장음표시 사용
122쪽
123쪽
in librum de circuli dimensonea Federico Commandino nuper in latinam
Eiusdem Federici Commandini commentarii in librum de Circuli dimensione. Lineis spiralibus. Quadratura paraboles. COnoldibus, ct sphaeroidibus. μ
124쪽
VM me saepenumero, DUX PRAESTANTIS-sIME, hortatus sis, ut in lucem proserrem commentarios quosdam meos in Archimedem, quos mihi ipsi conscripseram: tua impulsus auctoritate, nullum amplius locum hortationibus tuis relinquere decreui; praesertim cum tu mathematicas disciplinas optime calleas. nam, ut peritissimus es regendorum exercituum dux, ita nihil omittis eorum, quae ad militares artes comprehendendas attinent. Hiero Syracusanorum rex Archimedem maximo in honore semper habuit: eiq; auctor suit, ut geometriam a reliqua philosophia seiungeret, &cum re militari coniungeret. Marcellus in Romanis imperatoribus princeps, cum uiuentem Archimedem pro dignitate ornare non potuisset, ea officia mortuo praestitit, quae tanti uiri merita postula bant. Ad te uero, Hieroni regi nobilitate generis, ct Christianae uitae innocentia facile antecellentem, Marcello autem nulla ratione inseriorem, spectat, hos meos in Archimedem commentarios, qui hortatu tuo aediti sunt, in tuam etiam clientelam recipere, Commandi numq; tuum, Archimedis studiosissimum, in eorum, qui te unicet
126쪽
IN ARCHIMEDIS CIRCULI DI MERSIOREM
i V M in Archimedis scriptis explicandis elaborauerim, quae O facili
nu essem, O mumni considera ιone induerent: c sequens uideturesse, edi instituto meo confientaneum, ut quae ex illis maiorem diligentiam, atque operam desiderant, quantum in nobis erit , adiungamus ad ea, quae
prius in libros de sphaera, Ocylindro elucubrauimus. Si quidem in M. quae isiciliora sunt, O maiori studio indigent, operam in primis p nere debemus. Sit ergo deinceps pro situs nobis tibellus, qui inscriptus est, ciscuti dimensio, in quo auctoris propositum ex ipsa ili raptione intueri possumus : uuis enim ostendere, cus statio rectilineo circulus sit ualu ; quaslionem miruta clarissimasante ipsim platosophis pertractatam. num constat hoc senuaesitum illud, quod Hιρροι rates claus , O AAthi Mon, cum durgenter maestuassent , eos nobis paralogismos inuriterunt, quos probe nosse illos arbitror, qui geometricam Eudemihi oriam , Artotelis libros propriam huiusce generis Deirinam complectentes evolvi rint. ι erumtamen liber hic, ut inquit Heraclides in Archimedis iura, multas affert ad usum uitae commoditates: ostendit enim circuli circumferentiam diametri triplam, O insuper minorem , qtamsic siquis timam, maiorem uero, quam superdecies partientem sinuagesimas primas. Hoc igitur, ut dicit ,proat essdemonstratum: nam per quasdam stirales lineas inuenta es ab ipso recta linea datae circuli circumferentia aequalis.
