장음표시 사용
131쪽
pars est ipsius circulit erit circumferentia Ic pars duodecim: b c uigesima quarta: he quadrage sima octava dole nonusima fra ta . quare recta linea te latus es pes3Ioni , quod bo et non ginta lateribus continetur. atque est Ic 66. polygoni igitur ambitus ad diametrum circuli mi rem propositionem habet , quam sis 6 ad 2oi l. haec autem sunt tripla, O adhuc superunt 28 εἶ; quae quidem maiorii sunt, quam decemseptuagesimae primae: nanque earum una est Σ Jproxime harum decupla Σ J. multo igitur major est circuti circumferentia, quam tri pia super decies partiens; tuagesimas primas. Numeri igitur ab eo positi, ut fieri potuit, mediocriter explicati sunt.Scietam autem Apollonium Pergaeum ἐν έω υτ βόρ Hem per alios numeros de monstrase, adduxisse ; ad maiorem propriuitatem. Quod quidem exquisitius factum uidetur .sed tamen ad Archimedis propositu nihil confert: diximus enim ipsum in hoc libello proposuisse id ruod propinruum est, inu re, propter necessarios uitae usus. Quare neque Poriti Nicaenus opportune accusauit Archim dem, quia non exalle inuenerit, cui recta lineae circuli circum rentia sit aequalis. ex quibus ipsi in libris super ea re conscriptis dixit, praeceptorem suum, Philonem intelligens Gadareum , ad exactiores numeros rem adduxisse, quam simi v lm ab Archimede sunt expoliti, uidelicet a 2: omnes enim deinceps uidenturpropositum eius gnorasse , utuntur autem multiplicationibus oriadum , O diu: ionibus, quas non facile assi quetur, n i qui in Magnι rationibus fuerit uersatus . Quodsiquis omnino uoluerit ad minama redigoe, utatur 3s, quam mathematica compositione a Claudio Ptolemaeo tradita sunt, per partes , O minutias ct per rectas lineas in circula
aptatas, atque ego id iam iecissim, ni si, quod saepius dixi, intellexi sem, feri non posse. ut per ea , quae hic posita fiunt, exquibita mueniatur recta linea circuli circumferentiae aequalis: quanquam ei, quod proximum est, ferc idem attentatur. itaquesufficiunt ea, qua ab Archimede hoc loco dicta sunt.
132쪽
iE C E N T v R et v Ε circumferentiae bifariam, & sint portio- l nes iam minores excessu, quo circulus ipsum triangulum excedit.J Vel boc loco non nulla desiderantur, uel ita brevi fermane Uuς est Archimedes, quoniam ex duodecima elementorum libro, propo tione secunda, manifeste patet, quo m=do per figuram in circulo descriptam tandem relinquuntur quaedam portiones, quae minures sint qualibet proposita magnitudtue. Sumatur centrum n & perpendicularis nx. J Sumatur cen strum circuli, quod sit ni ab Qso ducatur nx perpendicularis ad latus figurae insicriptae . erit nx minor circulisio diametro, hoc est trianguli resianguli latere . . Quare figura restilinea minor est e triangulo. J S enim linea n x aequalis esset tria Ccnguli lateri: haberent omia triangula, ex qvibus figura rectilinea conflat, ad triangulum a r in avri candem proportionem, quam basis omnes ad ipsius trianguli basim idcirco figura eo minor esset. Nunc uero cum etiam tinea nae monor sit latere trianguli: figuram ipsam triangs Io e mul unctito minorem esse nece e est . .
Triangulum igitur ro p maius est, quam dimidium figurae osam. J Nam tri- Uangulum ras maius est, quam ipsum mar. quale multo maius, quam figura contenta rediis ti prima ν neis ar,r m, est circuli circumferentia a m i quae quidem pars est trianguli m a r: eadem ratione triangulum a op maius est, quum figura contenta rediis lineis a p,pf, O circumferentia circuli a L ex quibus sequitur totum triangulum rop maius esse ,quam sint viraeque gurae arm , apso idcirco maius , quam H drum figurae of am.
