장음표시 사용
161쪽
I prsumaturq; a c circumferentia pars quadam circumferentiae circuti. O sumatur br resta, ipsius h p eadem pars. Iungantur praetereacb ,ba: O lineae quid Or aequidistans ducatur ri, lineae uera kr, ipsa m 9: oe circa b centrum describatur circumferentia fg. Quoniam agitur est ut ab recla linea adag, hoc est, ut bc ad ef,sic tota circuli circiUerentia ad circumferentiam ca: hoc enimes lineae sti ratis principale accidens. Vt autem circuli circumferentia ad ijsam e a, sic p h ad kr:
tur bc adcf, ita tr ad r 9 : O per conuersionem rationis. Quare ut quadratum b c ad quadratum bs, ita quadratumrt ad quadratum t9. Vt autem quadratum bc ad quadratum bs, ita ab c sector adfectorem IDI: Oxi quadratum ri ad quadratum is, ita cylindrus Iactus . parallelogrammo K t circa axe ni ad cylindrum a parallelogramo m t circa eundem axem. Vt ergo siector a b
c ad I I sectorem, ita lindrus d parallelogrammo Ocirca axem nt ad cylindrum ab ipso mi circa eundem xem: si uterquoques ac circumferentiae ponamus a qualem c d ripsi autem r recta lineae aequalem ponamusrq: O eadem construamus erit ut d b c sector ad Actorem e b sic cylindrus d purulli logrammo ru circa axem t u ad cylindrum a parallelogrammo ux circa eundem axem. Eadem ratione proc dentes demonstrabimus, ut totus circulus ad omnes figuras exsectoribus inscriptas lineae stirali ,sie esse cylindrum d parallelogrammo np, circa axem ni ad omnes figuras ex cylindris ipse cono, νω fit a triangulo ni circa axem l n, inscriptas: et rursus, ut circulus ad omnes figuras exsictoribus circumscriptas lineae spirati silc cylindrum ad omnes figuras ex cylindris eidem cono circum Aptas. ex quo manifestum est, circulum ad eam figuram, qua inter lineam stiralem, O rectam a blateraicitur, ita esse, ut cylindrus ad conum. triplus es igitur circulus praedictae figurae; quia su rat demonstrandum.
Eodem modo demonstrabimus, si ducatur quaepiam linea ad spiralem, ut b fr& per f circa centrum b describatur circulus: figuram contentam linea spirali seb,& recta f b, tertiam partem esse figurae circumferentia circuli sph, & rectis lineis fb, bli contentae. Deinceps autem conscribemus theorema circa eandem lineam notatione dignum. Sit enim & circulus praedictus in seneratione, & linea spiralis eadem a feb. Dico iam, si ducatur linea, ut bf, esse figuram contentam tota linea spirali,&recta ah ad eam, quae linea spirali feb,& b f recta continetur, ut cubus, qui fit a linea a b ad cubum, qui ab ipsa fb. Describatur enim circulus per scirca centrum b, qui sit fg b. Itaque quoniam est, ut figura , quae linea spirali a feb, , O recta a b continetur , ad figuram contentam spirali feb, O fb r
Lia, sic ac d circulus ad figuram circumferentia fgh, ID, bb, rectis lineis contentam: utrimque enim utriusque tertiam partem esse ostensium es: circulus autem ac d ad statium contentum αἱ Iis lineis Io, bh, O circumferemria H b proportionem habet compositam ex ea, quam habet a cd circulus ad circulum fgh, O ex ea, quam timculus fgh habet ad statium ne tistaeis j b, bb, O fgh
circumferentia contentum. A t uero, ut ac d circulus ad
c-culum fg b, ita quadratum ab ad quadratum bD Out circulus fg b ad dictum spatium, sic tota ipsius circumferentia ad circumferentiam H b, hoc es ac d circuli rimcumferentia ad Vsum c da, hoc es propter accidens spiralis lineae, ab resta ad rectam bf. nura igitur, quae linea spirali, O recta a b continetur ad contentam spirali , Obs proportionem habet compositam ex ea , qram ab quadratum habet ad quadratum D, O ex ea, quam habet linea recta ab ad ipsam bf. haec autem proportio eadem est ei, quam habet cubus ab ad cubum b L
162쪽
c o M M E R I V S. Ex hoe constat, si posita eadem linea spirali, &circulo circa ipsam, producatur ab add:&adrectos angulos ipsi ducatur linea cfbe k, qualium partium una est , spacium contentum linea spiralibi e , Se recta b e , talium illud quidem, quod continetur spirali n m e , & rectis ri b, b e esse septem: & quod continetur flin, & rectis fh, b nutideuiginti: quod uero axs, & ab ,bs contin tur, triginta septem perspicua enim haec sunt ex praeostenso theoremate. Et qualium a b recta est quatuor, talium ipsam quidem f b esse trium; nb, duarum; & b e unius: quod etiam perspicuum est, ex accidenti lineae spiralis, & ex eo,quod circumferentiae ac , cd, dh, ha inter se sunt aequales. I PROPOSITIO EM XXV. Quae eadem est ei, quam habent haec utraque; rectangulum contentum semidi metro circuli secundi, & semidiametro primi; & tertia pars quadrati eius lineae, qua semidiameter secundi circuli excedit semidiametrum primi ad quadratum semidiametri secundi circuli. J Quoniam semidiameter primi circuli ad semidiametrum secundi su
