De infinitorum spiralium spatiorum mensura, opusculum geometricum. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesuatorum s. Hieronymi, in Veneta prouincia definitore prouinciali

81쪽

circumserentia EM, erio aequalis ipsi GH. sed FA, in trilineo est aequalis G B, inspirali,& puncta E, O, accepta fuerunt arbitrarie, & inuenta fuit aequalitas, Ergo omnes circumferentiae exces.sus circuli radii A B, supra spatiuω spirale con se tricae ipsi F D CB, aequales erunt omnibus limis arilmei C GE D, parallelis ipsi CD, 1 Ergo racesi sis piaedictus erit aequalis trilineo mixto CG E D .

Quod erat ostendendum. i a . G

SCHOLIUM L

Qui parui pendet indivisibiIta C& gratesatur exin

eruciari in methodo archimedea, ipsam operiatur , ωm eandem veritatem dc zez. Aetente etiam

CD siderer , quod probatam fuit de totis, probari

82쪽

quoque posse de partibus proportionalibus. Non enim tantum totus excessus aequabitur toto trituneo CGE O.' Sed etiam pars clausa periphem BCDFB, spirali Bl SM, peripheria M E, Ser m EB, erit aequalis quadrilatero C GH D . Item reliqua pars G MEG, aequalis trilineo EG H. Idem dicatur de caeteris partibus proportionatu

. . . .

Ergo per conueisionem rationis, erit circulus ad apsum spirale spatium, ut triangulum C B D, ad sp, Muni comprehensam rectis CB, B E, Mcutua CGE.

83쪽

. Spatiorum Mesra. 69 Cum vero ex proposit. Iq. sit triangulum CB D, ad

illud spatium, va factum sub differessti* potestatum AB, BF, uno gradu depressiorum potestate trilinei. nempe eiusdem gradus cum spirali ) in quadratum BA, ad tales partes disserentiae potestatum AB, BRVno gradu superiorum potestate trilinei nempe duplici gradu superiorum potestate spiralis, quae se

habeant ad ipsam, ut numerus trilinei unitate minutus nempe ut numerus gradus spiralis in ad numerum trilinei unitate auctum inempe ad numerum gradus spiralis binario auctum. Ei go etiam circulus radijA M, erit ad spatium spirale GMSl BG, ut factum sub disserentia potestatum B A, AG, eiusdem gradus cum spirali, in quadratum B A, ad tales partes differentiae potestatum BA, A G, duplici gradu at tiorum potestate spiralis, quae se habeant ad dictam differentiam, Ut numerus gradus spiralis ad ipsum binario auctum '

SCHOLIUM III.

Immo ex schol. citat. proposit. l4.poterimus alias eompendiosiores rationes assignare. Nam in spirali lineari deducemus, esse circulum ad spatium , ut quadratum BA, adrectangulum B AG, cum ἰ qu drati s G. In quadratica, ut idem quadratum ΒΛ se ad idem rectangulum BAG, cum ἰ quadrati Cp. Et uniuersaliter deducemus , esse circulum ad spatium , ut sactum sub quadrato As, in omnes singu

lares

84쪽

o ' De I nitorum Spirastum lares partes potestatis adgregati AB, AG ἰ unius gradus inferioris, gradu spiralis, ad tales partes omisnium singularium partium potestatis adgregati AB A G, uno gradu altioris potestate spirat is, quae se ha- . beant ad ipsas, ut numeras gradus spiralis, ad numerum binario auctum.

PROPOSITIO XVIII.

Omnia spatia spiralia Fccestae inscripta in qu buslibet ei

eulis simul smpla ,sent ad tot circulor maiores quotus es numeros reuolutionum , numerus gradus spiralis adnumerum binario auctum . P.

