장음표시 사용
181쪽
ita ba ad be: ut autem ba ad ac , ita be ades: exaequali, ut bdadae, ita bs aes conus igitur ebs, cruus basis es circulus circa diametrum es, Oaxu bg, similis est cono ab c, cuius basis cireulus circa diametrum ac, oe axis b d , ex disiatione simitium conorum. Sed si scietur c nus scalenus plapo subcontrarie posito si basi: secetur autem O altero plano per axem ductor μ' eris anguitas b se aequalis angula ba e ro triangulum fra e simile triangulo a b c. druidatur ipsa es linea bufariam mI, O iungantur b g. erit ut ba ad ad, sic bs ad fg. quare o triangulum bH smile erit triangulo bad. conus igitur foe simulis est cono a b c , ex di nitione conorum Dale'norum similatim tradita a campanam duodecimo elamentorum , propositione decim; quos imse pyramides inclinatas appellat. sunt nanque anguti ad g aequales angulas ad ipsura det quod
Si uero canias Fauo secetur eoeunti cum mnulus ipsus lateribus, rura autem aequissistanti basi, aut ri subcontraxm positor semo erit ellipsis, ut monstrauit idem Apollonius in decima tertia Musidem. Oportet tamen communem sectionem secantis plavi, O eius ,in quo est coni basis, esse bu am retiam , ad rectos exolentem angulos, uel basi trianguli per axem , vel ei, quae in eadcm ipse ructa linea constituitur. Figuram autem com sectione Acta contentam ad uerticem usique coni, Ar
chimedes πιτμαι- κώνου uscat, nos coni portionem uertimus. iiis. ruuοd s renus duobus planis iussi'untibus eo pacto secetur sectiones erunt ellipsis intersem miles . sunt autem ellipses smiles, quarum diametra coniunm eundem habent pro risonem. Sit contis a b c ro secetur duobus planis quid stunt sitis Itit dictum est, qtiae faciant ellipsis ef,I b. Dico eas sistes esse . secetur enim contis optino per axem ducto stq; statio triangulum a b c e commines in sectiones planorum avulsantium, ocius quod per axem duduni cs,
182쪽
lum eis; hoc est ad quadratum et . eadem ratione ut fg ad gh, ita quadratum qm ad qua dratum g m. quadratum igitur ni ad quadratum ei est, ut quadratum qm ad quadratum g m. Itaque cum quadrata semidiametrorum ipsarum ef,gb elli tum eandem inter D proportionem xl. sexti. habeant: O Iimidiametrii aer O item diametri eandem habebunt: σerunt ellipses similes: quod F qui' erat ostendendum. Ex quo patet coni portiones e U,gbb similes quoque inter se esse. dicuntur Coni, Si aurem similes coni portiones , quemadmodum O portiones csindri similes, quae bages similes hu- Cylindri sent ;O earum axes angulos aquales continent cum diametris basium eo imitibus; proporti ' mcli adeas habent eandem. ducta enim b m, qui est aris coni portionis Ibh, transibit peri, quodex similiturine triangulorum eorum facile ostenta resecum; ef, b rectae lineae aequissi- '- P flent : ipsae no, r aequi distabunt ;O erunt anguli adi constituti aquales M, qui sunt ad me 'i' ut bm ad gh, ita blad ef. ut autem gh ad qr, ita es ad n o. quare ex aequali bl ad no erit, vi bm ad qr. ex dignitione igitur coni portis ebraimus est portiona gbb, ut dicebamus. Si denique conus secetur duobus aquid flantibus planis, qua secent basim comter rectam , ad rectos angulos exisentem ipsi basi trianguli per axem: fento eo pacto sectiones similes. nam uel diametri semonum quidi stabunt uni ex lateribus trianguli per axem, uel non aequid stabunt. siquidem s-quii I abunt: erunt Ieritiones parabola ex undecima primi conis
se similes sunt. Fin minus: erunt perbolae ex duodecima eiusdem.
