장음표시 사용
141쪽
De aequationum natura atque constitutioneo dignoscenda.
incumbit onus tradendi methodum, qua aequationes ipsae recognosci posivit,
expli& qua industria earundem primordia, atque constitutiones deprehendi queant, boniam autem non raro hς praeparatione indigent, antequam feliciter explicari possint, prςsertim cum de magnitudinibus homogenis potestates negatur, vel ita inllit lim homogeneae magnitudines de potestatibus ipsis negantur, & assirmantur, ν--- - ut affectiones negatae prςpolleant assirmatis, postremo cum affectiones fractis, vel asymmetris numeris exhibentur i propterea superest hic disserendum de aequati num origine , primaque constitutione , ut nimirum his co nitis sternatur via , m thodusque paretur ad earum explicationem , ad quod ut dicebamus multum restri cognoscere, unde nam aequationes suum ortum ducant. Id porro pluribus modis assequi licet , & primum ex T, getes. Hae autem indagandi constitutionem .i squationum Viam primus Vieta designauit, quae cum resia ut, ommittenda non est , illam primo calcare , aliam , si quae supererit non negligentes opors pretium duximus Z-M gessis inquisitionem significat , nomen enim. graecum est, significans apud illos idem, quod apud Latinos, inquisitio quam brem προβλη ia ' η - , Prusema graelicon , idem significat , ac Probi ma quaesitorium , siue inquisitorium, ut enim Z ,α, nempe quςstio, a verborηνεω, quod Graecis significat quiro, ita rimo: unde Zimmos Philosophi dicu
a tur ω εγκτικοῖ κM κεπτικοῖ teste Laertio , qui nihil assevcranter enunciabant, sed' simpur quaerebant, rei veritatem inuestigantes, ut curiosi is, & naturqscrutator dicitur . Ita fit, ut duplex problema sit tinmααν , Zeteticum unum , de αναλωνα is Analyticum alterum: illud quςsitiuum , hoc autem resolutium diceres πιναλ- ω opponitur 'τικω, nempe compositiuum .' Hic vinus , de quid cui praecipi ius in modis, quibus inquirere licet squationum primordia, alia quoque extant de quibus infra , sed hinc par erat exordiri cognita autem squalionuin natura fit obvia , ad earum explicationem , in quo totum ' ηδ -- liuius Artis momentum est Vieta celebris Analysta usus Zeteticis ad indagandam aequationum n turam, atque constitutionem ; nec iminerito, nam ut ex sequentibus aperte constabit crinita quationis natura ex Zetetico , statim ad eius explicati . . nem via caperitur, quo fateamur necesse est magni faciendam esse methodum ex Zetcticis dosiis piaui. Nostr vero inuenta hac in re postmodum afferemus. in Quauis liae de re multa diceda superesset:ea tame iuuat praete silentio, nam id sinnis tum est nobis in animo , necessaria tractare quae nimirum ad oblatum quodcunque resoluendum Problema conducunt , idque prxstiturum Deo adiuuante crediderim, si diligenter adnotau rim. quae in Problematum resolutione hactenus expertus sum, multum enim conducit ad Artem aliquam, vel primo inueniendam , vel
inueniani illustrandam, ac proniouendam expertum esse quς ad illam pertinent ; prointei ea quod facile quisque notat ulterioribus opuς csse prςceptis, nec uniuersam ADtem iam tradit ἐς cise co0 prchensam; cum noli auca eueniant, quς maiorem industriam requirant. Et si situr ab 'lijs disciplinam ad inuentam tractandam susce, perim,
142쪽
peri de quo veteres, sapientis proceres merito gloriari possunt tamen illud laudis tu bis obtigisse satis superque ut, illam eo deduxisse, ut quae olim dificillima , ae in