Itaque sumantur portiones ipsi psa similes ; quae quidem minores sint eo, quo triangulum e excedit ab c d circulum. J circumscripto quadrato in circalo Juperficies ,
tali, O circuli circumstrentia, uel erunt m res excelseu, quo imquae continentur lateribus quadrati, angulum excedit ipsum circulum, uel maiores, uel aequales. Sint primum minores . ergo quadra
tum adhuc mimis est triangulor quod est absurdum, cumsit eo maius: es enim n m aequatis catheto trianguli, edi ambitus quadrati maior basi eiusdem .si uerosint aequales ;sequitur quadratum aequale esse triangulor quod item est absurdum. At si ponantur esse maiores: arcus iasariam secentur: est per finionum puncta ducantur tineae contingentes, ut dactum est. Cum igitur triangulum ropsit maius, quim dimidium figurae ofam rsublatis quatuor huiusmodi triangulis, erit sublatum plus, quam dimissium dicturum superficierum . Quare si hoc rursussiat, O eius, quod fuit reliquu, sublatum erit plus,quam dimidium; σὴ idem continenter fiat: relinquentur ad extremum porti nes , quae minores erunt dicto excessu; O idem absurdum sequetur. ostensium ranque es in decimo libro elementorum, propositione prima , Duabus magnitudinibus inaequatibus expostis , si amat iri auferatur plus, quam dimidium : ab eo, quod reliquum es, austratur rursus plus , quam di imidium: MH; semper fiat: relinqui tandem magnitudinem quandam, quae manor sit minore magnitia ne exposita.
Quoniam igitur ace triangulum ad trian tum a c d eam proportionem habet, Aquam x I ad 7, triangulum autem ac d ad triangulum aes habet eam, quam et ad I: erit ac f triangulum ad triangulum ac d , ut x et ad 7. J Cum erum linea d e dupla sit ipsius e δ: erit tota e e ipsius ed tripla. Pareo triangulum ace ad triangulum a ed triplam prima vi. habet proportionem rhoc est eum, quam H ad 7: O cum triangulum ac d ad ipsum a e f eamdem habeat, quam 7 ad I : balebit ex aequali ace triangulum ad ipsum aes eam, quam Mad I: Q. v. e 'componendo utraque triangula ace, ae Diaces triangulum aes ada e f, quam 22 ad i. 18...es autem
133쪽
est autem triangulum aesta a ed, ut I ad 7. quare rursus ex aequab triangulum aes ad Tomae derit, ut 22 ad 7.
IV hoc tertio theoremate saepissime necesse habemus, Dato latera ,superficiem eius quadratam inuenire . Et contra data superficie quadrata , inuenire eius latus, siue uerum , e vero propinquά. nam cumsuperficies a quadrato numero denominatur, verum eius latus inuenire licet; cum aut ἀ numero non quadrato, non item ; sed veropropinquum uenamur. Et insuper ex diatis inter se quam-titatibus compositum quod num sit; Et si data quantitas ab altera item data auferatur, quod reliquiast,comperire. Et datarum quantitatum proportionem ad integras partes redigere. Quorum ommum cum operationes omnibus sint inpromptu: nos demonstrationes adiungere conabimur,quas nullus hactenus, quodsciam, uniuerse compleaus est. Theon qualem in m nam Claudu Ptolemaei compositionem scribens demostrauit, quomodo data superficie quadrata propinquum erus latus inuenia tur, per partes,insiexagenarias primas, fecundas O qua deinceps sunt: qui modus astroloras fuit 'culiarit. posteriores uero per partes, in earum, ut aiunt, fractiones idem istud efficere conati sunt: idq, duphciuia : uri erum latus , quod uero latere minus , uel quod maius esset, sumpserunt Quae quidem nos inferius tria abimus, postquam alia non nulla praemiserimus. Notam , seu datam quantitatem hoc loco intelligi uolumus non solum eam, quam mensura uulgata, aut quomodocunque ad arbitrium sumpta secundum datum numerum metitur: sed etiam, quae ad eam mensuram proportionem habet innumeris datam. Quantitates inter se datas dicimus,quas una communis mensura metitur,uel quae ad communem mensuram proportionem habent in numeris datam.