eas autem similes esse ita monstrabitur. Sit conui abe: O secetur duobus planis aequi distantibus, ut dictum
est; quae faciant sectiones h perbolas d ef,ι ὸmn: O sit ηno D, d es diameter eg; latus figurae rectum he; transuersum e Ripsius autem tmn diameter sit mo; rectum latus q m; transuersum mp ductaq; b raequid stanti diametris earum eg, O mo, erit ex duodecima iam dicta, ut rectangulum a r e ad quadratum Γν ,sie e ad ebr O sic qm ad my; iaces latus retium ad transuersum . quare cum earum figura latera eandem habeant proportionem: ex da Unitione Ἱperbola similes erunt: quia monstra
Κ Et si cylindrus duobus pIanis aequidistantibus secetur, quae eum omnibus ipsius
lateribus coeant. J Sectiones cylindri, circuli quidem erunt centra habentes in axi, eum plana illa ipsum secantia qui dissent basii, aut ei Dbcontrarie ducuntur: elli es autem, cum auter P - - modocunque habeant,si modo communus sectio secantium planorum , eius, in quo est basis cylindri linea recta fit, ad rectos angulos existens, aut base parallelogrammi per m , am ei, qua est in eadem recta linea: quod monstratum est d Sereno in cylindricis. Itaque ellipses illa aequalis erunt , miles; quoniam aqualo habilist utrasque diametros, ut osteniatur. Sisciam cs -
183쪽
drus a g, cuius basis circum ab ed; is es: secetur duobus planis qui flantibus, ut rictum est: secetur praeterea O altero plano per axem ducto riis sectio ag. erit ag parallelogrammum, quod monstrauit e dem inlota Serenus: planorum autem sectiones sint lacim ellipsesi quarum maiores diametri rectae lineae bk, im; centra in ara cylindrii hoc est in punctis no . nam ducto plano p q per η, aequidistanti basi, si mo circulus erit, O linea p n, aequalis linea nq. cumq; triangulum bnpjimile sit triangula hin q, quod ma esse patet: erit ut pn ad n b, sic qn ad n s permutaudo, ut pn ad n q, sic bn ad n his sunt autem p v, nq aequales. aquales igitur ipsabn, n o quare ellipsis b centrum es n. eodem modo monstrabimus, ct ellipsis I mcentrum esse imum o . oecum plana LP distenti aeqvidistabunt O ipsae hGIm: a que erit Usum h m parallelograminum. unde aequalis erit l m ipsi h h. secetur rursu lindrus plano per axem ducto , erecto superauudplanum secans item per axem e isitq; sectio b dr i , quae Oipsa parallel grammum erit; comm es autem sectiones huius , O planorum aequid stantium sint tu, o. -u eadem ratione tu, xy recta lineae , aequissistantes inter Aese; O idcirco parallelogrammum quoque erit t3: linea x3 aequalis ipsi tu. sed tu diuidit per medium sineam bh; O angulos cum ea rectat escit ; quoniam est planum super planum est erectum. Quare secunda diameter Gellipsis bia oe similiter x3 sicunda diameter ellipsis i m. suntq; diametra ellipsis b L, aequales duametris ellipsis i m. ellipses igitur inter Iesie sunt aequales, Er si res: quia Uendere uolebamus. U ,
, c O RO L L A V M. i Ex his sequitur, Ellipsium omnium , quae a planis cylindrum eo pacto lecantibus fiunt, secundas diametros aequales esse diametro basis ipsius cylindri: sun t enim t v, xy aequales ipsi h di de ita in reliquis. e ' ι' PM POSITIOREM I. I Huius uero demonstratio manifesta est . J. Sine magnitudines aequaliter sese excedentes ab cdes: sitq; excessus minime illarum aequalis, uidelicet ipsi f: ad ciaturaulemadi am b magnitudo g, ae qualis ipsi D ad c ad: ciatur magnitudo b, aequalis erci ad d magnitudo aequalis sibi ipsit is ade maguitudo l, squalis erct ad f magnitudo m,a- qualis b. Erunt hae sic factae magmtudines inter I Epaeivales eo item aequales maxime: magnitudines uero bg , ch, d .el .fm dupla magnitudinum bedes. quare addita utrobique magnitia ne a, cruno mussitudines a. bg, Ab, du. el, fm migmt di' ri fa. num ab edes m nares, quam duplae; deficiant erum d duplis tanta magnitud ne , quanta 6 a: magnitu t i dinum
184쪽
dinum uero be des erunt eaedem maiores, quam dupla; quod superant eadem illa magnitudine a. constat igitur uerum esse, quod proponebatur.
