장음표시 사용
111쪽
uero, quam una pars eiusdem anguli in centum quatuor& sexaginta partes diuisi; quod is angulus aequalis sit angulo, cui sol accommo- . datur uerticem habenti ad uisum . quare angulus m ho minor est, quam una pars anguli rccti diuisi in centum quatuor& sexaginta par B tes. linea uero ab recta minor est ea, quae subtenditur uni portioni circumferentia circuli a b c , in sexcentas sex I suinquagiuta partes diuisae: ct ambitus dictae figurae multorum angulorum ad semidiametrum circuli ab c minorem proportionem habet, quam quatuor dc quadraginta ad septeiri : quoniam uniuscuiusque figurae multorum angulorum in circulo descriptae, ambitus ad semidiametrum proportionem habet minorem, quam quatuor& quadraginta ad septem. v non enim ignoras iam demonstratum a nobis, cuiuslibet circuli circumserentiam maiorem esse, quam triplam diametri, parte quapiam, quae quidem minor est septima, maior autem decem septuage G simis primis . linea ergo recta b a ad h Κ minorem habet propor-H tionem, quam undecim ad mille centum octo & quadraginta. qua-I re linea ba minor est quam centesima pars lineae ii K. ipsi autem ba aequalis est diameter circuli sg: propterea quod eius dimidia uaipsi K r est aequalis . cum enim aequales sint lineae h x , h a ab earum
extremis iunguntur perpendiculares ad eundem angulum . manifestum est igitur diametrum circuli fg minorem esse centesima partex lineae I, Κ . At diameter e hy minor est diametro circuli e g; quodd e scirculus minor sit circulo s g. utraeque ergo lineae h y, Κ s mi- L nores sunt, quam centesima pars ipsius h Κ . quare ii K ad y s minorem proportionem habet, quam centum ad nouem & nonaginta.
M Et quoniam linea h r minor est, quam ipsa h Κ : ct linea s y minor, V quam d t: minorem proportionem habet ii r ad d t, quam centum
ad nouem & nonaginta. praeterea quoniam triangula n Κ r, d Κ t rectangula sunt: ct latera quidem Κ r, Κ t aequalia habent; ipse autemhr, di inaequalia: ct maior angulus id Κ ad angulum rh Κ maiorem proportionem habet, quam h Κ ad d Κ ; minorem uero quam
O hrsaddi. si enim duo triangula rectangula altera duorum laterum, quae sunt circa angulum rectum aequalia habeant, altera au tem inaequalia: maior angulus corum, qui lateribus inritualibus continetur , ad minorem, maiorem quidem proportionem habet, quam maior linea angulo recto subtensa ad minorem; minorem uero, quan maior earum, quae ad angulum rectum consistunt, habeat ad mino-μ rem. Quare angulus i d x ad angulum m h o minorem proportionem habet, quam h r. ad d t: quae quidem minorem habet , cluam
112쪽
eentum ad nouem & nonaginta. angulus igitur id x ad mlio angulum minorem proportionem habet, quam centum ad nouem ct nonaginta. & quoniam angulus Id x maior est, quam ducentesma pars anguli recti: erit angulus m ho maior, quam nouem & nona ginta partes anguli recti in uiginti millia partium diuisi. quare maior, stquam una pars anguli recti diuisi in ducentas ct tres partes.linea ergo sb a maior est, quam quae subtenditur uni parti circumferentiae circuli a b c , diuisae in partes octingentas ct duodecim. sed ipsi b a selis
diameter est aequalis . manifestum est igitur diametrum solis maiorem esse latere figurae, quae mille angulis constet. Itaque his positis,
ostenduntur & illa: uidelicet diametrum mundi continere minus, quam decies millies diametrum terrae: ct insuper diametrum mundi minorcm esse, quim centum myriadum myriadum stadiorum. Quoniam enim positum est, diametrum solis non maiorem esse, quam trigintuplam diametri lunae: diametrum uero terrae diametro lunae maiorem: constat diametrum solis minorem esse, quam trigintuplam diametri terrae. Rursus quoniam ostensum est diametrum solis maiorem esse latere figurae mille angulorum, quae in maximo I mundi
113쪽
Α R C HI M E D I s L It Prmundi circulo sit descripta: patet ambitum dictae figurae minus,quam millies diametrum solis continere. diameter autem solis minor est quam trigintupla diametri terrae. Quare ambitus dictae figurae mille:
angulorum minus, quam tricies imilles diametrum terrae continet. . Cum ergo ambitus figurae mille anguloru contineat diametrum terrae minus, quam tricies millies: sitq; idem diametri mundi maior, quam triplus: ct mundi diameter minus, quam decies millies terrae T diametrum continebit. et enim ostensum est cuiuslibet circuli diametrum minorem esse tertia parte ambitus uniuscuiusque figurae multorum angulorum in circulo descriptae, quae pluribus, quam sex lateribus contineatur: quoniam hexagono in circulo descripto diameter circuli tertia pars est ambitus ipsius hexagoni. At uero diametrum mundi minorem esse, quam centum myriadum myriadum stadiorum, ex his apparet. Quoniam enim ponimus terrae ambitum noesse maiorem, quam tercentum myriadum stadiorum : ct terrae ambitus maior est, quam triplus suae diametri; propterea quod unius. cuiusque circuli circumterentia diametri maior est, quam tripla: erit ipsius terrae diameter minor, quam centum myriadum stadiorum. Et quoniam diameter mundi minus, quam decies millies ter rae diametrum continet: perspicuum est mundi diametrum minorem esse, quam centum myriadum myriadum stadiorum.
