장음표시 사용
91쪽
dem est ei, quae I h ad l m. Quare portio coni ad conum proportionem habet eam, quam Ili ad Im, &quam lm ad bh. & est aequalis bli ipsi h l. perspicuum est igitur
portionem coni, cuius uertex l aequalem elle cono, cuius uertex b. unde apparet portiones quoque es le aquales: quoniam alteramidetii earum coni sesquialtera est; altera uero sesquialtera portionis coni, illis inter sese aequalibus existentibus.
Si rectanguli conoidis duae portiones abscindatur planis quomodocunque ductis: portiones eandem inter sese proportionem habebunt , quam ipsarum axium quadrata.
Aasci Ni NTVR enim rectanguli conoidis duae portiones, utcunque coniat erit: sitq; h linea aequalis axi uniusportionis: & l axi alterius aequalis. Ostenden dum eir, portiones eandem inter se proportionem habere, quam habent k I quadrata. Itaque secto conoide plano per axem, sit portionis sectio a b c rectanguli conisectio, cuius axis b d: sumaturci; bd aequalis ipsi h: &per d planum ducatur supee axem erectum. portio autem conoidis basim habens circulum circa diametrum ac, & axem b d aequalis est portioni, quae axem habet aequale ipsi h. Si quidem igitur di h aequalis est ipsi te constat portiones quoque 3
esse aequales inter se: utraque enim uni. & eidem est aequalis; & qu drata v I aequalia. quare portiones eandem inter se proportionem habebunt, quam quadrata axium. Si uero i ipsi
v non est aequalis: sit laequalis ipsi b hi&perhducatur planum super axem ercctum. portio autem basim habens cir culum circa diametrum
es, & axem bli aequalis est portioni, quae axem habet aequalem ipsi I. Describantur duo coni, quorum bases quidem sint circuli circa diametros a c, e f, uertex autem punctum b. Itaque conus, cuius axis bd ad conum, cuius axis bli proportionem habet compositam ex ea, quam habet ad ad hepotestater &ex ea, quam bd habet ad bli longitudine. Quam uero proportionem habet ad ad hepotestate, eandem habet longitudine bd ad b h . Conus igitur, cuius axis bd ad conum, cuius axis bii compositam habet proportionem ex ea, quain habet db ad libi& ex ea, quam db ad Itb: haec autem eadem est et , quam db quadratum habet ad quadratum h b. At quam proportionem habet conus, cuius axis b d ad conum, cuius aiaxis h b, eandent habet portio conoidis axem habens db ad portionem habentem axem h b; utraque enim sesquialtera est. di portioni quidem axem habenti b d aequalis est portio conoidis axem habens aequalem ipsi kr portioni uero axem habenti rub aequalis est conoidis portio, quae axem habet aequassem ipsi l:&ipsi quidem bd ae qualis est hi ipsi uero h b aequalis l. perspicuum est igitur portionem cono idis, qiuae axem habet aequalem ipsi h eandem proportionem habere ad portionem corioidis, quae axem habet aequalem ipsi I, quana quadratum k ad quadratum l. la iubi il
92쪽
QVaelibet portio obtus anguli conoidis abscissa plano super a
xem erecto ad conum basim eandem habentem ipsi,& axem eundem, eam proportionem habet, quam utraque linea : & quae est aequalis axi portionis, & quae tripla lineae ad axem adiectar, habet ad lineam utrisque aequalem :& axi portionis, ct ei, quae dupla est lineae ad axem adiectar.