A FIabent autem omnes ab c d e faci a eandem proportionem, quam omnes gh i h l in ad g. J Erit enim conuertendo fade ,sicut m ad Iroe componendo fe ad e ,sicut m lioquinis. ad i. sede ad d est, sicut i ad L. f e igitur ad d sunt, cui mi ad h. Ο- rursus componendo f edad d,sicut mi adces autem d ad G ut ad i. quare sed ad e, ut m i , adi: rursusq; componendos ed c ad c, ut m thiadi. oe eadem semper ratione utentes, tandem conclud tis, omnes ab c d e fad a eandem habere proportionem, quam habent omnes g h i kl m ad g. B Verum n ad omnes ii x op r S habet eandem, quam i ad omnes tuyqz 9.J Quomodo osenseum fuit superius a b c d e fad a tandem habere proportionem , quam I h i kl mad Ir er hoc loco ostendemus n xo prs ad n habere cam, quam tu 3qη9 ad i. quare O uertendo nad n x O p r s eam habebit, quam i ad x u 3qx s.c Manifestum praeterea est; & si magnitudinum a b c de s, ipsae ab c de resera tur ad n x o p r &c. J Nam si magnitudines 1 9 auferamns, ea, qua diximus ratione: erit riadi as n x o p r, ut i ad tu γ qR . quare ex squati ab c defaanxo pr Ita erit, ut S b
e Sunt enim aliqua spacia, in quibus a, se se aequaliter excedentia;& excessus minimo est aequalis. J Quoniam cium statia , in quibus sunt b e d e si, omnia sunt quadrata sicut lineae bed e si sese aequaliter superant: ita O reliqua quadratorum latera sise aequaliter super bunt. Quam vero proportionem habent quadratorum latera, quaesunt bases spatiorum a , eandemt.sexti. habent est ipsa spatia . quare statia, in quilus a sese aequaliter excedunt: in excessus est aequalis
a Et ideirco spatia omnia, in quibus i , omnibus , in quibus a , minora erunt . J Nam cum exprima huius ,spatia omnia , in quibus h i, aqualia maximo, statiorum, in quibusa, sese aequaliter excedentium, minora sint, quum dupla; reliquorum uero dempto maximo, malara . crunt O spatia omnia, in quibus ι, quae sunt dimidia spatiorum omnium, in quibus h i , minora spatijs omnibus, in quibus at retiquis uero dempto marmo, maiora; positum es enim lineami dimidium esse ipsius hι.c Quadrata igitur linearum omnium aequalium maxime &c. J Quadrata linearum omnium aequalium maximae, hoc est spatia, in quibus V, quadratorum omnium linearum sese qualiter excedentium; hoc es statiorum, in quibus b c de fg, minora sunt, quam tripla: relia quorum uero dempto maximo, maiora x corollario decimae de lineis fluralibus. statia igitur omnia, ε. sexta. in 'ribus , quae sunt tertia pars statiorum omnium, in quibus U; cum linea Lipsius i lineae subtripla siti erunt spatijs b c d e fg minora; stati s autem ede si maiora: atque erunt, uisup rius monstratum est, statia omnia, in quibus i minora omnibus, in quibus a ; maiora autem rei quis dempto maximo . ex quibus sequitur spatia omnia, in quibus cesse minora statvs ab , ac, ad , ae , af,ag; spatiis uero ac , ad ,a e,aLag, maiora. D Manifestum est igitur, spatia omnia, in quibus h ivl&c . J cum spatia omnia, in quia bus ι , stati s omnibus ab , ac , a d, ae, a Lag, sint manora; reliquis uero dempto ab , maiora riLquinti. habebunt spatia omnia, in quibus h iu ad statia omnia ab , ac , ad , ae , a s, agminor propore. sexta. tionem, quam ad statia n quibus i adflacia aut Ea c, a d ,a e, af, ag, maiorem. Sed quam proportionem habent spatra omnia an quibus hi sed spatia an quibus i , eum habet linea hi ad lineam 13.quisiti. t h. stacta igitur omnia, in quibus hi clad omnia ab , ae , ad , a e , af,ag minorem habent pro portionem, quam linea hi ad lineam i ad ipsa uero spatia ac , ad , ae, a Lag, maiorem habent , quam dictae lineae , pro Nionem. t E Si quancunque conisectionem rectae lineae contingant&c. J Octendit hoc Apollonius Pergaeus in tertio conicorum ,propositione decima peptima.
