장음표시 사용
61쪽
gulorum a d b, b e c ἰ deinde eadem ipsa quadrupla eorum , quae in sequentibus sunt descripta: N ita in aliis . ex quibus sequitur, omnia spatia minora sese, qualu sesquitertia maximi spatii. spatium autem x eiusdem maximi spatii est sesquitertium. non igitur ad bec portio maior cst spatio L. Verum si fieri potest, sit minor: N po-i natur ab c triangulum aequale sipatio se Sitq; g ipsus spars quarta: & similiter hquarta ipsius M & ita semper ponatur deinceps, quousque quod ultimo loco ponitur, minus sit excessu, quo spatium k portionem excedit. et sit minus spatium i. sinit autem in hi spatia unicum tertia parte ipsius i , spatii f sesqui tertia: & kspatium sesquitertium eiusdem spatii f. aequale igitur est v spatium ipsis fghi.& tertiae parti ipsius i. et quoniam spatium hexcedit fghi spatia minori excessu.quam sit i: excedit autem portionem maiori, quam ii manifestum est spatia fghi maiora esse portione: quod esse non potest. ostensum nanque est, Si in quadrupla proportione spatia quotlibet deinceps ponantur, quorum maximum sit aequa .le triangulo in portione descripto: spatia omnia minora esse ipsa portione . non igitur a d b e c portio minor est spatio h, neque maior, ut ostensum est . quare sequitur eidem esse aequalem. spatium autem k sesquitertium est trianguli ab c. ergo di portio adbec trianguli ab e sesquitertia erit.
62쪽
, i n1TTO ad te conscriptas in hoc libro reliquorumi theorematum demonstrationes, quas no habebas in iis, quae prius ad te misi; ct aliorum, quae po-ι sterius. inuenta sunt. quorum cum antea quidemib saepe aggressus essem contemplationem, uiderenturq; omnino eorum inuetiones dissicultatem habere, diu suspense animo fui : ct idcirco cum aliis edita non fuerunt haec ipsa proposita. Uerum postea maiori adhibuta diligentia. ea, de quibus antea dubitaueram, tandem luveni. Quae autem ex prioribus theorematibus restabant, de rectangulo cinnoide proposita erant .i at quae nunc inuenta sunt, ad conoides obtusi angulum, & sphaeroidas figuras attinent: quarum aliquas qui de oblongas, aliquas uero latas appellamus. Itaque de rectangulo co-noide nae polita fuerant.. Si rectanguli coni sectio manente diametro circunducatur, quo- Rusque rursus redeat in eum locum, a quo coepit circumduci: figuram comprehensam rectanguli coni sectione, conoides rectangu- vlum appellari: ct axem quidem ipsus, manentem diametrum; verticem uero punctunt, in quo axis conoidis superficiem contingit. Si rectangulum conoides planum contingat: ipsi autem contingenti plano alterum planum a quidistans abscindat aliquam conoidis portionem: basim quidem portionis abscissae uocari planum, quod ipsa
conoidis sectione in abscindente plano comprehenditur: uerticem, Cpunctum, in quo alterum planum conoides contingit: axem uero rectam lineam intra portionem receptam, ex ea, quae per uerticem
portionis ducta sit axi condidis a cluidistans. Haec autem consideranda proponebantur. Cur si conoidis rectanguli portio abscindatur pla xh huius no erecto super axem : abscissa portio sesquialtera sit coni, qui basim habeat portioni eandem, & axem eundem. Et cur si aconoidere-16. huius ctangulo duae portiones abscindantur planis quomodocunque ductis: abscissae portiones inter se duplam eius, quae est axium, pro-i portionem by Q -
63쪽
D portionem habeant. At de obtusangulo conoide haec ponimus. Si in eodem plano sint obtusi anguli conlisectio, eiusq; diameter , &lineae, quae sunt proxima coni obtusi anguli sectioni: manente autem diametro circumducatur planum, in quo sunt dictae lineae quousque