duplam habet proportionem: nam ex decima quinta huius he, ad ba eam habere proportionem compertum est, quam habet circumferentia circuli alai ad eandem circumferentiam bis assivim-ptam: si fuerimus semidiametrum primi circuli, uidelicet be esse trium partium; erit ha s md ameter fecundI earundem partium for O rectangulum his semidiametris comentum I 8: quadratum autem excelsus earum 9. quare compositum ex ills rectangulo, cst tertia parte huius quadrati erit xi . sed quam proportionem habet D ad 36, Mc es ad quadratum lineae ba, eam ha asHuintibet I ad II. compositum igitur iam LIIum ad quadratum semidiametri secundi circus habet Gadem proportionem, quam 7 ad I 2.
Sit linea spiralis ab ede. J Addenda sunt hae in graeco cossice. ἔ- ά ac γδε B
Habebit igitur circulus V ad circulum alat eam proportio nem,quam septem ad C duodecim ; propterea quὁd ipsius semidiameter ad semidiametrucirculi algi candem habet potestate proportionem. J Circus Enim ad inuicem sunt, sicutι drametrorum Meuiar. quadrata . sed se diametrorum quadrata nonalium habent proportioncm,qiam diametrorum. t s.quinti.
circula ergo ad inuicem erunt, sicuti semidiametrorum quadrata. Quὶd cumpositum sit dictarum se diametrorum quadrata eam habere proportionem, quam septem ad odecim: et ijsi circuli necessario eandem habebunt.
Sectores igitur a lineis aequalibus maximae descripti &c.J Post ea verba. χωρὶι ἀπὸ D
Hoc enim ostensum est. In undecima huius. ΕSectores igitur ab aequalibus maximae descripti ad sectores a lineis sese aequaliter Fexcedentibus , dempto eo, quia maxima, maiorem proportionem habent, quam quadratum h a &c. J Ex undecima huius. Et tertia pars quadrati eius lineae, qua semidiameter circuli maioris excedit senii Gdiametrum minoris. J Graecus cocta ita restituendus. υἰ τὸ τρωνείρου τοῦ τετραγώ- ἀπὸ
PROPO XXVI. Sector igitur qq ad has sectorem eandem proportionem habet, quam rectangulum a he,ia tertia pars quadrati e f habeat ad quadratum lia. horum enim semi- .u diametri
163쪽
ulti sexti. diametri inter se se eandem habent potestate proportionem. I Emit enim si mrt qad reliquum festorem totius sui circuli, seu ut eius sectoris angulus ad relliquum ex quatuor rectis: O conuertendo , componendoq; totus circulus ad sectorem is q erit,sicut quaruor renti ad angulum filioris is q. eadem rationc accidet in circulo variore, ut totus circulus sit ad statorem ha L mcut item quatuor resti ad angulum sectoris b a f. sed cum anguli sectorum V q, assumpti niti. quinti. aequales: erit minor circulus qd AZIorem qq, sicut maiores sie Ioram h a fi O permutando, timcuius ad circulum, sicut senior adfectorem . sed quam proportionem habent circuli inter sese Iane habent semidiametrorum quadrata, ut superius est monstratum. sector igitur 9q ad sectorem h af eandem hisci proportionem , quam quadratum semidiametri unius, ad quadratum scissa metri alterius.
A Secundus autem circulus ad primum est, sicut duodecim ad tria: quod manifeste patet. J Constat nanque ex decima quinta huius semidiametrum secundi circuli duplam esse semixo.sexti. diametri primi. quare erit circulus secundus ad circulum primum, sicut quatuor ad unum c hanc xy.quinti. enim habent proportionem simultametrorum quadrata θ. scut autem quatuor ad unum ,sic duo decim ad tria. circulus igitur secundus ad primum est sicut duodecim ad tria. ratio autem, qua hoc xs. huius. loco utitur Archimedes , inferius sepissime ex uigesima secunda quinti necessaria est . nam si statium V ad Iecundum circulum est, sicut septem ad duodecim: secundus autem circulus ad pri-rs huius. mum, sicut duodecim ad tria: O primus circulus ad spatium L, sicut tria ad unum rerit ex aequasi si alium L i ad c sicut heptem ad unum: O diuidendo I statium ad L, sicut sex ad unum. qua re h*atium sexta pars es eius stat , in quo I.
