장음표시 사용
151쪽
duodecupla It contentum b , O quaterdecupla eiusdem: ct contentum b O linea aequali omnibus i. stati. abc de lab. IIaec inquam 9 omnia sunt aequalia rectangulo contento tinea b , O linea aequali his omnibus; tineaescilicet a, triplae b, quincupla c, septupla d, nonupla e , undecupla I , tred cupia g, o quindecupla h; nam altitudinem habent eandem lineum b, basis uero omne sum basi aequales. Quare omnia antecedentia, hoc est dupla rectangulorumpartibus uniuscuiusique lineae aequalis ipsia contentorum, a cum αἱ langulo contento b cir tinea aequali omnibus abcdefg hilisti um rectangulo iam drctoaequalia .sed eidem aequalia sunt quadrata ab e delab, ut mox ostende tur . antecedentia igitur omnia aquatia sum quadratis abcdefgh. G Nam quadratum a est aequale contento h linea ,& linea aequali his omnibus uidelicet ipfi a, di reliquis, quarum unaquaeque est aequalis ipsi a. J Tres nanque lineae h, a, ir. stiti. O composita ex a ceteris ei aequalibus, sunt proportionales. quare quadratum a est aequale r Batauo contento haea b, Olinea composta tam iucta. hoc autem rectangulum aequale es ei. νιηd. continetur linea h, O linea composita ex his omnibus; uidelicet tinea a, dupla linearum be de
fgh: quod lineae aequales a , dempta ipsa a , duplae sunt linearum be defgh. est erum o posita qualis ipsi brox ipse eroen,d: m,e: Ol, DO LI: Oi ,h . Quadratum iertur a aequa. te est resIangulo contento tinea h, O llaea composita ex a, O dupla linearum bt deth. Rumsus quoniam proportionales sunt tres linea h, b , O composita ex b O reliquis ipsi b aequalibus; hoc es composita ex b , O dupla reliquarum c defgh: erit quadratum b aequale contento linea rio composita ex b, O dupla ipsarum c de lab .er eodem modo in ceteris ratiocinatι, tandem colligemus rectangula omnia, quae sunt aqualia quadratis abcdefgh esse quoque aequalia unir . Erangulo contento linea h, Er aequali his omnibus ini a , tripla b , quincupla e,septuplaed, nonupta e , undecupla L tredecupla I, O quindemne h. uuare quadrata ab ede fgh eidem illimctangulo aequalia esse, nemo sane dubitare poterit: quod unum restabat ossundendum. ti Ex quibus colligitur, quadrata omnia linearum aequalium maximae &c. J Hoepst quadrata linearum a , bi , ch di, em, D,gx, O ho minora sunt, quam tripla quadratorum Labedela b. demptis enim ex illis, 'uae horum tripla sunt; quadrato scilicet a, O rectangulo contento linea b, O linea aquati omnibus abcdefgh, reliqua minora erunt, quam tripla tam
I Reliquorum autem dempto maximae quadrato, maiora, quam tripla. J Quadrarum enim a , O rectangulum contentum linea h Er aequali ipsis ab delab, quae quidem ex antecedentibus demuntur; minora sunt, quam tripla quadrati a , quod ex consequentibus demptum est, quippe cum rectangulum rictum nussit quadrato ipsius a, ut superius est demon'atum. x Et propterea si similes figurae describantur ab omnibus&c. J Constat hoc cors Llario mesimaestati,graecus autem codex ita corrigendus . -ώδεα ἀπὸ τῶν ἔπι τἀμιγμα, τῶν ἐν
Quare&omnia quadrata linearum od, ps, rh, Sh, tm,yx ad omnia contenta linea n x&c. J Ex duodecima quinti. e Itaque contentum linea n x,&aequali Omnibus od, ps, rh, sh, tm,yx. J Concluditur hoc ex prima sexti . nam tertiae partes quadratorum Oq,ρῆr 9,sλ , ιμ, Π, communes utrisque sunt , racta ultimuero consentum n x , O linea quati omnibus od, p f,rb, scim, x cum altitudinem habeat lineam nx, basimucro aequalem his omnibus , aequale erit quadratis linearum qd, L9h,λιι m,nx; O rectangulo uius altitudo n x, basu uero linea aequalis omnibus o q, pq,r9, λ,t i ,3n: altitudo enim utrobique cade est, bases vero omnes uni basi squales.c Quadr/ta uero a b, cd, e f, gh, ik, im aequalia sunt quadratis bu,qd, etf, fili, seeundi λk,9m ,&c. J Nam quadratum a b aequale est quadratis bu, an, duplo eius, quod conti
se n. netur b u, a u, hoc est ei, quod continetur bu in dupla a u ro eodem modo quadratum c d aequa- te est 1uadratis qd, cq; O contento .d O dupla eq. γ ita in reliquis. quare omnia antecedentia omnibus consequentibus aequalia sunt, ut proponitur.
