장음표시 사용
81쪽
dueantur lineae aequidistantes cuidam lineae ductae, ut dictum est: quae ad eas partes vergunt, in quibus iunt ipsius convexa , extra sectionem cadunt; quae uero ad
Si conoidas figuras planum contingat, ipsas non secans: in uno tantum puncto continget: ct planum ductum per axem, S per contactum, erectum crit super contingens planum.
CONTiNGAT enim, si fieri potest, in pluribus punctis: sumantur autem puncta duo, in quibus planum conoides contingit: & ducantur ab utrisque lineae aequi- distantes axi :& ab his planum axi aequi distans ducatur: uel enim per axem, uel axi D aequi distans ductum erit . quare sectionem faciet, coni sectionem: & puncta in ipsaconi sectione erunt . Quoniam enim in superficie sunt, in ipso erunt plano. recta igitur linea, quae inter puncta interlicitur, erit intra coni sectionem. N idcirco intra conoidis superficiem. cst autem recta linea in plano contingente: quoniam & pacta in eo sunt. ergo contingentis plani aliqua pars erit intra conoidest quod heri nopotest; politum enim fuerat non secare. In uno igitur tantum puncto continget. Ipsum autem planum per contactum, di per axem ductum, erectum esse super planucontingens; siquidem in uertice contingat conoides, manifestuni est. ductis enim per conoidis axem duobus planis, sectiones erunt conorum sectiones, diametrum habentes ipsum axem: contingentis uero plani lineae, quae sectiones conorum cons tingunt in diametri extremitate, angulos rectos faciunt cum diametro . quare in contingenti plano erunt duae rectae lineae ad rectos angulos ipsi axi: & ob id planum super axem erectum erit. ergo di super planum per axem duc tum. Quod si planum
non contingat conoides in uertice rPer contactum ,&axem planum ducatur: sectio conoidis a b c coni sectio:& axis, & diameter sectionis bd: contingentis autem plani sectio sit recta linea elis, quae conisectionem contingat in lit& ab hperpendicularis ducatur lik ad ipsam b d: & planum attollatur super
axem erectum'. faciet hoc sectionem circulum, cuius centrum k: s
Ctio autem huius pIani, & plani contingentis erit linea contingens circu a iis. lum . quare faciet angulos rectos εμm h h r& propterea erecta erit super planum , in quo sunt lineae kli , bd. perspicuum ergo est&planum co. a. ,, tingens erectum esse super idem planum . quoniam & rectae Iineae.qua in ipso sunt.
Si sphaeroidum figurarum quamlibet planum contingat, non secans figuram: in uno tantum puncto continget; ct planum, quod per contactum , ct axem ducitur, erectum erit super contingens
C o NTI N c. A Ti enim in pluribus punctis: & sumantur puncta duo, in quibus planum sphaeroides contingit: ab utroque autem ipsorum ducantur rectae lineae ariae qui distantes; deducto per illas plano. sectio erit acutianguli coni sectio; & pu
82쪽
DE CONO ID. ET SPHAE ROID. Dcta in ipsa coni sectione. Quae igitur inter puncta interlicitur recta linea, intra eoni sectionem cadet. quare & intra sphaeroides luperficiem . est autem recta linea mcontingente plano: quoniam & puncta meo sunt. ergo contingentis plani aliqua pars erit intra sphaeroides: quod quidem fieri non potest positum enim fuerat non secare. perspicuum est igitur in uno tantum puncto contingere. Ipsum uero planum Per contactum, & per axem ductum, erectum esse super planum contingens, similiter atque in cono idibus figuris demonstrabimus.
Si sphaeroidum figurarum quaelibet plano secetur per axem : lectionemq; factam contingat quaedam recta linea: S per contingen tem planum ducatur erectum super planum secans: continset id figuram in eodemmet puncto , in quo & recta linea coni lectionem contingit. NON enim in alio puncto conti et ipsius superficiem; alioquin ab eo puncto ducta perpendicularis super planum secans cadet extra coni sectionem: nam super contingentem cadet, cum plana ad inuicem sint erecta: quod quidem fieri non potest, ostensum est enim intra cadere.
