장음표시 사용
171쪽
quidem ab c suspendatur ad punctum he r ctilineum uero e b e ad O aequiponderabunt inter sese, ex iam dictis : munebit libra, ut manet. Quare si totum rectilineum ab e ex his constans suspendatur ad er o ipsum quoque premanebit in eodem situ , in quo post tum fuerat. QMd se latus a e non aequidisset horigonti: intelligatur ipsa tinea im hori. ti aequidistans; O rursus per d centrum grauitatis ducatur linea n do perpendicularis ad I neam lm, qua secet ac in p. Dico idem rectilineum sustensium ad p in eodem situ per
mansurum, in quo nunc manet. sumatur enim q centrum rectilinei anp,Or centrum recti
secantes lineam lm in punctis ux. erit so ad
ot, ut qd ad dr; σ q d ad d r, ut rectilineum p ne ad rectilineum a n p. quare so ad ot erit, ut rectilineum p n e ad ipsum a n p. ex quibus sequitur in lora sol, rectilineum an p suspensum adu ex puncto s aequiponderare rectilineo pnc ad x ex ipso t sustensio; σpropterea totum rectilineum suspensum ad p ita
permansurum, ut nunc manet. unumquodque
igitur sus ensiorum ex quo puncto conlitutum est, manet, si in eadem linea perpendiculari fit punctum suspensionis, O centrum grauitatis suspensi: quod fuerat ostendendum. Et quoniam aequiponderant spatium quidem f suspensum ad a ; triangulum autem b d c ad e; constat ea ex altera parte respondere ipsis longitudinibus , atque esse ut a b ad b e, ita b d e triangulum ad f spatium. J Ex quarta , σquinta primi de aequi ponderantibus, o octava Iordani de ponderibus, ut sepius es dictum.
I PDO POSITIOVEM VII. Constat & triangulum e d g spatii striplum esse. J Colligitur hoc ex decimano quinti. cum enim totum totius sit triplum ;s ablatum ablati item triplum ; O reliquum reliqui triplam erit.
Demonstrabitur hoc similiter antecedenti. J Surito enim centro grauitatis triangulicd , quod sit b, ducta hI aequidistanti ipse de , si suspenso sat adg: manebit triangulum, ut nunc manet, ex iam demonstratis; c habebit ad statium frandem proportionem, quam habet linea ab ad bg. quare triangulum c d maius erit ipso f; quὸd linea a b maior sit linea bg. Erchm bs sit maior ipsa be: erit fi lium maius statio ι.
172쪽
I V. P R O P O S I T I O RE M X. aperii igitur b d h g, centrum grauitatis est punctum h. J Elicitur
hoc ex ultima primide aequiponderanti bus . trapeo enam bd la centrum grauitatis es in linea r Lia , o a laterum a-quidistantium bipam
titiones iungit; atque in eo linea puncto, quo ita diuiditur, ut pars terminum habens minus laterum aquidistantium ad reliquam partem, eam proportionem habeat , quam uir
re linea; aequas duplae maioris
una cum minori ad duplam minoris, una cum maiori,secetur igituar latus bd bifariam in or ducatur oe secans gh in p. erit ut linea boad oe, ita gρ ad primopter triangulorum similitudinem; Out o cadod, ita pe ad ph,
ut bo ad od, ita I p ad ph. sunt autem bo, od aequales. O ipsa ergo g p , p aequales erunt. Eadem ratione ostendemus O lineam e n bifariam secari ab ipsa o e, uideticet in puri Io b. O cum ph ad bo eam proportionem basiat, quam Ie ad eb, ut supra ostendimus, hoc est, quam dupla d b una cum ipsa fici ad duplum ha una cum db: erit ipsum h centrum grauitatu tru
Similiter iis, quae dicta sunt, ostendetur spatium s minus esse spatio l. Secetur enim b c me, ita ut ge ad e b eum habeat proportionem, quam dupla d r una cum hi, habet ad duplum hi uni cum drro per e duratur aquidistans ipsi bdr, quae sit em n: O dim- datur e m n bifariam in puncto b. erit trapery d hir centrum grauitatu ipsum b. nam duecta Op linea, quae laterum quia stantium bipartitiones iungat, transibit per b, ut proaime ostendι- mus: O ph ad h o eam proportionem habebit, quam ge ad eb. trap tum igitur d t rsi a punctis b g Ioluatur; sustendatur ad e: manebit in eodem situ; O aequi ponderabi; statio
