장음표시 사용
141쪽
Numeris datarum proportionum modo superius dicio multiplicatis,&produ.ctis ex antecedentibus unius, & consequentibus alterius simul iunctis, quam proportionem habuerit compositum ipsum ad id, quod factum est cxductu consequentium inter sese, eam habere dicemus compositum ex ab N c, quod quaerimus, add communem mensuram . si ''. . um ir' -x Q.:ὶ ii ii ita b4 3 q Δ '. r Avae t
Datarum inter se quantitatem proportio quoque data erit . SI data quantitates messuiatura communι quadam mensura: earum proportio iam data erit: habebunt enim inter sese proportionem eandem, quam numeri, secundum quos mensuranin. Quod si ad communem mensuram proportionem habeant in numeris datum: dabitur tunc quoque
L. ilia . . . . . v. . I. . di 1 2 ut
surae tabcat autem a ad cproportionem eam, quam numerus dad numerum ero b ad eandem e habeat eam, quam numeras sed ipsum I. Ducatur d ingro' produetum sit 3. ducatur deinde e in f O pr ducatur h. postremo et o in I ducto, fiat I. Et quo
mam I duos numeros multiplicat d O e prodiati hol eundem habebunt pro
rit, ut his L. I orsus quoniam e duos numeros multiplicat freg: erunt facti inde numeri ni in eau proportione . atque erit b ade , ut adl: O ὸ contreio e ad b, uti ad kbsederata ade .uth ad i. ergo exaequalia ad berit , ut bad 4 proportio autem had hiatii est, quia treminos habeat notos. data igitur erito proportio a ad b, ut oportebat. o P E T I O.
Numeris datarum proportionum decussatim multiplicatis, quam proportionum habuerit productum ex antecedente prioris,&consequente posterioris,'ia productum ex consequente prioris, de antecedente posterioris, eandem habere inuenietur quantitas a ad quantitatem b.
PROPOSITIO V I I I. Quadrati noti latus potentia tantum rationale habetis propinquu latus inuenire. SIT
142쪽
S IT quadratum eiusmodi a b cd: cuius oporteat latus propinquum inuenire .fumatur primo Padratum proxime manus, habens latus rationale longiturine, quod it fg: O ιtιm fumatur ad tum proxime maius ab i s producaturali 12; ex parte quidem 1 viue ad lincam hiis ι, Ram bcin m; ex parte uero g u que ad n; ita ut sit a n aequalis ipse Is : compliatur restam gulum n c. erit ι um 1id recIangulum aequale rectangula d f, hoc est ipsi 1 . quare totum n caequale eritgna mi bD. Si igitur rectangulo nc ad lineam ni apposito , it latus alterum lo: erit illud manus isto mc . nam quia n c res tangulum aequale est rectangulo n or habebit latus 1r m ad n leam proportιonem,qua loadmc. stamn munus es ipso n laetio igitur ipse m c minus eritiem Jumpta a paequali ipsi h o, describatur quadratum apq r. quod cum satis propinquum sit quadrato ab eddi est eius latus a ρ lateri ab propin 'um comperietur. Quantam enim quadratum ab ediatum est eo ae Idatum: datus quoque erit gnomon b fd , ex quinta propblitione praemissorum; hoc es restangulum n c; hoc est inum no . curus latus u l cum datum sit sexta praemissarum; constat namiue ex duplo lateris ae, inaeh datis O alterum latusto dabitur,ex quarta earundem:'idcirco tota bo ; hoc est aρ .Ruersus proi Ia rq; ex parte quidem qado tua siccet bcin s; ex altera autem ad t ut sint qr,rt aequales inter se, compleatur rectangulum t c: quod similiter erit aequale Inooni bqd: aπγβtoq; Us t c re Iangulo adto, erit O latus alterum ou, minus latere se. sumatur item ipsi h u aequalis ax: O describatur quadratum a xy . accedet id propiniuius ad quadratum ab cd: σlatus a X ad latus ab; cuius quidem quantitas eadem, qua Dp rius usi sumus ratione, nota fiet. R.yrsus si in liter faciemus, si propinquius adhuc latus inuenire uoluerimus . erit tamen illudfemper minus latere propositι quadrati. Exempluratia, contineat quadratum ab c d uiginti pedes . continebit proxime minus quadratum a eis pedes sexd
ritq; latus a c pedum quatuor: O ab quinque . itaque demptis sexdecim ex uiginti, res quentur quatuor totidem
pedum erit gnomon bra, hoc est rectangulum n c. quod quodem si apponatur ad ni, quae est pedxm nouem: prodibit lo
nius pedis . quare tota b o, hoc
O quatuor nonas. Quadratum ergo apq r continebit pe
rit ad lineam to, sue habet pedes 9 : erit ou iri: O bu tota, hoc est ax Ah.
