장음표시 사용
111쪽
subtracto ex a', nihil remanet. Ad extreinun. ducatur a a, singulare latus secumdum, ducatur inquam in se cubice, ut fiat 8 a', quo subtracto ex 8 a , nihil rem net . Atque ita ad extremum os crationis peruentum erit.
7 o aper 3Ψε 32 t aas a' - I o a. - Saepe autem contingit, ut quandi itates ex quibus radix extrahi debet, ita te habeant, ut radix praedieto modo erui non possit, tunc autem designabitur ipsa de qua quaeritur praefigendo propositis quantitatibus signum radicale cuiusmodi est i ἡ . Mquidem iuxta naturam quaesitae radicis, ut ad cxtrataeiadain radicem quadratam cκ a b , scribendum a b , quo symbolo denotamus radicem quadratam eκ a B, CY- tractam, vel adhuc extrahendam esse . Quod si in animo , sit extrahere radiccio cesbinomio. ut ex es t b', praefigendum est character radicatis, prisis clauso binos nio parent vesin, ut hinc, qui sequitur in modum ' a' tb' , vel loco parentes is ad Ajarii disia hiberi etiam solet lineola desuper ut ' b Te Quae autem diximus de radicibus quadratis , intelligenda de caeteris , quatit - δε brein, si foret extrahenda radix cubica ex a' b, scribendum esset yi c,a' b, & si eκνω. quaalitate
112쪽
quantitate composita, idem perficiendum adhibita parenthesi, ut hi e ca) rb tab' , vel descripta desuper lineola P c a - b q. ab .Hς autem quantitates surdae; siue irrationales dicuntur.
Ex Fractionibus Radicum extractio.
EX Arithmeticae praeceptis manifeste constat, quandocunque ex fractionibus erum da sit radix aliqua, nil aliud agendum esse, quam radicem extrahere illius generis, tam ex numeratore , quam ex denominatore , hoc enim pacto propositae ra- dicis stactionis radix comprobatur. Si itaque radix est extrahenda quadrata ex Quoniam igitur radix quadrata exa'b', est a b ,&radix quadrata ex c , est c, propterea propositae quantitatis radix erit - . Non disti militer si extrahatur radix quadrata ex enim radix Eomplum Ita quoque ad extrahendam radicem quadratam cx 4t , quandoquiudem in t ' RH l, Q am stactionis facit de radix quadrata ex 64 -ς6 at 36 a' est 3 - 6 a, ut radix quadrata ex ict, est 4, propterea quaesita radixerit , hoc est a Nec dissimiliter in radicibus alterius generis procedendum; Vnde si seret propo- Mλη situm radicem cubicam extrahere ex loco proposito multinomio 'U' ' 'φ' . Quandoquidem radix cubica numeratoris est a' t e , radix vero cubica 'denominatoris est b, propterea quantitatis proposit. e cubica radix erit In numeris vero, si proponeretur huius exhibenda seret ra- uis. - --dix, ea quidem esset ut multiplicatione comprobari potest, latus enim cubicum numeratoris 3 - 6 a, & denominatoris itidem latus cubicum est 4.
Algorithmus quantitatum Surdarum . Oranis quantitatis diuisio per aliam quantitatem dum perficitur , ita contingit, mri impersecta, vel perseba sit; hoc secendo modo euenit, cum fit adeo ut sine reliquo eueniat quotus; prinio autem cum reliquo prouenit, atque adeo non dissi-- .n uliter est ratiocinandum in extractione radicis, unde cum ex siqua quantitate radix est eruenda, aut ita radix elicitur, ut iuxta conditionem, atque naturam radicis in se ducta totam quantitatem restituat, vel ita extrahitur ut non praecise sua iam Tis . . . dicta multiplicatione quantitatem esciat, quia nimirum nulla reperiri potest , quae quantitatem illam, cuius radix quaeritur , ad unguem in se duet iuxta quaesitae radicis naturam, essiciat. Inde igitur surdae quantitatis eueniunt, ac proinde hae tractandae quoque sunt in stactionibus. Primia autem, quod occurrit est quantitarum surdarum Reductio.