Si τ portio obtusianguli conoidis abscissa plano super axem erecto: & secto ipso conoide altero plano per axem, sit conoidis quidem sectio a b c obtusianguli coni sectio: plani uero abscindentis portionem, sit c a recta linea axis portionis b delinea ad axem adiecta bli: &ipsi bh aequalis sit sh, de Q. Ostendendum est, portionem ad conum, qui basim eandem habet portio- 'ni, & eundem axem, eam proportionem habere,
quam g d adfd. Itaque sit cylindrus eandem basim habens portioni, &
xem eundem, cuius latera ua, cy: & sit item conus aliquis Z, qui ad conum basim eandem habentem portioni , & axem bd, eam proportionem habeat, quam g d ad d s. dico portionem conoidis aequalem esse E cono. Si enim non est aequalis, uel maior est, uel minor. Sit
primum, si fieri potest, maior: Inscribaturq; in portione figura solida , & altera circumscribatur ex cylindris aequalem altitudinem habentibus constans; ita ut circumscripta figura inscriptam excedat minori excessii , quam quo portio conoidis excedit a conum. Educantur plana omnium cylindrorum ad super
sciem cylindri eius, qui basim habet circulum circa diametrum a c , &axem b d. erit iam totus cylindrus diuisius in cylindros numero quidem aequales iis, qui sunt in figura circumlcripta, magnitudine autem maximo illorum aequales. Et quoniam Bcircumscripta figura inscriptam minus excedit, quam portio conum Et &circumscripta figura maior est ipsa portionet sequitur & figuram inscriptam cono 2 maiorem esse. Sit igitur br tertia pars ipsius bd. erit gd ipsius lir tripla. Et quoniam cylindrus basim habens circulum circa diametrum ac, &axein bd, ad conum basin habentem eandem, & eundem axem, eam proportionem habet, quam g d ad hr: habet autem & dictus conus ad conum et eam, quam fd ad gd: proportionibus non similiter ordinatis, habebit dictus cylindrus ad E conum proportionem
93쪽
eandem, quam d ad lir. sint lineae postae, in quibus x, numero quidem aequales partibus, quae sunt in linea b d , maguitudine uero unaquaeque ipsi fb aequ alis: de ad unamquanque ipsarum accedat Datium excedens specie, quadrato; quorum maximum sit rectangulo fit baequale, minimum aequale ipsi sob: latera autem excessuum aequaliter sese execdunt nam quae sunt ipsis aequales in linea b d te se aequali, ter excedunt: sit excellias maximi latus, in quo in aequale b d , minimi uero aequale b o . Sint e& alia sipatia, in quibus 9, numero quidem ipsis aequalia, magnitudine, uero unumquodque aequale maximo , quod lineis fit, db continetur. itaque cyliiidriis basim habens circulum circa diametrum ac, &axem de ad cylindrum haben tem basim circulum circa diariaetrum hi,& axem de, eam habet proportionem quam da ad k e potestate. haec autem eadem est ei, quam habet rectan*ulum fdbad rectangulum feb. quod in omni obtusianguli coni sectione contingit; nam duplaesus, quae ad axem adiecta est, hoc est eius, quae ex centro, transuersum est figura latus. & est rectangulo s db aequale spatium x ira: & rectangulo seb aequale x ni quod linea x aequalis sit lineae fbt linea uero ii ipsi be & m ipsi bd. Cylindrus igitur basim habens circulum circa diametrum. a & axem d e ad cylindrum, cuius basis circulus circa diame- atrum k l, & axis d e,eam habebit proportionem, quam 9 ipatium ad sp tium x n. similiter autem ostendetur , & aliorum cylindrorum unusquisque , qui sunt in toto cylindro,axem habentium aequalem ipsi de ad cylindrum in figura inscripta, cuius idem sit axis, eam habere proportionem,
