장음표시 사용
71쪽
SPatium quodlibet acuti anguli coni sectione contentum, ad quemlibet circulum eam habet proportionem , quam rectangulum ex diametris sectionis coni acutianguli iactum, ad quadratum diametri circuli.
S i r enim spatium acutianguli coni sectione contentum, in quo qr & ipsius sectionis diametri sint a c, b d; quarum maior a ci circulus autem sit, in quo Et di eius diameter e s. Ostendendum est, spatium q ad 2 circulum eam proporti onem habere, quam rectangulum , quod i fit ex lineis a c, b d habet ad quadratum e f. Circuscribatur circulus circa diametrum a c. spatium ergo q ad circulum, C ius diameter a c eam habet proportionem, quam rectangulum ex lineis ac, b d ad quadratum ac . Ostensum est enim habere eam, quam b d ad ac. habet autem & circulus, cuius diameter ac ad circulum, cuius diameter e s, eam proportionem, quam acq uadratum ad quadratum e f. constat igitur spatium q ad E circulum habere eam, quam re ctangulum ex lineis ac, bd ad quadratum e f.
SPatia acuti anguli coni sectione contenta eam inter sese propo tionem habent, quam quae fiunt ex coni acutianguli sectionum
diametris rectangula. 1 SINT spatia acutianguli coni sectione contenta, in quibus a b . sit autem & c d rectangulum ex diametris sectionis coni acutianguli, qnae continet spatium a: & e frectangulum ex diame tris alterius sectionis. Ostendendum est , spatium a ad b eam habere proportionem, quam edades. Sumatur circulus quidam, in quo E. Jc diametri eius quadratusit h. l. Habet autem spatium a ad 2 circulum ea proportione qua edad
k h & a circulus ad spatiub eam, quam hi ad efQuare manifestum est, spatium a ad b eam habere proportionem, quam e d ad e f.
Ex hoc apparet, spatias milibus acuti anguli coni sectionibus contenta, eam inter se proportionem habere, quam sectionum diametri, quae eiusdem sui rationis, potentia inter te habent.
72쪽
AC utianguli coni sectione data , ct recta linea ab eius centro erecta super planum, in quo est ipsa sectio, fieri potest, ut conus
inueniatur uerticem habens erectae lineae terminum, in cuius super
ficie sit data acutianguli coni sectio.
Darvst aliqua acutianguli coni sectio: & a centro eius recta linea erigatur si per planum , in quo sectio est: per lineam uero erectam, & per minorem diametrum planum educatur: sitq; in ipso minor diameter abr centrum sectionis acutianguli Coni di linea a centro erecta cd, cuius terminus c: & intelligatur acutianguli coni sectio circa diametrum a b d scripta, in plano erecto super c d. Oportet iam conum inuenire uerticem habentem punctum c , in cuius superficie sit acutiaguli coni sectio. Ducantur a puncto e ad ab puncta rectae lineae; N producantur: & ab aducatur as: ita ut rectangulum a es ad quadratum ec eam habeat pro Portionem, quam quadratum dimidiae maioris diametri habet ad d equadratum: quod quidem fieri potest, quoniam proportio maior est ea, quam habet rectangulum adtiad quadratum d c. Ab ipsa autem af planum attollatur perpendiculariter super planum, in quo sunt lineaeca, a f.& in hoc item plano circulus describatur circa diame trum a fra quo circulo conus sit uerticem habens punctum c. Itaque in coni