De reductione Surdarum quantitatui . emadmodum ad operationem stactionum diuersae denominationis oportet
prius ipsas ad eundem denominatorem reducere, ita non secus est opus quan- imm j- titates lardas , cum diuersa radicalia signa habuerint, ad idem radicale, signum reducere. Hoc autem perficitur si ad numeros, a quibus radices denominantur misimus r
113쪽
Opus igitur sit has quantitates RQ a b,&RCa' b, ad idem radicate signum reuocare. Querendus est igitur ad a,& 3, numeros, a quibus in& C, denominantiar, quaerendus inquam est ni unerus minimus, qui per ipsos sine reliquo diuidi possit , hic autem numerus est 6, qui nimirum pera, diuidi potest, item ii per 3. Cum igitur si 6, diuidatiir per et , oriatur3 ,& si idem 6, diuidatur per 3, oriatur a , fit ut ab multiplicandum sit in se cubice, & a' b, ducendum iit in se qu draticE fient enim cindem signo assecta DCC a b', de ni CC a b . Vel iuxta alios fit ni QC&c. Ita udab, dem a qtab , sub eodem radicati signo; crunt Pyh a' b', & RBh a o H. a b . ita quoque saepe accidit, ut aliqua quantitas rationalis reduci debeat, ad aliquod signum radicate, fitque per multiplicationem in se. Ut si opus sit a b , reducere ad idem signum r. idicis ini oportet multiplicare a b, in se quadrate , α fit ri . R. , P - , . Quod si idem binomium a Q. b , multiplicetur in se cubice
Reducuntur quandoque surdae quantitates ad simpliciores , tollendo ex signo radicati quicquid rationale est,nem . diuidelido quantitates sub eodem signo radic: li comprehensas per aliquod quadratum, vel per aliquem cubum , de quidem perquadratum illud , cui praefixo ligno radicali , ductuin ti ut in quantitatem irration lem , eodem modo de cubo intelligendum. Sit verbi oratia ni ios a', reducenda,& quidem ad 6 a II: 3, reduci poterit; qu. dini uidem Io 8 a , producitur ex multiplicatione 36 a', per 3, quarum radices sinit 6 a, & R 3 . Itaque si io8 a , diuidatur per 36 a , superlit scribenduin tantuntino do 3, sub signo radicali, ut fiat 6 a Ri 3. Id autem ostendit 6 a , seu quod idem est h. ita a , multiplicatum csse pcr yt 3 . Ita si fiterit ni a b-a N, loco ipsius substitui poterit a lit a b Uta , proptero quoil a b Q. a' b . diuidi loest per quadratum istua a , cx qua diuisione eme git a b b , si enim a b H b , ducatur in a , fit productum a b a' b , in
Quia tamen haud facile est reperire quadratum , cubum &c. per quod diuisio ad huiusmodi reductionein necessaria perfici queat, praestat ob id diligenter inqui rore , qua ratione datarum quarumlibet quantitatum divisorcs os res inueniantur, de quo infra.