Si sphaeroidum figurarum aliquam duo plana aequi distantia contingant: quae contactus iungit recta linea per centrum sphaeroidis transbit.
S t igitur plana suerint ad rectos angulos ipsi
axi: mantialium est, quod proponitur. Sin minus , planum ductum per axem, & alterum contactum,erec tum erit super contingens planum. quare & super planum ei aequidistans. necesse est igitur idem esse planum duc tum per axem, & Per utrunque contactum ς alioquin erunt duo plana erecta super idem planum, per eandem lineam ducta , quae non sit erecta super planum: positum enim est, axem non esse erectum super plana aequi- distantia. In eodem igitur plano erunt &axis, &contactus ipsi: & sectum erit sphaeroides per xxv. quare sectio erit acutianguli coni sectior plan rum autem contingentium sectiones aequi distantes erunt, quae contingent acutianguli coni sectionem in contactibus planorum. At si duae rectae lineae inter se aequi distantes acutianguli coni sectionem contingant: & centrum sectionis coni acutianguli, & contactus ipsi in eadem recta linea erunt.
SI sphaeroidum figurarum quamlibet duo plana aequidistantia
contingant: ducatur autem per centrum sphaeroidis aliquod planum contingentibus planis aequi distans: recta lineae, quae per iactam sectionem ducuntur, aequi diuantes lineae contactus iungenti, extra sphaeroides cadent.
83쪽
PONANTun enim, quae dicta sunt: & sumatur aliquod punctum In secta se etione: & per ipsum ,& rectam lineam contactus iunsentem planum ducatur. secabit hoc sphaeroides ,& plana aequidistantia. Sit enim sectio sphaeroidis ab c d acutianguli conisectio : planorum contingentium sectiones sint ef, gh: sumptum punctum at & recta linea b d iungens contactus. transibit igitur ea per centrum. plam uero contingentibus planis aequi distantis sectio sit c a, quae N ipsa per centrum ducta erit, quoniam & planum. Itaque quoniam ab c d uel circulus est, uel acutianguli coni sectio.&ipsam contingunt duae rectae lineae e f, g h: per centrum autem ducta est ac ipsis aequi distans: constat lineas ductaes a punctis ac aequi distantes ipsi bd contingere sec tionem; & extra sphaeroides eadere. Quod si planum aequid istans contingentibus planis non ducatur per centrum, ut k l: perspicuum est, duetis a sectione lineis, quae quidem ad eas partes vergunt, in quibus est minor portio, e tra sphaeroides cadere; quae uero ad par
va libet figura sphaeroidis plano per centrum ducto, bifariam
secatur, tum ipsa, tum ipsius superficies.
SEcgτvR cnim sphaeroides plano per centrum ducto. Itaque uel per axem, uel plano super axem erecto, ue i non erecto secabitur. Si quidem igitur secetur petaxem, uel plano super axem erecto e constat & ipsum, & ipsius superficiem bifariam secari. manifestum enim est alteram eius partem alteri congruere, & alterius partis superficiem superficiei alterius. At si neque per axem ducto plano, neque super axem erecto secetur . secto autem sphaeroide per axem plano erecto super planum secans.
sit figurae quidem se- , ιctio ab c d acutianguli coni sectio; cuius diameter, & axis sphaeroidis b d , centrum li: plani uero secantis sphaeroides per centrum sectio sie
recta linea a c: sumatur praeterea alterum
sphaeroides huic aequale. & simile r sectoq; ipso per axem, sit sectio es gn acutian-puli coni sectio ; cuius diameter, & axis spbaeroidis eg, & cen μ Oreum kr ducatur per v linea sn angulum ad k lactens aequalem angulo adh:&ab ipsa sn planum attollatur erectum super planum, in quo est sectio ef g n. erunt acutiangulorum conorum sectiones ipsae abcd, es gn aequales, di similes inter sese.