cessus, quo propositum quassatum, quadratum proxime minus excedit, per duplum ipsius lateris una cum eo , quo latus proxime maioris quadrati dictum latus excedit: liabebimus m satis propinquum latus propositi quadrati. Quod si ad hoc rurd sum
143쪽
sum addemus , quod fit ex diuisione eius, quo propositum quadratum excedit quadratum illius propinqui lateris, per duplum eiusdem, una cum eo, quo proxime maioris quadrati latus idem ipsum excedit ; erit latus illud multo magis propinquum;& ita si placuerit, ulterius procedendum erit, cuius exemplum patet ex ante dictis. A LITE R, Sumatur similare quadratum proxime minus, ut in superiori figura aest: producatur fla; ex parte quidem 1 dimeam bc in b; ex parte autem g ad ιr ita ut g i sit aequalis ipsi g compleatur rectangulum i c. erit ι e aequale gnomona bs d. Quare si illud inum apposuerimus ad Meam is, ut sit restangulum th: erit alterum latus f h, maius latere h c, ut superaus est demonstratum: O idcirco e maior ipsa bc: hoc est ipsa ab. sumatur al, ipsi e his quasim σdescribatur quadratum a i m n. quod quanquam superat quadratum a b c d , In mone i c ne est tamen ei satis propinquum. O latus a I propinquum lateri a b notum fiet. 2, ams. praemis cum data sint utraque quadrata abcd, a eis: O eorum disserentia dabitur, hoc est gnomon b fcuum. d, lisc es in angulum te . quo qu dem apposito ad lineam datam is, duplam scilicet ipsius ario
uiri,. alterum latus f datum erit . quare est tota e hoc est a l: atque ipsius quadratum a Imn. Rujus cra. producatur dc; ex parte c ad q, quae secet lineam lm in O: ita ut sit o qp aquatis ipsi eo ex parte uero d producatur ad p; usique adeo ut dpaequatis fati Ese dc . erit ergo pq aequalis duplo latens quadratι almn : completum resIangulum p m aequale gnomoni lcn: eoq; rursus apposito ad lineam pi , alterum latus qr minus erit latere om . resecetur inde itineaal ipsa is aequalis lineae qrr erit is minor ibi quoniam tb, om inter stsunt aequales . reliqua igitur a s maiores ipsa ab. Et cum quadratum almn datum sit : O excessus, quo excessit lisum ab c d dabitur, hoc estv moa lcm hoc es resiangulum p m. Gq, datum latus pq: O latus alterum
datur qr, hoc est i s. quare γ a s. Describatur myuper quadratum a s tu: quodsuperabit quadratu ab ed gnomone Du: ct accedet ad ipsum magis,ctiatus a s magis accedet ad latus a b. secet autem c q latus f tin x: O sumatur xy aequatis in e x: compleaturq; restangulum p t aequale gnomoni s cu. quo post modum apposito ad lineam pyda sit alterum latus 3 , erit eadem ratione Ogsum 3ζ nutum; Cr minus latere X t. sumpta denique . aequali ipsi I x, atque ea sullata a linea as, relinquetura . latus m to magis propinquum lateriab. O eodem modo procedemus quoad libuerit. ex quibus arparet latus hoc pacto inue tum siemper murus se latere propositi quadrati. Et ut meodem exemplo persistamus , Cum quadratum a b c d contineat pedes uaginti, O quadratum a ela sexdecim: contine
quod quidem si apposuerimus ad laneum i f, duplum scit
cet lateris a e; erit alterum latus pedis dimidium, O ai quatuor pedes O stmis; culus quadratum almn pedes uiginti O quarta unius pedis. Inomon Citur icn, Me Ur
144쪽
sus , quo dictum quadratum aqnadrato proposito exceditur, per duplum eiusdem lateris: eritq, latus illud propinquum primo inuentum . A quo si abstitierimus, quod prouenit ex diuisione eius, quo nuper inuenti lateris quadratum, quadratum propositum excedit, per duplum eius lateris: relinquetur latus magis propinquum . Quod si ab eo rursus abstulerimus, quod prouenit ex diuisione excessus , quo quadratum lateris postremo inuenti, excedit propositum quadratum, per duplum lateris ipsius trelinquetur latus adhuc magis propinquum: & ita deinceps in caeteris, exemplum colligitur ex iis, quae proxime diei, sunt. Ipsa uero ec ad ci proportionem habet eam, quam z6 ad 333.J Ipsa uero ec ad ces maiorem proportione habet, quam 263 ad is s. Ita legendum eis, o corrigendus gra
et sit rodi 27: erui a ec maior, quam 26s . quare ad c f proportione maiorem habebit, quam 263 ad is 3. Adaeqvidi sequeretur conclusio ea , qMe inferius ponitur . Videlicet et ad eg minorem habere proportioncm, quam 37 I ad Iss.