Additio quantitatum Surdarum . AD addendas quantitates surdas , oportet primum explorase, utrum sint inter
se communicantes, an non; Si citim com municantes fueritu , addantur tantum quantitates , vel numeri, qui extra signum radicate sunt constituti. Vt ad ad dendum hi 71 a',& R 17 a', seu quod idem est 3 a Fr 3 3 a lit 3. Addere opor-tri s a, & 3 a, ut fiat sumina 8 a, cui annexa Ri 3, fiet summa S a Bi 3. Hςc ut intelligantur, adhibendus est numerus rationalis velut irrationalis, & sui ponendum est numero aliquod radicis pretium . Vt exemptri ratia iit si ioci , &ηi k a', quarum summa fiet se a vi ε . Nam idem est ' ioo a', ac est 3 a Ri , Schi o. idem quod a R quarum summa est 9 a ni . Ut igitur melius haec percipiantur: Supponamus a valere 3 , igitur R ioo a', seu F a Ri 4 . Idem est quod is hi η, hoc est se producti ex a 2 3, in q, hoc est pi 9oo. At vero Ar 64 a', hoc est a R . idem est quod i a vi q. hoc est bi 376. At vero si bi 9oo, & R , simul addantur, fiet sutilina bi 29ι6, & cst nam se 9oo, cst 3o , R F76 , cst rq , quorim si uita est sin , at vero sit 29ιο , est idciri illi ad Io . Recte igitur praeceptuiti scribit, ut si inui addantur numcta extra signum radicate cristentes . Non
114쪽
Deinde si fuerit opus addere a b , ad tu a . fiet summa a qε b Αε Resi cnim a , - b, quantitas rationalis, & R 4 q. b', Irrationalis. Non disse sinisti moto ex es Q b' a ' a' H. υ , & a b' - b ' - b , fiet et a B a- b se a H. b . Quandoque vero sunt addendae quantitates irrationales sic se habentes. Supponamus propositam csse ' b' a, eui sit addenda R d' a, hoc autem modo in telligi inus a, quod iupponere possumus radiccin Geometricae pr'grcssionis ductum ei se in b, radicem quadratam ipsius b', itemque a , ductum este in d , radicem quadratam ipsius d', unde si sorci R b pl. a, di R d pl. a , cundem sensum redderet. Ad has autem radices addendas, conducunt praecepta tradit in prima huius Operis parte; duci enim debet b', in d', ut fiat b d', cuius radix quadrata est b d; ut ibi ostendimus in numeris, cuius duplum est a b d , cui addere oportet b t d ,
ut fiat a b d t b' t d', ex quo eruendum est latus quadratum , illudque est b t d , quo ducto ina, fit baida, atque tantum est aggregatum ex ' b' a, & R d' a ,& quidem ita est, nam ' b' a, idem cst quod b a. & P d' a, idem quod d a, quarea gregatum ex illis crit b a i d a. 'At si seret ' b pl. a cui addenda esset R d pl. a, non dissimili artificio procedeis dum. Due enim b pl. in d pl. ut fiat b pl. d ph cuius latus quadratum est D b pl.
4bpl. dpl. tb pl. id pl. a, cuius sensus cst, ut extrahatur latus quadratum ex quadruplo producto abs b pl. iii d pl. & cxtracto lateri addatur eorundem aggregatum, ex lumno vero cxtrahatur latus, quod intelligitur ductum in a, dignitatem. At si fuerint radices cubicae, ut ' c by a, & D c d a additio iniit tuetur non I illam multiplicationem &c. ea siquidem regula generalis non est, sed tantummodo Radicibus quadratis inseruit. Quamobrem extrahenda crit radix cubica ex ipsis
quantitatibus, puta b', & d', & quidem ipsius b' , radix cubica est l, , at vero ipsius d est d, addito autem b, ad ii, si b t d ; quo ducto in a , fici b a ' d a . Lub t d) a, tantum igitur consurget in additione ipsius Id c d a, ad D c b a. At si quantitates illae non haberent latera cubica, ut D c b sol. a,&R c d sol. a: in huiusmodi cassi quoniam non potest addi Rcd sol. ad D c b sol. reperto communi diuisore, ob id oportebit instituere additionem beneficio signi t , ad hune ni dum ' c b sol. a t D c d Qt .a, & sta de reliquis . At si fuerint radices uniuersales, itidem cum dignitatibus vi R b pl. a de P d pl a , ubi R b pl. a γ, significat extrahendam esse radicem quadratam ex prodicto ab a , in b pl. vel ab a , in d pl. &c. ubi nimirum a , ponitur, tanquam rociis alicuius progressionis geometricae incipientis ab uno ; vel demum acci potur celuti quantitas multiplicans tam b Pl. quam d pl. In harum aut cin uniuersalsum radicet'
additione sic procedendum erit - . - .