extricabilia, vel Tlieoremata demonstratu, vel Problemata solutu credebantur m do sua sponte quasi dixerim, occurrant. Haud , Zetesis innstituitur, nec anis quidem, ut praecla rissimus Analysta Vriti m dicebat, cum pura a puris, affecta vero, ex affectis , ratio dictet proficisci; quapropter ad deprehendendam conditionem a quationum pertinentium ad puras p testates , Artifex ex datis duobus lateribus potestates inquiret ; Ad Huationes potestatum simpliciter affectariim, ex data differentia , summaue laterum inuestigabit, vel suorum graduum una cum dato sub ijs, vel eorum gradibus paribus , vel disparibus facto ex lateribus alterutrum; Atque demum ad aequationes multipliciter assectarum affectione adiunget affectioni sub diuersis gradibus parodicis laterum , Vel se non adiget Analysta viai quaestionum sonnulς, sed sub Zeteticis, sub quocumque essi sto , vel dato themate debebit se exercere, admonendus est vero ille, ut recordetur , quae Geometrico operi est aptaturus latera ad extremas lineas rectas reseriri in serie continud prodortionalium, facta vero sub lateribus, & laterum paribus, vel disparibus gradibus ad potestates aliquarum ex medijs; cumque in aequationem incidet suo bene obuiam ui χ muta, de illo in iiiii condet, simile cuiuscumque squalitatis ζυπατ κ , hoc est compositiuum , I. εκθευκει seu ε ξηγητικω, hoc est exposi
Quid autem ad aequationum similitudinem requiratur, supererest , ut videamus. AEquatio dicitur squationi similis, cum par est utrobique potestas, seu aeque alta ,& ipsa assedia, vel afficiens sub pari gradu, vel eadem affectionis nota. Vnde duas aequationes non immerito similes esse dicemus, cum in utraque idem est potestatis
gradus, e dem sunt affectioncs, ac ob id si omnes termini, ex una parte reperia tur ςquales nihilo , tunc aequationes similes erunt, cum in utraque idem est primus
terminus, & reliqui termini in utraque similiter sunt assem, & si in una, aliquis terminus, defuerit, is quoque desit in alia i supponendum autem similium scilicet
aequationum, eandem esse constitutionem. Caeterum, ut alibi etiam adnotatum suit, triplex aequatio est', cat
Phatica, ἔ- moxin, apophatica, , amphibola ; hoc est affrmativa, negatutiua , & ambigua . Quς autem dicta sunt facit E ex infra dicendis cognoscentur, 'interim perspicuum illud esto, ut pote ratione deprehensum, assecta quidcm ab aD sectis originem ducere , quemadmodum pura a puris , atque adeo ad dignosce dam conditionem aequationum pertinentium ad puras potestates operae pretium etist ex duobus datis lateribus potestates inquirere, & ad ςquitiones assectarum sit, ipliciter potestatum ea opus esse perficere, qnae paulo superius innuimus. Superest autem , ut ad quadraticarum aequationum constitutiones ex Zeteticis gradum faciamus; Huius inuenti auctor Vieta est sed hic multa alia, ad idem spe tantia non sine magno Artis incremento subijcieibus , praedictarum igitur aequati num constitutiones, sunt, ad eum, qui sequitur in modum. Quadraticarum aequationum natura, ac constitutio ex Zeteticis aperitur. De constituti uis igitur quadraticarum aequationum ex Zeteticis hic disserendiun, ea vero sunt, quae sequuntur. Si fit aequatio a' H. b a ' κ', sunt tres proportionales radices , quarum media est κ, extremarum differentia est b a fit autem a , minor extrema hoc Vieta deduxit
ex utetico . Data media ιrium rectarum linearum proportionalium , ct extremarum ae erantia ,. a m . .