Haec igitur ponimus de magnitudinibus, & distantiis. De arena uero illa ponantur. Si magnitudo quaedam ex arena fuerit composita, non maior papauere: numerum ipsius maiorem non esse, quam
denum millium: R diametrum papaueris non esse maiorem quadragesina parte digiti. hoc autem pono, scrutatus in hunc modum: in regula plana posta fuerunt papauera in eadem recta linea, quae sese inuicem tangerent: dc occuparunt triginta quinque papauera ampliorem locum, quam si digiti longitudo . ego uero diametrum papaueris minorem pono, ut si quadragesima pars digiti; ct non minor, uolens etiam ex hoc apertissime, ct planissime propositum demonstra- v re. Quae igitur ponimus haec sunt . sed iam utile esse arbitror de numerorum denominationibus dicere, ut ne decipiantur illi; qui in librum a me ad Zeuxippuin scriptu non inciderunt; propterea quod de iis ipsis nihil in hoc libro habetur. Contingit autem numeris imposita esse nomina ab ipsis myriadibus, in quibus eos optime nouimus, numerum myriadum ad myriadas ipsas referentes. Itaque qui proxime dicti sunt numeri in decies mille myriadas, primi uocentur: primorum autem numerorum decies mille myriades, unitas dicatur
114쪽
dicatur eorum, qui secundi sunt: ' secundorum numerorum unitates, ct ex unitatibuς denarii, ct centenarii, & millenarii, ct myriades, erunt denum millium myriadum. Rursus & decies mille my
riades secundorum numerorum unitas uocetur tertiorum numero
rum : ct tertiorum, numerorum unitates, & ex unitatibus denarii, centenarii, millenarii, & myriades, denum millium myriadum, denum millium myriadum. Eodem modo & tertiorum nume rorum decies mille myriades unitas dicatur quartorum numerorum : & quartorum item numerorum decies mille myriades unitas dicatur quintorum: & semper ita procedentes numcri nomina sortiantur: eritq; unitas quintorum numerorum , denum millium
myriadum, denum millium myriadum, denum millium myriadum, decies mille myriades. Ex iis igitur qui dicti sunt, numeri satis erunt noti . licet autem & amplius producere. Sint enim, qui modo
dicti sunt numeri, primae periodi uocati: extremus autem numerus periodi unitas uocetur secundae periodi secundorum numerorum. Rursus S decies mille myriades secundae periodi secundorum numerorum, hoc est huius secundae periodi extremus numerus unitas uocetur tertii periodi tertiorum numerorum: & semper sic procedentes numeri a periodis nomina sertiantur: eruntq; denum millisi myriadum decies mille myriades. Rursus & extrcmus numerus tertiae periodi unitas uocetur quartae periodi quartorum numerorum:
ct ita semper procedentibus, erunt denum millium myriadum, denum millium myriadum, deci cs mille myriades. His igitur hoc modo denominatis, si sint numeri ab unitate proportionales constituti:
qui autem iuxta unitatem denarius sit: octo primi una cum unitate, eorum, qui primi dicuntur, numerorum erunt: alii octo sequentes eorum, qui secundi dicuntur :& reliqui eodem modo denomin buntur secundum distantiam a prima numerorum octade. primae igitur octadis Octauus numerus est mille myriades : secundae octadis
primus, quoniam decuplus est eius, qui antecedit, decies mille myriades: hic autem est unitas secundorum numerorum: octauus se cundae octadis numerus est mille myriades secundorum numeroru .
