장음표시 사용
71쪽
68 Guidi Vb Hie Marchionibus M,
Sit similiter helix ABC, cui occurrat elli psis ACC in duobus punctis AC, diuidaturq; ABC bifariam in B, ducaturo; Der B planum ΒΚ ipsi AC G plano aequidistans. Dico ΒΚ helicem in puncto B contingere
si fieri potest, planum ΒΚ helici quo
AC G occularere. Verum quoniam pun
cta BE fiunt in plano B Κplano AC Gparallelo , ita Aneat rurquoque BE erit plano AC Gparallela, quae quidem esse nonpositat, squidem BE cum AC G
72쪽
Sit in cochlea helix ABC, in qua duo ubicunque sumantur A C, iungaturque A C, ducaturque cylindri latus C Κ, iungaturq;Α Κ, helicis vero portio ABC bifariam d1 - . --.uidatur in B, & inter ΑΒ utcumque sumatur punetum D, & fiat BE aequalis, BD. iungaturque DE, dividanturq; rectae AC DE bifasiam in ΟΡ, connectaturque ΒΡ.P O. Dico B p o rectam lineam esse,& non solum ipsis A C DE I)erpendicularem,VC-
.riam etiam plano 1 A Κ Crectium Cile. i. .
73쪽
G B ad K C , quare G B dimidia est Κ C,
similiteriquoniam DI est ad I B, ut DIL ad LE, & permutando ςDrgo erit I B dimidia LE. Caeterum quia ita est
DB ad BE, ut FG ad GH, erit CF in qualis G Η, sed G Α est aequalis G Κ, linea igitur F H ipsi A Keil aequi distans Itaque
cum sit planum A C Lb,si Α G Κ erectum siquidem cylindri Ἀ-Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.
tus CK per quod planum transit basi est perpendiculare,)stque similiter oblatera DF FH planum F DEH eidem basi A GK ere m, sui veroplanorum,&basis communes sectiones FH AK parallelae;e go& plana FDEH ACK sunt inuicem parallela. At vcro quoniam circulus D ILi est circulo. GK aequidistans, crit planum FDEH, hoc est D EL circulo DIL ereistum. Itaque dividantur rectae ΑΚ DL bifariam in MN, iunganturq; MO NP, quoniam igitur AC AK bifariam sunt diuisae in OM, erit o M ipsi C Κ ' xquidistans, similiter quoniam DE DL sunt bifariam diuis, in P N; erit PN aequidistans EL, & quoniam latus C Κ est basi erectum, erit OMbasi erecta,ac propterea ipsi quoquo B G aequid illans,parique ratione ostendetur NP aequidistantem esic BL connec Φi turi autem GMIN, quoniam igitur, ita est A M ad M O, ut AK i ad iΚC, pem mutando erit A M ad ΑΚ, ut M O ad KC, est autem AM diamidia A Κ, ergo Mo dimidia est KC, at verὁ GB Gnidia est quoque ΚC, erit igitur M O aequalis G B, sed ambae UB Mosunt inter se parallelae;ergo ducta linea BO erit ipsi G M aequalis, de aequi distans.Cum autem sint,basis AG Κ, planumq; ACK inuicem erecta,&est C M in plano basis,&planorum communi sectioni AK perpendicularis cum linea GM in circuli centrumendat erit GMplano ACK erecta,sed ducta BO est G M aequi distans; erit igitur BO plano ACK erecta. Lademque ratione quoniam N P dimidia est LE cdm sit D N ad D L, vi NP ad LEὶ erit NP ipsi BL aequalis, sed est etiam LP ipsi BI aequi distans, erit igitur ducta BP aequi distans IN, sed quoniam plana DEL, & circulus D IL senter c a, & est IN in circulo DI L, estque communi sectioni DL perpe dicularis, erit IN plano D EL perpendicularis,quare BP plano DELest
74쪽
est erecta. At vero quoniam ducta B O est plano ACK erecta,
& B P est plano DELerecta , fiuntque plana ACK DEL parali Ia; una,&eadem rem linea ab eodem piincto B virisque planis perpendicularis existet,siquidem eadem recta linea parallelis planis recta est; ergo recta linea est BP &quo'niam B O est plano ΑCK erecta,erit B Oipsi AC perpendicularis,similiter quoniam BP est plano DEL erecta, erit BP ipsi DL p rpendicplaris, quod demo'strare opor
In cochlea sit helix A B C, sitque paral-lolog ammum per axem A cui ad rectos angulos sit planum A N C; quod quidem helici occurrat ubicunque in punctis,ut A C, helix vero ' AB C . bifariam diuidatur in B,
&per B ducatur planum QR plano ANC
atquidistans. Dico planum QR nelici non occurrere nisi in puncto B.