PROPOSITIO I. Cuiuslibet datae lineae& quadratum datum erit. SI quidem datam lineam metitur uulgata ψfura: quadratum eius d bitur ex ηs, qua monstra-nit Ioannes Regismontanus libro primo de triam gulis, propositione prima.s uero ea ad uulgatam Gsuram proportionem ha bet in numeris datam; uel erit minor uulgata mensura, uri maior . Sit primum minor ; sit ab ; curus quadratum ab ed est id, quod quaerimus. linea vero e ponatur uulgata mensura. Itaque ab oe ac lineas eoasque produc us,
quae sint af, ag: dcinde completo quadrato a b , sam quoque b d lineam producemus ad gh in pisciumi. Quoniam igitur ab data est; quae ad uulgatam monsuram proportiora ha
134쪽
bet in numeris datam esint dati numeri eiusproportionis minimi l m; quorumI ad m eum proportis nem habeat, quam ab ad ipsam e mensuram: ducaturq; l numerus in sici sum, cin priabilium. t ne postea ducatur in m , O producat o: ipso autem m in sese ducto fiat p. erunt tres nume- 2. viri. ri n o p proportionales, minimi in ea proportione, quae est ι ad m. Dico tam quadratum a deundem habere proportionem ad quadratum a b uulgatae mensura, quam halat nu crus n ad . . ipsum p. est enim sicut ac ad ag: hoc es, sicut ab data linea ad e mensuram, ita a d quadratum prinia vi. ad re tangulum a i. sicut autem ab ad e, ita i numerus ad numerum m; hoc est n ado. quare quadratum ad ad re tangulum a i eandem proportionem habet., piam n ado. Rursus scut a b prima vi
ad e; hoc es ad afri aequalem, ita rectantum a i ad quadratum a b. ergo ἡ ctangulum a i ad quadratum ab est, sicut i ad m: hoc est sicut o ad p. sed erat a d quadratum ad rectangulum ai, sicut nado. Quare ex aquati quadratum ad ad quadratum ab eam proportionem habet, quam n in . v. ad p. Quod si ab data linea maior sit uulgata mensura , descripto quadrato ab c d ex linea ab a scindatur aequalis ipsi e: quae sit as: ex linea item a e abscindatur aequalis eidem: sitii; a grσpe ficiatur quadratum ab . Similiter demonstrabitur quadratum a d ad quadratum a h eandem habere proportionem, quam habet n numerus ad numerum p. atque hoc est , quod demonstrare oportebat. Cum ergo quadratum a b uulgatae mosurae datum sit: σι um a d quadratum dabitur ex data proportionem numeris n O p. O P E RA T I O. Numerorum datae proportionis uterque in semetipsum multiplicetur; de quam proportionem habuerit quadratum primi numeri ad quadratum secundi, eandem habebit di quadratum datae lineae, quod quaerimus, ad quadratum uulgatae mensurae.