quam habet ' spatium ad spatium sibi respon
dens corum, quae ad ipsam x accesserunt, exce
dens specie quadrato. itaq; magnitudines quaedam sunt, cylindri ipsi, qui in toto sut cylindro; quorum unusquisque axem habet aequalem d e r& aliae magni tudines, spatia, in quibus 9, numero ipsis aequalia , & secundum . quaeque duo. .pro- ς d G-- portio em candem lia
bentia : quoniam & cylindri aequales sunt inter se se; & spatia item s inter sese aequalia. referunturq; horum cylindrorum aliqui ad alios cylindros, qui sunt in figura inscripta r extremus autem ad nullum refertur . D spatiorum, in quibus 9 aliqua reseruntur ad alia spatia, quae ad x accesserunt, excedentia specie, quadrato, de proportionibus respondentia: extremum uero ad nullum resertur. manifestum ergo est, &omnes cylindros, qui in toto cylindro sunt ad cylindros omnes in figura inscripta c5 tentos, eandem habere proportionem, quam omnia spatia's ad omnia accedentia ad x , dempto maximo. ostensum est autem, Omnia spatia s ad illa omnia, dempto maximo, maiorem habere proportionem, quini linea m x ad lineam utrisque aequa
94쪽
Iem.&dimidiae ipsius ά;&tertiae parti m. Quare & totus cylindrus ad inscriptam figuram maiorent proportionem habet, quam id ad lir. quam quidem proportionem cylindrus totus habet ad conum E, ut ostensum est. maiorem ergo proportionem liabet cylindrus totus ad figuram inscri piam, quam ad conum 2: & propterea maior est conus E figura inscripta: quod fieri non potest. ostensum est enim figuram inscriptam E cono maiorem esse . non est igitur conoidis portio maior cono γ , ted neque minor. Sit enim minor, si fieri potest. Rursus inscribatur in portione soli- , da figura, & altera circumscribatur ex cylindris aequalem altitudinem habentibus: ita ut circumscripta inscriptam excedat minori excessu, quam quo conus Porti O-nem excedit: & alia eadem construantur. Quoniam igitur inscripta figura minor Κi est portione : &circumscripta minus excedit inscriptam, quam conus Z portione; constat&circumscriptam figuram minorem esse cono 2. Rursus cylindrus primus eo mira, qui sunt in toto cylindro, axem habens de, ad primum cylindrum in circumscripta figura contentum, cuius axis d e, eam proportionem habet, quain sp&tium s adipium m x. utrunque enim est aequale,&aliorum cylindrorum unusquil-que, qui sunt in toto cylindro, axem habentium aequalem d e, ad c1lindrum, qui est in circumscripta figura secundum ipsum, & axem habet eundem, eam habebit proportionem, quam spatium 9 ad spatium sibi respondens eorum, quae ad x accesserunt una cum excellu: quoniam unumquodque circumscriptorum dempto maximo , aequale est unicuique inscriptorum una cum maximo. habebit igitur & totus cylindrus ad circumscriptam figuram eam proportionem, quam omnia spatia se ad spatia, quae ad x accesserunt una cum excessibus. ostensum est autem rursus on, Lnia spatia 9 ad alia omnia minorem proportionem habere, quam xm ad lineam ae qualem utrisque:& dimidiae x,& tertiae parti m. quare & totus cylindrus ad circumscriptam figuram minorem habebit, quam fd ad lir. sed ut f d adh r, ita totus cylindrus ad E conum . minorem igitur proportionem habet idem cylindrus ad circumscriptam figuram, quam ad 2 conum ;& idcirco circumscripta figura maior erit Z cono . Quod esse non potest, cum ostensum sit circumscriptam figuram a concimaiorem esse . non igitur minor est conoidis portio cono Z. Quoniam autem n que maior est, neque minor: ostensum iam erit, quod Proponebatur.