Sit exempli gratia ' d' a J, addenda ad R b' a 2, quarum sigmucatio pret cidictis, etenim se d' a ) , significat radicem quadratam producti ex a , in S, ee Rimportat radicem quadratam producti ex a , in b
115쪽
quadrata est a b d Φ b' Φ d I , quae ducta in a, faciet quidem se a b d o
b Φd )a, nempe summam duarum propositarum radicum. Idem porro contingeret, si quantitates illas . tractaremus non secus ac si latcra haberent: ut si b , duceremus in .s', fieret enim b' d , cuius latus erit Rc b d υ- - ... M cuius duplum est 2 Bi s b' d ), seu quod idem est se b' d J. cui additi, b . Icci fiet R b' d' εb' d', huius vero latus est ni b' d b F d , quo ducto in a, fit pi b' d' F b' Q d' I a , tantaq: crit sui na propolitarum raci cum uniuersalium. 2 ' latera magnitudinum . nempe ipsarum b . & d', exhiberi non possnt; Ut siseret b pl. d pl. holum latera cum non reperiantur . procedendum Ob id hunc in Arei non rise inintuit . Ducatur igitur i, pl. in .l pi, & iict l, pl. d pl. cuius latus est D c b pl. d
Pr s-- Haec autem hunc in modum numeris illustrabimus. Supponamus a, valere 9, at vero b , valere is, item d', valere as. Itaque R b' a I, idem erit quod et i , latus - . quadratum numeri r q4, producti cx 9 , in i 6. Praeterea ' cd' a , idem crit, quod i , latus quadratum numeri et a F, producti ex V '' s , in as . Procedatur autem ut Praeceptum iubet, nempe ducatur 16, in z , Ut fiat 4oo , cuius latus quadratum est zo, huius duplum est o , cui additis i6,& as,
fit 8 i , quo ducto in se . fit 7 as , cuius latus quadratum est 27 , quantum profecto est pretium istius ' b pl. d pl. 2 Φ b pl. Φ d pl. y a, namque b pl. est i 6, quo ducto in d pl. nempe as , fit goo , huius quadruplum est 16oo , cuius latus quadratum est o, cui addito b pl. nempe io, fit , cui addito d pl. r ita as, fit Si; quo ducto in f, pretium ipsius a , fit 7 as , cuius latus quadratum est a7 . ItaquGrecte praeceptum iubet &c. Subtractio quantitatum Surdarum .
emadmodum de Additione diximus haec in subtractione occurunt.
Subtractio ut instituatur , primo est obseruandum , an ipsae quantitates surdae sint, vel non sint communicantes. Si suerint communicantes, si ib- trahantur quantitates, quae extra signum radicale existunt. Vt si fuerit intulictum subtrahere inuicem has quantitates ' Vs a',& R i a', hoc est 3 a D 3 3 a R 3, oporteat igitur harum quantitatum minorem ex maiori subducere , instituatur sui tractio inter numeros existentes extra signum radicate, nempe inter a, dc 3 a, reliquum enim erit a a R 3 . Non secus si fuerit opus exhibere dii Drentiam inter' , t a b3, dc R a' , t b , hoc est inter a R a t b , dc b se id , reperiatur enim
differentia inter a , & b , quae est a b , de fiet differentia quaesita a b RE P.
Haec autem numeris illustrari possunt, quemadmodum fecimus supra in operati
116쪽
j quantitates communicantes non fuerint, institui debebit subtractio b , α multinomia proueniunt. Vt si fuerit subtrahen-
Multiplicatio quantitatum Surdarunta .