, d diu , P IL O P O S I T I O II. iod duabus inter se datis lineis continetur rectangulum, & ipsum datum erit. SIT rectangulum a e duabus interjedatis tineis contentum ab, a d. et siquidem datae lineae sinit, quas etiatur communis quaepiam mensura: illud ipsum datu erit ex demonstratis d Ioanne Regiom libro primo de triangulis, propositis sextadecima. si uero ipsa ad communem mensuram proportio nem habeant in numeris datam: sit communis illa mensiura e , ad quam linea ab ita sit, ut 1 num
rus adnumerum g: tinea uero a d ad eandem sit, ut numerus h ad ι numera. Vel gitur utraeque data lineae ipsa e maiores erunt ;uel utraeque minores ; uel una maior , altera minor ; uelaltera aequalis, altera maior, aut minor. Sint primo utraeque minores: O producantur ad aequalitatem communis mensurae e: O compleatur quadratum a Um: Usa quoque d e producatur ad lineam h l in punctum n. Et cum linea a b ad ipsam e; hoc est ad a ita sit, ut f numerus ad numerum Iaerit rectangulum ae ad rectangulum a n, ut numerus f ad ipsum I. Rursus cum linea ad ad eandem e. hoc est adam ita sit, ut numerus h ad ipsum i: erit O rectangulum an ad quadratum a i ut h ad te Ducatur f numerus in numerum hi Oproducatur n: ducatur item g in i: O productum sit o: δε
135쪽
euoniam enim numerus h duas numeros mali
DcIi numeri nop eandem habent proporti nem . quarea creauulum ad ipsum a n erit urnadp. rursus quoniam g
multiplicat h eti: productip Oo in eadem pr portione erunt:
er id circo erita n redi agulum ad quadratumat, ut p ad O. Eo cx aequalia criatagulum ad quadratumat, ut n ad O. Si uero utraque
les : o perficiatur quadratum ah tm: postea hi producatur ad c d in n. QuΘd si altera maior sit, altera minor: sit ab minor: O pro
e ; quae sit ah: O ab ipsa Ga d absi datur aqualis eidem uidelicet am: compleaturq; quadratum a L Imr ipse demum V, O de produ
cantur ; ita ut conuemant m punctiι n. Non aliter procedemus in describenda figura , si altera sit aequalis communi mensura, altera uero, aut maior, aut minor; minorem nanque producemus, e maiorem resiccabimus ad ipsius aequalitatem. His ita constitutis si liter demonstrabimus is e re mi udum ad quadratum a i eandem habere proportionem, quam habet n numerus ad numerumo; quod ipsum demons re uolebamus. Cum igitur a c rectangulum ad datum quadratum a tres enim communis mensura P proportionem habeat in rameris datam: O ipsum necessario dabitur. . d a tri OPE I 'h
136쪽
Numeros datarum proportionum multiplicabimus; antecedentem in anteeedentem ; & consequentem in consequentem; & quam proportionem habuerit productum ex antecedentibus ad productum ex consequentibus, eandem habebit quaesitum rectangulum ad quadratum communis mensurae.
ά FoDe eo quadrato hic sermo est, quod latus habet longitudine rationale: nam de eo, quod potentia tantum rationale habet, inferius dicetur. Sit quadratum eiusmodi notum ab ed. O siquidem mens ratnr a quadrato e , uulgata mensurae r latus eius notum fel ex 2. primi de triangulu. Si uero ad quadratum dictum proportionem habeat, quam quadratus numerus ad quadratum numerum; vel erit ea maius, uel mnus. Sit primum mi- - e vnus; ct sint numeri datae proportionis for inuenianturq; eorum latera: O ipsius quidems tutus sit b; ipsius uero g sit i. Dico quadrati ab ed latus, uidesi-cet a b, natum iam ess e. habebit enim ad imam e proportionem eadem , quam habet numerus h
ad 1 numerum: nanque ex undecima octavi elementorum constat, i
ter f O te cadere numerum quendam propo
tionalem , qui sit c Oproportionem f adg duplam esse eius, quae est had i. Quare sicut fad , ct si cist hyia g, ita
erit had i. Et quoniam quadratum ab c d est minus quadrato et producantnr eius latera ab , ae; adeo ut fiant aequalia ipsi e ro compleatnr quadratum almn: producatur item latus b d usique ad mn in o. erit ut prima vi. ae ad am, hoc est, ut ab ad e, ita quadratum ad ad rectangulum ao: O ut ab ad al, hoc est ad e, ita rectangulum ao ad quadratum an . Quare erunt tres superficies proportionales in eadem proportione, in qua est linea a b ad e . Missus quoniam positum est quadratum ad ad quadratum e esse sicut f ad . emn: tres numeri f.proportionales in eadem illa propomtione , in qua sunt tres dict.e superficies ad , ao, an : O propterea linea a b ad e eandem proportionem habebit, quam habet numerus h ad numerum i . Si uero quadratum ab c d fit maius quadrato e: absiιnduntur abi is ab , a e, linea ipsi e aequales, quae sint a l, a m: O complegi mr quadratum almur ipsa autem m n producatur inque ad db in o. Eadem ratione monstrabitur lineam ab ad e, eam habere proportionem, quam babel b ad te quod monstrare oportebat. e 2 OP
137쪽
Inueniatur latus quadratum numerorum data: proportionis, & quam proportionem habuerit latus priini ad latus secundi, eandem habebit latus quaesitum ad uulgatam mensuram.