173쪽
I V. P RO P O S I T I O RE M X. Traperii igitur
bd k g, centrum grauitatis est pun - m h. J Elicitur hoc ex ultima primide aequiponderant 1-bus . tranqj enim bd a centrum grauitutis est in linea r m , auae laterum a-quidistantium bipam
titiones iungit; atquc in eo linea puncto, quo ita diuiditur, ut pars terminum habens minus laterum aequidistantium ad reliquam partem, eam proportionem habeat , quam utraque linea; aqualis duplae maioris una cum minori ad duplam mm-
iori,secetur igitur latus bd bifariam in or O ducatur oe secans gh in sexti. erit ut ea boad
propter triangulorum similitudi- gnem; crvt o cad
ut bo ad od, ita I p ad ph. sunt autem bo, od quales. ipsae Og p, phaequales erunt. Eadem ratione ostendemus lineum en bifariam secari ab ipsa o e, videlicet in puncto h. O cum ph ad bo eam proportionem baseat, quam ge ad e b, ut supra ostendimus, hoc est, quam dupla db una cum ipsa ha ad duplam Quia cum db: erit ipsum h centrum gravitatu trape ij b d a.
I P R O P O S I T I O M XI. Similiter iis, quae dicta sunt, ostendetur spatium s minus esse spatio l. J Secetur
enim b c in e , ita ut ge ad eb eam habeat proportionem, quam dupla d r una cum hi, habet ad duplum hi una cum dr per e duratur aqvi stans ipsi bdr, quae sit em n: σῶmdatur e m n bifariam in puncto h. erutrapela d hir centrum I rutatis ipsum b. nam ducta op linea, quae laterum quid antium bipartitiones iungat, transibit per b, ut pro ιme ostendimus: Oph ad bo eam proportionem habebit, quam ge ad eb. trapegium igitur d hir se a pu Iu b g soluatur; er sustendatur ad er manebit in eodem situ; aequiponderabit statio
174쪽
. um d hi r ad f statium . Quod cum b aad b e mars rem proportionem habeat ,
quam ad Lipa: in V m A Quare triplum erit bde triangulum spatii rq χ ρλ. J Ex siexta huius. B Eandem habet proportionem b c ad b e, quam, s e ad e v. J V erumex quinta ta ius b e, ad ec, ut eu ad us: σ conuertendo ec ad be, ut us ad eu. quare componendo b c
triangulum kbc: erit ut ba ad be, ita triangulum d b c ad triangulum Ub c . Quare sicut totum triangulum d bc ad totum hb c, ita pars ad partem; hoc est triangulum sec ad triangulum uerit s.quinti. O reliquum igitur trap tum de ad reliquum O erit, ut triangulum d b c ad triangulum k bc; hoc est, ut ba ad be. D Maius erit he spatium spatio r; hoc enim ostensium est. J In decima huius. E' Et est ut b a ad b e, ita i , trapeatum ad trapeZium s u. J V enim ut ab ad b e, ita triangulum se e ad triangulum u e c quod nos supra ostendimus. ut autem triangulum s e c ad tacti. triangulum uec , ita triangulum tD ad ipsum σοι quod linea is ad se sit, ut se ad eu. tra ' μ' - perium igitur reliquum sfad reliquum fuerit, ut triangulum se e ad triangulum uec. hoc est ut a b ad b e. F Spatium igitur q trapetio quidem is minus est, trapezio autem su maius; nanque S hoc ostensum est. In duodecima huius. G Similiter etiam λ spatium triangulo xic minus est, & triangulo cio maius.' Nam ut bi ad ic, ita io ad O a , ex quinta Ius conuertendo, componendo ue, ut b c, hoc est, ut ab ad bi, ita x i ad io: ut autem xi ad io, ita triangulum xit ad triangulum Oic. quare ut ab ad bi , ita triangulum xi e ad triangulum Oic . Et quoniam triangulum xic aequiponde rat '. spatior si quam proportionem habet ab ad bi, eandem triangulum xi e habet ad triangulum Oic: erit ex oflava talus spatium λ minus triangula xi c, maius autem triangulo Oic. Quare dbe triangulum triplum erit spatii rq χ9λ. J Ex septima huius. R Similiter ut prius Ostendetur, b u trapezium spatio r maius. J Ex undecima talus.c Et trapcrium he malus spatio q: trapezium autem fu minus eodem. J tertia decima. Quod uero reliquum es, ut in proxima propositione concludemus. I P O P o S I T I O E M XV.