AD hanc operationem perficiendam in numeris irrationalibus , oportet primum
aduertere , num sint, vel non sint communicantcs . Si fuerint communicantes, multiplicatis quantitatibus, vel numeris extra signum radicate positis, ni ultiplicare oportet productum per quantitates, vel numerum sub signo raticali contentum, ut
productum quaesitum habeatur. Vt si sit iiii unctum multiplicare R - ,&R a', hoc est 7 a s , per o a N s . Priino itaque multiplicetur 7 a , per , & ficta 8 a , deinde multiplicetur huiusmodi productum a S a', per 3 , & fiet productumi o a'. Ita multiplicata a s a , pcr l. 8o a , fici producium 1 o a'; idem valetcnim i h ly o a', quod nul acris explicari potest. Id autem numeris explicabitur si prius excinpla attulerimus in numeris rationalibus. Propositum sit multiplicare se i a , per is aso a hoc est a P 9, per i 6 a D 9, Supponamus fieri R 176 a', multipl icatis nempe i 6 a, pcr a, dic. ut Praeceptum iubet, Oportet ergo numeris explicare, pragmatiam recte institi itam fuisse. Pretium ipsi iis Msit 1 , ergo eius quadratu eri La , quo ducto in rq , fiet 36co , cuius latus quadratum est clo. Itaque R i a', idem est quod Oo. Deinde si a , valet s, eius quadratum valebit a s, ut diximus quo ducto in a 3o4 , fit 376- , cuius latus quadratum est 24o, itaque R 1; a' , idem est quod aqo , ducamus autem 2 o, in clo,& fiet productum et goo. Nunc igitur videndum num s 76 a', seu quod idem est 8 a R ς , valeat numerus iqqoo, dc ita quidem est . . nam 376 , duinus in as, pretium ipsius a', facit i qm. Non dissimiliter discurrendum de S a ' s, nam valet s , qui ductus in 8 , facit Ao, cuius quadratum c duci enim debet pretium tysius 8 a in se 99, est 16oo, quo ducto ins, fit i qoo. Perpendamus hoc aliud exemplum. Oporteat multiplicare R SCi', per P , a , hoc est saR3, per 3 ast 3. Primum ducatur 3 a, in 3 a, & fiet is a', quo ducto in 3 , net s a', Aduertendum hic autem prodoetum esse ψs a'. Supponamusa, valere 3, ut a , valeat as,quo ducto in 7 , fit producti im R i 87s. Deinde d catur 27. in as, fiet productum 67I, cuius latus quadratum est R 67s, multiplic mus vero ' i 873, pcr ' 67s , fiet productum ' Ia 6362s , seu ri 2 . Videi num an s a', valeat se ri7i 87s, seu lia I , & quidem ita est , nam a , valet as , quo ducto in s, fit tia F. Non dissimili arie procedendum erit in multiplicatione se per 'Po ra, hoc est a R a q. b , per b R a -b , fici enim productum multiplicando a , per b, atque producto a b, mltip icato per alah b', proueniet a b H a b . Vbi obser,ua idem esse a R a -υ , ac cii R a q. a b . Si enim nos ducere velimus D. Fh , in a , id autem fieri debere symbolum indicat, fici productum a quadratice in staducto: id autem faciendum , cum duci debeat in D 9 , viide uterque renninus qua dratich multiplicari profecto debet , ut proueniet a', si a' , ducatur in a b Fb , proueniet certe ' a q. a b . Deinde itidem aduerte idem ei se b R P U , ae est D a o -b , si enim aucatur. b in P a q. b' . Id enuia fieri debere symbolum ii dicat s
117쪽
dicat, fit illud productum; nam b . in se quadraticE ducendum, ciuia per radicen quadraticalia multiplicari debeat, urerque enim tcrminus quadraticε multiplicandus est ; quo facio prouenit b', liOc aut cin duetum in a -b , facit a' b' b , cuius