PRI MV M Theorema etiam iis, qui aliquantulum in Mathematitis sunt exercitati, nihil habere quae bovis uidetur; cum Archimedas uerba mani siste exponantur, O conclusionem ipsam nubti ne ovaga adpropositisdem referant. Ad tameu uidetur Archimedes ad demonstrationem perperam usure quapiam, quae nondum sit demonstrata: exponens enim triangulum res angulum , habeat , inquu, unum eorum laterum, qua circa rectum angulum sunt , quale semidiametro ,alte rumuero ercumferentia uale. Mi qui circumferentiae circis omodo aqualem rectam lineam sumamus, nequc ab ipso, neque ab auo quopiam demonstratum est. Verum 1lud scire oportet, nihil quod non coummiatas Archimede scribi: nam circuli circumferentiam magnitudinem esse omnibus perlacomes . atque arbitror, ex earum numero, 'c ad unum duntaxat dilutibiles sunt. est aurem or recta linea illius eiusdem sis ciei. cir quanquam nondum appareat fieri posse, ut circumferentiae circuli aequalem rectam lineam inueniamus rese tamen natura rectam quandum ipsi aequalem a nullo unquam est dubitatum. Illud ergo , quod ab Archimede proponetur tale est , triangulum rectangulum habens latera, ut dictum est, aequale esse circulo. Quare propositum exponens inname accusandus κ:detur; quin potius admirabitis illis ipsis existimari debet, quod ad magnitudinem quaesitorram manifestam , O facilem inuentionem adiunxerit . Ut autem dictum G, primum meorema nihil habet tuaestionis . nam triangulum p o r maius esse, quam dimidium figurae a fome simpliciter dato circiuomspe figuram rectilineam circvanscribi rita ut porti es, quae inter circuli circumferentias, O latera circumsicriptae figurae muri ciuntur, minores set dato statio; man e
D hoc theoremato continenter iubemur, numeri data latus quadratum inuenire, sed hoc in numero non quadrato perfecte inueniri non potest. nam numerus in seipsum multiplicatus pnoducit quendam numerum quadratum: numerus autem, O partes s in sese multiplicentur, non faciunt b numerum
127쪽
numerum integram partes. Verum quemadmodum oporteat latus noxiis producens du- tum numerum inuenire, dictum es ab Herone in metrios, ictum octa Pano, Theone, O compluribus aliis, qui magnam Claudi Ptolen i compositionem explicarunt. uvare non Hi, quamobrem in hoc laboremus, cum liceat iis, qui ei nodi studio tenemur, ex illis sumere. t Et angulus f e e si tertia par ecipi. y si cium MPmeircu erentiam bifariam fi cantes, . eius dimidium fumentes tin a coitroducta Dunaerimus ipsam e L erat e e fangulus tertia pars recti: nam circumferentia ad esumpta, cum sit dimidia circumferentiae hexagoni, erit ci culi pars duodecima. Vnde angulus c e fad c urum duodecima pars erit quatuor rectorum , ob id, tertia unius recti.
i Ergo linea e s ad f c eam proportionem habet, quam 3 os ad Iss. J nam dupla est es ipsius f e ; quod ex Me patet. si minam c limam ad in producentes , aequalemq; ipsi sumentes, iunxerimus d punZIoe: constituetur ad m angulus, Θ erit duae tertia unius recti. est autem Oangulus ad e duae tertia recti: O pariter angulus ad s. aequilateri igitur trianguli dum cum es ipsum e e f. Quod cum basiis trianguli aequilateri, quae est aquatis ipse es, bifariam fi cetur ad c : dupla erit e fi us e f. Ipsa uero e c ad c f proportionem habet, quam 263 ad is s. J Quoniam enime sponitur esse so6:si ipsa inseipsam multiplicetur: fient 9363 6 .es autem c fis s. quadratum igitur ipsius erit 134o9. et quoniam quadratum e faequale est duobus quadratιs e c, cssabim A e s quadrato, quod est y363 6 auferamus quadratum es, hoc es 23 o9: relinquetur quadra tum e c7o227, curus latus 163, et ad buc pars numina, ct insensibilis. deficit enim quadratum 26s
Secetur angulus se c bifariam ducta linea e g. ut igitur se ad e e, ita est fg ad g c.I
per tertium Theorema sextilibri elementorum Euclidis, O componenti, ut utraque se , ee ad eriita se ad c g: et permutanti ut utraque se, e e ad se, ita e c ad c g. utraque autem se, ecmaior est, quam 37I. nanque se ponitur fossio e c 26 , O adhuc pars quadam . quare maior est, quam 3 i. ipsa uero fe o I 3 . utraque igitur se, e c ad te maiorem proportionem habet .quam 3 i ad is 3 . idcirco ec ad eg maiorem habet, quam I ad I 3. Quare e g ad c g eam potestate proportionem habet, quam 3 9 soadas o9.Jhoc autem ita colligetur. quoniam enim ostensum ess e c adcI maiorem habere proportionem, quam 3 1 ad 133 : si quis ponat ipsam quidem ec esse 37i , ipsam uero eg I 33: erit quadratum ee 326oqI, quadratum eg 23 o9. Quὀd cum utraque sinit aequalia quadrato egi erit ipsum egquadratum I 9 3o, cuius latus 39il proxime: deficit enim quadratum uesit ab exquito quadrato unitatibus 2 in. ergo eg ad se potesate proportionem baset, quam 3 queo ad as os longitudine uero, quam 39ri proxiis ad I 3. multiplicatis sautemsub ciuntur.