Quare egia g cieam potestate proportionem habet, quam 3 9 so ad 23 ou: Elongi tudine uero eam, quam 391 I ad is s. J Et hoc loco, ut opinor, corrigendus es gym
eus codex, o Ita uertendum . .
Quare e g ad ge potestate maiorem habet proportionem, quam 3 9 so ad 13 9; longitudine uero maiorem, quam 39i I ad I 33 . Cum enim e e ad cI mat rem proportionem habeat, quam 3 7t ad I 3; quod iam demonstratum est: sitq; ipsa cI aues r
tem cI est 23 9. quare es quadratum, quod est quale duobus quadratis ec, cI maius erit, penuti. quam 3 o: ipsius latus maius, qiam 39t:. Ex quibus sequitur e gad ge potestate maiorem habere proportioncm, quam 3494 o ad 2s 9, longitudine uero maiorem , quam
39i: ad I 3. Quare he ad lic maiorem habet, quam It di: ad is 3. J Ect enim e e maior, quam Gri 61;, ut monstratum est . quare quadratum ipsius maius, quam is os 3 g . cir cum quadratum he sit 13 os: erit. b e quadratum, quod est aequale duobus ilias quadratis, ius, quamis 333 sq: .. eius latus be maius, quam II 2 . habet ergo be ad hc proportiouem mar rem , quam D 72: ad is 3. Secetur item hec angulus bifariam ducta eli. Habet e e ad ch proportionem umaiorem, quam is sint i s . J Quoniam ut utraque he, ec ad he , ita et ad ch: Gautemh e maior, quim It 7 2:: O e e maior, quam ri 61 ., ut ostensum est: habebit ec ad ch. pr portionem maiorem, quam 2s sq: ad is s. Ipsa uero ac ad c g minorem habet, quam 3 o II: ad 78o. J Cum ag ad se min prem proportionem habeat, quam 29il ad 78o, posita ge 78o: erit ag minor, quam 29 II. quare quadratum cius minus . quam 8 7s92 I. est autem quadratum g ι 6o8 o. quadratum igitur ac, quod est aequale d abus quadratis a g, g c minus erit, quam so 8232i: O ipsa a e minor, quam Io III. ex quibus constat a c ad c g minorem habere proportionem , quam
Rursus secetur bifariam angulus e a g ducta a h. habet eadem ratione a li ad li me minorem proportionem, quam 392q. ad 78o, uel quam I 8 is ad 2 o. J Nam ex septima praemissarum s 92 ad 78o eandem proportionem habent, quam 23 699 ad 31 2o,
hoc est eandem, quam I 823 ad 24o; utraque enim xtriusque est pars tertia decima. Quod sibe ponatur 2 o: erit ab minor, quam i823; quadratum eius minus , qtiam 3 3233 29. est autem he quadratum 376oo. utraque igitur quadrata ab , bc minora sunt, quam 3 s 8oy29: cre propterea quadratum ae , quod istis ipsis est aequale , minus quEm s 38o919. Ita huius latus minus est, quam 18s8 A. ergo i a ac, multo minor erit, quam 1838tar ad ch - -
145쪽
rem halebit proportionem , quam I 838 rt ad 2 M. Secetur item bisariam angulus hac, ducta k a. ergo & ipsa E a ad k e minorem habet proportionem, quam 366i i i ad 2qo, uel quam Ioo 7 ad 663 . J Quam enim proportioncim 366igi habent ad 1 o, eandem tabent , ex septima iam dicta , orgo ad 26 o; Meest ioo 7 ad 66: utraque enim utriusique est pars quadragesima. posita igitur L c 66, erit irsa ha minor, quam Ioor: ct eius quadrarum minus, quam Ioi o 9, est autem xc quadratum εἶ 3 6. quare quadratum a e , quod est squale duobus quadratis ah, c minus est, quam Io I 8 os . At uero latus quadrati Ioi8w minus est, quam Ioos . Ipsa igitur ac multa minor est, quam iocisti: idcirco ad c minorem proportionem habet, quam Ioos ad 66.
IN LIBRvM DE LINEIS SPIRALIBUS.