Media h tribu4 propyrtionalibus magditudinibus sit Σ, at ver5 b sit extremarum data differentia. Minor extrema esto a I maior igitur erit a ' b; rectangulum autem sub his est a' b a , & quoniam factum suo extremis in serie titum propo tionalium aequale est quadrato mediς; proinde a' H b a aequabitur χ'; hoc autem est, quod superius ordinabatur; constit igitur huius aequationis quadraticae consti, tutio, bipe enim couatio ipsa orionem trahit , constitutionemque sortitur. . ' Hain
143쪽
Hactenus vero dicta numeris etiam explicari possunt; propterea. Sit aequatio i- 8 R π 3i ; erit ' 3a , hoe est ioo media inter extremas, et in . quarum differentia erit qoo, di fit i R minor extrema E serie trium proportionalium 6 , roo, , & ita quidem est , nam quadratum ex6 est 36 , cui si addideris 288, scilicet radicum pretium, fiet 3a , constat igitur propositum. li' milii Huius autem ςquationis , ut & sequentium natura alijs quoque infra dicent dis modis deprehendetur , interim ex Zetes primo loco , visum est illai
Nisira iusta, Sit a quatio a b a Z'. Sunt tres radices proportionales, quarum est media Z , de extremarum disserentia est b , fit autem a , maior extrema, hoc autem Vieta deduxit ex Zetetico .a --. Data medis trium proponierabum, atque disseretitia inter extremra reperire maior
Maior extrema esto a , ergo minor erit a b; rectangulum sub his est a' - ba,& ob rationem superius aliatam erit aequatio a b a ' a'. Hoc est autem, quod prius ordinabatur . Numeris autum eandem hanc aequationem sic explicabimus . Sit aequatio i 48 R ' 324, est yi 3r hoe est is, media inter extremas, quarum differentia est 48 , & fit a vi maior extrema e serie trium proportionalium 6, is, σε, & ita est, namque, si radicis pretium est sq, eius quadratum erit ayi6; a quo si auseratur a 39a , pretium radicum , remanebit 324 coaeparationis homogendum.
Hinc igitur huius aequationis natura, ac primaria origo deprehenditur. Sit aequatio b a - Γ ta 2'. Sunt tres radices proportionales , quarum est media et, de extremarum aggregatum b ι &st a minor, vel maior extrema; hoc autem Vieta deduxit ex Zetetico .
a. i. . Data media trium propertionatium , extremaram reperire aduratram ι extremis.
Data sit media et, & aggregatum extremarum sit b i oporteat reperire alter tram de extremis . Minor extrema esto a; erit ob id maior b -- a, quapropter erit aequatio b a a' ta 2' ob eam; quam superilis rationem attulimus. Sit maior extrema at ergo b a crit minor extrema; ac proinde b a - a'ςqu bitur χ', quamobrem a vel de minori, vel de maiori ipsarum extremarum poterit enunciati; quandoquidem amphibola cum haee sit aquatis duplicem habet radiucem; ex Zet elico itaque huius aequationis primordia innotescunt. Numeris vero superius diei se poterunt declarari. Sit aequatio fio R i Q ' 31 : media quidem inter extremas, quarum aggregatum est 6o. erit 3 a , de fit 1 R minor, vel maior extrema ex serie trium H . portionalium 6, i 8, sq, erit enim O, & 3 , superioris aequationis radix.
Va himmu de quadraticarum sarin con tutione dicta serus, facise possum me rice demon ari. Si enim sit aquatio ae ba ta. α' citra Morem constatuum res proportionales quantitates , quarum med e iis e , se extremarum ae bretia sit a , mi Cera a,
144쪽
tum ex C p minus rectangulo C F D aequale es rectanguis p c D ; hoc es Pariau ex vc, es litur radix c ν', erat enim D ν coscienti aequatis; at τ'. c a poteraι compationis homogentum , O Pariasum ex C r, minus reisanguis c ν D, aquale es adrato rectae a C ; Guntque C D , D st troportionaos , quarum minor extrema c D , maior autem C ν media veri a C ; qua poterat est arationis iamrimeum I extremarum H rexti coe cns x r . Patet igitur propositum. Ita demum sit aquatio ιγ a - a' ' e. . Ostrerimus ex 16ἷus qroportionatibus mediam me extrema-ν- autetu aggreeratim b, fierique minorem, vel orem extremam. In adiuncio enim Sch
recta A MM coe iens, supra quam deseri ossii