128쪽
Rursus angulus g e c bifariam secetur ipsa e h linea. eadem ratione ee ad chmaiorem proportionem habet, quam I I 62 ad 13 s. J Fit enim propter bipartitionem anguli, ut g e ad ec, ita gh ad bc. componenti, ut utraque Ie, ec ad ec , ita ge ad eb. Opermutanti, ut utraque ge ,ec ad ge,staec adcb. OG ipsa quidem e e s i, e adhuc pars quaedam, isto autem eg 39I .e pars quaedam. quare maiora sunt,quim II 62 . est ge1 33 . utraque igitur ge, et ad Ic maiorem habet proportionem, quam II 6i ad II 3 . Quare he ad lic maiorem habet, quam irra: ad I s. J Quoniam enim ostensa est Gec ad ch maiorem proportionem habere, quam I 162 ad I 33. si quis ponat i assic habere: erat quadratum ec Is Io I n; quadratum autem eb 23 o9. ergo quadratum eb, cum sit aequale quadratis ec, eb, erit is s9 3 o ; cuius latus II 2: proxim): deficit enim ab exquisito qui-drato ipsius, unitatibus 66 l. multiplicationes autem sub ciuntur.
See e tur item h e c angulus bifariam ducta e h. habet e c ad c h proportionem Ilmaiorem, quam 23 3 l ad is s.J Dorsus reum propter bipartiti em anguli bee, est ut headee, ita b ad c coe componenti ut utraque he, ec ad et, ita b c ad chro permutanti ut utraque he, ee ad he,ita et ad ec Quoniam ergo ostensa est hera 72 adhuc pars quintam: utraque he, e e maior est, quam 233 .. ponatur autem bc I s. utraque igitur he, ec ad hc maiorem proportionem habet, quam 2334l ad III. Ergo eli ad ch maiorem hinet, quam 2339 ad 133. J Rursus quoniam ponitur e c I 233 l, ipsa autem e . is I: erit quadratum ec 72s Q. , O quadratum ch23 os; quibus quadratu aequale est quadratum L e. erit igitur he quadratum s 72 Isai., cuius latus. 339. proxim/. deficit enim ab exquisito, unitatibus I I multiplicationis autem sub ciuntur.