D Communia igitur utrisque sunt quadrata linearum aequalium ipsi nx: contentu aute linea n x,& aequali omnibus o q,p χ, P r, λs, V t, y n minus est contento bu&c.JMonstrauitprimum Archimedes spatia haec omnia, uidelicet rectangulum contentum Enea rix, o
152쪽
gulo contento bu ,σlinea composita ex dupla a u , cq ,e , Is , in , t q. Vocinetur autem prima omnia , ut breuitati congulamus, statia A ,frenuda B, tertia C , quarta D . erunt ergo statia Astat 1s B aequalia. latia uero C aequalia statra D. Aggreditur nunc monstrare spatia B minora ese stat ijs D , ut ex hoc postea inferat statua quoque A stati se C esse minora. Illud uero sic Urabitur. Nam quadrata qd , f, 9 b, 2. ., Μ m ,nx sunt aequalia quadratis bu , qd , υ,
s b, 2xh qm; cum totidem utrobique set quadrata ex Udem , uel aequalibus lineis orta: reclamgulum uero contentum linea n x, o aequati omnibus sq,p ,r 9, λ s , t η ,3 n minus est recta gula contento linea bu, O linea aequali duplo harum omnium au , cq ,eat,g9 ,iλ, IR, quod cruplum harum linearum excedat lineas o q, pr ,r 9 λ, iq ,3n , excessu lineae a u. est enim duplum linearum c q, e I9, i 'L, IV aequale lineis o q, pr , r 9, s λ, iq; O lino au aequalis linei 3 n. quare rebangulum consiquens cum assumat in basi duplum ipsius lineae a vi excessit antecedens syatio contento lineis a u , bu . Praeterea tertia pars quadratorum sq, p ,r 9, 1λ , tu, n est etiam minor quadratis au , cq ,ex,gs , ι λ,l R ; ex eo, quod in superiori propositi ne ab Archimede monstratum est, nempe quadrata tinearum aquatium maxima minora seMuam tripla quadratorum linearum sese aequutiter excedentium. constat igitur stati a B minora esse 'at 19 D: idcirco statia A status C minora erunt. graecus autem codex ita restituendus est.
i λ, ιη . id, quod apparet manifesissime ex quarta secundi. Sed dicantur causa breuitatu statia illa F, haec autem statia F. Sun tq; communia quadrata q d, E f, 9 h, λ k, Μ m,n x; & contentum linea n x &c.J Fcum antea ostensum fuerit statia A esse aequalia stat s B: hyatia autem E stat s F aequalia: δε nunc ostenderimus, statia B esse maiora statvs F: erunt quoque statia A ipsis E maiora. Quadrata enim qd, υ,9b, λ , Vm,nx sunt utrisque commuitia; σ rectangulum, quod contin tur linea nae , aequati omnibus o q, ρ ,r 9 ,s λ, t Η ,1 n maius est rectangulo contento nx, aequali duplae linearum eq, e ,I9 ,iλ,lq ; nanque earum dupla est requam lineu Og ,ρη ,r9, s λ, t q. quare basis antecedentis rectanguli excedri basem consequentu, lin 3 n: O rectari tum excessit reflangulum, statio 3nx. Quadrata uero oq,pa , r9,xo,t Η , n maiora sunt, quam tripla quadratorum cq ,ex,g9 ,iλ ,lq: idcirco tertia illorum pars, bis quadratis maior est; quia paulo ante fuerit ostensum, quadrata lauarum squalium maimae, quadratorum ex lineis sese aequaliter excedentibus, dempto maimae quadrato, maiora esse,quam tripla. relinquitur ergo rectangulum contentum linea n x , O cquali Ommbus omnibus od, ps, rh, fCim, x una cum tertia parte quadratorum o q ,p T,r 9 ,sλ , t Η ,3 n, maius se quadravs cd, ef,Ih, i holm,nx. In hunc usque locum processis Archimedes nullum eorum, quae proposuit, manifeste concludens, msi fortasse aliqua desiderentur. At nos illud ipsum facile assequonur ex iis, quae ante monstrata sunt. monstratum nanque est, quadrata linearum od, ps, rh, sq,rm,3 x, quae sunt quadrata linearum aequalium ma imae ad si alia A eam habere proportionem, quam quadratum