Si obtus anguli conoidis portio abscindatur plano super axem
non erecto: habebit ad portionem coni, quae basiura habet ipsi eandem ,& axem eundem, eam proportionem, quam linea utrisque ae-hualis :& axi portionis, ct triplae eius, quae adiecta ei ad axem, ad lineam aequalem utrisque;& axi portionis, ct ei, quae dupla est li
neae ad axem adiectae. S i et enim portio obtusianguli conoidis abscissa plano, ut dictum est: §a figura altero plano per axem, erecto super planum portionem abscindens, sit figurae quidem sectio a b c obtussianguli coni sectio plani uero abscindentis portionem recta linea c a: & uertex coni continentis conoides sit li punctum. ducaturq; per blinea uy aequi distans lineae ac:&contingens conifestionem in bi &ab h ad b linea ducta producatur. secabit eadem ratione bifariam ipsam ac: & erit b punctum Αportionis uertex: axis bd:& bi, linea ad axem adiecta. ipsi autem b h aequalis sit &lis & fg: & ab ipsa uyplanum attollatur aequidistans plano secundum ac; quod co Bnoides in b puncto continget. Et quonia planu secundum a c,non erectum super axe secuit conoides:sectio erit acuti aguli coni sectio,cuius diameter maior ca taq; cuacuti anguli coni sectio sit circa diametru a ci di sinea b d a cetro sit eleuata no perpedicularis
95쪽
dicularis in plano, quod est a dianae tro ipsa erectum super planum, in quo acutianguli coni sectio consistit: cylindrum inuenire poterimus habentem axem in recta linea b d; in cuius superficie sit acuti anguli coni sectio circa diametrum a c. hoc igitur inuento , erit aliqua portio cylindri basim habens eandem portioni eo noldis, Seeundem exem; cuius altera basis erit planum secundum uy. Rursus&conum inuenire poterimus uerticem habentem punctum b; in cuius superficie sit acuti anguli coni sectio, circa diametrum a c. hoc inuento erit portio coni basim habens eandem dictis portionibus, & axem eundem. Ostendendum est, conoidis portionem ad portionem coni dictam, eandem proportionem habere, quam g d ad df. Quam uero proportionem habet g d ad df, habeat conus 2 ad portionem coni. Dico por
si enim no est aequalis, se maior si fieri potest. inscribatur autem
in conoidis portione figura solida,& al
scribatur, ex cylindrorum portionibus eandem altitudinem ha bentibus: ita ut circumscripta figura e cedat inscriptam minori excessu,quam quo portio conoidis ex incedit conum
Z. Quoniam ibitur circumscripta fetura, quae nortione maior est, minus excedit inscriptam, quἱm portio conum χ: sequitur inscriptam figuram cono et maiorem esse. educantur plana portionum omnium in figura inscriptarum . pertinsent ea, ad superficiem portionis cylindri basim habentis eandem portioni conoidis, & axem eundem. &sit br pars te tia ipsius bd:&alia eadem superioribus fiant. Rursus prima portio earum, quae sunt in tota cylindri portione, habens axem de ad primam portionem in figura inscripta, axem habentem de, eam habet proportionem, quam ad quadratum ad quadratum k e. portiones enim, quarum altitudo est aequalis, eam inter se proportionem habent, quam ipsarum bases. bases autem cum similes acutiangulorum conorum sectioues sint, habent eam, quam eiusdem rationis diametri potestate inter se habent. Quam uero proportionem quadratum ad habet ad quadratum he, eandem habet rectangulum fdb ad rectangulum feb quoniam fd ducta est perii, in quo lineae, quae sunt sectioni proximae conueniunt r&ipsae ad , Ice aequidistantes sunt ei, quae in pulicto b contingit. est autem rectangulum sdb aequale sipacio 9: & rectangulum feb aequale ipsi x n. quare prima portio earum, quae sunt in tora pomtione, axem habens de ad primam portionem in figura inscripta habentem axem de
96쪽