RI M v M problema erat. Sphaera data spatium planum inuenire, quod superficiei sphaerae esset aequale. quod quidem priamum a nobis cxplicatum est in libro , quem de sphaera edidiamus , cum enim demonstratum sit, unius cuiusque sphaerae superficiem quadruplam esse maximi circuli &e.J Demonstratum es hoc in lib. primo delphaera, et cylindra, propositione trigesima prima. Dato cono , vel cylindro sphaeram inuenire ipsi cono, uel cylindro aequalem. J.Resoluitur, componituri; huismodi problema libro fecundo de sthaera lindra ,propositume prima. Datam sphaeram plano ita secare, ut portiones eius inter se datam habeant proportionem . J Librosecundo, propositione quarta. Datam spharam plano ita secare, ut portiones superficiei eius datam habeant proportionem. J Tropositione metur eiusdem secund libra. Datam sphaerae portionem, portioni sphaerae datae similem facere. J Propositione
Datis duabus siue eiusdem , siue non eiusdem sphaerae portionibus , inuenire portionem sphaerae&c. J Propositione stata. Α data sphaera portionem plano ita abscindere, ut portio ad conum, cuius basis sit eadem portioni, & altitudo aequalis, datam proportionem habeat, qua quidem maior sit ea, quam habent tria ad duo. J Propositione septima. ubi autem in graeco codiace habetur ι - ζονα, expungendum es illud M. Sphaerae nanque maior portio ad minorem, minorem quidem proportionem habet, quam sit dupla illius Sec. J Propositione octaua. Demonstratum enim est, dimidiam sphaeram, maximam esse omnium siphaerae portionum, quae aequali superficie contineantur. J Propositione nona, O ultima. Figura a sectione coni rectanguli descriyta cono ides uocetur. J In libro de cono dibus , O sthaeroid bus figuram descriptam i coni rectata sectione, comitis rectangulum appellat Archimedes: comides uero obtusiangulum eam , quae describitina sectione conoidis obtusianguli. hoc tamen loco quia de re tanguli com sectione tantum firmo est : conrides pliciter appellauit. Quod si dicta figura secetur plano ad rectos angulos super axem ducto: sectionem eius circulum esse manifestum est.J Hoc nos uni se demonstrabimus contingere in omni condide, O sphaeroide , ex us, qua bemus in duodecimam libri de conridibus. Osphaeroidibus. Portionem uero abscissam sesquialteram esse coni basim habentis eandem portioni, & aequalem altitudinem, hoc demonstrare oportet. J Demonstrauit in libro de co-noidibus, ct sphaeroidibus, propositione vigesimaterna. - . Et siccinoidis duae portiones abscindantur planis quomodocunque ductis, se-
'ctiones quidem esse conorum acutiangulorum sectiones perspicuum est. J Colligitur id ex
146쪽
di. cOMME 2 T-' I V s. id ex derem tertia liride conordebus, O hybarondibus. Sed portiones habere inter se proportionem eandem, quam habent potestate li- Oneae ab earum uerticibus usque ad abscindentia plana aequi distantes axi ductae &c.J Demonstrauit autem vigesima ferta propositione eiusdem. Dico iam spatium contentum linea spirali. S recta in pristinum locum restitu- Pta,&c. Huius demonstratio habetur uigesima quarta propositione huius. . Si lineam spiralem recta linea contigerat in ultimo ipsius spiralis termino. J In decimoctaua huius. Si linea circunducta, punctumq; in ea latum pluribus circulationibus circumse- 'rantur, de . J In vigesima septima . . . Si in linea spirali in una circulatione descripta duo puncta sumantur, &c. J In Suigesima octaua , multima.
Et sumo in his quoque ea, quae in aliis libris sumpta fuere ,&c. J In libris scilicet Tia θbria, cylindri, , O mi bis de quadratura paraboles. I 2 P R o P O S I T.I O M I. Patet igitur eandem habere proportionem c d ad ipsam d e, quam tempus fg ad Atempus gh. J Ex dissiniti e sexta quinti libri elementorum. I PROPOSITIO 2 .E M I I. Manifestum est igitur eandem habere proportionem c d ad .de, quam habet fg Aadgli. J Ex undecima propositi equinti elementorum . . I PROPOSITIOREM III. Circumsicripta enim circa unumquemque circulorum figura multiangula, perspi iaccuum est lineam ex omnibus earum lateribus compositam ,&c. J Ex s. piae in principio libri de sphaerae r Olindro truduntur . . 'I P RO P O S I T I O RE M IIII. Diuisa ete- Anim recta li - t ' - - - nea in tot partes &c. J Sit i-irecta tinea ab , quae excedat cim o fcumferentiam e t idi O sit excessus livea es c
tem es ipsa sibi ipsi eousque,quo a
b diuidatur ire ab in totidem partes aquales , quot sunt in linea gb , aequales ipsi emsui: manifestum est, ut i s. ab ad gh, ita esse partem linea a b ad partem ipsius 3 h. quare pars lineae ab nores parte Abscκm absitposita minori a Ih. sublata autem una ipsius parte d linea a b, relinqin turtinea minor IqMdem, quam ab , maior uero, quam circumferentia cd; quoniam sublata linea mmor est excessuef. Quod si circumferentia c d excedat laneum rectam ab , excessu es: rursus eadem omnia fiant, cuti
147쪽
3. quinti. x8. tertii . s. pruni. . sexti.