insuper propositum sit ducore Iu 6 a ii a q. a a Q. ios, per Pt a' - io; , hoc cit a H 3 IJ a' Φ 12 Per 3 - a a M. Multiplicetur a 3, per 3 - a , ii et i s Q - 2 a - a' ; quod quidem multiplicatum per a' Φ i a , productum facit i8o P 24 a Φ 3 a' Φ a a' - a'. Saepe autem contingit, ut quantitatcs non sim communicantes tunc autem opo tet multiplicare quantitarcs sub frsius radicalibus comprehensas , & producto Praefigere commune lignum radicate. Si vero signa radicalia diuersa fiderint reducenda prius sunt ad idcm signum, ut iupcrius declarauimus, & postea opcrandum ut paulo antea diccbamus. Oporteat multiplicare tu a b, per ' c d , ductis a b , in e d , producio a b c d , praeligatur signum N, dc fiet proditi tum is a b c d. Caeterum si foret multiplicandum ' a b c' , per a . Oportet aduertere numerama , esse reducendum sed naturam radicis quadratae, unde tam R a b c quam et , debet in se quadratice duci, ut ex illius multiplicatione a b c , ex fiat istius vero , nunc igitur ducere oporten a b c , in Α , & proueniet 4 a b c , cuius radix ligata a b c , , est productum quaestum. Verum hoc symbolo se a b c , significamus a b c , ductum suisse in q, S: ex producto extractam fiuste radicem qu dratam; atque adeo idem erit ac a ' a b c'. nam hoc symbolo significamus ni a b c , ductam csse in a . Plerumque autem illud idem significamus D a b c' , hoc alio symbolo 4, R a-c', hunc enim in modum intelligendum volumus a b c , di eium fuisse in 4, ex producto extractum suille latus, unde non idem erit OR a b c , ae 4 , R , a , commatibus enim illis, differentia innuitur . R a c t ' b c
Huiusmodi autem multiplicatio se a e , ' b e
euenit, cum binomium in s O , quadratice ducitur. RSi enim fuerit Nae)Rbe, ac t Pbinomium constans e duobus nominibus irrationalibus , in se
Vel demum ac t , R, a b c tb c. Vbi ut vides occurrit multiplicatio quantitatis irrationalis Dac, per et, quae Pe ficienda est uno ex modis supra politis. Haec autem iuuabit exemplis illustrare. Supponamus a, valere st , at b , valere 16, & c, denique , his suppositis N a c, valcbit F 3ο , iram a c , valet 36 , de seb c, valebit N 6 , nam b c , valet 6 . Itaque instituta multiplicatione prouenit 36 t yr silo t 64, & quidem ita se res
prouenit ex i . pretio ipsius bi- . nomisi R 36 t D 64 , si ducatur -ὰ . se in se. Sed perpendamus, valo- 3 Prem producti; numerus g6, re . - -
b e 9 vel ε,'', a b c , nam a b c , valet 23 . cuius radix quadrata est 48 , quae ducta in a , facit 96, at vero cum a b c , valeat aῖo4 , hoc diusto in ψ , lat 9a i 5 , cuius latus quadratum est y6. Vel quod idem est 4, ii ducatur in abol, fret uim
118쪽
ipsiuς a b c', producit 9 ais , sumatur latus , illud quidem erit 96 Si vero propositum sit multiplicare , ut supra Bi a b , per D c d , ex hac muli, plicatione prouehit be a b e d , unde intelligendum hoc symbolo extrahendam ess radicem quadratam ex multiplicatione a , in b, & producti in c , & iterum producti in d , atque adeo vel desuper ut lineola ducenda in producto , vel parenthesi productum claudendum ; quinimo hoc idem intelligendum de multiplicato, & multiplicante, nam cum dicimus ducendam esse ' a b, in c d , intelligendum volumus multiplicandam radicem producti ex a , in b, per radicem producti cx c d. Quod si proponeretur multiplicandum hi a i , per .R P b , multiplicatisa' b', per a - b', fiet productum hi a etenim radix est uniuersalis siue ligata perinde enim est ac, si dicamus d ci debere a'b' , per h. a' - b' , nsi cnim productum R a' - b P , quae se b'
numeris licebit illustrare . Supponamus ---a , valere S , eius quiadratum est 6 , at a' b - , vero b , valeat 6, eius quadratum valebit x q. b
Itaque a' b', valebit roo , quare --- --R a' H. b', seu ni a' ψε b 2, valebit io, R a' - b eo enim symbolo denotamus extrahen- Vel ' ca' - b Jdam esse radicem quadratam ex a', plus b', at vero R a' - b , seu & sa' - b' ), valebit la 28, etenim a - b' , valet 64- 36, hoc est as, quamobrein R a' - b' 2, valebit N 28, eo siquidem symbolo denotamus extrahendam es ih radicem quadratam ex differentia inter a ,& b', haec igitur in numeros resoluamus; perinde igitur est ducere ' a' b' , in ' a' b' ac ducere io , in se a 3, quorum multiplicatione prouenit R 18co. At vero si explicetur se a - ω, seu R a' - , ex hypothes eorundem numerorum , comperietur idem pretium huius nempe producti ex mutua multiplicatione R ΓΦ, , per R a' - b' propterea quod a , valebit o96 , & b , valebit i 296, quorum d uerentia est 28oo, huius autem quadrata radix ut supra est iu 28oo. Sed quando non uerint radices uniuersales non eadem modo procedendum Sit