Rursus & tertiae octadis primus, quoniam eius, qui antecedit decuplus est, decies mille myriades erit secundorum numerorum: ct est
unitas tertiorum numerorum. constat igitur plures esse octades, ut
dictum est. sed ct illud nosse oportet. Si numeris ab unitate proportionalibus existentibus, aliqui Ox eadem proportionalitate L se inuicem multiplicauerint: factus inde numerus ex eade erit proportio o nalitate,
115쪽
A R C H I M E D I S O B. nalitate, tantum dillans a maiore multiplicantium, quantum minor, ab unitate distat, secundum proportionalitati; ordinem : ab uni;ate uero distabit uno minus, quam sit numerus ex utrisque compositus, secundum quos multiplicantes se se ab unitate distiterint . . Si ut nutam eri quotlibet proportionales ab unitate a b e dela h i x L stiit a
unitas: & d multiplicans ipsum si producat q : sumatur autem ex eadem proportionalitate i tantum distans ab h, quantum d ab uti ita te distat. ostendendum cst, q aequalem esse ipsit. Quoniam e nim proportionalibus exilientibus: numeris,d tantum distat ab a ,
quantum l ab h : eandem proportionem habet d ad a, quam i ad h. est autem A secundum seipsum multiplex ipsius a. O ligitur multiplex eli ipsius h secundum d. quare aequalis est lipsi q. patetigitur factum numerum ex eadem proportionalitate clia: atque a maiore multiplicantium tantum distare, quantum minor ab unitate distat. patet etiam, eundem ipsum distare ab unitate uno minus, qualia sit numerus ex utrisque compostus, quibus multiplicantes se se ab unitate distant. nam ab c de fgh tot sunt, quot l, distat ab unitate . sed i Κl uno sunt minores, quam quibus d ab eadem distat;
etenim una cum ii totidem erunt.
His igitur partim quidem positis, partimuero demonstratis, quod iam propositum est, ostendemus, Quoniam enim ponitur diameter papaueris non minor quadragesima parte digiti: perspicuum est sphaeram, quae diametrum digito aequalem habeat, non maiorem esse, quam ut contineat papauerum myriadas sex ct quatuor millia, aram sphaerae, quae diametrum habet quadragesimam partem digiti; et multiplex est secundum dictum numerum; cum ostensum sit sphaeras ad inuicem proportionem habere triplam eius, quae est suorum dia metrorum. Et quoniam positum est, numerum arenae ad magnitudinem papaueris non esse maiorem decem millibus : conliat, si sphaera, quae diametrum habeat digito aequalem, arena impleatur, non maiorem futurum arenae numerum, quam myriades sex, re qua ruor millia myriadum; qui numerus est unitates sex secundorum numerorum, &primorum quater mille my riades. minor igitur est, quam unitates decem secundorum numerorum. Sphaera autem diametrum habens digitorum centum, sphaerae, quae diametrum digito aequalem habeat multiplex est centum myriadibus; propterea quod sphaerae inter se triplam eius, quae est diametro ru, proportiOnem habent. Si igitur ex arena fiat sphaera tanta magnitudine, quanta est, quae diametrum habet centum iugitorum: numerus arenae
116쪽
DE ARENAE NUMERO. minor erit, quam qui producitur, decem unitatibus secundorum numerorum in centum myriades ductis. sed decem unitates secundorii numeroru decimus est proportionalis numerus ab unitate in decuplis terminis proportionalibus : ct centum myriades ab unitate septimus est ex eadem proportionalitate . quare qui producitur numerus erit ab unitate sextus decimus. ostensum eli enim eum uno minus distare ab unitate, quam sit numerus compositus ex utrisque iis, quibus multiplicantes sese ab unitate distant. Ipsorum autem sexdecim, octo primi una cum unitate primorum numerorum sunt: alii octo sequentes secundorum: & eorum ultimus est mille myriades
secundorum numerorum. Constat igitur arenae numerum, quae masnitudinem habeat aequalem sphaerae centum digitorum diametrum habenti minorem esse mille myriadibus secundorum numerorum. Rursus ct sphaera decies mille digitorum diametrum habens, sphaerae habentis diametrum digitorum centum multiplex est centum myriadibus. ergo si ex arena fiat sphaera diametrum habens decies mille digitorum: erit eius numerus minor, quam qui fit mille myriadibus secundorum numerorum in centum myriades ductis. Et quoniam mille myriades secundorum numerorum textus decimus est proportionalis ab unitate: ct centum myriades ab unitate septimus est ex eadem proportionalitate: iactus numerus erit eiusdem ordinis uigesimus secundus. Horum autem duo ct uiginti numerorum, primi octo una cum unitate primorum numerorum sunt: octo sequentis secundorum: reliqui tertiorum, quorum extremus est decem myriades tertiorum numerorum. ex quo manifestum est, numerum arenae, quae aequalis sit sphaerae decies mille digitorum diam