exti prius: erunt partes lineae a b ,partibus I b minores. quare si adiecerimus linea a b unam ipsius partem: siet linea maior quidem, quam ab; mmor uero , quam circumfercntia cd; cum id, quod adiectam est munussit, quam excessus es.
Itaque sumi potest recta linea malor data circumserentiaJ Si en circa datum ti cum ierentiam multorώ angulorum figura circumseribatur: erit eius ambitus circumferentia maior quod etiam constat ex 's, quae in principis libri de sybaera, O cylindro habentur. Eandem ergo proportionem habet ii fad h k,quam b had h g. J Nam triangulabbs, hIsimilia sunt; cum anguli ad buret item sint aequales: angulus autem ad faequalis angulo ad , O qui ad bet,qMadg. quare Ioad h b eandem habet proportionem, quam L ad hge per mlando fh ad h heandem , quam bhad hg. Quare fit ad li h minorem habet, quam b.h circumferentia ad datam circumferentiam.J Nam recta linea b cum sit minor, quam b b circumferentia, habet adhg minorem proportionem, quam circumfer ria b had datam circumserentiam, quae posita es etiam minor ipsa bs. erat autem fbad b , hoc est adsemidiametrum, ut b had bg. quare sequitur persecundam partem duodecima Petrai ex traditione Campani , sese diametrum minorem habere proportionem, quam circumferentia bb ad datam circumferentiam.
Erunt triangula c hv, c k l, similia. J Angulus enim ch unius est aequalis angulo cI alte ius, utrisq; re Iis exi flentibus: angulus uero b ch angulo e t est aequalis. reliquus Igitur arandus. reliquo angulo est aequalis: O triangulum triangulo simile. uuam ergo proportionem habet e badh k, eam habet he adcf. sed expositione fad I Onorem proportioncm habet, quam eb ad h kr Iuare per duodecimam quinti ex traditione campani, fias minorem habet proportioncm, quam Quam uero proportionem habet sad n habeat v c ad maiorem ipsa c l .I Cum adgminorem habeatp portiorum, quam cadcl: s fiat ut fadg, ita he ad aliam lineam, qua 'bn:
erit bn maior ipsa e l. Et ponatur bn inter circumserentiam,& rectam lineam, ut traseat per c . ita enim secari poterit, & cadet extra, cum ipsa sit maior, quam cl.J Poterit enim unca bnquantulocumque maior fuerit ipsael, ita aptari, ut per c transiens circverentiam fecet in bpuncto. cacti autem extra necessario. namsi intra caderet ; aut in ipsam e I: altera eius extremitas circulum non
secaret: quod est contra positionem. Quoniam igitur b h ad bn eandem habet proportionem quam sad g. J Est enim obsimilitudinem triangulorum hin, ebri ut b adbn,sic beadbe ruare ta posuerimus he, uel ei aequalem b ad bn eam habere proportionem, quam habet fadg: habebit et ebadbc eadem,quam sadg. I PROPOSITIOREM V I I. Maior igitur erit ea, quam habet Icad cl. Job similitudinem triangulorum ch , he ι, ut fuerius diectum es, eandem habet proportionem kc ad el, quam ch ad b L. quare fad g min rem habet, quam hic ad ei, ex duodecima quinti. Quam gero proportionem habet f ad g, eam habebit hc ad minorem ipsa cl. habeat ad i n &c. Ex octava quinti. Potest enim ita secari,& cadet intra lineam c I. J Rursus poterit linea in quantulocumque minor ipsa ct ita constitui, ut tendat ad punctum c: sitq; totius lineae en pars e i mira circulum, pars vero i n extra. cadet autem intra tineam cir alioqui circulum ipsum non secaret, ut ponitur,
Quoniam igitur eandem habet proportionem kc ad in , quam f ad g. J concluditur hoc ex quarti sextu, O undecima quinti, ut superius apparuit, Ditibus hoc loco erissent bus triangulti hi n, c t e.