de, eandem habet proportionem, quam spatium s ad xn spatium: & unaquaeqtie aliarum portionum , quae sunt in tota portione, axem habentium aequalem ipsi de ad portionem in figura inscripta, quae est secundum ipsam, & axem habet ipsi deaequalem, eam proportionem habet, quam spatium s ad spatium sibi respondens eorum, quae ad x accesserunt, exceduntq; specie, quadrato. Rursus sunt quaedam inagnitudines, portiones scilicet in tota portione contentae: & aliae item magnitudi nes, spatia in quibus 9, numero quidem aequales portionibus, & secundum quasque duas eandem ipsis proportionem habent. referunturq; portiones ad portiones alias, quae sunt in figura inscripta: sed extrema portio ad nullam refertur. spatia uero 9 ad alia spatia referuntur, quae ad x accesserunt, excedentia specie quadratis, & pr Portio nibus respondentia; extremum autem ad nullum refertur. Perspiculi est igitur & omnes portiones ad alias omnes eandem habere proportionem, quam spatia Omnia 9 ad omnia, quae ad x accesserunt, dempto maximo. At uero spatia 9 omnia ad Omnia, quae ad x acc esserunt, dempto maximo, maiorem habent propo tionem, quam linea mx ad lineam aequalem iitrisque;&dimidiae xdo tertiae parti ipsius m. Quare tota portio ad inscriptam figuram maiorem proportionem habet. quam linea x madeam, quae utrisque eit aequalis;& dimidiae x ; & tertiae parti m.&Propterea maiorem, quam fd ad lir. maiorem igitur proportionem habet tota portio ad inscriptam figuram , quam ad a conum . quod fieri non potest . ostensum nanque est figuram inscriptam cono 2 maiorem esse . non ergo maior est conoidis portio cono χ: Quod si conoidis portio cono 2 minor ponatur, inscripta in poditione solida figura , & altera circumscripta ex cylindri portionibuq aequalem altitudinem habentibus: ita ut circumscripta figura excedat inscriptam minori excessu, quam quo conus portionem excedit: rurius similiter ostendetur, circumscriptam minorem esse cono Z; & cylindri portionem, quae basim habet portioni eandem. &axem eundem ad figuram circumscriptam minorem proportionem habere,quam ad et conum; quod item fieri non potest. non est igitur neque minor conoidis portio Cono E. Quare manifeste constat, quod fuerat propositum.
Qualibet figura sphaeroide secta plano per centrum , & super axem erecto, dimidium sphrioidis duplum eii coni basim habentis portioni eandem, ct axem eundem.
s i et enim sphaeroidis figura secta plano per centrum, & super axem erecto &ipsa secta altero plano per axem, sit figurae quidem sectio a b c d acutianguli coni sectio, cuias diameter, N axis sphaeroidis b d. centrum h. nihil enim refert, utrum bd sile maior diameter sectionis coni acutianguli, an minor plani uero secantis figuram , sit sectio recta linea c a. transibit ipsa per li: & rectos faciet angulos cum lineab d: quoniam planum ponitur per centrum duci, & erectum esse super axem. Ostendendunt est dimidiam sphaeroidis portionem , quae basim habet circulum circa diametrum a c & uerticem b, duplam esse coni basim habentis portioni eandem, & axem eundem. Sit enim conus aliquis, in quo i, duplus coni, qui basim habet eaudem Portioni, & eundem axem, uidelicet h b. Dico dimidium sphaeroidis aequale esse cono Z. si enim non est aequale. Sit primum maius, si fieri potest, & inscribatur in dimidia portione sphaeroidis, solida figura, & altera circumscribatur ex cylindris aequalem altitudinem habentibus; ita, ut circumscripta figura inscriptam excedat minori excessu, quam quo dimidium sphaeroidis excedit conum L Quoniam igitur circu- scripta figura maior est dimidio sphaeroide: & minus excedit figuram inscriptam, quam dimidiu sphaeroidis conum 1: cons at & inscriptam in dimidia sphaeroidis portioue figuram cono 2 maiorem esse . itaque sit cylindrus basim habens circulum circa diam ctru a c, axem uero b d, et quonia hic cylindrus triplus est coni basim haben-