rursus in eundem locum, a quo coepit moueri, restituatur : rectas lineas, quae coni obtusi anguli sectioni proximae sunt,mani seste conum comprehendere aequi crurem ; cuius uertex erit punctunt, in quo lineae proximae conueniunt, ct axis diameter manens. figuram uero obtusi anguli coni sectione comprehensam, corioides obtusiangu lum uocari; cuius axis erit diameter manens, S uertex punctum illud, in quo axis conoidis superficiem contingit. At conum comprehensum lineis sectioni coni obtusanguli proximis, continentem conoides appellari. lineam autem rectam, quae interlicitur inter conoidis uerticem, & uerticem coni continciatis conoides, ad axem adiectam
8 dici. Et si obtusanguiu in conoides planum contingat: ips autem contingenti plano alterum planum aequi distanter ductum abscindateonoidis portionem : basim quidem abscissae portionis uocari planum, quod ipsa conoidis sectione in abscindente plano comprehenditur: ct uerticem, punctum illud, in quo planum conoides contingit: axciri uero lineam intra portionem receptam, ex ea, quae ducta sit per uerticem portionis, S uerticem coni continentis conoides: A ct quae inter dictos uertices interlicitur rectam lineam ad axem adies ctam appellari, Cmnia conoidea rectangula sunt similia. obtusad n gulorum uero conoideon similia dicuntur ea, quorum ci coni contia .huitra uentes similes sunt. Proponuntur autem haec consideranda. Cur si
corioidis obtusi anguli portio abscindatur plano erecto super axem :abscissa portio ad conum basim eandem habentem ips, ct axem eundem, eam habeat proportionem, quam utraque linea: ct quae aequalis et laxi portionis; &quae tripla lineae ad axem adiectae, habet ad lineam utrasqne aequalem : ct axi portionis, ct ei, quae dupla est liis. huius lacae ad axem adiectae. Et cur si conoidis obtus anguli portio abscin atur plano non crecto super axem : abscissa portio ad figuram basim eandem habentem ipsi, ct eundem axem quae quidem figura, i sit coni portio) eam proportionem habeat, quam utraque linea :&quae aequalis est axi portionis, ct quae tripla lineae ad axem adiectae, tuisset ad lineam utrisque aequalem: Saxi portionis, ct duplae lineae ad axem adiectae .,De sphaeroidibus uero figuris haec ponimus. Si acu-Wianguli coni sectio manente eius maiore diametro circumducta, restituatur ersus in eum locum, a quo moueri coepit: figuram de-
64쪽
DE CONO ID. LT S P H AE R O I D. 28scriptam a lectione coni acuti anguli, sphaeroides oblongum appellari. Quod ii minore diametro manente, circumducta coni acuti anguli sectio rursus in eum locum restituatur, a quo moueri coepit: figuram descri piam a coni acuti anguli sectione, sphaeroides latum uocari. Utriusque autem sphaeroidis axem quidem dici, manentem diametrum: uerticem, punctum, in quo axis sphaeroidis superfi- .
ciem contingit: centrum , axis medium : diametrum uero, lineam ,
quae per centrum ducitur ad rectos augulos ipsi axi. sit si sphaeroi- c, dum figurarum quamlibet plana aequi distantia contingat, quae ipsas non secent: aliud autem planum contingentibias planis aequi diu ansducaturi iecansq; ipsum sphaeroides : portionum taurum basim quidem uocari planum, quod ipsa sphaeroidis si ct idne in secante plano comprehcnditur: uertices, puncta in quibus pigna aequid illantia
sphaeroides contingunt: axes uero, rectas lineas in portionibus re ceptas ex ea, quae uertices ipsarum couiungit. L erum enim uero x hui in plana sphaeroides contingentia in uno tantum puncto ipsius.superficiena contingere; & rectam lineam contactus co iungentem per centrum sphaeroidis transire; inserius demonstrabitur. Sphaeroidum figurarum similes illas dici, quarum axes qd diametros eandem proportionem habent. Portiones autem sphaeroidum , ct conoidum fi gurarum similes, quae a similibus figuris abscissae, bases smiles h bent; quarumq; axes sue erecti super basium superficies. siue cuim diametris basium consimilibus aequales angulos continentes, ad consimiles diametros, candem habent proportionem. At uero de sphaeroidibus figuris haec proponuntur consideranda. Cur si aliqua sphae is. huius roidum figurarum secetur plano per centriinduc xo, & erecto super axem: earum, quae fiunx, portisenum , utraque dupla si