huius superficie demonstrabitur es.se acuti anguli coni sectio. Si enim non sit in superficie coni,necessario sequitur esse aliquod punctum in acutianguli conisectione, quod non sit in superficie coni. Intelligatur autem punctum hinsectione acutianguli coni sumptum, quod non sit insuperficie coni:&ab h ducatur hic perpendicularis ad ipsam ab . erit ergo haec erecta super planum, in quo sunt lineaec a , a f. a puncto autem c ad h. ducta linea producatur, qua cum a s coeat in te & ab I ducatur lm ad angulos rectos ipsi fa, in circulo circa af descriptor intelligatur quoque punctum m sublime in circumferentia ipsius:&ducatur per i quidem punctum , lineae a b aequi distans ipsa x or per punctum uero e ipsa pr. Quoniam igitur rectangulum aes ad quadratum ec eam habet proportionem, quam quadratum dimidiae maioris diametri ad d c quadratum& quadratum e C ad rectangulum pe vream habet, quam quadratum de ad rectangulum adb: habebit rectangulum aes ad rectangulum per eandem proportionem, quam quadratum dimidiae maioris diametri ad rectangulum ad b. est autem ut rectan tum a e s ad rectangulum p e r,ita Crectangulum ais ad ipsum xlor & ut quadratu dimidiae maioris diametri ad rectam Dgulum ad b, ita quadratum lik ad rectangulum a b. Eandem igitur proportio nem habet rectangulum ais ad rectangulum xlo, quam quadratum hk ad rectam gulum a b. sed rectangulum xl o ad quadratum cI habet eam, quam rectangu- Elum
73쪽
11.v. gulum akb ad quadratum ch. Quare ais rectangulum ad quadratum cI eandem habet proportionem, quam lix quadratum ad quadratum k c. rectangulo autem ais aequale est quadratum ini: quoniam in semicirculo circa af perpendicularis doria est tm. Quadratum ergo lm ad quadratum Ic eandem proportionem habet. suam ii quadratum, ad quadratum Rc:& idcirco in recta linea sunt puncta ch m . F sed linea citi est in superlicie coni. conliat igitur N: h punctum in coni esse superficie: positum autem fuerat non esse . nullum igitur punctum est in sectione coni acutianguli, quod non siit indicti coni superficie . Quare tota acutianguli coni sectici est in superficie eiusdem coni.
. Cutianguli coni sectione data , ct linea ab eius centro eleuata, ton perpendiculari in plano ex diametro altera erecto super planum, in quo est sectio coni acuti anguli, sepi potest, ut conus inueniatur uerticem habens eleuatae lineae terminum, in cuius superficie si data acuti anguli coni sectio.
S i et diameter acutianguli coni sectionis b a i centrum d: & d c linea a centro eleuata, ut dictum est: intelligatur autem acutianguli coni sectio circa diametrum a b descripta, in plano erecto super planum, in quo sunt lineae a b, c d. Oportet iam conum inuenire uerticem habentem punctum c; in cuius supereicie sit data acu- ςtianguli coni sectio . Itaque lineae a c, c b no sunt aequales: quoniam c d non est perpendicularis super planum, in quo est acutianguli coni sectio. Sit igi
cta lin ea n aequalis sit dimidiae alterius diametri, quae est coniuncta ipsi a b i&per d ducatur fg aequi- distans lineae eb: ab ipsa
autem eb planum attollatur perpendic utariter super planum, in quo sunt lineae ac ,cb:α an hoc eodem plano circa diametrum eb describatur ci cuius , uel ellipsis. Si enim quadratum n aequale est rectangulo fdg: describa itur circulus. sin minus, acuti anguli coni sectio eiusmodi, ut quadratu alterius diametri ad e b quadratum eam pro rtionem habeat, quam quadratum n ad rectangulum sdg. sumatur conus uerticem habens c punctum, in cuius superficie sit circulus, uel acutianguli conisectio circa diametrum e b. id uero fieri potest, quoniam a puncto e ad me .l diam et bu 2 b n
74쪽