SInt quaelibet spatia spiralia AGH, HRPM,

M N L SD, in scripta in circulis radiorum A H, AM , AR. Dico omnia illa spatia simul sumpta esse

ad tot circulos radij AB, quotus est numerus reuoli rionum nempe in nostro cassi ad tres ut numeruRgradus spiralis , ad numerum binario auctum. Ne pe in prim VL I. ad s. In secund. vi L. ad 6. Vt s. ad

. . Sit etiam triangulum QE Z, cam sibi inscripto trilineo parabolieo. ωιZ, gradus congruentis dui spirali sitque tali& indolis, ut Z E, V E, ET,sine aequales AB, AM, A H; & Qia sit aequalis tot pNripheri, B FDC, quotus est numerus reuolutionum. Ergo ex proposit, anteced. spatium contentum re

ctis Q ε, EX, & curua QM erit aequale spatio sp

L . tali

85쪽

' Spatiorum Mesra

86쪽

De pri tuam Spiralium tali MNELSBM. Eodem modo patebit spatium X EIX, aequale esse spatio HRPOM Hr MI EI , at quale esse spatio AGH. Ergo totus e cessus trianguli Q EZ, supra trilineum, erit aequalis omnibus spatiis spiralibus simul sumptis. Sed

etiam triangulum QEZ, est aequale tot circulis radii AB, quotus cst numerus reuolutionum . Ergo excessus trianguli QEZ, supra trilineum erit adipium triangulum, ut omnia spatia spiralia ad tot circulos radij A B, quotus est numerus reuolutionum. Nempe ex conuerso coroll. proposit. s. Vt numerus gradus spiralis, ad nu incrum binario auctium. Nempe ut spatium spirale inscriptum in primo circulo, ad ipsum. Quod&c.

PROPOSITIO XIX.

In schematibus prop. i 7. excessus spati'spiralis GMSIBG, supra circulum radii AG, est aequalis in trilineo spatio comprehenso arectis C Κ, Κ Ε, in a curua G E. Cum enim probatum sit in proposit. II. triangulum C BD, aquale fore circulo radij AB.&cum AB, B F, sint aquales semidiametris B A, A G; facile probabimus, etiam triangulum k B E, aequalessire circulo radii A G. Sed totum spatium CBEGC, ostensum fuit squale toti spatio spirali.ENgo etiam spatium CLEGC, erit aequale teliquo spatij spiralis dcmpto ab eo circulo radij AG. Quod &c.

88쪽

yn miagrammatismis proposit. anteced. si inspirali accepta bibbet puncto M , δ' d. AD A M, centro M, ιntem uallo A M, describatur peripheria EM. Serisor A ME, erit ad patium spirale A MG A, quod comprehendit me factum sub quadrato. E A, in disserentiam pote natum EA, AG, eiusdem grasis cum spirali, ad tales partes disserentiae potestaιum EA, A G, duplici gradu alti rum potestate spiralis,quae se habeant ad ipsam, it numerusspiralis,adnumerum binario auctum.

NAM in trilineo, supposita B O, aequali A E,& FO, quali GE, iam ex schol. pri. prop. t T. patet, trilineum G E H, in trilineo aequale esse exiseessui G M E G, & GH, aequalem fore circum ferentiae EM. Cum ergo etiam radius A E , sit aequalis BO, altitudini trianguli GBH, cducta prius r incta BG ὶ Ergo triangulum BGH, erit aquale sectori A EM: deerit ad trilin cum G EH, ut sector MAE, ad exc effutivi psius supra spatium; nempe ad G MEG. Ergo & per conuersionem rationis, erit Iector ad spatium A M G, a se comprehensum, ut triangulum G B H, ad spatium C BEG. Sed ex proposit, i q. triangulum est ad illud spatium in assignata ratione . Quare patet propositum.

90쪽

Etiam ergo in praesenti propositione licebit collugere ea omnia, qaae supra varijs vicibus fuerunt col lecta. N mirum in spirali line iri, esse sectorem ad spatium, ut q rad latam E A, ad rectangulu n EAG, cum quadrati EG. in quadratica , vc quadratum EA, ad re a uagulum EAG, cum I quadrati GE. Et uni ieri aliter , esse sectorem ad spatium, ut factum subqiadrato E A, in omnes singulares partes adgregati potestatis EA, AG, unius gradus inserioris potestate spiralis, ad tales partes omnium singularium partium potestitis adgregati EA, AG, Vno grad a superioris potestate spiralis, quae se habeant ad ipsas, ut numerus spiralis, ad numerum binario auctum.

PROPOSITIO XXI.

Si in schematibus proposit. anteced. M B, B F, in trilineo sint aequades K A, AG, in spirab; in circumfrentia I sit aeqv ius C D, in trilineo, item circumferentiam re, linea CI, in trigine', D A, in trilineo aequalis tot integris circumferentvs radidi AA quotus ectuu-merus reuolutionum mnitate minor . Tritaeum L G I,

Etenim