coni M.huiu, basim habentis eandem ipsi , ct axem eundem. Si autem secetur plano super axem erecto , sed non ducto per centrum: portionum factarum, maior quidem ad conum basim habentem eandem ipsi, & xem eundem, eam habeat proportionem, quam linea his utrisque aeqv lis: R dimidiae axis sphaeroidis, ct axi minoris portionis ad axe minoris portionis; intuor uero portio ad conum eandem ipsi basim 3 h habent eis, eundem axem, eam proportionem habeat, quam linea utrisque aequalis: ct dimidiae axis sphaeroidis, S axi maioris portionis ad axem maioris portionis. Et cur si sphaeroidum figurarum t..hui aliqua secetur plano per centrum ducto, & non erecto super axem: portionum, quae fiunt, utraque dupla sit figurae basim habentis eandem portiona, ct axem eundem, fit autem figura, coni portio. Quod rua
65쪽
ARCHIMED Issi sphaeroides secetur plano neque per centrum ducto, neque erecto super axem : portionum iactarum maior quidem ad figuram basim habentem eandem portioni , & axem eundem, eam habeat proportionem, quam linea utrisque aequalis : δ dimidiae eius, quae uerti ces portionum coniungit, ct axi minoris portionis ad axem minoris 31. huius portionis, minor autem portio ad figuram eandem basim habentem ips, ct axem eundem , eam proportionem habeat, quam linea utrisque aequalis: ct dimidiae eius, quae uertices coniungit portionum, Raxi maioris portionis ad axem maioris portionis. fit autem & in hisis figura, coni portio. Itaque demonstratis dictis theorematibus, per ea ipsa inueniuntur theoremata multa, Sproblemata, quale est hoc.
Sphaeroidea similia inter se, ct portiones sphaeroideon smiles, stitem conoideon, triplam eius, quae est axium proportionem habent. Sphaeroideon aequalium quadrata diametrorum ex contraria parte respondent ipsis axibus: ct quorum quadrata diametrorum ex contraria parte respondent ipsis axibus: sphaeroidea aequalia sunt. Pro blema autem eiusmodi. Adato sphaeroide, uel conoide portionem
abscindere plano, quod sit alteri dato plano aequi distans: ita ut portio abscissa aequalis si dato cono, aut cylindro, aut sphaerae datae. Praemittentes igitur ct theoremata, ct problemata , quae ad illorum demonstrationes sunt necessaria, postea tibi ea, quae proposita
I QI conus plaino secetur cum omnibus eius lateribus coeunti: sectio uel erit circulus, uel coni acuti anguli sectio. I si quidem sectio circulus st: manifestum est, portionem a cono abscissam ad partes
uerticis, conuincite . si autemst coo iaculi anguli sectio: abscissa ab eo figura ad partes uerticis, portio coni uocetur. cuius portionis bas; quidem dicatur planum coni acutianguli sectione comprehensum; vertex, punctum, quod & coni uertex est; axis uero linea recta a uertice coni ad centrum sectionis Coni acutianguli perducta.
x Et si cylindrus duobus planis aequi distantibus secetur, quaecum omnibus ipsuς lateribus cocant: sectiones uel erunt circuli, uci conorum acuti angulorum sectiones aequales, ct similes inter se se. Quod si sectiones circuli sint: constat abscissam a cylindro figuram inter plana aequi distantia interiectam, cylindrum esse . si uero sint conorum acuti angulorum sectiones: figura ab eo abscissa inter plana aequi distantia, portio cylindri uocetur. cuius portionis basis quidem dicantur plana conorum acuti angulorum sectionibus comprehensa;
66쪽
DE CONO ID. ET SPHAEROID. 29 axis autem recta linea, quae sectionum conorum acutiangulorum centra colungit; atque erit haec in eadem recta linea ipsi axi cylindri.
rum excelsus sit: PROPOSITIO I. agnitudines quotcunque sese aequaliter excedente S, quaestus sit aequalis minimae: sint autem & aliae totidem magnitudines maximae illarum aequales: Erunt magnitudines omnes maximae illarum aequales, magnitudinum omnium se se aequaliter excedentium minores, quam duplae, reliquarum autem dempta maxima, maioreS, quam duplae.
H v I v s uero demonstratio manifesta est.
