장음표시 사용
71쪽
' jὶ na Infinitorum Spiralium nempe triangulum CB A, ad triangulum DBA, ut potestas AB, uno gradu inferior potestate triliisnei, adsimilem potestatem BF. Ergo per conuer
sonem rationis, di conuertendo, erit triangulum
CBD, ad triangulum C BA, ut excessius potestatis A B, uno gradu inferioris potestate trilinei, supra similem potestatem BF, ad potestatem BA. Et ducendo hos terminos in quadratum BA, erit C B D, ad C B A, ut factum sub excessu potestatis A B, uno gradu inferioris potestate trilinei supra similem potestatem B F, in quadratum B A, ad factum iub potestate B A, uno gradu inferiore pol state trilinei in quadratum BA; nempe ad potestatem BA, uno gradu superiorem potestate trilinei. At triangulum C B A, cst ad excessum ipsius supra
i r i I inhum, ncmpe ad spatium contentum a recta, &cuiua CB, Vt numerus ti itinei unitate auctus adnumerum trilinei unitate minutum, ex schol. I. proposit. t. lib. i. do Infinit. Parab. nempe ut potestasA B, uno gradu supelior potestate trilinei ad tales sui partes, quae se hii beant ad ipsam,ut numerus trilinei unitate minutus, ad numerum trilinei unitate ficum. Ergo cx a qου ait, erit triangulum C BD, ad spatium contentum a recta, &culua CB, ut factum sub excessu potcstatis AB, uno gradu inferioris potestate trilinei supia similem potestatem BF, in quadratum BA, ad tales partes potestatis AB, uno gradu superioris potestate trilinei, quae se habeant ad ipsam, ut numerus trilinei unitate minu-
72쪽
luna, spatium comprehensum a recta, & curua C B, est ad spatium comprehensum a recta, & curua B E, ut potestas ΑΒ, uno gradu superior potestate trilinei, ad similem potestatem B F, ex schol. a. proposit. 3. lib. s. nempe Vt tales partes pra di ctae potestatis AB, quae se habeant ad ipsem, ut numerus trilinei unitate minutus , ad numerum trilinei unitate auctum, adsimiles partes potestatis BF. Ergo perconia ei sionem rationis, erit spatium comprehensiuna recta, & curua C B, ad excessum ipsius supra spatium complebensum a recta, & curua BE, ut tales partes potestatis A B, uno gradu altioris potestate trilinei, quae se habeant ad ipsam potestatem ΑΒ, ut numerus trilinei unitate minutus, ad numerum tri-H linei
73쪽
tlam potestatum AB, BF, uno gradu depressiarum potestate trilinei nempe eiusdem gradus cum spirali, quia semper potestas trilinei supponitur uno gr du altior potestate spiralis j ad tales partes differentiae potestatum AB, B F, uno gradu atriorum potestate trilinei nempe duplici gradu altiorum potest te spiralis quae se habeant ad ipsam ,. Vt numeruS tri- Iinei unitate minutus cnempe ut numerus spiralis9
adnumerunxtrilinei unitate auctum nempe adnum erum spiralis binario a uctum.ὶ Quae ratio est eadem , quae assignatur in proposit. I ut consideranti fiet manifestum. Ex his ergo habemus, quod nunc omnia verificabuntur, quae vera erant in illis proposit. & in schol earundem . Ergo ex schol. Psoposit. 1 I. deduc
74쪽
mus, esse triangulum C d D, ad spatium comprehensum a rectis C d, BE, &a curua CE, in trilineo quadratico, ut quadratum AB, ad recta ngulum AB F, cum i quadrati A F. Inici lineo cubico, ut quadratum AB, ad rectangulum AB F, cum ἰ quadrati A F. Ex schol. autem proposi t. I 1. deducemus, proportionem trianguli ad spatium posse reduci ad depressiores potestates, & ideo posse alijs terminis pronunciari, ut ibidem factum fuit, sic . Triangulum ad spatium erit, ut factum sub quadrato AB, in omnes singulares partes potestat is adg regati A B, BF, duplici gradu inferioris potestate trilinei, ad tales partes omnium singularium partium potestatis adgregati AB, B F, eiusdem gradus cu m trilineo, quae se habeant ad ipsas, ut numerus tril inei unitate
minutus, ad numerum unitate auctum.
yn schem. proposit. anteced. ducta Ho, parallela V A. Erit C AE ad Ho, ut pote Has M B, eiusEem Ir dus eum tribueo, ad factum sub O B, inpotestatem BR
et no gradu inferiorem potestate trilinei.
Ρ tet, quia ratio CA, ad H Ο, componitur ex rationi bas C A, ad AD, & A D, ad H sed ut C A , ad A D, sic ex proposit. s. potestas AB, uno gradu inferior potestate trilinei, ad similem potestatem BF. Et ut DA, ad HO, sc
75쪽
Spatiorum Men a. 61 AB, ad Bo. Ergo ratio C A, ad Ho, erit com posita ex praedictis rationibus. Ast ex illis componitur etiam ratio potestatis A B, eiusdem cum trit,neo gradus, ad factum sub OB, inpotestatem BR uno gradu inferiorem potestate trilinei. Quare paetet propositum.
In schem. proposit. anteced. si O H, paνaluti cA, occumrat curua in G. Erit C D, ad GH, ut factum sub AB, es' μι disterentia potesatum ea B, BF, vo gradu depressiorum potestate tribnei, ad actu ub O B, ἐν μb disserentia potestatum OB, BP, itidem mmgradu depressorum potestate trilinei.