84쪽
quare congruit altera alteri, posita eg super bd & snsupera c. Sed di planum s cundum n i congruit plano secundum a ct quoniam ab eadein recta linea super idem Planu eorum utrunque constituitur. congruit ergo & portio abicilla asphxroide plano secundu n f, quae est in parte, in qua e , portioni abscissae ab altero sphaeroide plano secundum a c iii parte,in qua b: & reliqua portio reliquae, & superlici es t tem portionum superliciebus congruunt. Rursus posita eg super bd: ita ut e sit superd;& g super b: lineὸ uero, quae interiicitur inter puncta n f, posita super lineam intera c interiectam, perspicuum est, acutiangulorum conorum sectiones congruere inter sese:& scadere super cr& n super a. similiter&planum secundum iis plano secundum a c congruit: & portionum abscissarum plano secundum n f, ea quide,quae est ad partes g congruit portioni altero plano secundum a c ab sc iit, ad partes b ; ea uero,quae est ad partes e congruit portioni, quae est ad d. Quoniam igitur eadem portio utrique portionum congruit: tequitur portiones aequales esse: & idcirco earvinquoque superficies aequales.
DAta cuiuslibet conoidis portione abscissa plano super axem erecto, uel data portione cuiuslibet sphaerioidis, quae maior non sit
dimidio sphaeroide similiter abscissa, fieri potet , ut portio solida in
scribatur, et altera circumscribatur ex cylindris aequalem altitudinem habentibus constans: ita ut circumscripta figura excedat inscriptam magnitudine, quae minor sit quacunque solida magnitudine pro post a.
D a r v R enim portio , qualis est ab c :δc secta ipsa plano per axem, sit sectio portionis ab c coni sectio: plani autem secantis portionem sit ac recta linea :&portionis axis, & diameter sectionis b d. Quoniam igitur positum est, planum secans erectum esse super axem: sectio circulus erit,cuius diameter a c. ab hoc autem circulo cylindrus sit axem habens b d . c det eius superficies extra portionem, quia uel conoides est , vel sphaeroides non maius dimidio sphaeroide. Itaque hoc cylindro cotinenter secto bifariam plano s Per axem erecto, erit tandem residuum minus proposita solidam gnitudine. sit residuum ab ipso, cylindrus basim habens circulum cir
ca diametrum ac, axem uero ed,
minor proposita magnitudine: diuidaturq; bd in partes aequales ipsi ed, in punctis rop xr & adiuisionibus ducantur rectae lineae aequidistantes ipsi ac ad coni usque sectionem: & ab his plana attollantur erecta super bd. erunt igitur sectiones circuli centraha- si 1 ebentes in linea bd. ab unoquoque autem circulorum duo cylindri describantur , quorum uterque axem h
beat ipsi e d aequalem ; unus quidem ad eas cylindri partes, in quibus est d; alter uero ad eas, in quibus b. erit iam in portione figura quaedam solida inlcripta , ex cylindris constans ad eas partes descriptis, in quibusd: & altera circum-Κ 1 scripta
85쪽
scripta ex cylindris ad partes b. Reliquum est, ut ostendamus circumscriptam excedere inscriptam magnitudine, quae minor sit solida magnitudine proposita: unusquisque cnim cylindrorum, qui sunt in figura inscripta . equalis est cylindro, qui ab code circulo describitur ad partes b, ut cylindrus h g ipsi hi: & h l ipsi h mi &alii similiter e& omnes cylindri omnibus aequales sunt. constat ergo circumscriptam figuram excedere inscriptam cylindro, qui basim habet circulum circa diametrum ac, & axem e d. hic autem cst minor proposita solida magni tudine.
D Ata cuiuslibet conoidis portione, abscissa plano non erecto su
per axem; uel data portioue cuiuslibet ipla aeroidis smiliter abicissa, quae dimidio sphaeroide maior non sit; fieri potest, ut pomtio solida inscribatur, Raltera circumscribatur ex cylindri portionibus aequalem altitudinem habentibus constans: ita ut circumscripta figura excedat inscriptam magnitudine, quae minor si quacunque solida magnitudine pro posta.