diam eb ducta perpendicularis est super planum, quod est secundum ipsam e b. in hac ergo superlicie est & acutianguli conisectio circa diametrum ab . Si enim non est, sumetur aliquod punctuin acutianguli coni sectione, quod non erit in superficie coni. intelligatur punctum ii sumptum, quod non sit in superficie coni: & ab li ducatur hk perpendicularis ad ab: ductaq; ch producatur, ut coeat cum eb inpunctoli &per I ducatur quaedam linea im in plano secundum e berecto; quae sit per Pendicularis ad ipsam e b: punctum uero in intellisatur sublime in superficie coni: S per i item ducatur linea pr aequidistans ab . est igitur ut quadratum n adrectan Cgulum fdg, ita quadratum im ad rectangulum ei b. ut autem rectangulum fdg Dad rectangulum a d b, ita rectangulum elb ad ipsum pir. Quare erit ut quadratum xx. v. n ad rectangulum a d b, ita quadratum i m ad rectangulum p t r. Sed ut quadratum Kn ad rectangulum ad b, ita quadratum hk ad rectangulum ah b r quoniam in eadem acutianguli coni sectione perpendiculares ductae sunt ad diametrum ab ..Eandem igitur proportionem habet quadratum im ad rectangulum pir, quam lili quadratum ad rectangulum a lib. habet autem & rectangulum p I r ad quadratum ci ean F dem proportionem, quam rectangulum akb ad quadratum k c. ergo im quadratum ad quadratum te eandem habet, quam quadratum lili ad ipsum v c. quare in recta linea sunt puncta chin . sed linea cm est in superficie coni. ergo&li punctum in coni superficie erit. positum autem suerat non esse . manifestum est igitur, quod
AC utianguli coni sectione data, ct linea ab eius centro eleuata non perpendiculari in plano ex altera diametro crecto super planum, in quo est sectio coni acutianguli, fieri potest, ut cylindrus inueniatur axem habens in eadem recta linea ipsi eleuatae; in cuius superfici est data acutianguli coni sectio. t
S rv datae aeutianguli coni sectionis altera diameter ba; centrum di & linea e deleuata sita centro, ut dictum est: Intelligatur autem acutianguli coni sectio circa diametrum a b in plano erecto super planum,in quo sunt lineae a b, cd. oportet cylindrum i
uenire axem habentem in recta linea c d; in cuius superficie sit data Mcutianguli coni sectio. Ducantur a punctis ab lineae a f, b s aequi- distantes ipsi e terie
altera diameter secti nis coni acutianguli,
uel aequalis ipsi interualIo inter af,bg lineas
interiecto, uel maior. ὀ uel minor. Sit primum
75쪽
ad ed. in quo quide plano circulus sit circa diametrum fg. & ab hoc circulo cylina drus axem habens ipsam c d . Itaque in superficie huius c, lindri est acutianguli coni sectio . nisi enim ita sit, erit aliquod punctum in acuti anguli coni sectione , quod noerit insuperficie cylindri: sitq; illud ii:&ab h perpendicularis ducatur likad ipsas ba. erit igitur ea iii per planum erecta, in quo sunt lineae ab , cd. a puncto autem lidueatur k l aequi distans lineae cd: &ab l cleuetur Im ad recto ς angulos ipsi fg, in circulo circa fg descripto. Intelligat ir quoque m sublime in circumserentia se-λ micirculi circa diametrum s g, eandem ergo proportionem habet quadratum lineae perpendicularis lili ad rectangulum alibi & quadratum se ad rectangulum ad n b quoniam aequalis est fg alteri diametro . habet autem & rectanguluin fig ad rectangulum ah, proportionem eam, quam sc quadratum ad quadratum ad ellia C psis. quare rectangulum sig aequale est quadrato h h. sed&ipsi quadrato I m est a 37, 3 quale. aequales igitur sunt perpendiculares h h, in I& ideirco lineae th, mi, aequiuisi i '' distantes. unde&ipis de, nati aequid ista lates erunt. ex quibus sequitur lim esse insuperficie cylindri: quoniam a puncto in , quod est in superficie cylindri, ducta est mi, axi aequi distans. manifestum ergo est de ii punctum esse in superficie ipsus. positum autem fuerat non esse. Quare conitat, quod Oportebat demonstrare.