PROPOSITIO II. SI magnitudines quotcunque, totidem aliis magnitudinibus secundum quasque duas eandem habeant proportionem, similiter ordinatae : reserantur autem
primae magnitudines ad quasdam alias, quibuscunque proportioni
bus, uel omnes, uel earum aliquae: I . I. I
posteriores quoque magnitudines referantur ad totidem alias sibi ipsis respondentes iisdem proportionibus : habebunt omnes primae magnitudines ad eas omnes, ad quas reseruntur , eandem proportionem , quam omnes posteriores ma
gnitudines habent ad illas, ad quas a
it idem referuntur. S i N T quaedam magnitudines a b c d es, quae totidem aliis magnitudinibus ghi hi m secundum quasque duas eandem habeat proportionem: & habeat ipsa quidem a adb eandem proportionem, quam gad h: ipsa uero b ad c eandem, quam h adi: &aliae eodem modo. referantur autem a b c des ad alias magnitudines nxo prs quibus cunctue proportionibus: & ipsa ghi klmad alias tuyqΣ9 sibi respondentes iisdem proportionibus referantur: ita ut qua proportionem habet a ad n , eam habeat gadt,&quamb ad x, habeat l, ad ui &similiter in aliis. Ostendendum est, inagnitudia
67쪽
nes omnes abc des ad omnes nxo prs eandem habere proportionem, quam omnes ghthim, ad omnes tuyq29. Quoniam enim n ad a eandem habet pro portionem, quam i ad g: ipsa uero a ad b eandem habet, quam g ad hr & b ad v x , quam h ad u: habebit ri ad x eandem proportio nem, quam i ad u: &simili ratione x ad o eandem, quam v ad yr &alia similiter. Α . Habent autem Omnes abc des ad a, eandem proportionem, quaen omnes glithim adg: & a ad n , quam g ad i. Verum n ad omnes n x o p n s habet ean- dem, quam i ad omnes tuyq2 9. omnes igitur ab c des ad omnes nx op rsean C dem proportionem habent, quam omnes ghthim ad Omnes tuyqZs. Manifestum nraeterea est,&si magnitudinum ab c des ipsae a b c d e referantur ad n xopr: ipsa uero f ad nullam referatur& magnitudinum g h i h l m ipsae g h 1 h l reserantur ad tuyqχ sibi respondentes, mucro ad nullam reseratur . similiter omnes abcd e f, ad omnes nxopr eandem habere proportionem, quam omnes glii him ad omnes tuyqZ.
SI lineae quotcunque inter sese sint aequales: θ ad unam quan-
que ipsarum accedat spatium excedens specie, quadrato: sint auteni ct excessuum latera se se aequaliter excedentia; ct excelsus aequalis minimo: sint item alia spatia, numero quidem praedictis aequalia, magnitudine uero unumquodque aequale maximo: habebunt haec omnia spatia ad illa quidem omnia minorem proportionem, quam linea aequalis utrisque : ct ei, quae est latus maximi excelsus, ct uni linearum aequalium : habet ad lineam utrisque aequalem; ct tertiae parti lateris maximi excessus, ct dimidiae unius linearum aequalium : ad reliqua autem spatia dempto maximo, maiorem habebunt proportionem , quam hi eadem illa proportio.