D E T v R portio qualis dicta est secta autem figura alio plano per axem,erecto super planum, quod datam portionem abscidit, figurae quidem sectio sit a b c coni serito: plani uero portionem abscindentis recta linea c a. Et quoniam positum est planum abscindens portionem non esse erectum super axem, sectio erit acutianguli coni sectio, cuius diameter a C. Sit autem uycontingens conisectionem in b puncto: & ab ipsa u y attollatur planum aequi- distans plano secundum a C. cotinget hoc figura in b. etsi quidem portio sit rectaguli co notidis i ab ipso b ducatur b d aequi- distans axi . si uero sit conoidis obtusiangulit a uertice coni cotinctis conoides recta linea adb ducta producatur, quae sit b d. Quod si sphaeroidis sit portior linea a centro ducta ad b, intra
portionem recipiatur b d. manifestum est b d bifariam secare ipsam a c: ergo punctum b ue lex est portionis: & axis b d recta linea. Itaque acutianguli coni sectio quaedam est circa diametrum a c in ea b d a cen
ris in plano erecto super planii, in quo est acutianguli coni sectio, per alteram scilicet diametrum constituto plano: fieri igitur potest, ut cylindrus inueniatur axem habens b d , in cuius superscie sit acuti anguli coni sectio cirea diametrum a c. cadet autem superficies ipsius extra portionem: quoniam uel est conoidis, ues si saeroidis portio, & non maior
86쪽
DE CONO ID. ET SPHAEROID. 39ior dimidio sphaeroide: atque erit portio quaedam cylindri basi: n habes acutianguli
coni sectione circa diametrii a c,& axem bd. ea uero portione bifariam secta planis aequidistantibus plano secundu ac, erit quod relinquitur minus propolita solida magnitudine. Sit portio basim habens acutianguli coni sectione circa diametru a c,&axe e d quae minor sit proposita solida magnitudine: dividaturq, d b in partes aequales ipsi e di & adiuisionibus ducatur lineae ipsi a c aequi sistantes usque ad coni sectione; ca quibus plana attollantur aequid illantia plano secundii a c ducto. secabunt haec pomtio ius superficiem: Sc erunt acu tianguloru conorii sectiones similes ei, quae est circa H diametrum a c: quoniam plana aequi distatia sunt. In unaquaque uero acutianguli coni sectione describantur cylindri portiones duae; una quidem ad partes . in quibus citd; altera uero ad partes b, que axem habeant ipsi de aequalem. erunt igitur quaedam , figurae solidae; altera quidem inscripta in portio ne; altera uero circumicripta ex cylindri portionibus aequalem altitudinem habentibus cons antes. Reliquum est, ut ostendamus circumscriptam figuram excedere inscriptam magnitudine . quae initam sit solida magnitudine proposita. offendetur autem similiter antecedenti, circumscriptam figuram excedere inscriptam portione, quae basim habet acutianguli conisectionem circa diametrum ac, & axem ed: haec uero minor est proposita solida magnitudine.
Itaque his praemissis demonstrabimus ea, quae de figuris proposita sunt.
QVaelibet portio rectanguli conoidis abscissa plano super axem
erecto, sesquialtera eii coni balina habentis eandem portioni,
ct eundem a Xem. Si τ enim portio rectanguli conoidis abscissa plano crecto super axem. de secta ipsa altero plano per axem, sit superficiei quidem sectio a b c rectanguli coni sectio: plani uero abscindentis portionem sit recta lineac a :& axis portionis bdi sit item
conus eandem basim habens portioni, de axem eundem, cuius uertex b.
Ostendendum est conoidis portionem sesquialteram esse huius coni .ponatur enim conus E se quialter coni, cuius basis est circulus circa diametrum ac, & axis bd. Sit autem & cylindrus basim habens circulum ci ca diametrum ac, & Mxem bd. erit igitur conus et dimidium totius cylindri: quoniam eiusdem coni est sesquialter. Dico portionem conoidis aequalem esse et cono. Si enim non est aequalis, uel maior erit, uel minor.