B IIaec autem eam habent inter se proportionem, quam decem & nouem ad sept JVidentur ante haec uerba non nulla desiderari ingraeco codice, ut is legendum sit. νω τὸ κ λια ἄρα
hoc ita esse facile mussigatur. ponamus se diametrum primi circuli ha esse trium partium: erith b se diameter secundi circuli earundem partium sex , ex decima quinta huius roe hc t rari ci euti semidiameter novem . quare rectangulum chb, O tertia pars quadrati eb erunt 7: Or is.quinti. ctangulum b ha, O tertia pars quadrati ba M . Haec autem inter se funt sicut is ad 7. statium ergo V m ad statium V es, ut is ad 7 : O diuidendo statium m ad hi , ut i 2 ad 7. at ipsum V ad ι est, ut ad 6: quod superius est demo fatum. es igitur m ad l, ut II ad 6. quare statium m duplum est ipsius I statis. C Sed utraque illa excedunt haec utraque eo, quo & rectangulum e h dexcedit rectan tum d lic; hoc est eo, quod d h, c e continetur. J Vam cum lineae cd, de fini aequas; erunt earum quadrata aequalia ; erilem tertia ipsorum pars aquatis. Quare ea utrinque quati existente, excessus tantum erit id, quo rectangulum e bd excedit rectangulum db e; hoc es rectangulum contentum lineis db, cesquod sic moi Iratur. Sit linea h e aequalis ipsi he instirali linea descriptae: Oadpunctum brrigatur perpendicularis bd, quae sit etiam ips h d aequalis: O compleatur rectangulum dheo: ab ipsa uero he abscindatur aequalis ipsi hc: O per c ducatur quidistans ipsis hd, eo, quae sit ep. manifestum o his ita constit iis, rectangulum d e aequale esse rectangulo
contento eb, bd; O rectangulam de aequale ei, quod continetur dh, bc . relinquitur ergo eorram excessum esse rectangulum eo; quod qui dem est id, quod continetur linea pe, hoc es db, eri ace, ut monstrare uolebamus.
D iniare spatium n ad I I m n eandem habet &e. J codex graecis ita restitvcndus est.
164쪽
υ γ ἄρα ποτὶ κλφιν χωρίον noνιχει τὸν γον, ἔνειμἰ γγ βδ τι τὸύπὸ γγ 2β, - τὸ τμον μέρος - μὰ ι γ β, - ἀύ- θ γ, βδ. Haec autem aequalia sunt rectangulo diic,& tertiae parti quadrati e d. J EI enim linea d b aequalis duabus lineis hb , Dd. quare rectangulum basim habens db, altitudinem uera he, aequale est duobus rectangulis bases habentibus hb, bd, altitudinem eandemh c. tertia uero pars quadrati ed aquatis est tertiae parti quadrati e b; quod quadrata sint aequalia, ex aequalibus lineis orta.
Rectangulum uero h d, c e ad rectangulum hc, db eam habet , quam Iid adlic; quoniam lineae ce, bd lunt aequales. J Ex prima sint.12 PROPOSITIO REM X X V I I I. Quare x spatium ad np, eam habet, quam rectangulum hag cum duabus te tiis quadrati ga ad utraque haec;& ad rectangulum a li g,& ad tertiam partem quadrati ga. J Quoniam enim ut ex uigesima sexta huius apparet; statium ηρ adflatorem chg,
eam habet proportionem , quam rectangulum Iba , O tertia pars quadrati ag ad quadratum gh; conuertendo sector cbg ad statium nρ habet eum, quam quadratum gh ad rectangulum gy a, O tertiam partem quadrati a g. quare diuidendo spatium x ad ipsum np habet eam tuam excelsus, quo quadratum gh excedit haec utraque; rectangulum g ba, O tertium partem quadradrati ag, hoc est ut mox ostendemus 9 rectangulum bag, O duae tertiae quadrati ga ad rectangulum Aha, O tertiam partem quadrati ag. rectangulum autem hag, O duus tertias quadrati ga est eid, quo quadratum gh excedit rectangulum gh a, oe tertiam partem quadrati ag, hoc paLio ostendetur. fiat ex linea gab quadratrem e ph D Oper a d
catur a uidistans ipse se, b fi fiat quoque ex ipsa g a
quadratum Igam . manifestum iam est, rectangulum h sequale esse ei, quod continetur I h,h a; O redi angulum hi quale contento ha, a I; quod linea et aequalis sit ipsi h a. quare si i quadrato lineae I b, auferemus rectangulum hy,
quod continetur gh ,ha; O tertiam partem quadrati age relinquentur utraque haec; rectangulum V, hoc est contentumba, ag ;.duae tertiae quadratι ag.