a b linea maxima ad rectangulum abu; o tertiam partem quadratia v. simul O illud monstratum est, statis A esse minora Di s c. quare ex 8.est i l. quanti concludatur primum, uidelicet quadrata linearum aequalium maximae ad statu c, hoc est ad quadrata ab , cd , ef gh , ik, imhuarumsese aequaliter excedentium, dempta mιnima, minorem habere proportionem, quam quae di dratum
153쪽
dratum ab lineae maximae ad rectangulum a b u ; O tertiam partem quadrati a u, hoc est ad id, quod ut aequale vimque; reclangulo contento linea Gaim, O minima ; O tertiae parti quadrati excessus , quo maxima minimam excedit. Rursus quoniam monstrata Am h ana A ma ora spa-Ws E: ex eisdem colligitur sicundum, quadrata linearum aequalium maximae ad spatia E, hoc est ad auadrata linearumsi eaequaliter excedenrium dempta maxima natorem habere proportionem, quam quadratum linea maxima ad rectangulum maxima, minimaq; linea contentum; ad temtiam partem quadrati eius lineae, qua maxima eacedit minimam: quae omnia ostenisse oportcbat. Corollarium patet ex iam iuctis , corollario uigesima sexti elementorum.
Et idcirco ag, ac sunt ipsius ah duplae . Hoc mania feste apparere potest, cum id, quo linea ag excessit lineam ac, sit duplum rius, quo linea a b ea cedit eandem a c .sta ut res mali estor at , ponantur tres lineae ac, ah ,ag, sese aequaliter exce- θden tes, o excisus, quo linea a b excedit ac, sit th; quo autem
linea ag excedit a i , sit ita: O abondatur ab ipsa O, linea aequalis, ha, quae sit V. persis icuum es lineam is duplam esse
ipsius th: lineas ac, aι , at inter se si aequales; proptereaq; duas lineas ac, at duplas ipsius ai. Duae igitur ac, at ipsius az.quinti. aeque multiplices sunt, atque II ipsius i b: nempe dupla. quare 'lineae ac, al,lg, linearum ai, ι hi hoc es, ac, ag, ipsius ah duplae sunt; quod monstrare oportebat. B Sed eius lineae, quae in triangulo bifariam diuidit angulum C ag, ipsae ag, a c maiores sunt . quam duplae. J Si enim tria uti angulus bifariam diuidatur: deuidens autem linea producaturusque ad basim: duo triangula latera mamra erunt, quam dupla ipsius diuidentis; quod nos ita monstrabimus. HI 6 i ISIT triangulum abero sit ad linea diuidens angulum ba c bifariam. Dico latera ab , ac maiora esse, quam dupla imsus ad . Itaque triangulum, uel duo latera halebit aequalia , vel inaequalia. habeat primo aequalia. erunt Iam duo primi. triangula abd, ac d aequalia , similia inter se: nanque angulus a b c aequalis est angulo ac de or bad aequalis ipse 3 primi, ea d. quare cir reliquus angulus adb reliquo ad c aequa 33 lis: ct uterque rectus. ergo linea a b maior est ipsa a d;
cum maioriangulo subtendat mr . eadem quoque rat Mnetinea a c maior sa a d. duae igitur linea ab , ac maiores
sunt, quam dupla ipsius a d. Si uero triangulam latera habeat inaequata sit, ut in alia figura, latus ac maius latere ab: O producatur a b usque ad e; ita ut fiat aequale lateri a ce iungantur quoque ec: per pune Ium b ducatur linea bs uidistans ipsi ec itemq; per d alia ducatur eidem uidistans, quae sit g db: Oiu Intur es. N picuum est igitur, propter similitudinem triangulorum a e c , agh, tineas ag, a aequales est e. quare trianguli aequicruris ag h duo latera a g, ah maiora erunt, quam dupla φ-hus ad , ex iis, quae proxime monstrata sunt . Quod si monstrauerimus , lineas ab , ac trianguli abc maiores esse lineis ag ,ab: manifeste patebit, quod proponebatur. In luc enim dispositi me Multa feri triangula , aequalia inter se, cir hmilia, neminem latere potest, qui elementorum libros recte perceperit. E quorum numero triangulum bde aequale est, o simule triangulo fracto tria