SINT enim lineae aequales quotcunque, in quibus ari& accedat ad unamquan inque ipsarum spatium excedens specie, quadrato: sint autem excessum latera b c d eh L tere cedentia: &excessiis sit aequalis minimo maximum quidemiat b , minimum uero g : sint etiam alia spatia, in quibus hiul, numero quidem Praedietis aequalia, magnitudine uero unumquodque aequale maximo , quod adiacet
ad lineam a b: & sit l, i aequalis lineae at & k l aequalis lineae bl sitq; h 1 dupla ipsius i. & h l tripla ipsius h. Ostendendum est, spatia omnia in quibus hi hi ad omnia
q iridem alia spatia ab , ac, ad , a e, a s,ag, minorem habere proportionem, quam recta linea hi hi ad rectam i kr ad reliqua autem spatia dempto maximo ab , maiorem trabere, quam sit eadem illa proportio. Sunt enim aliqua spatia, in quibus a sese aequaliter excedentia:& excessus minimo est aequalis; quoniam & acces siones,
,.s. iis --μaequaliter e cedunt. Sunt item alia spatia, in quibus h i, numero
quidem dictis aequalia,magnitudine uero unumquodque aequale maximo. Omnia igitur spatia,in quibus hi,spatiorum omnium, in quibus a, minora sunt,qua dupla. relisuorum aute dempto maximo,maiora qua dupla. & idcirco spatia omnia, in quibus I, omnibus,an quibus a minora erut: reliquis aut depto maximo, maiora. Rursus sunt lineae quaeda b c defg sese aequaliter excedentes: & excessus est aequalis minimae: &aliae ite lineae, in quibus h l, numero quide dictis aequales,magnitudine uero unaquaeque aequalis maximae. Quadrata igitur linearum omniu aequaliu maximae quadratorii omnium linearii sese aequaliter excedentium,minora sunt, quam tripla: reliquorum autem dempto maximo, maiora, quam tripla rhoc enim ostensum est in iis, quae de
meis spiralibus edita sunt. & idcirco spatia, in quibush, spatiis omnibus, in quibus
68쪽
sunt minora: spatiis uero, in quibus ede fg ma lora . Quare &omnia spatia, in quibus ih spa tiis omnibus, in quibus ab , ac sad, ae, as, agam inora sunt; spatiis uero, in quibus ac , ad , ae, af,ag, maiora.
Manifestum est igitur spatia omnia, in quibus hi kl, ad spatia quidem , in quibus
a s, a g, mino rem propori ionem habere, qualinealit ad lineam i h ; ad reli, qua aut e dempto eo, in quo ab , maiorem habere , quam sit eadem illa proportio.
S I quamlibet coni sectionem rectae lineae contingant ab eodem puncto ductae: snt autem , ct aliae lineae in coni sectione, quae lineis contingentibus aequi distent; & se te inuicem secent: rectangula.dictarum linearum partibus contenta, ad quadrata contingentium eandem habent proportionem: rectangulum autem, quod alterius lineae partibus continetur, respondebit quadrato contingentis illius, quae dictae lineae aequi distet.
Hoc autem ostensuin est in conicis.
Si ab eadem rectaoguli coni sectione duae portiones quomodocunque abscindantur, quae diametros aequales habeant: ct ipsae portiones aequales erunt; ct triangula in ipiis descripta, basim eandemi H a habentia
69쪽
habentia portionibus, ct altitudinem eandem. Di ametrum autem uoco cuiuscunque portionis rectam lineam, quae lineas omnes basi ipsius aequi distantes bifariam secat.
SIT rectanguli conisectio abc, aqua abscindantur duae portiones ad e, liber sitq; ad e portionis diameter ds: portionis autem tib c, ipsa bgd di sintds, b gaequales inter se. Ostendendum est, &portiones ad e, blic aequales esse: & tria gula eo, quo dictum est, modo in ipsis descripta, aequalia. Sit primum, quae abstin I dit alteram portionem he ad rectos angulos ipsi diame tro coni rectaguli se ctionis: & sumatur ea, iuxta quam posisunt, quae a sectione educuntur ; dupla it - flius, quae est usque ad . naxem: sitq, in quam: & puncto a ducatur
a k perpendicularis, ad d f. Quoniam igitur d f diameter est portionis :& a e bifariam secatur in s. & d s aequidistans est diametro sectionis eo ni rectanguli: sie enim bisariam secat omnes ipsi ae aequidistantes. Itaque quam proportionem habet quadratum a s ad quadratum a L, eam habeat nadm. ergo quae a sectione ducuntur addf aequi distantes ipsi ae, possunt spatia adiacentia quidem ad lineam aequalem ipsin, latitudinem uero habentia lineas iIlas, quas ipsiae a linea d sad terminum d abscindunt: ostensum nanque est hoc in conicis . potest igitur linea as spatium aequale ei, quod continetur linea n & ipsa df: & potest lig aequale ei, quod continetur linea m& bg; quoniam h g perpendicularis est ad diametrum . quare & quadratumas ad quadratum lig eandem habet proportionem, quam n ad H; quod di, b gpositae sint aequales. habet autem quadratum a s ad quadratum a L eandem proportionem, quam n ad m. aequales igitur erunt hg, ah. sed & aequales sunt bg, d s. quare quod continetur lineis lig, bd aequale est contento ipsis ah. d s. ergo triangulum ii b g triangulo d a s est aequale; & eo rum dupla aequalia. trianguli autem ad e sesquitertia est portio a de:&trianguli libo sesquitertia ipsa libc portio. ex quibus seqititur, portiones aequales esset de item triangula in ipsis descripta, aequalia. Si uero neutra earum, quae portiones abscindunt, fuerit ad angulos rectos ipsi diametro rectanguli coni sectionis: assumpta ex diametro sectionis coni rectanguli linea, quae sit aequalis diametro unius portionis. & ab eius extremo ducta ad angulos rectos ipsi diametro altera linea portio abscissa utrique praedictarum aequalis I erit. patet igitur, quod fuerat propositum.