Spacium igitur n p ad ipsum p eam proportionem habet, quam utraque; rectangulum g ha, & tertia quadrati ga ad utraque, ad rectangulum gali,&tertiam quadrati ga &c. J amoniam np spatium ad sectorem n eandem habet proportionem, quam redi amgulum Iba, O tertia pars quadrati ga, ad quadratum ba. per conuersionem nationis spatium npad p spatium habet eandem , quam rectangulum Iba , O tertia quadrati I a ad excessum , quo rectangulum Iba una cum tertia quadrati I n excedit quadratum ha . excessus autem is est rediangulum g ab , O tertia quadrati g a, ut postea monstrabitur. statium igitur n p ad ρ habet eam proportionem, quam rectangulum g ba, oe tertia quadrati ga ad rectangulum gab, O tertiam quadrati ga . Rursus enim eadem dispositione manente , qua prius, producatur linea im usque ad ipsam h f. Iam constat praeterea, quae superius dicta sunt, im L quadratum esse, O aequale quadrato lines h a. quare excessus, quo utraque haec, rectangulum a Lboc est contentumgb , ha, ct tertia pars quadratiga, excedunt quadratum ba, erit rectangulum m b, quod quidem aequale est coaetento ba, ag , O tertia pars quadrati ipses ag : quod monstrare uolebamus. Reliqua quaesequunt areae urgesima secunda qumti , O prima seni, tum manifestam, tum firmam habent
165쪽
PARABOLES.I P RO P O S I T I O M I.
I s t T rectanguli coni sectio a b c. J Quam rectanguli covi semonem appellat Archimedes, posteriores ut Apollonius Pe gaeus , at parabolen dixerunt. quamobrem autem id factum sit, tradit Lutocius Asialomta in commenta s in primum conicorum Apolloviis bis uerbis,quae a nobis latine reddita sunt. Tris i inquit, e
num definientes; re Ianguli trianguli circumuolutionem , manente uno eorum , qua circa re Ium angulum unt, latere: O conos omnes
restos , O unam in singulis Iectionem fieri arbitrati sunt: in recta gulo quidem cono uocatam parabolen; in obtusiangulo sperbolen; in acutiangula autem ellipsim : atque ita nominatas apud ipsos sectiones passim intimas. Quemadmodum igitur priscis illis in unaquaque triangulorum specie speculantibus duos rectos: primum in aequilatero; deinde in aequicrura; poli in Icalem: aetate posteriores uniuersale theorema demo Irarunt, eiusmodi. Omms triangulι interi fres tres anguli duobus rectis sunt aequies: ita O in conisectio ut rectanguli quidem conisectionem dictam in rectangulo tantum cono stetulati sunt, scd ostituet plano ad unum coni latus perpressiculariter erector obtusianguli autem conisectionem, in cono situsiangulo factam demonstrarunt , acutiangli coni sectionem in cono acutiangulo; semititerin omnibus conis ducentes plana ad unum eorum latus perpendiculariter erecta ; quod e prisca sectionum nomina indicant. Verumpostea Apollonius Pergaeus uniuerse inspexit in omni co-no,iam recto,quam scaleno omnes sectiones inesse, iuxta plani ad conum disserentem inclinationem. quamobrem illius temporis homines admiratι mirificam conicorum theorematum demonstrati nem, magnum geometram ipsum appellarunt. Hac quidem Gen nusscripta reliquit insexto matbematicarum praeceptionum libro. Qwod autem
dicit, manifestum faciemus in sublestis figuris . sit per axem coni triangulum ab ero a quo uis puncto e duratur ipse ab ad angulos rectos linea defr Oper aes immissum planum perpendiculariter erectum ad ipsam abfecet conum . rectus es mitur uterque angulus aed, aes: re tanguloq; existente cono, Crangulo b a e recto, ut in prima figura appa ret, duobus rectis aequales erunt anguli bac,
aes quare aequid stans erit linea d e finia ce lio et insuperficie coni festio parabola ,sic di
Parabole ἀπὸ παραλληλον Mνει; hoc es ab eo,
unde dica quod parallela sit linea des, quae communis x. sectio est plani sicantis, O trianguli per axem, ipse ac lateri triangula. Sed si obtusiangulus sit conus, ut infecunda figura, situs videt