97쪽
tis portioni eandem, & axem eundem: Vconus E duplus est eiusdem coni: sequitur cylindrum coni et esse sesquialterum. Educantur iam plana cylindrorum omnium, ex quibus constat inscripta figura. pertingent haec ad cylindri superficiem, qui basim habet eandem portioni, & axem cundem: atque erit totus cylindrus diuisus in cylindros, numero quidem aequales iis, qui sunt in circumscripta figura, magnitudine uero aequales maximo illorum. Sint praeterea lineae positae in quibus xx, numero Λ
aequales partibus rectae lineae b h: & magnitudine ipsi b h aequales. Ab unaquaque
autem illarum quadratum describatur. N ab extremo quadrato auferatur gnomon,
latitudinem habens aequalem b i. erit hic aequalis rectangulo b i d. At uero i quadrato illi proximo gnomon auferatur, qui latitudinem habeat ipsius bi. duplam: atque eri t hic rectangulo d q b aequalis: semperq; l quadrato sequente gnomon auferatur latitudinem habes una parte maiorem, qua sit latitudo gnomonis proxime ablati. erit ipsorum unusquisque aequalis rectangulo partibus bd contento; quarum altera pars gnomonis latitudini est aequalis; & a quadrato secundo reliquum erit quadratum latus habens aequale ipsi h e. Cylindrus autem primus eorum, qui sunt in toto cylindro axem habens b e ad primum cylindrum in figura in ripta, cuius idem est axis, eam habet proportionem, quam quadratum ali ad quadratum he. quare de quam rectangulum blid ad rectangulum bed. ergo cylindrus ad cylindrum eam habet, quam primum quadratum ad gnomonem a secundo quadrato ablatum. Similiter & aliorum cylindrorum unusquisque axem habentium aequalem ipsi h e ad cylindrum in figura inscripta, cuius idem est axis, eam habet proportionem , quam qu dratum ipsi respondens ad gnomonem a quadrato proxime sequenti ablatum. Sunt igitur magnitudines quaedam, cylindri ipsi, qui in toto sunt cylindro; N aliae magni tudines, quadrata, quae fiunt a lineis x x, numero aequales cylindris; & quaeque duae eandem habent proportionem. reseruntur autem cylindri ad alias magnitudines ad cylindros scilicet, qui sunt in figura inscripta; at extremus ad nullu refertur: & qua-
98쪽
drata ite reseruntur ad alias magnitudines,ad gnomones a quadratis ablatos,respondentia iisdem proportionibus; extremum autem quadratum ad nullum refertur. Quare omnes cylindri, qui in toto sunt cylindro, ad alios cylindros omnes eandem habebunt proportionem , quam Omnia quadrata ad gnomones omnes ab ipsis ablatos . ergo cylindrus basim habens eandem portioni, & axem eundem, ad inscriptam figuram eam proportionem habet, quam quadrata omnia ad omnes gnomones ab ipsis ablatos. Quadrata autem, gnomonum omnium ablatorum ab ipsis maiora sunt, quam sesquialtera. nam sunt quaedam lineae positae xr, xs, xi, xy, xu se ae qualiter excedentes, & minima excessui est aequalis; sunt etiam aliae lineae, in quibus xx, numero quidem aequales illis, magnitudine uero unaquaeque maximae illarum aequalis. Quadrata igitur linearum omnium, quae sunt aequales maximae, quadratorum omnium linearum , quae se se aequaliter excedunt, minora sunt, quam tripla: reliquorum autem, dempto maximae quadrato, maiora, quam tripla. hoc enim in iis, quae de spiralibus lineis edidimus, demonstratum est. Quoniam autem quadrata omnia minora sunt, quam tripla aliorum quadratorum, quae ab ipsis ablata fuerunt: perspicuum est reliquorum spatiorum maiora esse, quam sesquialtera. gnomonum
igitur omnium maiora sunt, quam sesquialtera. quare & cylindrus basim habens eadem portioni, & axem eundem, maior est, quam sesquialter inscriptae figurae; quod fieri nullo modo potest. est enim coni Z sesquialter: & inscripta figura maior osteata est tono E. non ergo dimidium sphaeroidis cono a maius erit. sed neque minus.