148쪽
Maior ergo est linea xc ipsa cl. Er octava quinti. ADescribatur circuli circumferentia circa puncta vix. Docet id quinta quarti . AEt quoniam maior est xc ipsa cle & lineae vc, xl secatat sese ad angulos rectos c fieri potest, ut ducatur linea i n, aequalis ipsi inc , quae tendat ad k.J Hoc ideo dixit Ar clamedes , quoniam si lonea Un secaret xl in parres aequales, nonposset iapraestari, quod uolumus cum alioquι possit, linea x l in partes inaequales dissecta, ut mox ostendemus. sed prius nonnulla
praemittere nec arium est. Si in circumferentia circuli aliquod sumatur punctum : ab eoq; in circulum ducantur rectae lineae; qua per centrum transit omnium erit maxima: aliarum uero, quae transeunti per centrum propinquiores sunt, remotioribus erunt maiores: duae a tem tantum aequales sunt ad utrasque partes maximae. Haec omnia satis patere possent ex iss , qua asseruntur ad demonstrationem Duma, O otia tert elementorum, sed tamen nequid desederetur, nos breuiter monstrare curabimus. SIT circulus abcd, cuius centrum e r in circumferentia i rus sumpto aliquo puncto a, ab eo m circulum ducantur rectae lineae ab , ac , ad , af sitq; ab per centrum duecta. dico ipsam esse omnium maximam: a c uero malorem esse, quam ad D ad maiorem, quam a L conme tantur ec ,ed, es. erunt triangus aec duo latera ae,ec maiora reliquo aer sed dicta duo latera inter se ita primi. Ita, sunt aequalia lineae ab . ergo linea ab est maiori via ac . O cadem ratione malor quιbuslibetes s in circulum ductis. Rufus trianguli aee o latera ae,ec sunt aequalia duobus lateribus ae, e d trianguli aede O angulusa e t maior est angulo aed. basis igitura e basi a d maior erit Non ilia ratione monstrabimus lineam adesse maiorem
ipsa af . O af ipsa Iubsequenter ita deinceps
m ceteris. Dico praeterea cuilibet ipsarum ac, ad , as unam tantum dari squalem ex altera parte ipsius ab . Itaque ad datam lineam ab , datumq; in ca punctum a , constituatur angulus bag qualis angulo b ac: O- ducta tinea es, quae es aequalis in ea: erit angulus ega aquatis angulo e agro pariter in triangulo aec angulus eca aequalis augulo ea c. angulus autem e a I facitus est aequalis anguis eata quare o angulus ad gangulo ad c erit
quatis: ct reliquus reliquo. basu igitur a I basi a c quatis erit. Solam autem a I aequalem ese ipsi a
sit ab . ergo eum duae tineae ag, ab sint eidem aequal : erunt quoque inter se aequales: quod fieri non potest; superius naia Pe moGratum est, propinquiores ipse a b maiores esse. Quodsi sit tit ag, ut a L: siequetur ag aequalem esse ipsi ale, maiorem minori: quod item fieri non potes . non ergo datur alia aequalis ipsi ac, praeter unam ag. Eodem quoque modo monstrabimus, o inuad. as unam tantum dari aequalem. His ita demonstratis , duo si linea h ni ad angulos rectos occurrens tinea x t , ipsim secet in partes aequales , era n n posse, ut a puncto k ad circu merentiam x mi alia linea ducatin, curus pars interiecta inter circumferentiam . O lineam xl sit aequalisi si em . si enim fieri possit, constituantur omnia , sicut d Ilum est: sitq; ea linea ho secans xl mp. erit igitur po aequalis ipsi e m .s quoniam in triangulo cp angulus ad c est rebus: si a Liy. ν imi. ρ maior erit tinea cc. ergo per commanem conceptionem, O linea kpo maior erit linea hem: quod est absurdum. na m tinea hc m, quae per centrum transit, monstrata est ommum ese mon ima. non igitur eo pacto duci potent linea alia, quae sit aequalis ipsi c m. t ursus dico, si m secet lineam xl in partes inaequalest idem illud, quod proponebatur , αἱ te praestari posse. Fiant omnia, ut ductum est, iam monstrabimus 2 puncto k ad circumferentiam dialis uncis, consituιρ e narem se a cm. O item maiorem . quare Oci aequalem constituere , nihil eru , quod prohibeat. constat