cet existente angulo bae, O angulo aes recto: duobus rectis maiores erunt anguli ba e , a es: O non coibit des cum ipso ac lutere ad partes, in quibus L sed adeas , in quibus sunt a ,er e; pro Mob. s. ducta nmirum 'ca in d. faciet igitur secans planum insuperficie corustalionem h perbolon; di tam te de . απἰ- ὐπερβαλ ιν : hoc est ab eo, quod anguli bac , aes excedunt duos ractos: uel quod defexcedat uerticem coni , O coeat cum D ca extra. Quod si acutiangulus sit conus; boc est acuto ex sente angulo bac: erunt anguli bac, aes minores duobus αἱ is: O linea es, ac productae coibunt tanssim in aliqua parte; augere nanque, O in longius ducere conum possumus. Erit igitur innm ,c, superficie si lio, qua appellatur ellipsis Dὰ τὸ ἔλα, - ; hoc est ob id, quia d est anguli ἀ duobus unde. refctis deficiant ;uel quὸdιllipsis diminutus Pettam circulus sit. Ad hunc quidcm modum antiquι
166쪽
ponentes secans planum per defvil rectos angulos ipsi a b lateri trianguli per axem coni; O insuper disseremtes conos; O propriam in unoquoque sectionem. At iapollonius ponens conum, O rectum, O scalinum; disserenti ipsius piam occursu, differentes est est stationes. Di cium, ut in isdem Iuris, secans planum hel: commarus autem sectio ipsius plani, O c ni basis, linea hir communis rursus sectio riuidem, O trianguli ab e sit ipsa es; quae O diameter uocatur se-itionis. Itaque in omnibus Miloniabus pomi lineam V ad rectos angulos esse basi trianguli abe. Verum
siquidem es aequidistans sit ipsi ac; parabolen fieri Dei siectionem in conisuperficie . Si uero coeat cum latere ae extra uerticem coni, ut in
nem, perbolen: Quod si coeat intra; feri festionem ellipsimi quam θυρεὸν uocant. Generaliter igitur paraboles diameter aequid stans est uni lateri triauguli: sperboles autem , et sis dia meter cum eo coit; uris Ies quidem ad partes uerticistoni; ellipsis uero ad partes basis. Scire praeterea silud portet, parabolen, O h perbolac ex eorum numera esse, quae in infinitum augentur: at ellipsim non dem uota enim in fila amaei it , uelu
qua Archimedis verbis magnam lucem erre posint: cum antiquarum appellationum cuiusque coni siectionis rationem exquisitissime tradunt. 2 os deinceps non antiqua ,sed quibus Apolloneus usus es, sectionum nomina crebro usurpabimus: quippe quae latius pateant; O m omni corio reperiantur.
Erunt ipsae a d, d c inter se aequales. J Demonstratum est id ab Apollonio Pergo libro prima conicorum, propositione quadragesima sexta'. t tQuod si ad , dc sint aequales. J Adtanda seu haec in graeco cossice, ut opinor, quibus tanquam demonstratis utitur Archimedes: demonstitat autem Apollonius libro secundo, propositione quinta.
I PILO POSITIONEM II. Erunt lineae d b, be inter se aequales. J Demonstrauit Apollonius libro primo, pr positione trigesima quinta.
167쪽
Erit ut b d ad bs longitudine, ita ad ad as potestate. J Apollonius eodem libro propositione vigesima. I V. PROPOSITIORE U I I I I.
A Itaque si alia quaepiam linea fh ducatur aequid istans ipsi bd, &secans utrasque ac , c b. J Hoc e lineam ac fieret in L eb in h: ipsam autem stationem com rectanguli ing. B Ducatur enim per g linea aequidistans ipsi ac, quaesiit kg. J Secet autem ipsa ti sineam bd in D O eb in i .c Ergo ut bc ad b i, longitudine, ita dc ad ds potestate. J Ita restituendus es e
dex ; nam multa desunt, quod tum ex ipsa demonstratione: tum ex ueteri translatione apparet. Totius autem demonstrationis feries manifestior fiet ad hunc modum. Quoniam enim sicut bd ad b33 primi Vongitudine , ita de ad Lia potestate; hoc est ad df, quae est aequalis ipse har utantem bd ad b, 4 , ita be ad biro ut de ad fd, ita eb ad bb. quare sicut bc ad bi longitudine, ita de ad di ,.quihil. f hoc obcad bb potestate. lineae igitur be, bh,bi proportionales sunt. oesi qui linea fh secet xo. sexti . eb intra sectionem: erit scut be ad bh, ita bh ad bi; hoc es scut totum ad totum, ita pars ad '.quinta. partem. ergo ch ad hi, ut be ad b b: hoc est reliquum ad reliquum, ut totum ad totum. si uero secet extra, quoniam bh ad be est, sicut bi ad bb terit componendo bb O be; hoc G e h ad be, sicut bi, Obb, hoc es sicut hi ad b h: O permutando ch ad hi, sicut be ad bb. ItaPerr.quinti. cum sit sicut de ad df, ita b c ad Fh, ut dictum est O sicut bc ad bb, ita th ad b ir erit sicut de ad V, ita eb ad hi. sita bs ad 1 gest,sicut ch adh i: quoniam duo triangula chf, ibi. ta - quiangula sint, latera habent proportionalia . Eandem stitur proportisnem habet dc ad di; hoces da ad V, quam fh ad bg: quod demonstrare oportebat.