Perspicuum est igitur, cylindrum ellipsim comprehendentem rectum ella, si altera diameter aequalis sit interuallo linearum ducta-ruin ab extremitati h lis aherius diametri, ipsi lineae ex centro ele
super planum, in quo sunt lineae ab οῦ .ed: N in hoc plano circulus sit circa diametrum ps: & . ab eo circulo cylindrus axem ha bens de . Itaque insuperficie huius cylindri ex iis, quae dicta sunt , acutian
guli conisectio esse demonstrabitur. S g D sit altera diameter, minor Q. &quo plus potest se, quam dimidium alterius diametri , sit quadratum cxi & a pulicto x attollatur linea xn aequalis dimidiae asterius diametri, & perpendicularis super planum, in quo sunt lineae ab D edi intelligaturq; punctum ii sublime . est igitur linea cn aequalis ipsi cf. in plano autem, in quo sunt lineae fg, cn circa diametrum fg circulus deseribatur; qui transibit per ia: N ab hoc circulo cylindrus sit axem habens c d . in superficie ergo cylindri huius est acutianguli coni sectio. Quod si non ita sit,sumeriar aliquod punctum in ipsa,quod non erit in superficie cylindri. sumatur: & sit h: ducaturq; hi perpessica
76쪽
Iaris ad abr &a puncto k aequi distans ducatur ipsi cd, quaesithi: & ab I attollatur im per
pendicularis ad fg, in semicirculo circa se diametrum de
scripto . Intelligatur autem punctum m in circumferen in
eia ipsus; a quo perpendicularis ducatur m o ad lineam h lproductam . erit haec erecta super planum, in quo sunt ab, cd: quoniam k I perpendicul ris est ad s g. ergo ut quadratum m o ad quadratum m i, ita est quadratum x n ad qua
tum mi ad rectangulum a 2b, ita e n quadratum ad ipsum ad: nam quadratum quidem mI aequale eit rectangulo flgi quadratum uero en est aequale ipsi cs. Quare ut quadratum mo ad rectangulum ah b, ita quadratum n x ad quadratum a d. atque est M. primih h quadratum adrectangulum ah b , ut quadratum'xn ad ipsum ad rquod x n li- Cou Ap. nea aequalis sit dimidiae alterius diametri. perspicuum est iFitur, perpendiculares in Go, h h aequales esse: ideoq; aequales sunt x o, h m. Quoniam autem ni h axi cylindri midi stati & m puuetum est in superficie ipsius: necesse est & mli in cylindri esse supertate . quare & punctum ii in eadem superficie erit. non erat autem . sequitur ergo acutianguli coni sectionem necessario esse in superficie cylindri.
PROPOSITIO XI. Miris coni ad conum proportionem compositam esse ex pro- Α portione basium, & proportione altitudinum, demonstratum est ab iis, qui ante nos fuerunt. eadem autem est demonstratio, Scur omnis portio coni ad coni portionem compositam proportionem habeat ex proportione basium, & proportione altitudinum. omnem praeterca cylindri portionem triplam esse portionis coni, n
qua balim habeat ipsi eandem, & aequalem altitudinem, eodem modo demonstrabitur, quo demonstratum est, ct cylindrum triplum esse coni, qui basim eandem, & altitudinem habeat cylin
SI rectangulum conoides plano secetur per axem, uel axi a qui- distanti: sectio erit rectanguli coni sectio, eadem illi , quae fi
guram describit; cuius diameter erit communis sectio planorum, re eius, quod secat figuram, Reius, quod per axem ducitur erectum super planum secans. Si autem secetur plano super axemere-
77쪽
. ΑRC NI MED Is I acto: sectio circulus erit centrum habens in axe. Si obtusi angulum conoides plano secetur per axem, uel axi aequi distanti, uel per uerticem coni continentis conoides: sectio erit ol
tu si anguli coni sectio . si quidem per axem: eadem illi, quae figurani describit. si a xi aequi distanti: erit praedictae similis. si autem ci peruerticem coni continentis conoides: similis non erit. sectionis uero
diameter erit communis sectio planorum , secantis scilicet figuram, ct eius quod per axem ducitur erectum super planum secans Quod si secetur plano super axem erecto : sectio circulus erit cen
trum habens in a Xe. lSi sphaeroidum figurarum quaelibet plano secetur per axem, uelaxi aequi distanti: sectio erit acuti anguli coni sectio.'s quidem per axem: erit ea, quae figuram describit. s uero axi aequi distanti: erit illi similis a cuius diameter erit communis sectio planorum, secantis scilicet figuram, ct eius, quod per axem ducitur, erectum super planum secans. At uero si secetur plano super axem erecto: scctio circulus erit centrum habens in axe.
Si dictarum figurarum quaelibet plano secetur per axem: lineae ductae a punctis, quae sunt in superficie figurae, non in sectione ipsa,
perpendiculares ad planum secans, intra figurae sectionem cadent A Horum autem omnium manifestae sunt demoni rationes. A PROPOSITIO X I I I SI rectangulum conoides plano secetur, neque per axem, neque axi aequi distanti, neque super axem erecto : sectio erit acuti anguli coni sectio, cuius quidem maior diameter erit linea in conotia de recepta a sectione ficta planorum; eius scilicet, quod figuram secat, ct eius, quod per axem ducitur, erectum super planum secans : minor uero diameter aequalis erit interuallo linearum, quarab extremitatibias maioris diametri ductae fuerint axi aequi distantes.