175쪽
.ec O M M E UT V S. 2 PROPOS OVEM X V I. Potest autem sumi aliquod spatium minus dicto excessu, quod sit pars trianguli bde. J Nam si excelli, quo b bc portio excedit spatium L sibi ipsi eousque coaceametur , quou1que disperet triangulum b der diuHaturque dii tum triangulum in tot partes aequales, qu ties excessus sibi ipsi fuerit coaceruatus: erit una ex illis partibus minorim excessis, ut docetur in quarta propositione libri de lineis spiralibus. possumus autem O idem ιllud assequi ex prima decimi elementorum. expositis enim duabus magnitudinabus inaequalibus, uidelicet triangulo b d c, in excessu, quo bbe portio excedit spatium L si a triangulo auferatur dimidium: O eius, quod res quum est, rursus es dium auferatur: idq; continenter fiat: tandem relinquetur quaedam magnitudo minor dicto excessu. erit autem ea, O pars bd c trianguli: O ipsum metietur secundum num rum , qui in dupla proportione ab unitate tantum distat, quantus eis numerus ablatrunum. I t erempli gratia si ablatio ter facta fuerit: erit ea pars o laua; s quater , sextadecima : dcinceps.
Erit & b e pars eadem ipsius b d. 4
Quam enim proportionem habet triangulum bce ad imum bed, eandem ae habet ad bd.
Spatium ergo f minus est trapeχiis mi, xr,p h,& triangulo p o c. J Vam cum triangulum bee, O spatium s sint minora portione bbe: si ab ea auferrems statium quale triangulo b cer esset f statium minus
eo, quod relinqueretnr. nunc autem cum a portione auferatur minus, quam sit triangulum bte; auferuntur enim partes trapegiorum me , ut ,hr , bo , trianguli e o s, quibus omnibus est aequale bee triangulum: multo magis sequitur, ut spatium s minus si residuo
ipsus portiorus, quod constat trapeqvs mi, Fr,pb, Opeo triangulo. Ostensum est enim maius, quam trimplum. J In decima quarta huius. Et dictorum spatiorum minus, quam triplum. J In eadem decima quarta.
V LP POSITIOREM XVII. Recta linea ab li ducta aequidistans diametro bifariam secat ipsam h e, & b c
aequi distans est lineae sectionem tange ti in h. J Fit enam ipsa b e portionis diam ter. quare ex prima huius seqvitur, b e aequι-d stare linea coni ρctionem in puncto b tam Triangulum b d c quadruplum est blic trianguli. J Sequitur nanque ex secunda huius, lineas e b, b aequales esse . quare du Ia ch O producta .id ipsam bis in f, erunt Obs,fd aequales, ob similitudincm tria gulorum : propterea ipsa triangula ebs, ef d aequalia. Ryrsus cum sint e e, e b aquales di ipsae eb,bs aequales erunt: O triangula aequababbc,bhi. est igitur triangulum .
176쪽
I et V A D T V K. PM P A RA B O L E sbde ipsius bile quadruplum, ut proponebatur.
c Portionum quae recta,&curii a linea continentur&c. J Hactenus ostendit Archimedes, quomodo parabolas quadratura per mechanicas, ut i e ait , rationes fuerit inuenta. P une rursus eandem Esam rationibus geometricis tam strare aggreditur.
PROPOSIO OV EM X U I I I. A Constat lineam ac aequidistantem est. ei, quae in b coni sectionem contipgit. JEx prima huius.