metror lineae autem ad , dc sunt aequales inter se se erit linea, quae in b puncto tangit rectanguli coni sectionem, ipsi ae aequidistans. J Linea bd, uel uidistans est diametro, uel ipsa diameter. sequitur autem id ex secunda parte prima huius. η Rursus quoniam d e aequidistans est diametro: di a puncto c ducta ince tangens sectionem coni in c, &c. J ex secunda huius.c moniam enim aequalis est b e ipsi b di aequalis est & i l ipsi h i. J Ducta enim b elinea, O producta, feni triangula ebe, ci I aequiangula: O item a viangula edb ,r ut ipsa s 33 ede, cu . quare sicut be ad ii, ita ce ad el: O sicut te ad el, ita ed ad e , sicut autem e qui ι d ad c , ita db ad U. ergo sicut be ad ii, ita db ad Urstpermutando, scut be ad d b, ita 'μ had U. sed be aequalis es ipsi db Oil igitur ipse Us AEquatis. Habet autem & hi ad lik eandem, quam da ad ah. J V enim ex antecedente Ursequinti. ad hi, ut da ad dDO permutando V ad da, ut hi ad d . quam h ad ah, ut j ad da: Orursus permutando, conuertendoq; V ad b , is da ad acE Quare eandem habet proportionem kl, ad hi,quam ah ad k e Hoc loco, ut opinor, multa desunt, ad demonstrati em necessaria, seu uitio tem ris intercepta , si ab ipsi et auctore omissa, qua nos ita supplebimus. unoniam erum ii ad i est, ut ed ad dar erit componendo Uad H, ut ae ad dar permutando V ad ae, ut V, ad da . O rursus quoniam V ad bk est, quinti. ut da ad ah, permutando erit hi ad da, ut h ad ah, quare fictis V ad ac, Herit horda ' qμ μ ι sic bl ad O. O rursus per arundo M ad hi, ut a ad Or quod fuerat ostendendum.
Et sit conspectum in plano super horirontem erecto. J aiadgraeci, ο ιν latine, ut v ab opinor, dicemus directum, uel erectum ad perpeniculum, nos tamen brevitatis causa, quoniami trad
168쪽
Ead sepissime occurrit, praesertim in libro de comissibus , O sp missibus: uno duntaxat uerbo expressimus, erectum ubique uertentes. Erit trianguli bed centrum grauitatis ipsum h punctum; nam moni ratum est hoc in mechanicis. J Sit triangulum a b c,oe ducatur ab angula ad bipartitiones laterum rectae lineaeae, bLed. perlicuum est centrumgrauitatu trianguli ab cesse ipsum g; in quo uidelicet lineae illae coeunt, ex duodecima primi libri de mquiponderantibus: O triangula ag b,bgc , ega esse aequalia inter sest. Iunt enim duo triam a gula aeb, aec aequalia; quod basis aequales habeant, O ab eodem sint uerticer duo item triangula geb,gee aequalia . quare si a triangulo aeb auferatur triangulum gebro a tria gula aee auferatur ipsum Iec: erunt residua aequalia , uidelicet triangula ag b, age. Et eadem ratione ,si a duobus triangulis aequalibus bfe, bfa auferantur aequalia ID, IID; emit reli
quum triangulum bge reliquo bga aequale. o per communem conceptionem triangulum bge aequale triangulo ager er omnia triangula agb, bge, ega inter se se aequalia. triangulum ergo bas duplum es trianguli bge ; propterea basis ag dupla ipsius ge. non aliter momstrabimus lineam bs duplam lineae Is lineam eg ipsius Id duplam. Itaque si per g ducatur linea aequi istans ipse bc, quae sit hc erit o ab dupla lineae 13b, O a ho dupla s. Quare gene- Σ .sexti
raliter, si quodlibet latus trianguli metur ita , ut portio ad uerticem dupla sit tortionis ad basimeo per punctum siectionis ducatur linea aequidistans basi; centrum grauitatis ipsus trianguli ei it in linea ducta, atque in eius puncto medio: quod monstrare oportebat.