75쪽
ii Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Si enim si fieri potest planum QR ipsi
A N C aequi distans occurrat helici in puncto etiam Ε, iungatur BE,
quae qui3em cum sit intra culindrum, helicem
secabit in punctis BF; quod cum sint puncta , EB, in plano QR ipsi A N C a sui distante erit linea B E plano iA N C qquidistans.Fiat B D aequalis B Ε, iunganturque DE AC ideinde ducatur cylindri latus CK, iungaturque A Κ, line vero DE AC bifariam di ui dantur in P O. Ducaturque BPO, quae quidem, ex ijs,quae ante,c,stensa sunt, recta linea est;&est non solum ipsis DE AC perpendicularis,sed plano A C Κ etiam erecta.Quare linea D E plano A C Κaequidistans existit. Itaque in plano ACK perpuli thymi O ducatur OS aequidistans PN: erit utiq; os inplans B, Ε, squidem lianeae PE OS OPB in uno sunt plano, in quo est quoque linea Bri& quoniam linea BE occurrit ipsi PE, eadem BE ipsi quo'; OSoccurreς. Vnde necessc rei BE plano quoqu ocquerere.' quod fieri non potest,sequitur enim lineam BE plano ANC paratu selam non Ise,ut suppositusia fuit . Noli ergo planum i Nioo surrit, iis y v,.qqqd demonstra eopstebar. i f
Ex hoc patet planum QR da elice in puncto B contingere. quod quide in planum, insuperficie cylindri erit ellipsis.
76쪽
. De Cochlea Lib. IIΡROPOSITIO XV
. Data cochlea origonti eredha, infimum he
licis punctum est helicis initium ; supremum
Data sit cochlea pritonti erecta ABCD, - iquae helicem habeae A E; erit utique basis ABG orizonti uidistans; itaque constat in- ' Efimum punctum esse initium Α, cum semper helix ex A sursum tendat, ductis enim cylindri vlateribus FG ΗΚ LM, maior est semper HK, qua FG,. & L M, quam H Κ, ex quibus se- Aquitae litterum helicis terminum E supremtim existere,quod demonstrare oportebat. π
sit cochlea origonliquidistan sitque paralle logr inmum per axem,o rizontim erectu ABh D; tisitq; helix A E. Dico in io m Urniam enim parallelogrammum AC est orizonti erectum, erunt lineae AD BC orizonti parallelae, ex quibus constat helicem ex A usque ad E descendere,ductis enim lateribus cylindri, latus quidem FG propinquius est ipsi BE, quam ΚΗ, & LM propinquius, quam GK &ita in alijs. Ob eandemque causam si helix perduceretur in ND, ex Ein D semperascendet. Infimum ergo locum est in linea BC, supremum verohalinea AD, quod demonstrare oportebat. Diuitiaco by Cooste
77쪽
Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.
Ex hoc manifestum est in hac cochlea plura dari posta puncta infima, pluraque suprema.
Infima enim sunt ea, quae in linea BC reperiuntur,suprema Vero,quae in linea AD eximunt;cochlea sipiliςet plures helices habente.
Si in cochlea , origonti inclinata helicis initium fuerit sublimius, quam medietatis pun- istum;dimidia vero helix in quatuor sit aequales partes diuisa ι huius dimidiae helicis supre
mum punctu erit in prima quatuor partium 3 infimum vero erit in postrema, punctumque supremum erit medium inter initium, dc ubi ellipsis per initium transiens origonti aequidi- stans helicem secat infimum yero erit medium inter punctum medietatis, ubi ellipsis per medietatem transiens orizonti aequidilhas helicem secuerit.
78쪽
orizon C D, inclinario autem sit BCD, existente AB parallelogrammo per
dimidia helix AEF, pum Immque A sit sublimiui, quam helicis medietas F. i , Dividatur helix AEF inquatuor aequales partes ,
quarum prima st AC, postrema vero FH. Diuidi Utur enim helix in quatuor
partes, primum diuidendo bifariam in Q deinde bi- ifariam in G H.) Deinde sit A B E ellipsis oriaonti aequi distas; quae heia licem secet in Ε, secabit enim,quia cum sit puctum A sublimius, quam F, puncta vero AB qqualiter ab orizonte dii tanti erit B sublimius,qua F, propterea punctum F est inter BC. Diuiditur heliY A E bifariam in K. Rursum stelli ps FLM ori Zonti aequi distans, quae helicem secet. in L, sitq; punctum N helicis medium inter L F. Dico huius medietatis helicis AEF punctum K sipremu esse,&intet AG existere, N vero esse punctum infimum inter L F r*periri. Ducatur per Κ planum KO plano AEB aequidistans; similiter Per N ducatur ellipsis N P, quaesit FLM aequi dii an , oiro ellipses ABE FLM, planaque ΚΟΡN parallelogrammo AB per xem Frecta erina ,ε orizonti parallela, planaq; ΚO RN helicem contingent in punctis Κ N. Quoniam igi- tui: planum K O est orironti aequid istanς , omnia helicis puncta erunt orizonti propinquiora,quam punctyn Κ, siquid in planum Κο contingit helicem in K, unde sequitur pulictum g esse omnium stupremu, similiter quoniam plantini PN est oriranti aequidistans, onaitiali elici puncta eruntsublimiora, quam punctum N, up de punctum: .e homnium infimum. Quoniam aute punctum F est liuer BC, elliptis ABEhelicem secabit in prima helicis quarta A quae est medici as helicis A f, quare erit helix AKk minor, qu m quarta; similiter quoniam et lipssiFLM helicem secat ex contraria parte, veluti ellipsis AEB, ita scilicet, ut helix F N L sit aequalis helici A K E; erit F L minor, quam helicis quarta FQGAt verὁ quoniam helicis portiones AE FL sunt
79쪽
6. Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.