185쪽
Et sumatur ea, iuxta quam possunt, quae a sectione ducuntur; dupla illius, quae est usque ad axem. J In parabola enim, quae fit ex com rectangulo, de qua Archimedes loquitur, linea, iuxta quam possunt, quae asiectione ducuntur, ordinati laticet ad diametrum c graecis ἐνθώθdupla est eius lineae, quae habetur auertice sectionis usique ad coni angulum, hoc est usique ad axem.
Sit erum conus rectangulus abc, cuius uertexa; basis autem circulus circa diametrum b c : O ρ- cetur planoper axem,quod faciat sestionem triangulis aber secetur autem O altero plano secante basim toni per rectam de , ad restas angulos exseflentem ipsi be basi trianguti per axem; quod faciat sectionem in superficie coni d ferer diametersectionis fb aequissimi sit alteri lateri trianguli; hoc est ipsi a cr deinde dpundia fducatur H linea ad rectos angulos ipsis brita ut Isalsa eam babeat proportionem, quam quadratum be ad rectata
tum bae. erit sectio do parabola; quod ex undecima primi conicorum Apollonit colligitur icti ag flinea, iuxta quam possunt, qua istatione ducuntur, dupla linea I a. quadratum enim b c duplum est rectangis b ac; eum angulus ad a sit rectus, ex penultima
Quoniam igitur df diameter est portionis i& a e bifariam secatur in ri& d fae-quidistans est diametro sectionis coni rectanguli dec. J Primum horum patet ex di nitione diametri: secundum uero tum ex quadragesima sexta primi conicorum Apollonii, tum ex corollario quinquagesima prima ei Gem . . . - . .
Ostensum nanque est hoc in conicis Q Possiti hoc ostensum est 'odsciam in conicorum
quatuor libris, qvi extant ab Apollonio conscriptis .is cnim aliam uiam ingressus est, ad illud ideminuestigandum; quod in primo libro apparet, propositione quadragesima nona. Sed tamen nos ex conicis id ipsum demonstrare conabimur. erit orem theorema eiusmodι. Si parabolen linea tangens coeat cum diametro: & per tactum ducatur diametro
aequidistans: sumpto autem quolibet puncto in sectione, ab eo ducantur duae lineae runa quidem ordinatim ad diametrum; altera uero aequidistans tangenti; de fiat, ut quadratum partis eius, quae tangenti aequidistans ducta est; quae scilicet est inter sectionem, & lineam ductam pertinum, diametro aequi distantem, ad quadratu in partis illius, quae ordinatim ducta est ad diametrum; quae uidelicet interiaci tur inter sectionem, & ductam pertinum; ita alia quaepiam linea ad eam, iuxta quam possunt, quae a sectione ducuntur: quae a sectione ducta est ad lineam pertactum, aequidi- stans tangenti, poterit id, quod continetur inue nia linea, & ea, quae ab ipsa abscinditur ad tactum. Sit parabola, cuius diameter Io: tangens autem I d: O per d ducatur d qua distans intorsumatura; infectione quod uis punctum a r ab eo ducatur ordinatim ad diametrum tinea a O, O item alia ducatur a e aequidi iam ipsi d I secansq; d in punctos umpta ea iuxta iliam posuns quae a sectione ducuntur , in qua m , fiat ut quadratum a s ad quadratum a , ita linea quaepiam nad lineam m. Dico , quod fit exas , aequale esse et , quod' exn, Odf. producatur enim