gulum b dg triangulo I db: O denique Ide ipsi hac. constat praeterea lineam A b duos angulos, s. primi. qui sunt ad d uidelicet bde, De bifariam secure ; cum angulus Ide sit aequalis ataulo I db: s. sexti. propterea angulo b dg: er si liter angulus h dc sit aequalis antulo b d , hoc G ipsi fd h. Sed
illud constat. cum linea ad secet angulum bac bifariam, basis portiones eandem proporti nem habere, quam reliqua ipsus trianguli latera ; hoc est c d ad db esse, ut acta ab . quodcumlinea
154쪽
linea a e posita sit maior ipsa abr erito id maior ipsa d
b. eadem quoqae ratione in triangulo fde, cuius angulus
ad d bifariam secatur ipsa db , erit ch ad h f, ut id addDhoc est ad bd, erit igitur ob maior ipsa hf. quare linea composita ex dupla ipsius ab, ' ipsis ira, h c, maior erit composita ex dupla eiusdem ab , O dupla D. At uero lima prima compositae aequales sunt duae linea a b , a e; cum asyt aequalis ipsi ab: Iecundae autem seunt aequales duae I mae ag, ab; quid bg in Ib sit aequalis . ergo duae linea
ab , ae duabus lineis ag, ab sunt maiores . ex quibus f quitur , tineas ab , ac multo maiores ebe, quam duplas ipsius a d: quod in orare ubiebamus.
D PROPOSITIO EM XVI. Necessarium igitur est circuli huius circumserentiam , quae ad praecedentia habetur intra lineam spiralem cadere; quae uero ad sequentia extra. JHoc est taxcumferentiam eam, quae ad puncto itersus prae cedentia habetur , quae est dri intra spirulem lineam radere; quae uero habetur ab eodem puncto uersu consequentia , hoc es dnt, extra. Angulum uero a d f non esse acutum constat, quia maior est angulo semicirculi. J BOstensium est in decima sexta tert elementorum, semicircidi angulum omni angulo acuto religi mo esse maiorem, hoc est eum, qui diametro, O circuli circum erantia continetur. Quare si a Iulus adr omni acuto rectilineo maior est: necessario siequatur, angulum a V rectilineum, cum eo maior sit, qu3d linea dfextra circulum cudat, nullo piato esse acutum. Quare ab a puncto ad contingentem potest recta linea duci, ita ut eius pars,&c.J CHoc quomodo sieri possit, docet ipsi in quinta butus. Et tota igitur ia ad ar minorem proportionem habet, quam circumserentia r Dd n t ad d n t circumferentiam. J Per compositam sibcet rationem, ex ingesima octauia quintι apud Campanum. Hoc est quam fghli circumserentia ad circumferentiam gh h. J Est enim ut angu Elus rad ad yum d a t, ita circumscrentia r d ad circum sirentiam dni toe ita circumserentia s est. soti. I ad circumferentiam g s. quare ut circumferentia r d ad circumferentiam dnt , ita circum se i t .quinii. rentia fg ad ipsam Iib: e compo iendo, ut circumferendia r dnt ad circumferentiam d n t, ita circumferentia fghia ad circumferentiam g h.
Ut ostensum est. J Videlicet in decima quarta huius. F iod fieri minime potest, cum sit ra aequalis ad . J Vide ne codex graecus mendosus GH , haec uerba desint, ἁ ι -ἀλαλ, hoc est, matur autem 1a ipsa a l. sequietur ab urdum ex oe ara grunιι; nanque a i cum sit maior i a a I: maiorem habet proportionem ad ar, quam al ad eandem, seue ad ei aequalem adi curua oppositum sequebatur ex ante didiis.