multiplicandum ' a P c d , per P a b Q c d , hoc est si h et opus multipliacare in se R a' b -c d , & quidem quadratice , fieret productum a' b' a R
Q c di pretia , & quidem a , valeata, b, 4, c, I, d, 6, utique a , valebit 4,b', 16,c', as , & d 36 , atque adeo a , ductum inb , faciet 64 , unde N a' b , valebit 8 , at vero c d , valebit 3o, unde ipsius ' a' b'-c d, pretium erit 38 , qui ductus in se quadratice facit i 4 . Videndum igitur num a' b -ai, a b c d' q. c' d , productum scilicet abs Ra' b H cd, in se quadratice ducto sit 1 - , quod , ut cognoscamus; perpendamus singula producti membra i primum est 64, secundum est se a 3o oo; nam si 3o, ducatur in P 64, fit se 176οo, quaeducta in a, ficit D 23oqcoo , nempe oo , est enim numerus 23o oo, rationalis , cuius latus qua cratum cst q8o, ultimum membrum est yeo, at vero q8o,9oo , de 6 , conficiunt i 4 4 , caeterum a N a' b' c' d' , idem est , quod ' a' b e d nam si R a' b c ia , duci de et in a , utrunque dcbet quadratice multiplicari, ut ex illo proue'niat a' b' c' d', ex hoc autem 4 , quo ducto in a b' c d , fit 4 a b' c d' i cuiust tusa' b' a R a b c d ἀ- c' ae Hoc igitur est productum ex illa mutua multiplicatione.
119쪽
at a', est 4, quo ducto is, pretium P 4 3o ipsius b', fit 64 , hoc autem ducto in a s , pretium ipsius c , fit ioco , hoc autem ducto in 36, pretium iri sus d , fit 3 6oo, hoc autem ductoin 4 , si a 3oinoo , cuius latus qua dratum est 8o ; quantum fit si ducatur si a' b c' d', nempe II 376oo, in
διι a , fitque 64 Θ 48o , ε 9oo, ex R 64 ε 3o , in se. Hunc igitur in inodum procedendum erit in consimilibus multiplicationibus . Quod si multiplicari debeat ' a' Fb', Per a b, prius oportet reuocare a re taad idem signum radicate, de fit R a Φ i a b Φ b', hoc autem nihil aliud est, quam a P b , quadratich in se ducere , fit enim a -a a b Φ b , cuius latur est na ad, Fb , seu a-b, & si R a' Φ b', ducatur in se quadratich fit a'-b . cuius latus cst R a -b . Iauctis autem quadratis adinvicem , nempe a' ε et a b q. b , & a' Φ b , fit productum a Q a a b Φ a a' b'-a a b q. b , cuius latus quadratum est R a q. a a b Φ a a' b' Φ a a b Φ a ), I hoc est productum factu in ex multiplicatione ipsius Rca' l a ab H b' , per a ) b . Idem plane cernes in numcris. Si enim a , valet et, & b, 4 , utique a , valebit Α, & a a b , valebit 16 , & b , valebit i6 , unde a t et a b t b , valebit 36 , atque adeo ipsius hi a ta ab tb' , pretium erit 6. At si a , valet et, & b, Α , utique a' t b , val bit 2o,&R a d b , pretium erit ' ro, quare ex ducta ' a' t i a b t o', in ' t b , fieri debet productum , cuius pretium , ex eadem hypothesi aestimationis ipsorum a , & b , sit ' ao , numerus factus ex ' ao , in 6 . Videndum igitur quantus sit valor ipsius ' a' t 1 a' b t 2 a' b' ta a b b . Si a, valet et, a , valebit , &a , valcbit io, de hoc est pro primo membro a'. At vero a , valebit 8, qui ductus in in , pretium ipsius b , facit 3 a , cuius duplum est 6 , & hoc pro secundo incimbro et ah b. Deinde a , valet 4, qui ductus in is, pretium ipsius b', facit , c ius duplum est 128, & hoc pro tertio membro; Postea a, valet a,& b , valet sin, his ductis inter se fit 118, cuius duplum est 2 6,& hoc pro quarto membro . D nique quadrato quadratum ipsius b, cuius prctium est 4, erit 136, colligantur Omnes hi quinque numeri in unam summam,dc proueniet 7ao; cuius latus quadratum cst ' 7ao, ut oportebat.