Sit primum maior, si fieri po test. & inseribatur figura solida in portione: & altera circumscribatur ex cylindris aequalem altitudinem habentibus constans: ita ut circumscripta figura excedat inscriptam
87쪽
inscriptam magnitudine minori ea, qua portio conoidis excedit conum Z:& cylindrorum, quibus constat figura circumscripta maximus quidem sit, qui basim habet circulum circa diametrum ac, Naxem ed; minimus uero , qui basim habet circulum circa diametrum si, & axem bli : cylindrorum autem , quibus figura inseri pia constat, maximus sit basim habens circulum circa diametrum hi, & axem d e;& minimus, qui basim habet circulum circa diametrum si,& axem hi. Itaque producantur plana cylindrorum omnium ad stiperficiem cylindri basim habentis circulum circa diametrum ac ,&axem bd. erit totus cylindrus diuisus in cylindros ni mero quidem aequales iis, qui sunt in circumscripta figura, magnitudine uero maxiB nio ipsorum aequales. Et quoniam circumscripta figura minus excedit inscriptam, C quam portio conum: perspicuum est figuram inscriptam cono E maiorem est e. pri muS autem cylindrus eorum, qui in toto sunt cylindro, axem habens de ad prima cylindrum eorum, qui sunt inngura inscripta, cuius axis de, eandem habet pro Ortionem, quam da ad ke potestate. haec autem eadem est ei, quam bd habet ad b e , & ei, quam da ad e x. similiter ostendetur & secundus cylindrus eorum, qui sunt in toto cylindro axem habens es ad secundum cylindrum eorum, qui infigura inscripta, eandem habere proportionem, quam pc, hoc est da ad q l. 3caliorum cylindrorum unusquisque, qui in toto sunt cylindro ad cylindrum in figura inscripta , cuius idem sit axis, eam proportionem habebit, quam dimidia diametri baG sis habet ad eam ipsius partem, quae inter, b , b d rectas lineas interiicitur. Romnes cylindri, qui in eo cylindro continenturi lxuius basis est circulus circa diam trum ac,&axis db ad omnes cylindros in figura inscripta contentos eandem habebunt pi
Iliadrorumctas lineo interiectasTum lild, maiores H quare & cγqui in toto cuius axis sunt , quin I piae figurae. cylindrus, maior est,
conO Z: qpotest; net est maior . non est igitur portio eonoidis maior cono 2. sed neque minor. Rursus enim inscribatur figura, & circumscribatur: ita ut altera alteram excedat magnit dine minori ea, qua conus E excedit conoidis portionem :& alia eadem prioribus L construantur. Quoniam igitur inscripta figura minor est portione :& inscripta a circumscripta minus exceditur, quam portio a conor manifestum est circumscrip tam minorem esse cono E. Rursum primus cylindrus eorum , qui sunt in toto cilindro , ariem habens de ad primum cylindrum, qui est in figura circumscripta, cuius idem axis de, eam habet proportionem, quam quadratum ad ad semetipsum. secundus autem cylindrus eorum, qui sunt in toto cylindro axem habens es ad secundum cylindrum in figura circumscripta, axem habentem eandem e f, eam habet proportio
rei sunt dicta-um dempta a, quam duplae. lindri omnes, sunt cylindro, db maiores a dupli inscri- Totus igitur cuius axis d tiquam duplus
88쪽
nem, quam da ad hepotestate. haec autem eadem est ei, quam habet bd ad bbe; Ecquam da ad ex . di aliorum cylindrorum unusquisque. qui in toto sunt cylindro axem habentium aequalem ipsi de ad unumquemque Cylindrum eorum, qui sunt in figura circumscripta, quorum idem axis est, eam habebunt proportionem, quam dimidia basis, ad eam ipsius partem, quae inter ab , bd rectas lineas interlicitur . er L so& omnes cylindri, qui in toto cylindro sunt, cuius axis db ad omnes cylindros in figura circumscripta contentos eandem habebunt proportionem, quam omnes rectae lineae ad omnes rectas lineas. omnes autem rectae lineae ex centris circulorum, qui sunt cylindrorum bases , linearum omnium, quae ab ipsis abscinduntur una cum ad , minores sunt, quam duplae . constat igitur de cylindros omnes, qui sunt in toto cylindro , minores esse, quam duplos cylindrorum, qui in circumicripta figura continentur. Quare cylindrus basim habens circulum circa diametrum a c, & axim bd minor est, quam duplus circumscriptae figurae. non est autem minor, sed maior. quam duplus: est enim duplus coni et: & figura circumscripta minor ostensa est cono Σ. non est igitur conoidis portio cono 2 minor. sed neque maior, ut ostensum est. sequitur ergo , ut sesquialtera sit coni, qui basim habet eaudem portioni, de M
SI a rectangulo conoide portio abscindatur plano non erecto super axem: similiter sesquialtera crit porti opis coni, basim habentis ipsi eandem, ct eundem axem.