I PROPOSITIO REM XVIII. Et sumatur linea quaedam recta l a , minor quidem, quam fa, maior uero, quam Acircumferentia circuli h k g. J Id, quo pacto fiat, docetur quarta huius. Proportioq; , quam habet hae ad a i minor est ea, quam habet dimidia gli aditia Bneam ab a puncto ad ipsam gli perpendiculari ter ductam ; quoniam & maior est ea, quam habet lia ad as.J Proportio erum, quam habet ba ad al maior est ea, quam ha- 8.quinti. bet ha A a f. at dimidium lineae hI ad lineam ab a pun Io ad ipsam hg perpendiculariter ductum, habet eam proportionem, quam ha ad af, ut monstrab.tur . ergo O proportio, quam ha- i I.quinti. Mi ha ad al, maior est proportione, quam habet dimidium hg ad lineam ab a purito ad ipsam h perpendiculariter duluam. Illud autem monstrabitur ad hunc modum. ducatur ab a ad irsam h g perpeia cularis M. constat laneam at diuidere usam bg in partes aequales : trian - 3. tertii. . lum
155쪽
si. primi. lum aib triangulo fab lese aequiangulum: cum angulus ad b sit commurus ; angulus uero fab . sexti. aqualia anguis ath; quorum uicque is rectus . habet igitur tinea ita ad ia; hoc est dimidium t ma bs ad lineam a puncto a ad bg Ueniaculariter duciam proportiorum eandem, quam i rea b a ad a f.
c Potest igitur a puncto a duci ad productam linea an: ita ut nr quae interlicitur inter circumferentiam &c. J Ex septima huius. D Quare n r ad r a eam habebit proportionem, quam h r recta ad ipsam a l. JCum enim posierimis lineam nr ad br habere proportionem eum, quum tinea ha adat: orpem mutando linea nr ad ha, sue ad ra, in aequalem , eam habebit, quam i r ad al. g Et idcirco tota na ad ar minorem habebit, quam fir circumferentia una cum tota circuli circumferentia ad circumferentiam circuli ligk. J Per composetam inde
ce rationem ea vigesima οἱ laua quinti.
F Quam uero proportionem habet circumferentia lir una cum tota circuli h glicircumferentia Sc. J Patet hoc ex decima quinta huius. G Et proportio, quam habet ali ad at minor est ea, quam dimidia gli habet ad lianeam ab a puncto &c. J Ex es, quae nos proxime ostendimus ; nam linea ha ad af eandem habet proportionem, quam dimitium linea hgad perpendicularem ab a puncto adi am hI ductam. D Potest igitur ab a puncto duci linea ap ad contingentem &c.J Ex octava Mius.1 Cum sit lip recta maior circumfe-
I. primi. rentia hr . J Fint ad lineam a p, ad punctum in ea datum a , angulus aequalis ata
duae lineae hp ,pm maiores circumstrentia brin, ira, quae polita sunt ab Archimedeas.quinti. ιn principio tib. dest haera, O lindro sicut autem tineae hρ, ρm ad circumferentiam brm, ita imi tum harum linearum ad Amidam circumferentiae, hoc est tinea hp ad circumferentiam br. est enim linea hρ aequa 4 primi. sis lineae p m; quὀd triangulus pab aequalisule. sexti. sit triangulo p a m: O circumferentia b raequalis est circumferentiae r m; cum aequat x4.quinti. bus angulis subuciantur. quare Issiatur liancam hρ maiorem essὸ circumferentia hr. K Mare&ra ad an maiorem habet proportionem , quam circumferenistia circuli ligk ad li k r circumferentiam . J Quam obrem illud sequatur, uos uniuebedeinonstrabimus prompto eiusmodi theoremate. Si pars ad totum maiorem proportionem habeat, quam alterius totius pars ad suum totum: habebit S totum ad reliquum, maiorem proportionem, quam alte rum totum ad reliquum. Sit totius ab , pars ac; quae ad ab maiorem habeat proportionem, quam totius de pari dfas φsam de . Dico ab ad eb maiorem proportum habere , qtam de ad se. fiat ut d ad de Maria quaepiam linea , qua sit agad a b. habebit ergo a cad a b malorem proportioncm, quam g ad α e b
sa ag: O ob id Ib maior ipsa eb. Et quoniam agad ab est, ut 4 f .dfad de: erit e contrario ab ad ii'.quinti ag, ut de ad dIDer per conuem senem rationis ab ad I b, ut de
3. quinti. ad se. Ita ab ab eb maiorem habet proportionem, quam ad gb . cum maior stab, ipsa e b, ut dictum
156쪽
c O M M E 'P 'S. cctum est. ervo ab ad eb maiorem habet, quam de adfer quodmonstrare uolebamus. I R PROPOSITIO RE M xI X. Et proportio, quam habet laad a I, maior est ea, quam dimidia in hiber ad li- A, neam ab a puncto ad ipsam in perpendiculariter ductam. J Ducatur, ut d Itum est supe
iur,d puncto a ad lineam i n perpendicularis a i. erit eadem ratione t a ad af, ut ii ad ia; hoe es ut imidium lineae in ad terpendicularem ab a adipsam in ductam. Quξd cum linea a I posita sit minor linea af ἰ habebit laudat maiorem proportionem, quam ad aflaces, quam δε- 1.qui numium in ad prepenssicularem ab a 'ad ipsum ductum . Similiter autem ostendetur,neque minor esse,
uam Eupla innumstarentiae circuti tmn: assumaturq; linea al, maior quιdem, qua tinea af, minor uero, quam dupla circumferentiae circulit mn: O ducatur ά pnncto timea tu aequidistans ipsi aD Rufus in circulo es linea tn, minor diametro: er alia tangit circulum in puncto t.