Sit iniunctum multiplicare a i R b e , per a t ' b c.
Primo enim ducatur ' b c , in R b c , ut proueniat b c , deinde multiplicetur a , per ' b c , hoc autem productum bifariam designari
potest, vel nempe reducendo a , ad quadraticam nauuram, nempe multiplicando illum in se quadratice , ut proueniat a', quod ductum in b c , quadratum ipsius R b c , facita' b e, cui praefixo eodem characte. re si productum N a be, quod et a m designari poterit, ut paulo post
ciccnaas . Deinde iterum multiplicetur a , per K b c , & eodem modo operando proueniet R a' b c , i ut v autem ducatur a , in se qua- cratich, di proueniet a', his autem Omnibus in unam summam collectis
120쪽
Potest etiam hoc modo illud productum designari, nempe a, b c quo symbolo denotamus ' b c duci per a cum alias expressitis idem ligificemus scribendo Ra be hoc enim modo iam operatio absoluta est , & facta est ipsa multiplicatio , unde si quis volens significare P 8 duci in 3 duobus modis scribere productum posset, vel 3 ' 8, vel R 7 a videtur mihi melius scribi' a. Ita etiam, & mci iub si b c , quam a se b c , quicquid alij dicant. Non dissimiliter superior illa multiplicatio, ad hunc qui sequitur in modum perfici posset . Caeterum recth dicebatur in idem trecidere siue scribatur a se b c sue
N a b e i nam si a valet 3, a' valebit se, at vero si b , valeat 8, & c valeat a utiq; b c valebit 16 atque a' b c valebit i . cuius latus est 1 a pretium ipsius' At si be volet i6, hi bc valcbit , si autem a valet 3, utique abi bc valebit ia, quare,&c. Non est igitur id ignorandum in idem scilicet redire, viro modo procedatur Quamobrem, ut quispiam in opera
do rith procedat, debet solum praeaculis habere , quod initio aggreditur operandi genu Mut dei
eeps sibi constans non dissimiliter procedat. Sed haec explicemus. R e d
4oo, at si 36, 24o, qoo, in unam summam redigantur, fit 6 6, ut constat, explicemus productum secundo modo exhibitum . Primum membrum est a' b , cuius pretium est 36. Deinde cd, 4, ' a'b'valet 24o ; nama'b', valet 36, quod to in η, fit i , huius latus quadratum est Ia , quo multiplicate per ro , pretium ipsius e d, fit a o, at pretium ipsius c' d' est oo hisq; collectis , ut prius fit 6 6. Deinde ad trutinam reuocemus productum tertio modo ; scilicet a' b' Φ e d si a b J Φ c' ci', &-diissimiliter colligemus eius pretium esse 576.; nam a b , valet 35 , it qui 36 , ductus in , facit i 4 , cuius latus quadratum ra , multiplicatum per zo, pretium ipsius c d , facit et o , denique c' d', valet oo , hquibus, consurgit 676. Ad quartum quod attinet. Primum membrum, puta a' b', valet . At vero a', valet ε , quo ducto in s pretium ipsius b', fit 36 hoc autem multiplicato peris , pretium ipsius c' , fit 375, quo ducto in as pretium ipsus d ' fit i Moo cuius latus quadratum est iro , itaque R s a' b' c' d' valet rao , quo multiplicato per di, fit di o; Vltim uni membrum est c' d', quod valci 4oo, ex his autem ; nempe 36, 2 o, a qoo, consurgit ut prius 676.