P I O P O S I T I O IIII. Dato latere quolibet rectanguli cogniti, alterum quoque latus dabitur. SIT rectangulum cognitum ab ed, curus latus ab datum sit. erat alterum quoque a d datum nasi datu latus,et rectangulum mensurentur . communi qua piam mensura uidelicet latus i mensura si
i u amari rectangulum ab eadem quadratat quod quaerimus fiet manifestsi, ex septisa decim primi libri de triangulis. Si uero se ad communem mensurum proportionem habuerint innumeris datam : sit communis mensura e , ad quam ab eam proportionem habeat, quam numerus f ad numerum g: rectangulum ac ad quadratam i uti e , quam h numerus ad numerum i . Sint autem primum
138쪽
primum utraque communi meusura minora: O producantur latera ab , ad ; ita ut sint aequalia ipsi e: compleaturi, quadratum a Jm. σι tem dc producatur usique ad V in n . Cum ergo i tus ab sit ad e, hoc es ad ah, sicut f numerus ad numerum s: eril restangulum ac ad re- i. v ctangulum an, ut fad s. ωιrsus cum rectangulum ac sit ad quadratum e , sicut b ad i: erito rectangulum ae ad quadratum a I sicut b ad i. Ducatur b in I: O productum sit o. ducatur item fmi; O producatur p: ex ipso autem g in ι ducto Mi q. Dico latus ad quaesitum ad e proportionem eam habere, quam numerus o ad numerum p. cum enim g duos numeros multiplicet b Oi: facti numera o O q eandem habebunt proportionem. quare ut h ad i, hoc tr. viti est ut rectangulum ac ad quadratum al, ita erit o ad q. Ryrsus cum i duos numeros multiplicet foeg: producti pq eandem proportionem habebunt . eigo ut f ad g, hoc est, ut restavgudum ac ad rediangulum an, ita p ad q: contrario, ut rectangulum an ad rectangulum ac , itaq ad p . ex aequali igitur rectangulum an ad rectangulum at erit, sicut o ad p. sed sicut rectan- x I. vi. gulum an ad rectangulum al, sic linea ad adam . quare ad adam, hoc e ad e eam propor i. vi tionem habet, quam o ad p. Si latus ab , O ac rectangulum: utraque maiora set commum mensura: abstiniantur 2 h-neis ipsis ab , ad tineae a , am, quae sint aequales in e: compleaturq; quadratum ahim: hi producatur usque ad c d in n. Si uero latus a bst minus e mensura ; O rectangulum a e maius quadrato eiusdem e produce mus ab , ut fiat
aequale ipsi e , quia sit a I Oab ip- a d abscindemus eidem aequalem a me
perficiemus quadratum a Im: item; UOde producemus;
niunt in puncton. Quid si latus absit maius Irsi e; O rectan
gulum quadrato e minus: ab imo
bimusq; quadratum ah mr in quo uero puncto
sam cd,sit n. Si denique lutus a b aequale sit ipsi e; O rectangulum ab c d maius, aut minus quadrato eiusdem, uel contra rectangulum dicto quadrato quale; latus ab Eo e , aut maius, aut minus: figuras describemus sicuti superius factum est; quae maiora sint communi mensura res cando, qua uero minora producendo ad eius aequalitatem. Dubtere; in Ommbus demonstrabis
139쪽
mus a d ad mensurum e eandem proportionem habere, quam numerus O ad numerum p; quod demonstrare uolebamus. ex quibus sequitur O Usum a d latus datum esse. O P E T I O. Numeris datarum proportionum decussatim multiplicatis: hoc est multiplicato antecedente prioris proportionis in consequentem posterioris, & contra consequente prioris in antecedentem posterioris , quam proportionem habuerit productum ex consequente prioris, & antecedente posterioris ad productum ex antecedente prioris , & consequente posterioris , eandem habebit latus quaesitum ad