linea V drer per b uerticem sectisvis ordinatim applicetur bp; qua coeat cum linea V in puncto p, secetq; dlinq : per Ducatur linearo, aequissistam lineae pq b: O abi od item ducatur tinead tu, eidem aequiissam: sumpta deinde ex diametro linea bg, aquati ipsi df,perg similiter duraturalia linea hxxe, aequid stans p qb; ersecans lineam a e in puncto x. Itaque quoniam linea ae missat lineae dὶ ; O pi ol; Oa o ipsi pb: erunt triangula a s , qdp,qlbaequiangula; quorum qdρ ,qlb etiam sunt aequalia : nam bi; hoc spri aequalis est ipsi Ib; ex ε 3 primi ι Muc rum . ut autem pdadpq , ita ibadb q re permutando utpd ad ἰλitapq, ad qb. quare cum tua
186쪽
squales erum; si liter ιq, qd. praeterea ut a s ada , itaq d ad qρ: Ob id, ut quadratum a s ad quadratum a , ita quadratum qd ad quadratum qρ; hoc est ad quadratum q b.sed ut quadratum qd ad quadratum qb, ita rectangulum a se ad rectangulum ro; per praemissam hoc est quadratά af ad rediangulum rss. sunt enim
Iesima sexta primi conicorum . oe eadem ratione ut quadratum q d ad quadra tum 1 b, ita rectantulum a x e ad rectangulum hac. e- rit igitur quadratum a fad ---------- rectangulum rD, ut rectam Aulum axe ad rectangulum 3x cro permutando quadratum aDd rectangulum axe, ut rectangulum ν D ad rectangulumhXc: Oper conuersionem rationis quadratum afad excessum, quo quadratum a sexcedit nectangulum axe ; hoc es ad quadratum fx, ex quinta secundi, ut rectangulum res ad excessum, quo rectangulum rI sexcedit rectangulum hae ct Opermutando quadratum aDd rectangulum rfs, ut quadratum fra af excessum,quo recta Humr fis excessit rectangulum b x c. erat autem quadratum a I ad rectaguia Us, ut quadratum d qad quadratώ qb. quare quadratum I x ad excessum, quo rectanguia r f sexcedit rectangulum b xcerit, ut quadratum d q ad quadratum qb: rursus permutando quadratum D ad quadratum d qint excessus, quo rectangulum res excessit rectanguiah xc ad quadratum qb .sed quadratum I x es aequale quadrato dqr nam linea I x est aequalis linea d
cessus igitur, quo re Ziangulum ris excessit ipsum bxc staequalis quadrato q b. Lineam amrem f x aequalem
ostendetur.Sit enim I pundium , in quo linea is secat lineam h e . quoniam
igitur b I; Me sp 3 facta est aequa
y cadit intra fini nem Julatu ab utraque communitima dy; uel utrique addita, si extra cassit , ut in fecundu figura , erit 'flinea aequalis p Ledi quo
187쪽
b q. ergo excessus , quo rectangulum res excias re tangulum bxι, est aequassi quadrato Ix: propterea rectangulam h x cura cum quadrato I x est aequale rectangulo rss. sed cum rectangm siceunditam haec una cum quadrato gae aequale sit quadrato es: erit rectanguium rfs aequale quadratoc g. Itaque ut quadratum d qad quadratum q b, hoc est ut quadratum aDd quadratum a ita quadratum a s ad quadratum cg. erat atitem ut quadratum a s ad quadratu a his ita linea n ad lineam m.quadratum igituras ad quadratum eg erit,int linea n ad lineam me O accepta conium altitudine fd , erit quadratum a s ad quadratum e g, ut rectangulum ex n OID ad xcII angulum ex m . t. sexti.