trum habenti minorem esse, quam tertiorum numerorum myriades decem . Et quoniam sphaera, quae diametrum habet stadio aequalem minor est sphaera habente diametrum decies mille digitorum:
patet arenae numerum, cuius magnitudo si aequalis sphaerae diametrum studio aequalem habente, minorem esse decem myriadibus tertiorum numerorum. Rursus sphaera centum stadiorum diametruhabens sphaerae habentis diametrum stadii unius, multiplex est myriadibus centum. Si igitur ex arena fiat sphaera aequalis ei, quae diametrum habet centum stadiorum: minor erit arenae numerus, qua qui fit decem myriadibus tertiorum numerorum in centum myriades multiplicatis. quia uero icrtiorum numerorum decem myriades
vigesimus secundus est ab unitate proportionalis: & centum myri des ab unitate septimus est ex eodem proportionis ordine: qui si nuo a merus
117쪽
κ R C A1M E UI S LI B. merus similiter erat ex eodem vigesimus octauus ab unitate . sed , horum octo S uiginti, primi quidem octo cum unitate sunt primorum numerorum et octo, qui sequuntur secundorum: alii octo tertiorum : reliqui quatuor quartorum : estque eorum ultimus quartorum numerorum milleunitates. mani latium elligitur numerum
arenae, qua magnitudinem obtinet aequalem sphaerae centum stadiorum diametrum habenti, minorem esse mille unitatibus quartorum numerorum . Rursus sphaera diametrum habens denum
millium stadiorum , sphaerae habentis diametrum centum stadiorum , multiplexJest contum myriadibus. Quod s fiat ex arenasphaera tanta magnitudine, quanta est, quae diametrum habet de
num millium stadiorum: minor:erit cius arenae numerus , quam qui producitur multiplicatis mille unitatibus quartorum numerorum in centum myriades : ct cum mille unitates quartorum numerorum , vigesimus octauus si numerus ab unitate proportionalis : centum uero myriades eius proportionalitatis septimus: erit is,
qui producitur ex eodem ordine trigesinus quartus. Itaque horum quatuor & triginta, octo quidem primi cum unitate primo rum numerorum sunt: octo qui sequuntur secundorum: alii octo tertiorum : deinde alii octo quartorum : reliqui uero duo quinto
rum e dc eorum extremus est decem unitates quintorum numerorum. constat igitur numerum arenae, cuius magnitudo sit aequalis
sphaerae denum millium stadiorum diametrum habenti, minorem esse, quam quintorum numerorum docem unitates. Rursus sphaera diametrum habens centum myriadum stadiorum, sphaerae habentiscitametrum stadiorum denum millium, multiplex est centum myriadibus. ct idcirco si ex arena fiat sphaera magnitudinem habens aequalem sphaerae centum myriadum stadiorum diametrum habenti: numerus eius minor erit, quam qui fit decem unitatibus quintorum numerorum in centum myriades multiplicatis. Et cum decem unitates quintorum numerorum ab unitate trigesimus quartus sit proportionalis : re centum myriades sit eiusdem ordinis septimus: i cius numeruς erit quadragesimus ab unitate. Horum uero quadraginta, priini octo cum unitate sunt primorum numerorum : qui hos sequuntur octo secundorum: alii octo tertiorum : deinde octo alii quartorum : poliremo reliqui octo quintorum, quorum ultimus est mille myriades quintorum numerorum. ergo manifestum est arenae numerum, quae magnitudinem habeat aequalem sphaerae centum myriadum stadiorum diametrum habenti, minorem ese mille myriadi
118쪽
bus quintorum numerorum. sphaera autem diametrum habens de cies mille myriadum stadiorum, sphaerae diametrum centum myriadum stadiorum habentis multiplex est centum myriadibus. Si igitur ex arena fiat sphaera,cuius magnitudo sit aequalis sphaerae habenti diametrum stadiorum decies mille myriadum: minor erit arenae numerus, quam qui producitur ex multiplicatione mille myriadum quintorum numerorum in centum myriades . Et quia
quintorum numerorum mille myriades, quadragesimus numerus
est. ab unitate proportionalis: centum uero myriades septimuς est cx eadem proportionalitate: qui producitur numerus erit ab unitate quadragesimus sextus. Horum autem sex ct quadraginta primi quidem octo cum unitate primorum numerorum sunt: secundi octo secundorum : tertii tertiorum : quarti quartorum : quinti quintorum : reliqui sex sextorum, quorum ultimus est decem myriades sextorum numerorum . perspicuum ergo est numerum arenae magnitudinem habentis sphaerae aequalem , cuius diameterest decies mille myriadum stadiorum, minorem esse, quam sexto rum numerorum myriades decem . Rursus sphaera diametrum habens centum myriadum myriadum stadiorum, sphaerae haben
iis diametrum decies mille myriadum stadiorum multiplex est centum myriadibus. quare si fiat ex arena sphaera aequalis sphaerae.