S i r portio rectanguli coinnoidis abscissa, ut dictum est: &ipso secto plano per axem, erecto super planum abscindes pomtionem, figurae quidem sectio siea b c rectanguli coni sectior plani autem portionem abscinde iis sit ac recta linea: deducaturyu aequidistans ipsi ac, contin-Fensq; recta li coni sectionem in b: ducatur item bd axi aequi- distans, quae lineam a c bifariam secabit: planum autem ab I u attollatur aequi distans plano secundum a c. continget hoc conObdes in b& erit portionis uertexb punctum,& axis b d. Quoniam igitur planum secundum a c non erectum super axem secuit co noides: sectio est acutianguli conisectio, cuius maior diameterae. Et cum acutianguli conisectio sit circa diametrum ac: derecta linea b d a centro sectionis
eoni acutianguli eleuata, no perpendicularis in plano ex diametro erecto super planum, in quo acutianguli coni sectio existit: seri potest, ut cylindrus inueniatur axem habens virinalinea b
89쪽
d; in euius superficie sit acutianguli coni sectio. fieri itidem potest, ut& eonus ii ueniatur uerticem habens b punctum, in cuius superficie sit ipsa acutianguli eo niseetio . eritq; portio cylindri quaedam basim habens sectionem coni acutianguli circa diametrum ac, axem autem b d: & coni item portio basim habens eandem ipsis.& eundem axem. Ostendendum est conoidis portionem letqui alteram esse portionis huius coni. Sit enim E conus sesquialter dictae portionis. eritiam cylindri portio basim habens eandem portioni cono idis, S axem eundem, dupla coni Z. nanque hic sesquialter est portionis coni, quae basim habet eandem portioni conoidis, di eu hviv dem axem: portio autem coni dicta tertia pars est portionis cylindri basim habe tis eandem portioni, 3c axem eundem. Itaque necessarium est,conoidis portionem aequalem esse cono 2. Si enim non est aequalis, uel maior est, uel minor. Sit primum
si fieri potest, maior: inscribaturq; portioni quaedan solida figura,&altera circum scribatur ex cylindri portionibus aequalem altitudinem habentibus; ita ut circumscripta figura inscriptam exce- cedat minori excessu, qua quo portio conoidis excedit conii sΕ E. & plana portionum perti
sent ad superficiem portionis.