76쪽
OVoniam enim ex proposit. s. est CA, ad AD,
ut potestas AB, uno gradu inferior potestate trilinei, ad similem potestatem B F ergo per
conuersionem rationis, &conuertendo, erit CD,
ad C A, ut differentia potestatum AB, B F, uno gradu depressiorum potestate trilinei, ad similem potestatem AB; nempe ducendo haec in AB, ut factum sub A B, in dictam differentiam, ad potestatem A B, eiusdem gradus cum trilineo . Sed quoniam ex natura trilinei, est CA, ad Go, vepotestas AB, eiusdem gradus cum trilineo, ad similem potestatem B O: & est C A, ad H O, ex proposit. anteced. Vt potestas AB, eiusdem gradus cum trilineo, ad factum sub AB, in potestatem BR uno gradu inferiorem potestate trilinei Ergo erit
CA, ad iGH, ut potestas AB, eiusdem gradus eum trilineo, ad factum sub O B, & sub disserentia potestatum OB, BF, uno gradu depressiorum p testate trilinei. Sed supra probata fuit CD, ad C A, ut factum sub AB, & sub differentia potestatum AB, i d F, 'no gradu depressiorum potestate trilinei, ad potestatem AB, eiusdem gradus cum trilineo . Quare ex aequali , erit CD, ad GH, ut factum sub BA, in disserentiam potestatum AB, BF, uno gradu depressiorum potestate trilinei, ad factum sub DB, in differentiam similium potestatum Os, v F. Quod erat ostend*idum,
77쪽
Excessus circuli circumscriptiss/tio spirali cuiuscunque generis , os ex quacunque reuolution Vrqimumspatium, est aequalis in Abem. proposit. antecedent. trilineo mixtoc E UD, trilinei mnogradu altioris potesare spatij,comprehenso a cuma CG E, ω ὰ rectis C D, D Ar dummodo AB, aequetur semidiametro circuli ; BF, δε- midiametro circuli evnitate minoris, σν c A, tot cimcumferent ijs maioris circuli, quotus est numerus reuolutionum spatij-
E xo GMSI BG, spatium spirale cuiuscunque
generis, & ortum ex quacunque reuolutione,& FD CB, sit circulus ipsi citcumscriptus s sit ctiam circulus radii Aci ipso unitate minor: v. g. si circulus radij AB, sit circumscriptus seeundo sp tio , si circulus radij AG, primi spatij: si ille sit citaculus tertij spatij, sit hic secundi: Sc. item sit triILneum propos t. anteced. CEBA, uno gradu altius gradu spatij spiralis ; sique AB, in ira lineo a qualis AB, semidiametro circuli maioris, & BF, in iii lineo aequalis semidiametro AC, circuli minoris. pariter sit CA, in t illineo aequalis tot peripherijs FD CB, quotus est numerus spatij CM,IB Grv. g. si spatium sit ex secunda reuoluticne , duabus: si tertiae, tribus: & sic semper. Dico, excessim circuli radi j A B, supra dictum spatium, aqualem smre trilineo CGED.
78쪽
Quoniam enim inspirali circulus radii A G, est
nitate minor cit culo radij AB. Ergo ex natura infinitarum spiralium initio explicata,diuisa potestate AB, eiusdem gradus cum spirali intor partes quotus est numerus reuolutionum, potestas AG, eius. dem gradus cum spirali continc bat ipsas, una excepta, adeo ut differentia porestarum BA, AG, fit unica talium partium. Cum ud; o ctiam in trilineo, δε 'B, si a qualiter ima in F, sicuti illa in G: ctiamd ffcrentia potestarum AB, BF, eiusdem gradus cum spirali, & gradus unitate minoris potestate trilinei, continebit talium rartium unicam partem. Sed quoniam ex proposit. 3. est O , ad AD, utpotestas. Au, unolgi adu inferior rotestate trilis et , ad
79쪽
similem potestatem B F. Ergo per conuersione rationis, eriC C Α, ad CD, ut potestas dicta AB, ad differentiam potestatum AB, BF. Sed CA,
arquatur tot circv mserent ijs FDCB, quotus est numerus leuolutionume&disserentia potestatum A B, BF, uno gradu depressiorum potestate trilinei continet unicam partem potestatis similis A B, diuitam tot partes quotus est numerus reuolutionum. Edigo G D, erit aequalis uni circumserentiae FD CB. sed etiam BA, diameter trilinei aequatur radio in Mici culi, Ergo triangulum CBD, in trilineo, erit aequale circulo radij AB. Quae seruentur.
Tunc, in GR, inspirali accipiatur quodlibet pun.ctum B, S centro A, interuallo A E, describa--r circuli peripheria E M, occurrens spirali in M; factstin trillaeo F O, aequali GE, ducatur OHG, I paral-
80쪽
ες De In ultorum s astrum Cparallela C A. Quoniam in spirali, ex proposit. est peripheria FD CB, ad peripheriam EM, vefactum sub AB, in differentiam potestatum BA, A G, eiusdem gradus cum spirali, ad factum sub E A, in differentiam similium potestatum EA, AGει pariter in trilineo, ex proposit. anteced. est C ad G H, ut factum sub AB, in differentiam potestatum AB, BF, uno gradu depressiorum potest te trilinei, nempe eiusdem gradus cum spirali j ad factum sub O B, in differentiam similium potest tum OB, BF. Ergo, ut in spirali circumferentia F D C B, ad circumferentiam E M, sic in trilineo, CD, ad G H. Et permutando, Vt FDCB, ad CD, se EM, ad CH. Sed circumferentia