SECErvn enim rectangulum conoides plano, uti di uim est: sectoq; ipso altero plano per axem, erecto super planum secans, sit conoidis sectio aber plani s cantis figuram sit c a recta linea; axis uero cono idis,& diameter sectionis bd. ostendendum est, sectionem conoidis, quae fit a plano secundum ac esse acutianguli coni sectionem; & maiorem eius diametrum lineam a c, minorem uero aequalem esse ipsi la: cum sit et aequidistans lineae bd,&al perpendicularis ad clia Intelligatur aliquod punctum in sectione sumptum k: EM ab ipso k ad c a perpendicularis diveatur h. erit L h perpendicularis ad planum in quo est ac b rectanguli coni sectio : quoniam & planum secans erectum est super idem planum . perii autem ducatur es ad rectos angulos ipsi bd. & per lineas es, kl, planum ducatur . erit igitur hoe erectum super bde &secabitur conoides plano super axem erecto. quare sectio circulus erit, cuius centrum d. ergo si poterit aequale ei, quod sit exel ,
78쪽
i per es: & Mi perpendicularis ini existens, media fit proportionalis.&potest aequale et,quod fit ex el, ,hf. Ducatur item Contingens coni sectionem linea m ii, aequi distans ipsi ac, quae contingat in n puncto r& ducatur b taequi distans ipsi
e f. ItaqRe rectangulum alicia rectangulum e hi eandem habet proportionem, quam nt quadratum ad quadratum bt; id enim demonstratum est. ipsi uero n t aequalis est lineat
mi quoniam & br ipsib m. habet igitur & rectangulum alic ad quadratum kl, proportionem eandem , quam qu dratum t m ad quadratum tb. quare perpendicularish quadratum ad rectang Ium alic eandem habet pro- Portionem, quam bt quadratum ad quadratum t m. Quoniam igitur similia sunt e a l, im btriangula: quadratum perpendicularis h had rectangulum alie eandem habet proportionem, quam quadratum a i ad quadratum a c. Similiter ostendentur& quadrata aliarum perpendicularium, quae a sectione ad ipsam ac ducuntur, ad
rectangula partibus ac contenta, eandem habere proportionem, quam quadra tum a I ad quadratum a C. patet igitur sectionei ne te acutianguli coni sectionem/ E& eius maiorem diametrum esse a c, minorem uero aequalem ipsi a l.
Si conoides obtusangulum secetur plano coeunti cum omnibus
lateribus conticontinentis,cono itas, non autem erecto super axem : sectio erit acuti angiali coni sectio, cuius maior diameter erit
linea in comide recepta a iacta sectione planorum , eius scilicet, quod secat figuram, & eius. quod per axem ducitur erectum super planum secat . .
S ll e a v v R enim obtusiangulum conoides plan o, uti dictum est: secto si; ipse altero plano per axem, erecto super planum secans, sit conoidis quidem sectio abc, obtusi anguli coni sectio: plani figuram secantis sit ac recta linea : axis autem conoidis diameter sectionis bd: intelligatur quoque in sectione punctum ali quod & ab ipso k ad ac perpendicularis ducatur erit ipsa erecta super planum, in quoesi ab e corii sectio. ducatur autem per lilinea es ad rectos angulos ipsi bd:&per es, hh rectas lineas planum ducatur secans conoides. secabiturigitur plano erecto super axem; di sectio circulus erit, cuius centrum d. quare per- . pendi-
79쪽
pendicularis Lli poterit aequale ei, quod lineis eh, hs continetur. Ducatur m sus ipsa quidem m n aequidistans lineae ac ; quae contingat coni sectionem in puncton ip a uero bi ducatur aequidistans cf. Itaque rectangulum e h f ad rectangulum
ahc eandem habet proportionem,qua quadratum bt ad
quadratum in. quare perpendicularis k h quadratum ad rectangulum a li c eandem habet, quam bt quadratum ad quadratum in. Similiter ostendentur &λ quadrata aliam perpendiculariuin ab ipsa sectione ad ac ductarum,ad rectangula ex partibus ac quas perpendiculares faciunt,eandem habere proportionem, quam bt quadratum ad quadra-A tum t n. est autem linea b t minor ipsa i n e propterea, quod & m t minor est ipsa in; cum mb minor sit br: hoc enim in acutianguli coni sectionibus contingit. perspicuum est igitur, sectionem B esse acutianguli coni sectionem &maiorem eius diametrum esse ae . similiter per pendic utari existente n r in obtusianguli coni sectione,diameter ipsius maior erit c l.