Datarum inter se quantitatum inaequalium,&disserentia data erit. St T quantitates inter se datae, a b quidem maior , c uera minor; quarum differentia sit ae . dico hanc quoque datam esse. si enim . communi mensura mensurentur dura quantitates: nota fiet
140쪽
eurum differentia ex quarta prima de triangulis. Sur autem hae ad communem mensuram pro mtionem habeant in numeris datam esit illa mensura d; ad quam a bproportionem habeat,quam I merus adnumerum I: ct ad eandem d ipsa e proportionem habeat, quam numerus h ad i numeris. ducatur i in f Og; qui producuntur numeri, mi U, O n: ducatur item g iri h, O pr ductum sit mr postea uero m abi o hi dempto, reliquam si ho . habebit d erentia ac, quam quaerisu, ad communem mensuram d, eam proportionem, quam habet G adn. Quoniam γ n i duos numeros mulo. tiplicat fog: erunt producti kl O n in eadem v met proportione. quare oab add, erit, ut V adn. Rursus quoniam Iduos numeras multiplicat bo a' ir prata Iti m O n prandi i α tionem eandem habebunt atque erit c add, ut ma a . z. fieri Hario d ad ca . o 3 1 - L e
ect autem e , ipse e aequa- clis, cum ad sit excessus, quo ab ipsum e excedit; Oeadem ratione o ι es aequalis ipsi m. quare ab ad e b proportionem habet eam , quam LI ad ol: idendo a e ad eb , quam O ad Ol. sita eb aequalis ipsi e ad de', sicut ut aequalis iram ad n . ex aequali igitur erit ae excessus ad communem mensuram, sicut ho ad n: quod ir- Irare uolebamus. proportio autem G ad n nota cum sit, est ipsim ae quantitatem notam .iciu ; quae ad communem mensuram proportionem habet in numeris datam.
o P E T I O. Numeris datarum proportionum multiplicatis , antecedente scilicet prioris proportionis in consequentem Posterioris, & antecedente posterioris inconsequentem prioris e consequente unius in consequentem alterius, productoq; ex consequente prioris ,& antecedente posterioris subtracto ab eo, quod factum est ex antecedente prioris, & consequente posterioris, quam proportionem habuerit id, quod post subtractionem remanserit ad id , quod productum est ex duobus comequentibus, eandem habebit differentia quaesita ad communem mensuram.
tu Lx datis intersequantitatibus compositum datum erit. SI datae'quantitates 4 commum mensurentur mensura: caris compositum datum erit, per προtiam primi de triangulis. sim minus , t , ut in Masuperius descripta ab O c, quae ad com nem mensuram d proportionem habeant secundum eqs nκmeros datam. Dico compositum ex ipsis datum esse . nam numeris itidem multiplicatis , atque ηs, qui ab cis producunturAJositis, compostumisum ad communem mensuram, eandem habebit proportionem, quum compositum G hJO m adn. Quomam erum ab ad e est sicut hi ad m: erit coniungendo compositum ex ab O cad e, sicut compositum ex U O m ad m . s autem O cad d, sicut madn. quare ex aequali compositum ex a b O e ad d erit sicut compositum ex U O m ad ipsum ne oe propterea datum erit, tumia cummunem mensuram proportionem habeat innumerit datam. OPE TIO.