I TROPOSITIO EM XIX. A Manifestum est eandem habere proportionem bd ad bh Iongitudine, quam ad ad sh potestate. J Ex tertia huius. I PROPOSITIO REM XX. e Neeesse est b punctiun uerticem esse portionis. aequidistans est igitur Ece. J Exiisqvie praemisit ante decimam octauiam, o ex prima huius. 3 Cadent igitur ipsae extra sectionem. J Si erum intra sectionem caderent: coirent eum diametro ex uigesima secunda primi' conicorum, quod est absurdum; cum ponantur iametro ἀ- quidistantra.
c Quare seri po test, ut in portione hac multiangula figura describatur ; ita ut reliquae portiones quolibet proposito spatio sint minores. J Ex prima decim, quo pacto in fecundia undecim desiribitur figura in circula, oea nobis in ellipsi, prorisitione quinta de comissibus, o sphaeroidibus. I R P RO P O S I T I O V E M XXI. Ergo punctum h uertex est portionis. J Ex decima octaua huius. β Punctum igitur f uertex est portionis aib. J Ex eadem decima octaua. est enim ab ad . sexti. hb, M a e ad e d . quae cum sint aequales intersie , O ipsae ab ,hb aequales erunt. c Est enim bd ipsius quidem es sesquitertia; ipsius autem eii dupla. J Trim pa . sexti. tet ex decima nona: sicundum uero demonsrabitur hoc pacto. Quoniam tria uti ab d, abGMunt aequiangula: erit sicut ad ad d b, ita ae ad eb: pommutando scut ad ad ae, sic db ad eb. quare cum dupla sit ad ipsius ae , ex positione: dupla quoque erit , O db ipsius eb. D Quare & a e b triangulum duplum est trianguli fb a. J Colligitur hoc ex duodecima quinti. Quod si rursus in reliquis portionibus a s D,bg,Ic triangula eodem modo deserabantur: erunt utraque triangula afb, bg c eorum triangulorum quadrupla. secentur enim bifariam a Ged in punctis U: ducaturq; hondiametro quid stans , O secans a b in puncto n; O asino: ducatur Ip itidem diametro aequi
distans, quae fecet bb in q; Ofb in r . Itaque quoniam in tria pulo aes aut laesh33, ipsi es quidi flans: erit ao ad os, ut a ad Le. aequales igitur sunt arios: ct m punctum uotex es portionis amf, ex decima octaua butus. Rursus quoniam in tria
gulo adb ducuntur es, Ip aeqn distantes ipsi db : erit ut ei ad id, ita hq ad q4. quare aequaler
177쪽
eram h q, qb: idcircoq; O ipsae D ,rbaequales: punctum puertex portionis Db. triangula igitur ams, ob eandem basim , altitudinem eandem habebunt portionibus, in nitibus describuntur. Dico triangulum a b quadruplum esse triangulorum amf, Db. est enim linea I b diameter uirilicet portionis afra, sesquitertia lineae m n, ex decima nona huius; O dupla ι ius no . quare o no ipsius om dupla eo ob eundem cauosam qr dupla est ipsius r p. ductis igitur lineis fn, n q , erit triangulum Do duplum trianguli fom: O triangulum a on duplum trianguli a o m. i. sexti. quare triangulum a ns duplum erit ipsius amf. est autem a ny quarta pars trianguli a fb. Eadem quinti. quoque ratione ostendetur, O triangulum G q , quod item est quarta pars eiusdem trianguis a D, duplum esse ipsius Iob. totum ergo triangulum ara, triangulorum amf,Db quadruplum erit. Vis aliter ostendemus triangulum bye quadruplum esse triangulorum bfg, Ric, in reliquis portionibus bg, Ic descriptorum . ex quibus sequitur, utraque triangula a I b, bgc triangulorum m. quinti. omnium amf, Db, b fg,gte quadrupla esse: quia demonstrare oportebat. Similiter quoque ostendentur triangula ams, sp b, b fg,gic quadrupla esse trian*ulorum eorum, quae in reliquis portionibus describuntur: di ita deinceps in alli S. I PROPOSITIO REM Xa II. Similiter autem ostendetur triangula in reliquis portionibus descripta, eandem basim habentia ipsis, & altitudinem eandem, spatio h aequalia esse.J Ostendimus examinantecedenti triangula ad b, bec, triangulorum ιn resiluis portionibus descriptorum quadrupla esse. Quare cum spatium q ponatur quadruplum stat D: erunt triangula in reliquis portlυnibus
ET V LT I M A M. Vnde sequitur omnia spatia minora esse, quam sesquitertia maximi spatii. J Sunt enim omnia spatia una cum tertia parte minim stat sesquitertia maximi s quod proxime est
Et h spatium sesquitertium spatii f. J Positum nanque est flatium aequale triangulo Babe , O statium L eiusdem trianguli ab e sesquitertium. Et quoniam spatium k excedit fg, hi spatia minori excessit, quam sit i.J Exce- cssit enim tertia tantum parte ipsius i stati, e quod cium est dem iratum .