c O RO L L A RI V M. Ex his sequitur uniuscuiusque trianguli centrum grauitatis esse in Iinea ab angulo ad dimidiam basim ducta; & in eo lineae puncto , quo ipsa sic diuiditur, ut portio ad uerticem dupla sit portionis ad basim . Si igitur bd c trianguli siuspensio, quae est ad bc, soIuatur;& suspendatur ad et
manebit triangulum, ut nunc habet . unumquodque enim suspensorum , ex quo puncto conititutum est, manet; cum in linea perpendiculari sit punctum suspensionis, & centrum grauitatis suspensi; quod etiam est demonstratum. J Secetur rursus linea ec in ι ita, ut et dupla sit ipsitus te: ducaturq; Im qui distans bdeo secetur bifariam mpuncto n. erit eadem ratione trianguli eri eutrum
grauitatis ipsum n: O ducta linea 2 puncto e ad diamidium lateris bd, in quo sit O , transibit per utraque puncta n b; est enim utriusique triangulorum b ed, e c h centrum grauitatis in linea eo, ex undecima
primi de aequiponderantibus. Quod si fiat, ut bt ad ιe, ita n h ad bp: eriti um p centrum grauitatis trape j be s. nam quoniam ce posita G ipsius eb dupla: Oct etiam dupla ipsius ter habebit b c ad
c e eandem proportionem, quam e ε ad e l. quam triangulum b c d ad triangulum et sibi simili habebit eam, quam linea b c ad lineam et rodiuidendo; conuertendo ue, triangulum echad traperium beci, eam habebit, quam lanea el ad lineam Ib; hoe
est, quam linea pb ad bn. o quoniam 2 triangulobe dabscinditur triangulum ech, quod non babet idem centrumgrauitatis: erit centrum residui,
169쪽
daturad e phnoium existens in eadem perpendiculari, in quas cenetrum gratulatis i , mansu- , sexti. rum, ut nunc manet, tacta nanque per ρ linea qpr, aequi Asariu ipsi b d, erit ob triangulorumi'. quinti. si litudinem , Qqc ad c ρ , istaec ag ch: ita reliqua.qe ad liquam ρ b. ιrsus ut ec ad ch, italc ad cn Cy reliqua ei ad h n. quare a e ad pherit, ut et ad bne permutando , qaudet, ut ph adbn inest ut triangulum ec k ad trapeetium be V. si igitur in libra qel, cuius centrum susten rus sit e , intelligatur ad ipsum quidem q suo sum ese trapedum be sis adluero sustensum triangulum echs aequi ponderabit alterum alteri quod magnitudines ex altera parte res Meant ipsis longitudinibus ex demonstratu ab Archimede in quarta, O quinta primi de aequi ponderantibus , a Iordano in octaua libri de ponderibu . manebit ergo libra bori ponti aequi- distatu: idcirco latus inrped be, O trianguli cc manebit . quare si totum triangulum b c d sustentatur ad e; erit bet latus eius instar librae: G .munc bri, ut manet; quod demonstrare nolebamus . Poterant haec sufficere ad figuram propositam. verumquoniam Archimedes uniuersem nunclauit illud contingere, O nos universim ageremus demonstrationem in omnibus figuris restilineis . prius tamen, ut id commodius bat, visum est docere, quo DIIo in omni figura rectilinea
centrum grauitatis inueniatur . nam Archimedes m tibi o de aeqvsponderantibus elementa tam tum tradidit . .