Amicirculus A D a ; ex puncto ver. s, erecta sit perpendicularis E C , Aotens comparatronis homo μneum ,a pancto autem acta c o paralesia Vsi Aa occurrat peripheria in D ; a puncto D agatur D E perpesdicularis ad A O eum agitur rectam gulam A a a minus quadrato ex v a hoc es rectangulam A E a , quale si quadrara ex DE, seu ac, ct Aa erat cresciens ἰ B c veri poteras comparationis homogeneum , erit D a radis, suntque proportionales E v , v v , E A quarum media es E D , siue E c , e extremarum autem aggregasum A a d ad radicem igitur minorem quod attinet patet propositum. Considit etiam de mi afri , est enim rectangulum B A E minus quadrato ex AD, aequale rectangati Ea A , hoc est quadrato ex DE, siue R C I proinde radis erit A l . Su adictarum autem aquationum natura , atquei constitutio aliter quoque deprehenae tur nimirum , τι superias quoque monuimus per Uι πίω τ- ἐμωων. Si tamen id 'prae oculis haleatur, quod in sequentibus fuse tractaritur, nempe uniuscus que aquationis dari duas, vel ures radices, se etiam sermo sit de aquationibus assectis, o quidem duas cum aquatio fuerit quadratica, tres uerat curica, ut, nimirum, quot Hmen onosum potesatis assecta; quadratum enim duarum est dimensionum, propterea quadratica aquario duplicem habes raduem, caus trium es dimensionum ; ob id aquatio culica tres radices habet, ct ita deincem, illud poria es animeduertendum, quod in aquatione quadrasica 'ὸ duabus Maecibus spe accissit, τι una sit falsa, hoc es minor quam nihιI, altera autem vera ; hac de re tamen fusὸ in seqrentibus disserendum erat; interam tamen hoc in loco iuuat animaduertisse, quod etiam in prima parte tetigimus, ct hae de re multa quidem seria mus. Ad hanc autem Huram viam, qua natura, arque constitutio aquationum compositarum indagatur, earum nempe, qua ad hoc primum genus pertinens praestat facia talis gratia per antithesin, fle aequationem ipsam minare , ut ex una AEquationis parte nihil exlsat, atque Meo cum nihiis insu ur αντίσωσις, prius ta en aliquid de simplicitus disendam.
Alis quaedam ,& prinad simplicium, deinde compositaruinaequationum constitutiones.
SI proposita sit aequatio a g' et o . ortum ducit a duabus , aequationibus Ie- - μὰ iam quentibus a ς' o,&a,Fg o ex harum enim multiplicatione mutua fita g a o. Ipsius igitur duae sunt radices, una quidem vera , nempe g , altera
145쪽
ia o C RENAI D. ALGBERA NOVA .
itidem eadem g, sed falsa, quarum scilicet utraque aequalis est ipsi g. Hunc olim
constitutionis modum attigerat Beaune , auxit Erasinius , & nos adiiecimus , quς peropportuna ad absolutam argumenti tractationem videbantur. Si fuerit a l. b a ' b e . Huius ςquationis ea est originalis squalio , quae Permultiplicationem quadraticam e radicibus binomijs ortum ducit ; in hac enim se sum ae tum ex radicibus multiplicatis , radicibus ipsis innitiplicandis sub ipsa ibrma tam M. tummodo multiplicationis ordinatis , aequatur . Hinc autem originem trahit iaperior squalio: si cnim a aequatur b; inique a b squabitur Oi ponto igitur , quoda aequetur b ; etiam radices multiplieandς a b , & a t c sub sorma multiplicationis tantummodo 'rdinatae, aequabuntur o i at vero hisce radicibus binomiis multiplicandis factum ex multiplicatis, nempe a ba, .ca bcta O hoc autem fit, si ςquatio a b oducatur inaequationema .Fc o 2 inuabitur,& perantithesin a - b a Q. e a aequabitur b c. Retentis autem omnibus terminis' ex una aequati Oiris parte facilitatis gratia, ita ut ex altera existat o , cui supradicti termini comparcntur; atque adeo sint nihilo aequales ; proposita aequatio crit ad hanc formam redacia a b c ta o , quae a, binomiis prsdictis, tanquam, a radicibus Originem trahit, e quibus una nimirum a - b radix est vera , alter