f d: O permutando quadratum a s ad re tangulum ex n df, ut quadratum eg ad rectam gulum ex m ω b g, aequali ipsi s d. at uero quadratam c g aequale est ci , quod fit ex m)σb grectangulo; positum est enim lineam m esse , iuxta quam possunt quae E festione ducuntur: quadratum igitur af es aequale ei, quod fit ex no- d D quod fuerat ostendendum: O ita fictionis a d e, cuius diameter d f, erit linea n, iuxta quam possunt, auae isectione ducuntur. tque ad hunc quidem modum propositum concludemus, ubi linea ae secat lineam h c. Qiadsimnsecet, ut inpostrema figura εἶ pumemus ex diametris d c, bo duas lineas aequales; ex diam tro quidem dk, lineum dat, ex diametro autem b o, i am b σ: ita ut dueta per i. aequiistans ipsidi; hae 6ὶ et ζν fecet εχ ductam per j, aequid stantem ipsi p q b. O item ordinatim applicata
ad dianretrum tinea, , quam habet proportionem quadratum ad quadratum σέ, eandem habeat linea n ad m. nau aliter , quam siverius, ostratacinus, quadratum τζ aequale esse et, quod fit ex n oe ζd rectangulo , hoc est, sectionis v d υ, curus est diameter dζ, lineam nesse eam , is
ta quam po sunt, quae a sectione ducuntur. quod cum ita sit: O quadratum a s lineae ordinatim ad diametrum ductae, aequale erit ci , quod fit ex noe sd . At propter similaudinem trianguloruma f, ιζ, tinea a ferit ad lineam a , ut et cadet . quare o ut quadratum a s ad quadratum a L, ira intra n ad sineam m: illudest , quod ostendisse oportebat.
188쪽
I R L I B. D E c O VO I D. E T S T II IL O I D. Ex iam dictis perspicuum est, si in parabola a sectione ducatur linea aequidistans diametro se a quolibet eiusdem sectionis puncto linea ordinatim ad diametrum applicetur: ducatur quoque alia linea ipsi aequidistans, diuidensq; sectionem; ita ut
a linea aequidistanti diametro aequale abscindat ei: quae a diametro ab alia abscissa est aduerticem sectionis: esse rectangulum partibus huius contentum, quae uidelicet fiunt a linea diametro aequidistanti, aequale quadrato lineae ad diametrum ordinatim applicatae, hoc est rectangulum rfs aequale esse quadrato c g: quod demonstratumeti superius& eodem modo in aliis demonstrabitur. D Et potesti, g aequale ei, quod continetur linea in & b g. J Ex undecima primi coniacorum . ollom . est erum linea m , ιuxta quam possunt quae a sectione ordinatim ad diametrum ducunInr , ut etiam superius dictum est. E. Quare & quadratum af ad quadratum hg eandem habet proportionem,quamna d m; quod ds,bg positae sint aequales. P cam cum quadratum a faequale sit αἱ Iagulo exn dfoe quadratum bg aequale restangulo exm ObI: erit, ut quadratum a s ad quadratumh g, sic rectangulum ex n Crdfad rectangulum ex moe b gr ut autem rectangulum ea n O d1 ad regiangulum ex mobg, aequali ipsi d f ,sic na imitu rectangula habeant eandem altitudinem . quadratum igitur a s ad quadratum hI proportionem habet eandem , quamn adm. F Aequales igitur erunt l, g, ah. J Sequitur ex iam rictis, O mdecima quinti, quadrata
b g; a Osse aequalia. quare o eorum latera aequalia sint necesse est. G Ergo triangulum tib g triangulo da sest aequale. 3 Quod triangulum hbs dimidiumst re Ianguli h gb: O triangulum da fitem dimidium rectanga, quod fit ex a LO d f uelpotius dimissio eius aequale, ex prima sexti. H Trianguli autem a de sesquitertia est portio ade. J Id monstrauit Archimedes in libello de quadratura paraboles. I Portio abscissa utrique praedictarum aequalis erit.J Exys, quae proxime actas i. quae autem uni, O eidemsunt aequiatia, interfiesunt aequalia.