proportisq; , quam habet taad a i minor est ea, quam dimidium lineae t n habet ad
perpendicularem ab a puncto ad ipsam i n ductam . ducemus ergo ab a lineam apad contiugentem; ita ut ro, lux media inter citur interneam rectam in circulo da tane, o circuli circumferentium , ad lineam ip eam habeat pruportiouem, quam ta ad ait id uero feri posse
ex octaua huius mauifestumes . secet enim linea a ρ cim culum quidem in puncto r, lineam uero spiralem in pulucto q, ct lineam tu in o. Quoniam igitur linea ro ad
p maιοfes , quὰm circumferentia 't r: er 'a I minor, quam dupla circumferentiae circuli t m n. iure ro ad Ha habet cruorem proportionem, quam circumferentia i r ad circuli tmn re cum streaeum' bis su ipsis: O ex uir , quae nas monstrauimus in antecedente, ra ada o maiorem risu proportιonem P a cim ferentia cireulcim n bis sumpta ad circumserenitiam i m mina
157쪽
cum tota circuli circumscirentia. quam uero proportionem habent dictae circumferentia, eandem habet i a ad la, ex decima quinta huius. ergo ra ad a o maiorem habet, quam ta ad aq: quod
feri non potes, quoniam lima ra, ta inter se sunt aequales s oe a o maior, quam a q. non est igitur fa minor, quam dupla circumferentiae circuli tmn.c Et multiplicem csse circumserentiae circuli, secundum numerum circulationis nominati codemia et numero. J Vt si linea Piralis in tertia circulatione si erit descripta; erit ea tripla tert' circuli:ysi in quarta circulatione ; quadrupla quarti circuli: ita in relitris.
Similiter autem superioribus ostendetur, neque minor esse. J Nam si fieri potest,
stas nor circumferentia On d: c sumatur linea a I maior quidem cliam as; minor vero tuam et merentia dicta On d atque a puncto d ducatur linea d s aequidistans ipsi a f. Quoniam igitur tinea d n in circulo minor est, qua diameter: er alia tangit circulum inpune Io d: proportisque, ama d habet ad a i minor est ea, quam habet dimidium lineae dn ad perpendicularem ab . liuius. d pun to ad ipsam d n D tam i poterimus ab ipso a ad contingentem lineam ducere ap , ut portio ro, qua es inter lineam dn, O circumferentium circuli ad ipsam d p, eam proportionem habeat, quam da ad al; secet enim linea a p circulum in punirior; O lineam dn in O; spiralem uero lineam is q. D sus cum r o ad d p eam habeat
proportionem, quam da, pue r a ad atrhabebit permutando ro ad ra eandem, Pad p ad a I. Ita d p ad a I maiorem habet
proportionem , quum circumferentia dr adtircumferentiam h md; quoniam d p maior est, quam dr circumferentia: Oalposta est minor, quam circumferentia On d,
ergo ro ad ra maiorem proportionem ha-set , quam cirrn eremia dr ad circum rentiam On d: O propterea ra ad a o maiorem habet, quam Un d circumferentia adis. huius. circumferentiam h m r, ut superius monstratum est. Sed quam proportionem habent di I a circumferentiae, eandem habet linea da, ad qa. quarer a ad ac maiorem
s. quinti. tabcbit, quam da ad ga; quod fieri non potes; cum x a, da sint aequales, oe a o
II Eodem quoque modo ostendetur, & si sineam spiralem in seeunda circulatIone descriptam. J Sit enim ab ch linea si iratis inprima cistulatione descripta, O ud in secumda : O contingat eam aliqua recta euin puncto d: ab ipso autem d ad principium lineae spiralis