Sit enim minus, si fieri potest. Rursus inscribatur in dimidio sphaeroidis figura solida, & altera circumscribatur ex cylindris, qui aequalem altitudinem habeant: ita urcircumscripta figura inscriptam minus excedat, quam conus E dimidium sphaeroi dis . & alia eadem prioribus construantur. Quoniam igitur inscripta figura minor est portione : constat&circumscriptam cono 2 minorem esse. Rursum primm cylindrus eorum, qui sunt in toto cylindro, axem habens h e, ad primum cylindrum in figura circumscripta, cuius axis h , cam habet proportionem, quam primu quadratum ad semetipsum. secundus autem cylindrus, eorum, qui in toto cylindro, habens axem ep ad secundum cylindrum in circumscripta fiSura, cuius axis ep, eandem habet, quam quadratum secundum ad gnomonem ab ipso ablatum. & aliorum cylindrorum unusquisque, qui in toto cylindro sunt, axem habentium aequalem idisi h e ad cylindrum in figura inscripta, qui est secundum ipsum , eandem proportionem habet, quam quadratum ei respondens ad gnomonem ab ipso ablatum.& omnes igitur cylindri, oui sunt in toto cylindro ad cylindros omnes, qui in figura circumscripta, eandem habebunt proportionem, quam quadrata omnia ad id, quod est aequale primo quadrato, & gnomonibus iis, qui a reliquis quadratis auseruntur . Quadrata autem omnia minora sunt, quM sesquialtera eius, quod est aequale primo quadrato, & gnomonibus, qui a reliquis sunt ablati; propterea, quod quadratorum, quae fiunt a lineis se se aequaliter excedentibus, dempto eo, q uod a m xima, maiora sunt, quam tripla. Cylindrus igitur basim habens eandem portioni, re eundem axem , minor est, quam sesquialter circumscriptae figurae; quod fieri non potest: est enim coni E sesquialter;& circumscripta figura minor ostensa est 2 cono.
non emo dimidium siphaeroidis cono 2 minus erit. & quoniam neque maius est, neque minus: necessario crit aequale.
Si sphaeroides figura secetur plano per centrum ducto, ct non
erecto super axeira: smiliter dimidium sphaeroidis duplum erit portionis coni , quae basim habeat portioni eandem, S eun
dem aXem S E C a et v R enim figura sphaeroides, ut dictum est: & ipsa secta altero plano per
99쪽
axem, electo super planum secans, sit figurae quidem sectio a b c d acutianguli eo nsectio, cuius centrum he plani ueroisecantis figuram sit ac recta linea. transibit igitur ipsa per li; quoniam planum ponitur per centrum transire: atque erit acutianguli coni sectio quaedam circa diametrum ac; cum positum sit planum secans non esse erectum super axem. Ducanturqitaedain lineae kl, mn aequidistantes ipsi ac, contingentes'; acuti anguli coni sectionem in punctis b d: & ab ipsis L l, m n plana attollantur aequidistatia plano secun I
tinget haec sphaeroides in bd puctis: quaeque ipsa b d iungit recta linea per hiransibit: & erui portionum uertices b d: axes uero bli, hd . Itaque postumus cylindrum
habentem bli; in cuius superficie sit acutianguli eo ni sectio circa diametrum ae . Hoc autem inuento, erit quaedam portio cylindri, quae eandem basim habeat dimidio sphaeroidi, & axem eundem. Rursus & conum inuenire possumus, uerticem habentem punctum b, in cuius sirperficie acutianguli coni sectio consstat, circa diametrum ac: atque eo inuento, erit portio coni, quae eandem portioni basim, & axem habeat eundem. Dico iam sphaeroidis dimidium duplum esse huius coni portionis. Sit conus et duplus portionis coni. & si
m scriptam excedat minori excessu, quam quo dimidium sphaeroidis cedit conum E. Similiter iis, quae prius dicta sunt, ostendetur inscripta figura maior cono et i 8c portio cylindri basim habens eandem portioni, & axem eundem, ipsus quidem et coni sesquialtera; figurae uero in dimidio sphaeroidis inscriptae, maior, quani sesquialtera: quod fieri non po test. non est igitur dimidium sphaeroidis cono Z maius. Quod si milius ponatur esse: inscribatur iii dimidio sphaeroide figura solida, 8t altera ci cum cribatur ex cylindri portionibus altitudinem aequalem habentibus; ita ut cim Cum scripta excedat inscriptam minori excessu, quam quo E conus dimidium sphaeroidis ςxcedit. Rursus similiter ostendetur circumscripta figura cono et minor: εο portio cylindri, quae basim habeat portioni eandem, & axem eundem, ipsius quidem coni 2 sesquialtera; circumscriptae uero figurae minor, quam sesquialtera: quod item fieri non potest. non erit igitur neque minus dimidium sphaeroidis cono Z. Quoniam autem neque maius est, neque minus: sequitur, ut sit aequale. Vnde constat, quod oportebat demonstrare.