asim habentis eantam portioni cono idis, &axem eundem. Rursus prima portio eam , quae sunt in ista portione axem habens d e ad portioncm primam in figura inscripta, cuius axis de eadem proportionem habet, quam quadratum ad ad quadras tum v e. nam portiones aequa lem habentes altitudinem ad in G uicem sunt, sicuti bases: bases autem, quoniam similes acutianguloru conorum sectiones sunt, eandem proportiouem,
quam ipsarum diametri eiusderationis potestate inter se habent. At ipsae ad , he dimidiae Λ sunt diametrorum eiusdem rationis: & quam proportionem H ad habet ad hepotestate, eandem habet bd ad b e longitudine e quoniam bd aequidistat diametro, & ad , he aequidistant ei, quae in ipso b puncto
sectionem contingit. Quam uea ro proportionem habet bd adb e eandem ad habet ad ex. ergo prima portio earum, quae sunt in tota portione, ad portionem primam, quae in figura inscripta, eandem proportionem habebit,aua ad ad ex. & unaquaeque aliarum portionum, quae sunt in tota portione , axem habentium aequalem ipsi d e ad unamquanque portioniam, quae sunt in figura inscripta, quarum idem axis,eandem proportionem habet, quam dimidia diametri basium ad eam ipsius partem, quae inter ab , bd rectas lineas interlicitur. Ostendetur autem similiter antecedentibus inscripta figuram cono et maiorem esse ἰ & cylindri portionem, quae basim habet eandem portioni conoidis, Be axem eundem, maiorem esse, a quam duplam figurae inscriptae. quare & maior erit, quam dupla coni et i quod fieri non potest: erat enim dupla ipsius. non ergo conoidis portio maior est cono Z. Ea
90쪽
dem ratione neque minor ostendetur. ex quibus aequalem esse constat. co noidis igi tur portio sesquialtera est portionis coni basim habetis eadem ipsi, & axem eunde.
SI rectanguli conoidis duae portiones abscindantur; altera quidem
plano super axem erecto, altera autem non erecto: et sint portionum axes aequales: ipsae quoque portiones aequales erunt.
Αas IN DAN TvR enim rectanguli conoidis duae portiones,ut dictum est: sectoq; conoide plano per axem, et altero plano super axem erecto, sit conoidis sectio ab c rectanguli conisectio, cuius diameter, bd: sectiones autem planorum fuit af, ec rectae lineae; pl/ni quidem super axem erecti ipsa ec; non erecti uero as: axes portionum sitiit b h, k l, aequales inter sese: et uertices puncta b I. Ostendendum est, portionem conoidis, cuius uertexbportioni eiusdem, si ius uertex I aequalem esse. Quoniaenim ab eadem rectanguli coni sectione duae portiones abscinduntur, uidelicet ais, ebc: et sunt ipsarum
tum alli aequale rit triangulo e hbi ostensum enim esta l f triangulum
a q perpendicularis ad ipsam h l productam. et quoniam sunt aequales b h, k let ip Asae eli, aq aequales erunt. Itaque in portione, cuius uertex b, descriptus sit conus, basim habens eandem portioni, & axem eundem: in portione autem, cuius uertexi sit descripta coni portio quae eandem ipsi basim habeat, et eundem axem: et ducatur ab I perpendicularis i m ad d s. erit ipsa im altitudo portionis coni, cuius uertex l. Sed coni portio, cuius uertex Ir et conus, cuius uertex b habent in- βter se proportionem compositam ex proportione basium, et proportione altitudinum . proportionem igitur habent compositam ex ea, quam spatium acutiangm Ii coni sectione contentum circa diametrum a s habet ad circulum circa diametrum eci et ex ea, quam habet Im ad bli. spatium autem acutianguli coni sectione con is huiustentum ad eundemicirculum eam proportionem habet, quam rectangulum ex di Metris sectionis ad quadratum e e . quare portio coni, cuius uertex l ad conum, Ccuius uertex b compositam habet proportionem ex ea, quam habet ha ad eli; et
ex ea, quam lm ad bli. etenim L a dimidia est diametri basis portionis coni, cuius uertexit & eli dimidia diametri basis coni :& ipsae lita, bli sunt earum altitudines. babet autem l m ad b heandem proportionem,quam N ad k l; quoniam b h ipsi h l est aequalis: habetq; Im ad hi eam, quam q a ad 4 h.& portio coni ad conum compo D sitam habet proportionem ex ea, quam habet ali ad aq; aequalis enim est a q ipsi eli:&ex ea, quam lm ad bli. Earum autem proportionum, quae est ali ad aq ea-