ctionis diameter ab Apollonio fecunda diameter appellatur, in primo com rum. B Potest autem in et circulo describi figura multorum angulorum, & numero purium, quae maior sit spatio ab cd. J Sit enim spatium n, quo circulus x excessit statium abcd. duabus igitur magnitudinibus inaequalibus expositis, circulo scilicet ' On spatio, poterimus a circula x tantum abscindere figura multorum angulorum , O numero parium, in ipso descripta, ut relinquatur quoddam statium ρομ n minus. quod in secunda duodecimi monstratum es. quare erit ea figura in circula x descripta adhuc maior statio ab cd, ut ponitur. c Quoniam enim perpendiculares e li, k l in eandem proportionem secantur ad puncta m b. J Phim ex uigesima prima primi conicorum, O in circulo quadratum e h ad quadratum hi eam habet proportionem, quam rectangulum chs ad rectangulum claro in elusi. quadratum bb ad quadratum m litidem eandem habet, quam rectangulum e ha ad rectangulum ela. de sequιtur, quadratum eb ad quadratum hi ita esse, ut quadratum bh ad quadratum mi r O permutando quadratum eb ad quadratum bh, ut quadratum hi ad quadratum mi. ix. sexti. quare O linea eb aa lineum b h erit, ut tinea L l ad lineam m I: quod Archimedes pone
D Constat traperium Ie ad ipsum lim eandem habere proportionem, quam head b h. J Iisdem enim sic flantibus, producantur hi, bm lineae usique quo conueniant in puncto or producatur ιtem eri qua 1 a una conueniet eum illis in eodemma puncto , ut monstrahimus . nam nisi ita fiat: erit punZIum, in quo tonueniunt hi, eho uel infra ipsum o, uel fora. Sit primum infra, , esse pogit, ubi G p: iunganturq; eor coe producatur l k, ut secet lineam eom q. erunt triangula ob b, Olm inter sesquiangula: O item aequiangula inter se ipsi obe, ol . f., i. q ἰ laterais; habebunt proportionalia. quare ut ol ad Oh, ita I m ad h bt O rursus ut o I ad Oh, i i.quinti. ιta lq ad he. ergo im ad bb es, ni lq ad h e roe mmutando I m ad I q, ut bb ad h e. sita,
189쪽
erat Im ad I , ut bb ad ber monstratum enim iam est, eh, V m eandem proporti nem sicari fecundum bm. ex quo sequiturl q aequalem esse ipsi I ri totum partir quod feri non potest. non igitur e L prosissita comuerat cum hi insta ipsum O. Sed conueruat supra in r, si post. Rursus ad eundem modum ratiocinantibus, idem sequetur absur dum . ergo conueniet o e in punctoo. Quo quidem confirmato, habebit triangulum o be ad triangulum o h b eam proportionem, quam be habet ad hb: O eadem ratione triangulum o I ad triangulum ol m eam,
quam ι ad Im; hoc es quam h e ad b b. reliquum igitur statium te ad reliquum hm habebit eandem, quam he ad bb: quod flendisse oportuit. Rursus in coni acutianguli sectione potest describi figura multorum angulorum, & numero parium , quae maior sit circulo a. J Sit sectio coni acutianguli, Duellipsis ab e d; cinus diameter maior sit ac, mrnor uero b devitas describatur figura quadrilatera, ductis lineis ab , b e ,ed, da. Iam constat figuram banc maiorem esse ,
quam sit di dium ipsius spatij se me ab