quae habeat diametrum centum myriadum myriadum stadiorum: eiuS arenae numerus minor erit, quam qui fit ex multi licatione
decem myriadum sextorum numerorum in myriades centum. Et quoniam sextorum numerorum decem myriades, numerus proportionalis est ab unitate quadragesimus sextus : ct centum myriades septimus est ex eodem proportionis ordine: qui producitur numerus erit ab unitate quinquagesimus secundus. Ex his uero quinquaginta duobus, octo & quadraginta una cum unitate sunt eorum, qui primi, secundi, tertii, quarti, quinti, ct sexti dicuntur: reliqui quatuor eorum, qui septimi: ct extremus est mille unitates
septimorum numerorum. unde constat numerum arenae, quae magnitudinem habeat aequalem sphaerae centum myriadum myriadum stadiorum diametrum habenti, minorem esse mille unitatibus septimorum numerorum. Itaque quoniam ostensa est mundi diameter minor esse, quam centum myriadum myriadum stadiorum: erit numerus arenae magnitudinem habentis mundo aequalem minor mille unitatibus septimorum numerorum: ostensum est igitur nume
119쪽
rum arenae, quae magnitudine si aequalis mundo a quam plurimis astrologis appellato, minorem esse, quam septimorum numeroru mille unitates. At uero arenae numerum magnitudinem habentis aequalem sphaerae tantae, quantam Aristarchus ponit stellarum inerrantium, minorem ei se, quam mille myriades octauorum numerorum,
ostendetur hoc modo. Nam cum positum si, terram ad mundum a nobis dictum eam habere proportionem, quam habet dictus mundus ad sphaeram stellarum inerrantium ab Aristarcho postam: ct diametri sphaerarum eandem inter te proportionem habent. mundi autem diameter, ut mostratum est, minus quam decies millies continet terrae diametrii: ct diameter stellarum inerrantium minus,qu1m decies millies mundi diametrum continet. Et cum sphaerae ad in uicem proportionem habeant triplam eius, quae est diametrorum : stellarum inerrantium sphaera, quam ponit Aristarchus,minus quam decies millies decies nullemyriades mundorum continebit. ostensum
autem est numerum arenae, quae magnitudinem habeat aequalem mundo, minorem esse niallo unitatibus septimorum numerorum. Si igitur ex arena fiat sphaera tanta magnitudine, quantam Aristarchus ponit esse stellarum inerrantiu: eius numerus minor erit, quam
qui fit mille unitatibus septimorum numerorum in decies millies decies mille myriades ductis. Et quoniam septimorum numerorum mille unitates quinquagesimus secundus est proportionalis ab unitate: ct deries millies decies mille myriades ab unitate tertius decimus est ex eodem ordine: patet factum numerum esse ab unitate seiax ages inum q uartum. h ic autem est octauorum octauus; hoc est octauorum numerorum mille myriades. manifestum est igitur arenae numerum, quae magnitudinem obtineat aequalem sphaerae stellarum inerrantium ab Aristarcho postae, minorem esse mille myriadibus octauorum numerorum. Haec autem rex Gelon quam plurimis quidem, qui mathematicis instructi non sunt, non admodum credibilia sere arbitror : illis uero, qui ea didicerunt: ct circa distantias, ct magnitudines terrae, solis, lunae, ct mundi totius elaborarunt, credibuli a prorsus esse propter demonstrationem. Quapropterct de his ipsis speculari aliquos non absurdum esse existimavi.