC GConcurrere, & non concurrere, fieri non potest,planum ergo B Κ hel, cem contingit in B, quod demonstrare oportebat.
96쪽
De Cochlea Lib.II Sit in cochlea helix A B C, in qua duo ubicunque sumantur A C, iungaturque A C, ducaturque cylindri latus C Κ, iungaturq;Α Κ, helicis vero portio ABC bifariam diuidatur in B, & inter AB utcumo; sumatur punetum D, dc fiat B E aequalis B D, iungaturque DE, dividanturq; rectae AC DE bifapam in O Ρ, connectaturque B ΡPO. Dico BP O rectam lineam esse,& non
inum etiam plano A C K, erectam esse. i
erum portiones helicis,' tr. . -
basis inter cylindrit Illatera existentes in ea- ' E dem sunt proportione; R H H νι M. ad ABC, ut '
97쪽
σo Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
G 3 ad K C , quare G B dimidia est Κ C,
similitoriquoniam DI est ad I B, ut DIL ad LE, & permutando ςr go erit I B dimidia LE. Caeterum quia ita estr. Cor.st DB ad BE, ut FG ad GH, erit CF adiqualis G Η, sed GA est aequalis G Κ, linea igitur F H ipsi A K
siquidem cylindri litus CK per quod planum transit basi est perpendiculare,) sitque simuliter oblatera DF EH planum FDEHeidem basi in GK erectum,
futueris planorum,&basis communes sectiones FH AK parallelae;er Eui3.- go&plana FDEH ACK sunt inuicem parallela. At vero quoniam circulus D ILi est cuculo A G Κ aequid istans , arit plataum FDEH, hoc est D EL circulo DIL erectum. Itaque ditii dantur rectae ΑΚ
DL bifariam in MN, iunganturq; MO NP, quoniam igitur AC bifariam sunt diuisae in OM, erit O M ipsi CK a quidistans, smiliter quoniam DE DL sum bifariam diuis, in ΡN; erit Plilaequidistans EL, & quoniam latus CK est basierectum, erit o Mbas erecta, ac propterea ipsi quoque B G aequidistans,parique ratione ostendetur NP aequidistantem esic BL contrect oturi autem GMIN, quoniam igitur, ita est AM ad M O, Evi A K ad iΚ C, pem mutando eriti A M ad AK, ut MO ad KC, est autem AM dimidia AK, ergo Mo dimidia est Κ C, at verὁ G B dimidiainst quoque ΚC, erit igitur M O aequalis G B, sed ambae G B Moss. , ωi. sunt inter se parallelae ergo ducta linea BO erit ipsi GM. aequalis, Maequi distans.Cum autem sint,balis AGK, planumq; ACK inuicem Ex s, erecta,&est G M in plano basis, S planorum communi iectioni AK perpendicularis cum linea GM in circuli centrum tendatὶ erit GMκ is plano ACK erecta,sed ducta BO est G M aequidistans; erit igitur B O plano ACK erecta. Lademque ratione quoniam N P dimidia est LE cdmst D N ad D L, ut NP ad LEὶ erit NP ipsi BI aequalis, sed est etiam si P ipsi BI aequi distans, erit igitur ducta BP a qui distans IN, sed quoniam plana DEL, &circulus D IL senter cia, &est IN in circulo DI L, estque communi sectioni DL perpe δή vide, dicularis, erit IN plano D EL perpendicularis,quare BP plano DEL
98쪽
niam ducta B O est plano A C Κ erectit,& BP est plano DELerecta, suntquς plana ACΚ DEL parali
Ia ; una, & eadem recta linea ab codem puncto B virisque planis per pendicularis existet,siquidem eadem recta linea parallelis planis Grecta est; ergo recta li- .nea est BPo, &quo'niam B O est plano ΑCK erecta,erit B o ipsi AC perpendicularis,similiter quoniam BP est plano DEL Greeta, erit BP pαrpendicularis, quod demo'strare opo tebat.
In coehlea sit helix A B C, sitque paral-lςlogrammum per axem A G. cui ad rectos angulos sit planum A N C; quod quidem helici occurrat ubicunque in punctis,ut A C, helix vero AB C bifariam diuidatur in B,
&per B ducatur planum QR plano ANC
atquidistans Dico planum QR helici non occurrere nisi in puncto B.
99쪽
Si enim si fieri po- test planum QR ipsi ta
secabit in punctis BF; quod cum sint puncta i N. EB, in plano QR ipsi ' A N C rauidiltante C
ganturque DE AC i dcinde ducatur cylin- i A drilatus C Κ, iungaturque A Κ, line verδ DE AC bifariamdiuidantur in P O. Ducaturque BPO, quae quidem,ex HS,quae antea Et mare Ostensa sunt, recta linea est;&est non solum ipsis DE AC perpendi- ' cularis,sed plano ACK etiam erecta.Quare linea DE plano ACK aequidistans existit. Itaquc in plano ACK perpunctum, o ducatur
OS a qui distans P,; etitvsiq; OS ua planes BPy, squidem ibi . -. PE OS OPB in uno sunt plano, in quo est quoque linea Bri V .ia. &-occurrit ipsi PE, eadem BE ipsi quo'. o S. .. occurres. Vnde necesse bini AE plano quoquq in sc occinuere.' quod fieri non potest,sequitur enim lineam BE plano ANC parauselam non lesse,ut suppositulati fuit. Non ergo planitia γ--h dici oo surrit, is ly v,.qqqd demonstranormietax- I isti
Ex hoc patet planum helice in puncto B contingere, quod qua domptinum, insuperficie cylindri erit ellipsis.
100쪽
. Data cochlea origonti erecta, infimum he
licis punctum est helicis initium ; supremum
Data sit cochlea pritonti erecta ABCD, quae helicem habeat A E; erit utique basis A B G orizonti aequi distans; itaque constat i fimum punctum esse initium A, cum semper helix ex Α sursum tendat, ductis enim cylindri lateribus FG HK LM, maior est semper ΗΚ, qua' FG, & L M, quam HK, ex quibus sequi in riterum helicis terminum E supremum existere,quod demonstrare oportebat.
- ... Data: COChlea Origonti aequidstam, insimul elicis . locum iei'. in inferiori dii sα, pyrallel': grammi per Uem ducti,urizontiqΜ ere, iues, premuna vero in linea superi ri.
Sit cochlea orizontiς - Aquidistans,sitque paralle- flogrammum per axem,o- , 'rizonti P erectu ABCD, G --
fimum punctam esse E in linea BC, silpremum ve- E lto A in linea A D. Quoniam enim parallelogrammum AC est orizonti erectum, erunt lineae AD BC orizonti parallelae, ex quibus constat helicem ex A usque ad E descendere,ductis enimlateribus cylindri, lariis quidem FG propinquius est ipsi BE, quam ΚΗ, & LM propinquius, quam GF, S ita in alijs. Ob eandemque causam si helix perduceretur in Nin ex Ein D semperascendet.Infimum ergo locum est in linea BC, sepremum vero in linea AD, quod demonstrare oportcbar.