Si oblongum sphaeroides plano secetur non erecto super axem:
sectio erat acuti anguli coni sectior diameter autem ipsus maior, erit linea in sphaeroide recepta a facta sectione planorum, eius uidelicet, quod si ςat figuram , ct eius, quod per axem ducitur erectum super planum secans.
S i quidem igitur secetur plano per axem, aut mi aequidistanti: constat propositum. secetur autem alio plano : Sc secto ipso per axem, plano erecto super planum secans, sit spheroidis sectio a b c d acutianguli coni sectio ζ secantis plani recta linea sit ac: axis sphaeroidis. & diante tersectionis com acutianguli b de centrum qi & minor diameter sit pr. Ducatur autem linea b t ad rectos angulos lineae bd: & gnaequi distans ipsi ac, contingensq; acutianguli coni sectionem in puncto ni deinde 6 ducatur m l per q aequid istans ipsi a c. similiter iis, quae ante tradita sunt, ostendentur quadrata perpendicularium ab ipsa sectione ad ac ductarum ad rectangula, quae fiunt ex partibus a c, eandem habere proportionem, quam quadratum b t ad quadratum in. Itaque sectionem esse coni acutianguli sectionem, & diametrum. ipsius
80쪽
ipsius esse ac, constat.jSed maiorem est ediametrum sostendemuS. rectangulum enim p q r ad rectat gulum m qi eam h bet proportionem, quab t quadratu ad quadratutn: quoniam lineae pr, mi contingenti bus aequidistantes fiant. di rectangulum pq r minus es rectangulo m qi: quoniam&q p ipsa gl minor. minus est igitur b t quadratum quadrato in . quare dc quadratδPerpendicularium a sectione ad ac ductarum minora sunt rectangulis, quae fiunt ex Partibus a c. perspicuum ergo est, ipsam ac minorem esse diametrum.
Si sphaeroides latum pl. ino secetur: alia quidem eadem erunt: ex diametris uero minor erit ea, quae in sphaeroide recipitur.
Ex his apparet in omnibus figuris sectiones similes esse, si planis
aequi distantibus secentur . quadrata enim perpendicularium ad rectangula partibus contenta candem proporta onem habebunt. PROPOSITIO XVI.
IN rectangulo conoide si a quouis puncto eorum, quae in superfiLcie sunt, ducantur lineae mi aequi distantes; quae quidem ad eas
partes ducuntur, in quibus conoidis fiant convexa, extra conoides cadunt; quae uero ad partes contrarias , intra .
D v C T O nanque plano & per axem, & per punctum, a quo axi a quidistans ducta est, sectio erit rectanguli coni lectio; cuius diameter erit axis conoidis. At in rectUguli coni sectione a quo uis puncto eorum, quae tu sectione sunt, ductis lineis diametro aequidis antibus, quae quidem ad eas partes, in quibus sunt ipsius convexa, durcutitur, extra sectionem cadunt, quae uero ad partesialteras, intra . Patet igitur, quod fuerat propositum.
In obtusangulo conoide a quolibet puncto feorum, quae in superficie sunt, ductis lineis aequi distantibus cuidam lineae, quae in conoide ducta est per uerticem cons continentis conoides; quae quidem ad
eas partes ducuntur, in quibus sunt ipsius Convexa, extra conoides cadunt; quae uero ad contrarias, intra .
D v C T o enim plano, & per lineam, quae in conoide ducta est per uerticem conieontinentis conoides, & per punctum, a quo aequidistans ducitur, sectio erat obtusianguli coni sectio: eius autem diameter erit linea, quae a uertice com in conOIa ducia est. Sed in sectione coni obtusianguli, si aquouis puncto in sectione lumptin