vero scilicet a c est falsa , unde b, est vera , at vero c, est. falsa . His suppositis. t..i-- . Proposita sit aequario a' t d a g o . Ex hypothesi quod e , maior sit quam b aequatio talia dicta similis erit superiori, ut patet, eiusdem propterea sutat naturae, atque constitutionis, facta igitur mutua earum comparatione, ac utriusque s dundis terminis inuicem collatis, innotescit c b aequari d a cumque e s et radix falsa , b autem vera , coethciens sublateralis , nempe d deprehenditur aequalis differetitiae inter c , d b, atque adeo inter radicem falsam, de veram; hanc eandem cocilicientem oriri ex applicatione disserentiς potestatum, ad aggregatum laterum insequentibus ostendemus . Intelligimus quoque cognita c, falsa , veram b, squa-lcm csse C - d, ut cognita vera di falsam ci aequalem esse b d , addiscimus it dem collatis ultimis terminis g ςquari be, nempe rectangulo sub ipsis radicibus v ra,& falsa,vGς fessac,cognita,veram bsquari de cognita vera Dalsam caequariS . Sic igitur se habet huius aequationis constitutio, unde quammaximE patet aditus, ut ex sequentibus pes picuum fiet ad eiusdem explicationem. Giam Mia . Cohaerent Iisc autem cum praecedentibus; sunt enim tres proportionales magni- quibus extremae duς sunt radices, una quidem vera , altera vero falsa ςquatione , in qua quadratum aiscitur adiunctione plani sub latere . dataque. - , -- cocificiente longitudine, unde in supraposito schemate insta repetito , , c potest comparationis homogeneum iuxta priorem ςquationis formam , quod iuxta posteri rem ultimus est eius terminus; D c radix est vera, cuius quadratum allicitur adiunctione plani sub latere, dcc. Radix falsa est νc, differentia να coeffetens est sublateralis longitudo; ex vera radice D c. in falsam ν c, fit rectangulum p c o, quod est aequale quadrato ex a c ; in huiusmodi igitur squatione perspicimus coetscientem ν o dis
ferentiam esse inter veram radicem D c, dc falsam s c, atque cognita falsa s c, veram n C, Hualem esse ipsi ν c, minus ν D , & cognita vera n c, falsam p e, esse squa-lcm ipsi D C, plus ν D , dc quadratum a c, ςquale esse rectangulo ν e v. sub falsa, de vera radice . de cognita falsa r c, veram D c, squalem esse magnitudini ortiuae ex apinplicatione quadrati a C, ad p o , cognita autem D c, falsam p c, squalem esse magnitudini ortius ex applicatione quadrati e c. ad veram radicem D c.
. Si fuerit a' - b a ta b c. Huius aequationis ea est originalis aequatio, quae peri' ultiplicationem ξ radicibus binomijs ortum ducit, in hac enim factum ex radiis citius multiplicatis , radicibus ipsis niultiplicandis sub ipsa socina tantummodo
. .... . multiplicationi S, ordinatis squatur. Hinc autem originem trahit superior aequatio. Si enim a , aequetur b , utique a - b aequabitur o, quod si a b aequetur O ergo factuin cκ a -- b in a se c aequabitur O, posito igitur quod a, aequetur b; ctianiradices multiplicandae a b, & asec, sub sorma innitiplicationis tantummodo Ordinatae aequabuntur o , at vero hisce radicibus binom ijs multiplicandis , iactum
146쪽
ex multiplicatis, nempe a b alca - bet hoc autem fit, si aequario a b o ducatur in aequationem a-c'o aequabitur a & per antithesin a b a-c a aequabitur b c . Retentis autem omnibus terminis ex φna ae' uationis parte, facilitatis gratia , it aut ex altera existat o, cui supradicti termini comparentur, atque adeo sint nihilo aequales, proposita aequatio erit ad hanc formam redacta' '.' a b c zz o, quae a binomijs praedictis, ta quam a radicibus originem trahit, e quibus nimirum a b radix est vera, altera
vero scilicet a e est falsa, unde ta est vera; at vero e, est salsa . His sup si
proposita sit aequatio a da - ς' r o, ex hypothesi, quMb, maior sit quame, aequatio iam dicta similis erit superiori, ut patet, eiusdem propterea sunt naturi atque constitutionis, facta igitur mutua earum comparatione , ac utriusque secundis terminis inuicem collatis innotescit c b squalem esse- d, vel di aequalem esseb c; eiusdem coeficientis ortum ali uiri, in sequentibus ostendemus; cumque ri foret radix falsa ab autem vera, coessiciens sublateralis, nempe d deprehenditur squalis differentiae inter c, & b atque adeo inter radicem fallani, & veram; Intelligimus quoque cognita falsa e , veram b, aequalem esse d-c; cognita verit b, falsam mqualem esse b d. Vltimisque terminis collatis.