178쪽
ET S P H AE RO I D I B V S.I Rac TAN cvLi coni sectio &c. J Diximus supra rectangi iurem sectionem posteriores parabolen appellasse, atque huius impus caussam ex Eutocio attulimus.
Conoides rectangulum appellari. J Nos non inepta, ut πιων, si illud inum concides parabolicum appellabimus, O redem modo comides h perbolicum, quod obtusa sillim uocat Archimedes. Qus utraque non aliter, quam parabola, perbole, ita intelligi oportet, ut ιn infinitum augeant'. - Verticem punctum, in quo alterum planum conoides contingit; axem uero rectam lineam intra portionem receptam, ex ea, quae per uerticem portionis ducta sit axi conoidis aequidistans. J Videntur haec dicta de portione comissis rectanguli, seu parabolici abs se plano mn Gedro fi per axem: ea enim, quae abscinditur plano super axem erecto , uerticem habet eandem, qacm concides; Oaxem axis considis partem, intra portionem receptam. Hoc autem idcirco contingit in portione comidis parabolici de axe, quod in portione paraboles idem contingat Δ diametro: tiam se parabola abscindatur linea rilla, quae cum diametro eius rectos contineat angulor; Leno i m cst in utraque: d ameter uero portioras, diametri sectionis pars est . sim minus, uertex portionis es punctum istud, in quo altera linea pares ira tangit, lineae abscindenti uidistans; diameter vero linea, quae ab eo puncto ducitur uidistans ipsi paraboles diametro: quod ex quadragisma sexta primi conicorum Apollonu abunde colligi tur. Vt autem ea, quae hoc loco dicuntur, dilucciora fiant. Sit comides parabiscumabo, cuius axis bdro planum cuius recta linea es, illud tangat in puncto I: O a I demitta
tur linea I b, aequidistans ipsi b d: rursus
ducatur aliud planum comides absitndens, aequid amq; ast ri kl; cui linea g b occurrat in puncto m. erit portio comidis parabolici hal abscissa plano non erreIo super axem; cuius basis superficies circa diam trum V; uertex ueros; craxis g m. Quod se planum es tangat comides in b pune Io: ducto altero plano ei aequi distanti fis, cui axis bd occurrat in n, erit kbi portio a
scissa plano super axem erecto; O cius basi superficies V; uertoq; b: O axis bn. Et si idem comides parabolicum ab escindatur plano per axem, O per ipsam Ab ductor fiet sectio ab c parabola fg ram describens, ut infra ostendetur: O erit parabolas portionis ha I, basis linea hi; uertex g;. diameter Im. O similaterportionis paraboles Ubi, basis U; uertexb; O diameter b n. Si in eodem plano sint obtusianguli coni sectio, eiusqἰ diameter, & lineae, quae sunt proximae coni obtusianguli sectioni , Sc. J Lineae festioni coni obtusianguli proximae
apud Archimede sunt, ut opinor, quas Apollonius appellat δευμα μιτη τιμὴ, hoc est non coeuntes cum sectione. Sit enim coni obtusianguli sectio , seu sperbole abc: est eius hurae latus transuersum b d bifariam feretur in puncto e; quod Apollonius sperboles centrum uocat: atque ab eo ducantur lineae non coeuntes cum Actione es, eg , ut idem docuit Apollonius in prima sicundi
179쪽
conicorum. Si igitur omnes hae lianeae sint in eodem planor manente diametro b h, circumducatur planum qmusique redeat in eum locum, d quo coepit moueri: manifestum est
liceas ef, eg conum comprehendere aquicrurem, quem Archimedes conum consides continentem appellat i cuius uertex est e, O axis ebr
insuper sperbolen a b c comprehendere figuram , quam ille cono des obtusiangulum, nos perbes
cum dicemus; cuius uertex D, a xis b hr linea uero eb erit, quam ad axem adiectam uocat Arelamedes , Apollonius in Dperbole eam, quae ex centro appellat.