ducatur da ro centro quidem a , interuallo antem ad describatur circulus d mu; qui secet priucipium circulationis in puncto D O ad ipsam da erigatur perpendicularis af. coibit ipsa cum linea e df, ex anted Iis . coeat in s. Dico as aqualem esse toti circumferentiae circuli d mn, e praeterea circumferentiae Lm d. Si enim non est aequalis, uti maiorerit, uel minor. Sit primum, si fieri potest, maior: O sumatur aliqua resta a l minor quidem, quam af, Maior Dero, quam tota circuli duin circumferentia, oe circumferentia hond. R ιrsus circulus est Dumatque in ipfrilla linea d n, minor dia tro : O proportio, quam habet da ad a I maior es ea, quam ha-
r. huiut. bet dimidium lateae dn, ad perpendicularem ab a pis Io ad ipsam en duelam. uare feri poterit
158쪽
terit, ut ab ipso a ad du protractam duratur tinea a e , secans circulum quidem in r; lineam uero θι ratem in q;
ita ut e r ad d ν eum proportionem habeat, quam da ad al. habebit igitur permutando er ad da, uel ad a rproportionem eam, quadν ad al. At uero drad a i minorem habet proportionem , quam circumfremela d r ad totam circuli h n cimcumferentiam una cucircumferentia Lm daquθd recta linea dr minor fit circumferentia dr: O al minor ditas circumferentiis. min rem ergo proporti ghabebit e radar luim circumferentia d r ad totam circuli Dun circumferetiam una cum circumferentia Lm d. quare σ componendo a e ad a r minorem habebit, quam tota cim eumferentia circuli Dun una cum circumferentia Lmdr , ad tota circumferetium una eum circumferentia d. Hae autem circumferentiae inter sese eadem habent propomonem 'aqa ad d a. sequitur e go minorem habere proportionem a e ad a r,
quam qa ad da: quod esse nan potest; cum qa minor sit, quam ae; γ ipsae ar, da sima
aequales. non igitur afmaior est tota circuli
Similiter autem arae Lctis vis rabimus, neque minorem esse; sumpta linea a i maiore irsa a set minore dictis circustrent Atque per punctu d ducta ds quid anti ipsi as puncto enima ad continge me ducere licebit lineam ap, quaesecet circulum quidem inpunctor, lineam in circu R '
159쪽
is existentε udelicet ipsam dnin o,spiralem uero in q, eo pacto in ro addρ ita, sit ut da ada l. erito permutando ro ad da, siue ad ar, ut dp adat .std dp ad a i murem proportionem habet,
um circumferentia d r ad totam circuli Lmn circumferentiam una cum circumferentia h md; quoniam recta linea dpmaior es circumferentia dr: a I minord tis circumferent s. mi rem ergo proportionem habebit roadra, quam d r circumferentia ad circumferentiam circuli In nunci cum circumferentia Lm d. oe ob eandem, quasuperius dicta est , rationem, ra ad a o mi rem , quam circuli h n circumferentia una cum circumferentia On d, ad circuli Lm n circumerentiam uni cum circumferentia Unr .sed cum dicta circumferentia habeant eandem proporti
nem inter se, quam da ad q a : habebit ra ad a o maiorem, quam da ad q ar quod item esse nonpotest. quare neque minor es a fidictu circumferent s. aequalis igitur: quod fuerat demonstrandum.