est ut he ad eci ita V ad l ce et coponenti, ut utraque mee ad ec, ita Dad el: et permutanti, ut utraque he, ecad k c, ita e c ad cl. atque est ipsa quidem hers I9l, Opars quaedam; ipsa uero e c 23s l , O item pars quaedam . utraque Gitur he, e e maior est, quam 467s l .ct est e Is s. quare utraque o, ec ad .c maiorem proportionem habet, quam q673 I ad is s. Vt auteutraque he, ec ad O,sic et ad el. ergo oe et ad ci maiorem proportionem habet, quam 46rs Iad 1 3 3 . Itaque quoniam fec angulus, cum sit tertia pars recti: duodecima pars est quatuor rectorum: eius autem dimidium, angulus scilicet se e eorundem est pars vigesima quarta eius dimidium hec quadragesima octauar et rursus eius Δ dium O c nonagesima sexta ; curus item dimidium t e cpars centesma nonagesima fecunda. Ponatur, ιnquit, ipsi aequalis angulus cem: Oproducatur se ad m. angulus ergo lem duplus scilicet anguti lec , nonagesima sexta pars est quatuor rediorum . quam O l m latus est poluoni circulo circumsicripti, quod sex o nonaginta lateribus continetur. Quoniam igitur ec ad c lostensium est maiorem habere proportionem, quam q673 Iad rues: estq; ipsius ec dupla ac, ipsius t e dupla I m; habet ac ad im maiorem proportionem,
quam 67s : Miss ; O ὸ contrario im ad a e minorem babet, quam iss ad Urs ἶ . O quialm latus est postgoni siexo nonaginta laterum, eius ambitus est I 688 : nam 96 in i s multipli-
129쪽
plicata dictum numenum producu t. ambitus ergo polygoni ad diametrum ac minorem propo tionem tabet, quam I 88 ad q673 . quare triplus est diametri circuli, O adhuc excedit 66 l. haec autem minora sunt, quam septiana pars diametra, unitatis parte septima; etenim ipsorum 667 l septupla, qua sunt q672 l , no sunt, quam diameter,umtate ipsa . Quoniam igitur ambitus postgoni minor est, quam triplassesquiseptimus ; circuli uero ambitus minor. Iambituminoni: multo igitur circuli ambitus minor est, quam triplus sesquisieptimus ipsius diametri. Z Sit circulus circa diametrum acJjecinceps uero reliquam panem theorematis con- fruens, Sit, inquit, circulus circa diametrum a c: et angulus bac sit tertia pars recti. id autem fiet , si a punito e sumentes lineam cb aequalem lateri hexagonι: iungamus ipsam abr angulus enim in circumferentia hexagoni consistens, ad centrum quidem es duae tertiae rectiAd circumferentiam uero tertia ranti. quoniam restities angulus a b c; c ipsa bac tertia pars necti: erit ac b recti duae tertiae . si igitur producentes cb ad punctum b : aequalem 'si Iumentes iunxer mus ex a punDo ; aquilaterum triangulum erit. Ercum ab cathetus basim bifariam secet: d pia est a e ipsius eb. Quod si rursus sumamus a cis 6o: erit eb 78o quadratum ae 1 336 : quadratum uero cb 668qoo. O si auferatur cb quadratum a quadrato a ι . rei quum erit quadratum ab i82 2oo; cuius latus is I proxime: excedit enim exquisium eius quadratum sola umtate. Quam ob causam duit, ab ad bc minorem habere proportionem, 'amissi ad 78o. multiplicationes autem sub ciuntur. ae r co
M secetur bifariam angulus bac ducta linea a g. itaque quoniam aequalis est angulus bag, angulo g c b. J In eadem enim circumferentia consistunt. K Sed & ipsi g a c. erit& g c b angulus ipsi g a c aequalis, & angulus communisag c est rectus. ergo & tertius angulus g sc tertio agc aequalis erit ;&triangulum agc triangulo cgf aequiangulum, quare ut ag ad gc, ita cgadgs,&ac adcf. JAeauiangulorum enim triangulorum proportionalia sunt latera, O qua eiusdem sunt rationis ae qualibus angulis s. tendunetur. O Sed ut a c ad c s, ita&utraque ea, ab ad bc. ut igitur utraque ba, ac ad bc, ita ag adge . J Quoniam enim bae angulus bifariam secatur ducta a s linea , est ut baad ae, ita bs ad se ro componori ut utraque ba, ae ad ae, ita b c ad c D Opermutanti ut utraque ba, a e ad bc, ita ac ad cf. O est ipsa quidem ab minor, quam is sit ipsa autem ac Isso ; be 78o. utraque igitur ba, ac ad bc minorem proportionem habet, quam 2 vii ad 78o. quare ae ad es minorem habet, quam 29 II ad 78o. ut autem ac ad cnita ag ad Ic. ergo ag cd Ic minorem habet proportionem, quam 29 II ad 78octa' pro pterea quadratum ag erit 3 7392I , O quadratum g c 8 oo. atque usi is aequale est qua dratum a e; qtiod erit po8132i : O eius latus sors proximῖ; excedit enim exquisitum quadratum unitatibus s68 Qvare diast, a c ad cgum: orem proportionem habere, quam sors ἰ ad 78o. multiplicationes aurum subsciuntur.