149쪽
e constat autem ipsam nunc Dn per centrum non transire: alioqui cum Iecet xl ad angulos rectos; . tertii. secaret quoque in partes aquales, quod non posuimus. Itaque ab eodem puncto k per centrumatia linea ducatur ho occurrens xl m p : ad
datam tineam O, datum; in ea punctum hesiat angulus aequalis angulo m ko; qui sit Oh q: fecet
autem linea la linea m xl in puncto re erit iam linea rq minor ipsa em: O po maior eadem rpateterum ex proxime demonstratis, lineam k qaequalem esse lineae h. n. sita cum in triangulo heriangulus ad e sit rectus: erit linea O maior i ah
c. quare relinquitur rq esse minorem ipsa em. Eadem ratione monstrabimus si a puncto k ducantur aliae lineae ad circumferentiam x q: earum partes inter circumferentiam, atque lineam xl comprehensas multo minores esci a cm. Iungantur 3 t .tertii. inde m o erit angulus On o in semicirculo rectus.18. prinu. quod cum etiam rectus sit O pr linea m o aequi-
, sexta. abstans erit lineae ep. quare ut L p ad ρ ο , sic hc ad c m. est autem U maior, quam xc, cum ant4.quinti. gulus ad c sit rectus. ergo O po maior erit, quam cis quod innstrare oportebat. similiter quoque monstrabimus, se a puncto k ad circumferentiam om aliae ducantur linea, octas partes esse
maiores ipsa em. Constat igitur scri posse, ut a
puncto ducatur linea ad circumferentiam x mi cuius pars inter ipsam , O lineam xl interiecta sit aequalis lineae e m, atque ipsam quidem cadere in aliquod punctum circumferentia ol.
D Et quod continetur lineis hi, in ad contentum ipsis k ici eandem habet, quam
in ad cl. J Addendu haec sunt in graeco coice , τον άυτον ἔχει λόγον , D ά Ο πνὸς γλ. E Quare S in ad ci est, ut x i ad k e. JQuoniam enim rectangulum contentu lineis x i, i l ad , iis ι consentum he, i l eam habet proportionem, quam linea x i ad lineam he: O contentum lineis 3s- xxii, hi, i n ad contentum hi, e I habet eam, quam tinea i n adtineam e l: contentum autem xi, ilaequale est contento V, i n; contentum k e, i I aequale contento k i, e I, ut monstrabitur: erit tinea i n, uel c m, ipse aequalis ad c l, ut x i ad Le. Sunt enim triangula hi I, e i e aequia angula, ut patet; nam angulus ad i communis utrisque ess, linea autem L l aequidistat lineae e t. st quinti. quare ut o ad i I, sic e i ad i e , O reliqua he ad rei quam e l erit,us hi ad i l. rectangulo . sexti. gulum igitur contentum lineis ke, i l aequale erit contento lineis hi, c l. F Et propterea e m ad c I, & x e ad k c, & ad k b est , ut x i ad k e: & reliqua i cad b e,& c. J Contentum enim lineis me, e Orectangulum aequale es contento ipsis I c, c x ri 6. sexti. O proptem ea e m ad c t es, ut x c ad k c, uel ad k b aequalem ipsi h e. erat autem c m ad ei, ii quinta. ut x i ad L e. ergo x e ad his erit, ut x i ad he: O reliqua ι c ad b e reliquam, ut xe ad h 9 qu Π b , uel ad he . sed x e ad e Leandem habet proportionem, quam g ad L ut possimus 3 c adb e eandem habebit, Pam g ad ID O conuertendo be ad ic eandem, quam sad g.