ualibet figura sphaeroide secta plano non per centrum ducto, sed erecto super axem, minor portio ad conum basin haben
100쪽
DE CONO ID. ET S p H AE R Ο Ι D.. stem eandem portioni, ct axem eundem, eam proportionem habet, quam utraque linea;& dimidia axis sphaeroidis, ct axis maioris portionis ad maioris portionis axem.
S I τ enim portio quaedam sphaeroidis figurae, abscissa plano , super axem erecto, non autem per centrum ducto;&ipsa figura secta altero plano secundum axem; sit figurae quidem sectio ab c acutianguli conisectior diametersectionis, &axis sphaeroidis b f; centrum hi planii uero abscindentis portionem sectio sit ac recta linea, quae rectos angulos faciet cum ipsa bs; quoniam planum super axem erectum esse posuimus. Sitq; portio abstitia cuius uertex b, minor dimidio sphaeroidis figurae: dc ipsi b h aequalis sit fg. demonstrandum est, portionem, cuius uertex b ad Conum, qui basim habet
eandem portioni, Ze eundem axem, eam proportionem habere, quam dgadds. Sit autem cylindrus eandem basim habes minori portioni, & eun
qui ad conum basim eandem habentem, eam pro portionem habeat,quam dg ad df. Dico conum Laequalem esse portioni, quae uerticem habet b puctum. Si enim non est aeratis: sit primum minor, fieri potest i inscriba turd; in portione figura
solida, & alter a circumscribatur ex cylindris aequalem altitudinem ha bentibus; ita ut circumscripta inscriptam exce dat minori excessu, quam
quo portio sphaeroidis excedit conum E. Quoniam igitur circumscripta figura, quae portione maior est, minus excedit inscriptam, quam portio conum: constat figuram inscriptam maiorem esse cono 2. Sit autem br tertia pars ipsius bd. & quoniam bg tripla est ipsius bhi&b d item tripla ipsius br recit se dg ipsius h r tripla. Itaque cylindrus basim habens eandem portioni & axem bd , ad conum habentem basim eandem, & eumdem axem, eam proportionem habet, quam dg ad lir. conus autem dictus ad et conum habet eam, quam d f ad d g. Quare proportionibus non similiter ordin alis , cylindrus, cuius basis eadem portioni, Se idem axis, ad conum 2 eam proportio nem habebit, quam ds ad lir. Sint praeterea lineae positae, in quibus xn, numero quidem aequales partibus lineae bd , magnitudine uero unaquaeque ipsi f d aequalis: desit ipsarum x o unaquaeque aequalis b d. erit ergo unaquaeque n o dupla ipsius h d. Accedat ad unamquanque ipsarum, spatium quoddam, cuius latitudo sit aequalis bd: ita ut in unoquoque quadratum si diametrum habens. auferatur autem ἱ primo spatio gnomon, qui latitudinem habeat aequalem bet &a secundo item auferatur gnomon, cuius latitudo aequalisbq: de similiter ab unoquoque subsequente spatio, M a gnomon