Quodlibet spatium acuti Miguli coni sectione contentum ad cir
culum, qui habeat diametrum aequalem maiori diametro acu
70쪽
DE CONO ID. EIC SPHAEROID. siti anguli conisectionis, eandem habet proportionem, qLam minor
ipsius diameter ad maiorens; hoc est ad circuli diametrum .
s 1 τ enim acutianguli coni sectio, in qua ab c d : diameter autem insus maior, in qua ac , minor, in qua, bda & sit circulus circa diametrum a c. Ostendetidum est, s natium acutianguli coni sectione contentum ad circulum eandem habere proportionem, quam b d ad ea, hoc est ad es. Itaque quam proportionem habet bd ad es, eandem habeat circulus, in quo Z ad a e cs circulum. Dico circulum Eseetioni coni aeutianguli ese aequalem. Si enitri non est aequalis circulus E spatio coni acutianguli sectione contento: sit primum, si fieri potest, maior . potest autem in et circulo describi figura multorum angulorum, & numero parium, quae maior sit spatio ab e d. Intelligatur iam descripta: sitq; in circulo, aeci figura rectilinea similis ei, quae in circulo E descripta est: α ab angulis ipsius perpendiculares ducantur ad ac diametrum e ea uero
puncta, in quibus perpendicul res secant coni acutianguli sectione in , rectis lineis iungantur.
erit igitur figura quaedam remi in ea in coni acutianguli sectione descripta :& habebit ad figuram descriptam in circulo a e c sproportionem eandem , quam
habet b d ad e f. Quoniam elum perpςndiculares eii, kl in eandem proportionem secantur ad puncta mb: constat trapezium le ad ipsum ti m eandem habere proportionem , quam h e ad bh, & similiter unnmquodque traPeziorum , quae sunt in circulo ad unumquodque eorum , quae sunt in coni acuti anguli secti il
ne, eandem his Oit, quam eli . ilia b h. habent autem & triangula ad puncta a e , quae sunt in circulo ad ea triangu- .la, quae sunt in coni acutianguli sectione, hanc eandem proportionem. Quare &tota figura rectilinea in aecs circulo descripta ad totam figuram descriptam inconi acutianguli sectione , habebit eandem proportionem . quam e sad bd. sed&eadem figura rectilinea ad figuram, quae in E circulo est descripta eandem habet propor artionem , quoniam de circuli eandem inter se habebant. Dura i itur rectilinea in Σcirculo descripta aequalis est figurae descriptae in coni acut i anguli sectione: quod fieri non potest; maior enim erat toto spatio sectione coni acutiatanti contento. Sed
sit, si fieri potest, minor. Rursus in coni acutianguli sectione potest describi figura smultorum angulorum, & numero parium, quae maior sit circulo a. describatur e
go: & ab angulis ipsius ad a c perpendiculares ducta producantur ad circuli usque circumferentiam. Rursus erit figura quaedam rectilinea in a e c scirculo descripta,quae habebit ad figuram descriptam in corii acutianguli sectione proportionem eandem, quam es ad bd. Itaque descripta & in E circulo simili figura, ostendetur, eam ipsam aequalem esse figurae in coni acutianguli sectione descriptae; quod quidem fieri non potest. non est igitur neque minor 2 circulus spatio coni acutianguli sectione contento. Quare constat dictum spatium ad aeci circulum eandem habere pro