parallelogramum per axem, d caturque per M circulus M IV basi a quidistans; qui ellipsim secet quoq; in S, iungaturq; Ms, quae cum sit communis sectio ci cu li, & ellipsis,quorum plana sunt parallelograpamo ABler axe ierecta, erit M S planoin B er cta, ductaque L Z circuli MIvplaniq; AB communi sectione, erit M S ipsi L Z perpendicularis . Deinde cyliud ii latera ducantur GI N V, ducanturque V F NP plano AB per axem Gellit, erunt sane MS VF NP interseparallelae.vnde V F est in plano circuli MIV, &ipsi L Zperpendicularis, & quoniam it --
se sunt aequales,eademq; ratione Nohiam sent AG Gs riuues,cum sint holicis quartae, renni LI IZ circuli quartae ex quibus coigitur MS VF interse aeqvalps esse. Oelyceps ducatur cylindrit tus inter SI ubicunque sumatur punctum C, ducatuique cylindri latus C D F, sitque D in ellipsi, E vero intellae ι itaque quoniam propter ellipsim S C ad C D maiorem habet proportipnem, quam SI ad Isi ipsis SC SI communis addaici ci resinferentia's LM insorum habebit proportionem M SC ad CD, quam M SI ad I G, propter helicem autem ita est M SC ad CE, sicut M SI ad I G, maiorem igitur habebit proportionem M SC ad CD, quam ad CE, quare maior est CE, quam CD, hacque ratione ostendetur omnia
huncta helicis SDG basi propinquiora esse,qua helicis puncta REG,
sed quoniam helix circulum in uno tantum puncto dispescit helicis portio MM cum circunferentia MLS non conueniet, nisi in M, qu
te heliae QAM a basi magis distat,quam circunferentia MLS, ' cunferentia vero MLS basi magis distat,quam ellipsis portio M HS, ergo helix QΑM a basi magis distabit, quam ellipsis MI S, unde sequitur helicis portionem M AG a basi magis distare,quam ellipsis pomtio M HG. Hoc demonstrato sumatur inter I F, quod vis pun&m cylindrique latus ducatur OR T, sitque punctum R in helice, TVero
80쪽
vero in ellipsi. Quoniam igitur propter ellipsim SI ad I G maiorem liabet proportionem,quam S O ad OT, communis ad datur SLM ipsi SI S O, habebit M SI ad I G maiorem proportionem, quam MSO ad OT, sed propter helicem M SI ad I G est, ut M SOad OR: habebit MSO ad OR maiorem proportionem, quam ad OT, minor igitur eli OR, quam O &hoe modo omnia puncta ellipss GP a basi magis distare ostendetur, quam puncta helicis GR X. Neq; enim potest helix occurrere ellipsi in P; nam quoniam helix pe transit per G; ipsi quoq; helici occurreret in S, quod fieri non poste ostensum est. deinde in circunferentia UZF quodvis punctum sumatur Z cylindriq; latus ducatur ZΒΚ, quod helice secet in B, ellipsim vero in K. tuoniam igitur NP erecta est plano per axem ducto ΑΒ, cui etiam est erecta basi circulus nempe M IV, erunt puncta N P basi aequaliter distantia, unde ellipsis puncta in P KN existentia magis aba si1 distabunt,quam puncta NP, quare maius est latus ΖΚ, quam UN. Itaque quoniam maior est M IV, quam MIZ, & ΖΚ maior est V N; maiorem habebit proportionem M IV ad VN, quam MIZ ad ΖΚ, sed propter helicem ita est MIZ ad Z B, ut M IV ad VNmaiorem igitur proportionem habet M IZ ad Z B, quam ad Z Κ, quare maior est ZB, quam ΖΚ, ac propterea punctum B basi propinquius existit,quam Κ, atq; ita ostendetur omnia punista helicis X BN propinquiora esse basi,quam puncta ellipsis PKN, ex quibus constat helicis portionem G BN basi propinquiorem esse, quam helicis portio GK N. Quod autem helix mn occurrat amplius ellipsi, perducatur helix ex N, ut NY, &si fieri potessellipsi occurrat in punisto T cylindriq; la
tus ducatur Ys. Quoniam enim circunferentia MIs maior est cir
cunferentia Mi V, &p-ctum V in elljpsi existit; latus VN maius erit 9Υ, habebitq; propterea MIs ad 9Υ maiorem proportionem,quam MLV. ad VN, sed prqpter bellicem sicut MΙ' ad 9 Υ, ita est MI vad VN, ergo MIy ad sandem A c &maiorem habet proportione, quam M IV ad V &eandem,quam MI V ad VN, quod fieri non potest. Non igitur helix elupsi ampliu occurrere potest, quae quidem
Ijsdem positis, dico portionem G A Mhelicis medietate minorem existere.