A Quoniam igitur x c minor est c l: & ipsae k m, x c secant sese ad angulos rectos: poterit duci linea i n aequalis lineae c m, quae tendat ad h. J Hoc patet feri posse ex is, quae superius demon'rata sunt. B Et contento I i, k e aequale contentum hi, c l. propterea quod est, ut he ad l
150쪽
c, ita k i ad I i.J Inee ita legenda sunt, Ograecus codex corrigendus. Nam cum triangula hi I, ei e sint aeguiangulae erit kι ad ιl, ut e i ad i e: er permutando hi ad i e, ut i i a t i er . componendo he ad i e, ut te ad i c; rursus permutando he ad t c, ut i e ad ic. quare reliqua hi ad reliquam l i, ut he adi c. rediangulum igitur contentum uncis hi, D aequale est ei, quod continetur lineis lι e . Erit &ut xi ad k e , ita rectangulum lineis k i, i n contentum , ad contentum
ipsis hi, cl. &c.J Cum enim Curaum dim em rectangulum contentum lineis X ι, ιl ad contentum ipsis i i , he eam habeat proportioncm, quam linea x ι ad ke: contentum autem U, in ad conteutum hi , c t eundem habeat, quam contentum x i, i l ad contentum i i , he e nanque est primum nectangulum aequale tertio, o secundum quarto, ut monstrauimus: si tur, ut quam proportionem habet tinea x i ad he , eam habeat contentum O, i n ad contentum hi, cl. comtentum autem k i, i n ad contentum hi, c t eam habet, quam linea n i ad e l. quare ut vi ad e , ita n i, uel ei aequalis cm ad e l. sed ut em ad el, ita x e ad he, uel ad kb ipsi he aequalem: quoniam rectangulum k cm, est aequale restangulo lex. ut igitur x ι ad he,ita xe ad hI: O reliqua i c ad reliquum b e , ut x ι ad he, O ut xc ad eb, uel ad he, ei aequalem. Erat autem g ad L ut x e ad he. quare i e ad b e eandem habet proportionem , quamgad ID Ocmneuendo be adi c eandem, quam s ad g.
Est enim quadratum bi aequale quadratis i , b,&duobus, quae b i continentur, rectangulis. J Hoc manifestum est ex quarta secundi elementoris, et alia erusmodi, quae sequuntur. Quadrata igitur a b c d e fg h: & quadrata i h l ira n o una cum quadrato a dupla
sunt quadratorum ab c defgh.J P aminantecedentibus bis sumuntur quadrata singularum linearum .sumitur enim bis quadratum a. O quadratum b bis; quod quadratum o si aequale ipsi br er eodem modo quadratum c; quod x sit aequale ipsi cet O ita in rcliquis. sunt enim quadrata noe d aequalia ; item in Oe: l O ID . Iri Ob, cum lineae ipsae positae t aequales. Quod autem reliquum est, ostendemus uidelicet dupla eorum, quae partibus uniuscuiusque lineae aequalis ipsi a continentur, una cum eo, quod continetur ii linea, & linea aequali omnibus abcdefgh aequalia esse quadratis abcdefgh. Sc.JOstensum antea es quadrata linearum bi, ex , di, em, fu, Ix, ho esse aequalia las omni bus , uidelicet quadratis partium uniuscuiusique lineae , duplis rectangulorum, quae illis partibus continentur. Et praeterea Wlensum est, quadrata ab ede Ib; O quadrata i t m n x o, una cum quadrato a esse dupla quadratorum ab edela b. Quare si deinceps ostenderinius reliqua, hoc est dupla rectangulorura, quae continentur partibus unis1 cuiusque livrae aequalis ipsi a , una cum m-diangulo contento linea h, O hneu aequali omnibus a b c d e fgh, esse aequalia usdem quadratis ab e de rab: quod uolumus, erit plenissime demonstratum . nanque omnia antecedentia, quae quidem sunt aequalia quadratis linearum omnium, hoce i ipses a , reliquarum ei aequalium, una cum quadrato a , creo , quia continetur b, O tinea aequali omnibus a b c d e si h , consequemtium, hoc est quadratorum ab c de fib tripla erunt. Quoniam enim duo, quae lineis b i continentur, aequalia sunt duobus contentisb h. J Hoc est rectangulo contento b, o dupla ipsius b, ex prima sexti. Et duo, quae continentur h c aequalia sunt contento h ,&quadrupla ipsius c, quiali est dupla ipsius hJ cum sit dupla ipsius bd sumaturalia linea inius e dupla, quaesit p. habebit b ad L eandem proportionem, quam c ad p. quare rectangulum contentum h p aequale erat contento her o duplum rectangui h p aequale duplo rectanguli he. sed duplum rectanguli h p est aequale ei, quod contineturb , o dupla inius p , hoc es quadrupla ipsius c. duplum igitur re tanguli he est aequale contento b , O quadrupla ipsius e. Et eadem ratione duplum rectangulit d aequale monstrabitur contento b, Osrecupla inius due quid i tripla sit ipsius h: et ita in reliquis. Omnia rectangula una cum eo, quod continetur linea h, & linea aequali omnibus ab c d e fgh , aequalia erunt contento linea h,& linea aequali his omnibus uidelicet ipsi a , 3e triplaeb,&c. J Omniascilicet rectangula consequentia , de quilus ultimo loco it tam est, hoc est resiangulum contentum linea b, ct dupla initis b: contentum b, O quadrnpia ce contentum b Osex cupla d: contentum b, ompla e: contentum h O decupla s: contentum b, cre duodecupla