Cuiuslibet figurae rectilineae centrum grauib
I triangulo, qua ratione illud lavcniatur fatis constat ex duodecima primi de aequiponderantibus, cirex iis, qua nos supra stripsimus: Sed sit quadrilaterum ab cd, cuius oporteat contrum gratulatis inuenire ;O O ducuntur diametri ac, bd secantes festine. Eι si . quidem quadrilaterum parallelogrammum sit, centia grauitatis erus erit in punIIo es quod ostendit Archimedes in Qtatia eiusdem libri. Si vero non sit parallel grammum ; tamen pirectum es t j am b d di metrum in partes aequalest diuidatur linea a e in f, ita
ut assit Opta se : simititer linea e e riuidatur in g, t cginui ge fi dupla: diuidatur quoque Isin b, ut Ib aequatu sit ipsi se . Dico iam punctum h cen-
trum gegraudatis quadrilateri ab ed. Genini scentrum Arauitatu triangula abd: Og item grauitatis r s.quinti. ccnoum triauis ebd, ut Opra ostendi v. habet autem se adeg eam proportionem, quam ae ad eci, i cum si se tertia pars ipsius ae , O eg tertia ipsus et .sexti. c; triangulum dedad triangulum ede eam habet proportiouem, quam linea ae ad lineam ec: Cr camir.quinti. dem habet triangulum a eb ad triangulum ebc. t tum ergo triangulum ab d ad totum ebd habebit eandem, quam fe ad eg; hoc est quam Ih adbD Vle- . nim bs ipse eg aequalis; cum sit Ib posita aequalis ipsi se . qua re centrum magnitudinis ex his trianguis c
positae, uidelicet quadrilateri ab c d erit in ivrea fg, O in puncto h, ex quarta, O quinta primi de aqui- . . ponderantibus. Quod si punctum e secet diametrum bd in partes inaequalor secetur ea bifariam in D corducantur lineae a L e kr dundanturq; in t m pumctis ; ita ut si a I dupla ipsius th; O em item duplam G iungantur im lineu, quae siccet bd in n; Ofiat m o aequalis ipsi in . Dico punt Ium o ellccentrum sexti. grauitatu ipsius quadrilateri. Quoniam ciam H
170쪽
ὶ odi. cio MMENTARII s. 13 ιs hi ad I a eam habere proportionem, quam m ad m ce ae distabit linea i m lineae a e: Oenit triangulum Oil simile triangulo Mea; Otriangulum knm simile ipsi hec . si igitur in
ad n L, ut ae ad eis O n ad n m, ut e bia e e. quare ex aequati in adum , ataead e e. ut autem in ad n m, ita mo ad ol: ut ae ad ec, isa triangulum abdad triangula ebd. ut ergo triangulum ab d ad triangulum c bd, ita mo adol. Itaque cum sit i centrum grauitatis trianguli ab droem centrum trianguli cbd; eadem ratione totius quadrilateri centrum grauitatis erit in linea im, in o puncto. LITE R. Sit quadrilaterum ab ed; ducam turq; ac, bd: O sit trianguli ab c centrum gram-tatis er trianguli autem a d c centrum sit ipseum f. erit centrem magnitudinis ex his compositae in linea duLIa ab ead s. rursus sit g centrum grauriatis trianguli adb; Oh centrum trianguli dbe; O ducatur gh secans lineam es in L erito eiusdem magnitudι-nis, hoc est quadrilateri ab ed centrum grauitatis in linea g h. quare in puncto k; in quo uideluet ipse li
Sit pentagonum ab ede; o ducantur a c, a d xi trianguli aut cm ab c centrum grauitatis sit Is cir quadrilateri aede sit centrum g: O iungantur D. rum
Ios trianguli a de centrum sit h; quadrilateri A bcd centrum D ducatur hhscam lineum fg ini.
Dico I centrum sir grauitatis ipsius pentagonι: cris enim totius magnitudinis compositae centrum in linea fg, O in linea h h. ergo in pu Io I; in quo scilicet ipsae conueniunt. Sit Hexagonum ab edes: O ducantur ac, aer
iij; trianguli a b e centrum grauitatis ge O mn a. tagoni a cdescentrum fumatur, quod sit 5 : duca tur Ih. rursus centrum triangulia esset Odo pentagoni ab c de sit l: Oducatur hi, qua seceti imgb in m. erit eadem ratione punctum m centrum grauitatis totius hexagoni. 2 n aliter in heptagono lctagono, in aliis , quae dianceps sunt, centrum IN ultatis inuenietur: quod facere oportcbat His positis,sit remimeum ab c supra hora n em erectum: ita ut latus a c sursum statuatur: sit primum Hrironti aequidsum. Inueniatnr autem ex tu, quae diximus, ceutrum grauitatis eius, quod fit d: Oper d ducatur b d e perpendicularis ad lineam a c λ Ique perpendicularis erit ad borirontem ipsum. Dico restilitarum ab e su pensum in e, ita permansuris, ut nunc manet. rectilinei nanque ab e centrum gra
iram re rilinei ebc: si iungantur fida pucium ' . . . . .m f e ad lineam a c ducuntur m , gh aequidi flantes ipsi b e. transibit igitur linea fg per dici habebit fd ad dg proportioum tanta qπm re dissipe n e . c Iad remuneum ab e , ex sexta primi de aequi ponderan D u . rursus P prppornane lubet D id da, eam habebit be ad e . si enim aequi isent. s fg, a c: erit be aequalis si fd; in ipsi dg .suero non aequiessent: colunt inter sese, 'utidi partes a , t ad pariis e. quocisqueau em modo id bat: secabunturi se fecundum eun- sin si parti em allacis AEquidi tantibus U,ed, ha, ut supra ostendimus: O idcirco erit head e , ut ID ad dr; hoc est, ut rea a m ebc ad ipsum abe. serra in libra h e korem neum i quidem