I R P RO P O S I T I O RE M XXI. Diuisio igitur semper angulo recto bifariam, & sectore angulum rectum continente . erit tandem quod &c. J Hoc manifeste ostenditur fieri posse ex prima decimi
a Erit iam circa sumptum spatium circumscripta figura ex similibus sectoribus Sectore, constans. J Similes sectores dicuntur , quorum anguli ad centrum sunt aequales. similes . Figura igitur spatio inscripta aequalis est figurae circumscriptae dempto h a h sectoc re, loliis enim hic ex omnibus, qui in figura circumscripta habentur, relictus est. JSi erum exempli gratia, angulus wsque rectus in quatuor partes diuisus fuerit: erunt anguli omnes sexdeerm: O totidem siectores figura circumscripta. at inscriptae figurae sectores quindecim tantum erunt. Quod si primus inscripta sector, ut a monmo ordiamur, aequalis sit fecu
do siectori circumscripta: O s
eundus inscripta, tertio circumscriptae : ιtam reliquis: ad e tremum erit quintus decimus i
scriptae , hoc est ultimus eius, aequale sexto decimo , O ultimo
habeat inscripta figura, quod opponat primo sectori circumscripta , erit circumscripta tanto maior inscripta, quantus es primus sui ipsius sector . id uero ex subsequenti figura fiet manifesum. n Ex his constat, circa dictum spatium posse circumscribi figuram, qualis dicta est, di rursus alteram eidem inscribi; ita ut . J Quoniam enim circumscripta figura, ut demo stratum est, excessit inscriptam, spatio minoreproposito statior excedit quoque spatium illud, circa quod est circumscripta, spatio multo minore; quippe quod maius sit inscripta figura. Et simili ratione idem spatium , cum minus sit circumscripta figura, inscriptam sibi ipsi Aguram excedit ,spatio multo minore, quam sit propositum statium. IV. P RO P O S I T I O RE M XXII. c Itaque diuisis semper angulis rectis in angulos aequales ei, qui continetur L har &aliis dispositis ut supra. J In secunda tinea stiralis circulatione aliter comingit liam mprmadna tot se tores sint in utraque figura, quot anguli :σpropterea circumscripta inscriptam non excessit
160쪽
co MME T I U S. I 8 .ssit toto illosectore bist. par enim est ex eo demisiectorem squalem ultimo sectori inscriptae figurae, sciucet her; qui sit bes. unde relinquitur harum figurarum excessum esses tium e sica; hoc essia, quo sector b is excedit sectorem here quod quidem, cum minus sit sitatore ho, ut pote eius
pars, multo minus erit dato statio, o propositum multo magu concludetur.
Constat igitur fieri posse, ut circum ripta figura excedat sumptum spatium spa- stio minori, quocunque proposito&c. J Corollarium hoc, σqua sequuntur, perspicua sunt ex iis, quae proxime scripsimus in vigesimamprimam. I P Q O P O S I T I O V Ε M X X I I I I . Sunt igitur quaedam lineae ab li puncto ad lineam spiralem ductae, quae sese aequa Ii- Ater excedunt. 4 Ex duodecima huius. V t ostensum est. J In corollario decime huius. ductae, l
Hoc enim demonstratum iam fuit. J In eodem corollario decima huius. Pappus in colle- mctioκibus matbematicis hoc idem aliter demonstrat, paucis admodum positis to quoniam non nulla etiam addidi ad lineam stiratem pertinentia, quae ammaduersione digna sunt; eius uerba hoc loco subscribenda censui in latinam sermonem conuersa. Theorema, inquit, de belua, seu linea st radi in plano describenda , proposuit quidem Conon Samius geometra, Archimedes uero admirabili quadam aggressione demoti rauit. Itaque dicta linea eiusmodigenerationem habet. Sit circulus , cuius centrum b ,&semidiameter ba: moueaturque b a ita, ut bPunctum maneat, & ipsum a aequeuelociter feratur in circuli circumferentia : simul uero aliquod punctum a b incipiens feratur in recta linea b a aequeuelociter usque ad ar & inaequali Gmpore b pertranseat lineam b a: & a ipsam circuli circumserentiam. punctum igitur hoc inlinea b a motum secundum circulationem describet lineam: qualis, est ipsa b e s atet eius quidem principium erit punctum b : principium circulationis recta ba: ipsa uero linea helix, seu linea spiralis appellatur. Cuius principale accidens eiusmodi est. Ducta qualibet linea ad ipsam, ut fb, & producta, erit ut tota circuli circumferentia ad circumserentiam ad c , ita recta ab ad rectam b f. Hoc autem intelligere facile est ex generatione ipsa. In quo enim tempore a punctum totam circuli circumferentiam pertransit, in hoc de b pertransit rectam tia: in quo autem a pertransit circumferentiam a d c, in hoe & b ipsam b f rectam: & sunt motus ipsi sibi ipsis aequales. quare & inter se proportionales erunt. Manifestum autem & illud, rectas linea S Omnes, quaecunque a puncto b ad ipsam spiralem ductae angulos aequales continent, aequaliter sese inuicem excedere. Quibus positis ostenditur , figuram contentam linea spirali, & re . .cta, quae est in principio circulationis, tertiam partem esse comprehendentis Ipsam circuli. SIT enim, o circulus, oe praedicta linea; ct exponaturparallelogrammam rectangulum kn