130쪽
o ac minor, quam sors . utraque igitur ga, ac mnor est, quam 392 . ipsa uero gc est 78o. Quare utraque ga, ac ad c g minorem habet proportionem, quam 392 l ad 78o: idcirco ab ad be m uorem habet , quam 392 ad 7So. ergo ab ad he habet minorem pr portionem, quam 433 Iad 6o: utraque enim utriusque o pars tertia decim; O borum qu drupla ab ad bc minorem habet, quam I 823 ad 1qo. Quamobrem duxit, utranque utriusque i .esse ri. O quoniam a b est i 823: erit quadratum ipsius 33 23 329. OG hc 2qo, cuius quadratum o. est autem duobus quadratis ab , bc aequale quadratum a c. quadratum iratur ac erit 338o929: ct eius latus I 838 nam quadratum I 838 i superat exquisitum quadratum unitatibus f 3ii J proxime . quare ac ad c b minorem proportionem habet, quam 18s8 si ad 323 Dia . multiplicationes autem sub ciuntur.
Pli , triangulorum similitudirium, laterum proportionalitatem, oe compositam , permutatamq; rationem, est ut utraque ba, ae ad c b, ita ah ad k c. sed utraque ha , ac minor est, quam 366i ri: quoniam ba posita est ia1r , O ac i838 is . es autem O hc Σμ . utraque igiturba, ac ad ch minorem proportionem habet, quam 366 I si ad et M. quare O ah id Lcmiuorem habet . quam 366i si ad 2 o. stipsorum 36si si undecim quadragesima simu ioo7: ipsorum autem 2 o totidem quadragesimae 66. ergo a Ad he minorem baset proportionem, quar T ad 66. atque est quadratum ah ior o 9: O quadratum' s 36. quibus cum sit ae quale ac quadratum; erit ipsum Ioi8 os , ct ipsius latus Ioos proxim)r excedit enim eriquisitum quadratum unitatibus i 2 ἰοῦ. quare a c ad c norem habet proportionem, quam 1 oo: ad 66. multiplicationes uero sub ciuntur. -
Secetur postremo h a c angulus I a. ' Propter eadem, quae sepius diximus, est ut Sutraque ha, ac ad he. ita at ad te, atque est ipsa quidem a minor, quam ioor: ipsi uero ac manor, quam ioos O O 66. utraque igitur a , ae ad heminorem habet proportionem, quam 2oi6δ ad 66. ergo O al ad te minorem habet, quam 2oI6 ad 66. quoniam a lposita est 2oi 6 reru quadratum ipsius 4o6 9284. O est te 66, cuius quadratum 43 36 ; aequale autem ipsis est quadratum ac , erit igitur quadratu ac o6928 e , se eius latus 2oI7 2proxime , excedit ciam exquisitum quadratum unitatibus sisAJ quare a c ad c l minorem pro- Is C. portionem habet , quam dioi l ad 66. multiplicationes autem sub ciuntur.
quoniam igitur a c ad c I minorem proportionem habet, quam dioi 2 ad 66 :ὸ contrario Ieia camaiorιm habet proportionem, quum 66 ad 1oI7 l. o quoniam ιb circumferentia sexta