Et si obtusiangulum conoides planum contingat &c. JSit consides obtusiangulum ,seu hyperbolicum a be, ut in proxima figura: atque ipsum tangat planum i in puncto mr intelligatur item aliud planum ei aequid stans ἰσα- naides feram, n o r ductaq; e m l nea , ci' producta occurrat plano no in p. erit portionis constidis m voabscissae plano super axem non erocto, bases sivescies circa diametrum,no ; uertex m; axum p; linea uero ad axem adiecta me.
sed si planum V tan at comitis in puncto b: ducaturq; aliud planum ea aqiussistans ns, cur axis bhoccurrat in q: erit portionis n b oabscissae plano super axem erecto , basis si perficies circa diametrum nos uertex b; axis b q; lineaq;
ad axem adiecta, eadem, qua considis, hoc est ipsa b e. Fit autem hoc in portione comidis hyperbolici; quod in portione hyperboles ide at . Si enim conoides hyperbolicum a b c secetur plano per axem,perq; lineam e ρ ducto : At ab e sectio , hyperbole . quae figuram describit,
ut etiam ostendemus eo erit umo perboles portionis , basis no; uertex in m p diameter; linea u ro me ea, quae ex centro: quod ex quadragesima septima , quinquagesima primi conicorum a
Omnia conoidearectangula sunt similia, obtusiangulorum uero cono ideon&c.J FParabola erum omnes similles sumi, a quibus rectangula, hoc es parabolica comitia describun- Pirabolae
180쪽
Ivperbo tur . hyperbola uero similes dicuntur , quarum comunctae diametri inter se , uel quarumsigurael C tera eandem habent proportioncm. irarum autem linea non coeuntes cum futione aqua m coni L ,. soti nent angulum: O idcirco similem conum describunt, conoides ipsum continent : recteq; l portaei similita tica comidea si ilia dicuntur illa, quae a similibus stationibus dinum habent. G Et si sphaeroidum figurarum quamlibet plana aequidistantia contingant, quae ipsas non secent. J Sit stiamides Duoblongum diuelatum ab cd, cuius centrum e si tangant duo plana aequi distantia;Fanum quidem H in puncto b; planum uero h in de O item duc tur aliud planum .dis ipsis quid flans, O secans sthaeroides, quod
sit ac: ductaq; bd occurrente plano ac in i, quae tra inibit per e, ut ipse Archimedes ostendit in decima octaua huius , erit portionis
stl aereidis a b c basis seuperficies
circa diametrum a e; uertex b; σaxis bir portionis uero a de basis erit eadem; uertex d; O axis di. I Iulus caussa est, quὸd in ellipsi eadem cumunt. Secetur enim ιν roides plano per axem ducto, Oper lineam bd. fet fictio a b c d ellipsis figuram describens; O eius portionis ab e basis erit linea a c; vertex b; O diameter bl: portionis autem a de , basis eadem a c ; uertex d; o diameter di, ut ex quadrage a sept ma primi conicorum apparet. Π Itaque demonstratis dictis theorematibus, per ea ipsa inueniuntur theoremata multa ,&problemata &c . J De his nos in me nonnulla conscribemus. I Si conus plano secetur cum omnibus eius lateribus coeunti . sectio, uel erit ei cuius , uel coni acuti anguli sectio. J Si enim conus plano secetur coeunti cum omnibus i sius lateribus, aequid stanti autem basi, aut ei subcontrarie posito: sectio circulus erit in eius pars
hoc circulo contenta usque aduertirem erit conus : Ruod dem stravit Apollonius m quarta, O quinta primi conicorum. erit autem is conus similis cono, a quo absindatur. Sit nanque conus a be, curus basis circulus arca Hamarum a c, fraxis bd: Icceturqi primum plano basi aequissistunti, quod faciat sectionem es. circulus igitur eris es, centrum habens in axi, ubi punctum g r Oebs contis, cuius basis circulus circa diametrum es, O axis bg. Dico conum ebs similem esse cono a b c. secetur enim conus abc O altera plano preo ducto: stq; festio ab e . erit abetriangulum, O item triangulam ebs; ex tertia primi conicorum. Ercum es aequiesset basi: triangulum