ed contenti: quoniam se per puncta ab c d duxerimus lineas stationem tangentes ; fetalia figura quadrilatera circumscripta, quaerit dupla ipsius inscriptae; ex quadragesima prima primi Euclidis . nam rimidium circumscriptae figurae b a d duplum est dimissi, i scinipta; uidelicet trianguli ab d, cum basim eandem habeant, er eandem altitudinem: Crsimiliter bed duplum trianguli ebd. ipsa autem figuina quadrilatera cineu cripta minus est spatium sectione coni acutianguli conte tum . quare inscripta figura maior est , quam ipsius dimissium. secentur deinde bifariam re Liae lineae ab , bc, ed, da in punctis e glacra centro festionis, quod sit had e ducta linea producatur usque ad sectionem in pu Bo I r er per i alia ducatur tangens secti nem min. manifestum est ex conuersa quadragesimae septimae primi conicorum Apollonii, uel exsexta s cundi, lineum m l n tangentem festionem aequidsare ipsi a b. quare ductis lineis a I,lb, erit albtriangulum ipsius parallelogrammi a n dimidium , O ob id maius quam dimidium eius, qua circa ipsum est ,portionis ellipsis. Idem quoque fiat in
I sportionibus. demonstrabitur unumquodque aliorum triangulorum boe, crd, dua
190쪽
- IR L I B. D. E IC. q. . O . PO R T S P Π AE R. O I D. ambientis. Rursus ferentur bifariam rectae lineae al, d b, bo, Oe,er, rd ,su , uarc a centrin per ea puncta dictis lineis usque ad stationem; ductisq; assis festionum tangentibus, fiant alia D . rallelogramma, atque triangula. monstrabimus eoiam modo unumquodque triangulum maius. quam dimidium suae portionis rhocq; semper fat, qstoresque relinquantur quaedam sermonis pomtiones , qua omnes minores sint excessu, quo stativm Icctione com acutianguti contentum c dit circulum et . id enim fieri posse exprima decimi Enclassis docuimus. figura igitur eo pacto descripta maior erit circulo ζ: quod facere uolebamus.
A Spatium ergo q ad circulum, cuius diameter ac &e.J vatium enim q ad circulum, cuius diameter est ac, habet cum proportionem, quam bd ad a c, ex antecedenti. Quam aut mhabet bd ad ac eandem res angulam ex bd, ac habet ad quadratum ac; ex temmate vigesim sicunda decimI. B., Constat igitur spatium q ad 2 circulum habere eam , quam &c. J Per aquam sal cet rationem ex uigesima secunda quinti.
A Ex hoc apparet spatia similibus acutianguli conisectionibus contenta&c. J Ap. paret , inquit ex us, tua dicta sunt, statia similibus acutianguli tonisectionibus contenta eam inter se proportionem habere, quam quadrata diametrorum, quae sint iusdem rationis. Sint enim sim tium acutiangula cum sectionum statia , in quibus ab . habebit statium a ad statium b eam pro portionem , quam habet quadratum maioris diametri festionis, vi qua a; quae sit.eg ad quadra tum maioris diametri sectionis, in qua b; hoc est ehro item habebit eam, quam quadrarum mn ris diametri Id ad quadratum hf. Quoniam cum sectiones simules sint, erit ut ex ad Id, se ob ad hLsed ut eg ad Id , sic rectangulum cIdi hoc est c d ad quadratum Id, ex lemmate ut simae secundae decimi : ut eb ad bri sic rectangulum ebs; hoc est es ad quadratum h . Ut igitur res angulum ed ad quadratum Id, sic re tangulum es ad quadratum bs: O permuta do , ut rectangulum c d ad rectangulum es, sic quadratum Id ad quadratum hf. monstratum est autem statium a ad statium b habere eam proportionem, quam rectangulum id ad rectara iam es. ergo Otium a ad statium b eam habebit, quam qaadrarum g d ad quadratum hs creodem modo ostentitur eam habere proportionem, quam quadratum cs habet ad quadratum ch. quare patet psipositum.
Quod quidem seri poten ; quoniam proportio maior est ea, quam habet rectangulum a d b ad quadratum d c. J In quodcunque enim punctum ceciderit fissia ipsum b : semper maior erit proportio rectanguli a esud
Lianguli a d bad quadratum d c. nam per e ducta perlinea, aqvidistanti ipsi a d b, quam proportionem habet rectangulum ad b ad quadratum d c, eam habet rectangulum ter ad quadratum e c ; quod smilia sint ea i