Addiscimus itidem g aequari b e, nempe rectangulo sub ipsis radicibus, falsa, & :vera, ac ob id cognita falsa c, in aequatione proposita, verum b. Huari & cognita . vera b sellam c, aequari . sic laitur se habet, huius aequationis constitutio, unde quammaximE patet aditus ut ex sequentibus perspicuum fiet, ad eiusdem explicationem. Cohyent haec autem cum praecedentibus, sunt enim tres proportionales magnitudines, E quibus
extremae duς sunt radices, una quidem vera, ait
ra autem falsa in aequatione, in qua quadratum. ascitur negatione plani sub latere, dataque coefficiente longitudine i unde in suprapolito sch
mate hic repetito ου c, potest comparationis ii mogeneum iuxta priorem quationis se am,quod iuxta posteriorem ultimus est eius terminus, at s cest radix vera , cuius quadratum assicitur abiunctione plani sub latere,radix Disa est o e disserentia sn, est coeficiens longitudo sublateralis; ex vera
radice ν c in falsam n e , fit rectanguliun Fe D, .
quod est quale quadrato ε e . In huiusmodi igitur
aequatione perspicimus coeficientem p D, esse disserentiam inter veram radicem ν e,& salsam o c, atque deprehendimus cognitia falsa radice D c, veram Fc, aequalem esse s o, plus D c , & cognita vera να falsam D 'equalem esse s e, minus F, D quadratum vero exa c, esse aequale rectangulo r c D, sub vera, de falsa radice, cognita autem falsa D c, veram p c squalem esie magnitudini ortius ex applicatione quadrati a C, ad D c, cognita vera ν c, falsam o c equalem esse magnitudini ortius ex applicatione quadrati a c, ad veram radicem rc.
Si fuerit L a a' π b c. Huius ςquationis ea est originalis aequatio , quae permultiplicationem decentem P radicibus binomiis ortum ducit , in hac enim iactum ex radicibus congrud multiplicatis , radicibus ipsis multiplicandis sub ipsa
forma tantummodo multiplicationis ordinatis, aequatur . ninc autem orisinem trahit superior aequatio si enim a, aequetur b, utique a - b aequabitur O; vel si ponatur a aequari e utique a - c aequabitur O . Sr itaque a squetur d vel c, etiam radices multiplicandae a b, & a c sub forma multiplicationis tantummodo omdinat s inuabuntur o , at vero hisce radicibus binomiis multiplicandis, factum ex multiplicatis nempe a ba calbcc hoc enim, fit si squatio a b ' o congruξ ducatur in aequationem a - c o aequabitur; & per antithesin a' - ba car a b c. a Retem
147쪽
Retentis autem omnibus terminis ex una aequationis parte facilitatis gratia, it aut ex altera existat o, cui supradicti termini comparentur, atque a deo sint nihilo squales, proposita aequatio erit ad hanc sermam. redacta nimirum '' : a b e zz o quae a binomiis prae,ctis tanquam a radicibus originem trahit, e quibus una nimi, rum a - b radix est vera, altera vero a - c itidem vera. His vero suppositis. Proposita sit aequatio a d a Q g o . Haec aequatio persimilis erit superiori ut patet, eiusdem propterea sunt naturae, atque constitutionis facta igitur mutua caruc6paratione, ac virtus terminis cu alterius secundis terminis collatis innotestit b se aequat id, cumque tam b , quant c, radix sit vera, coeffciens sublateralis, nempe d deprehenditur qualis aggregato, ex b, & c atque adeo ex utraque radice v ra. intelligimus quoque si una iosarum fuerit cognita, nempe c reliquam b ςqu Iem esse d c, de cognita b, reliquim c aequarid - b. Vltimisci; terminis collatis: Ad, scimus quoque g' aequale esse b c , nempe rectangulo sub duabus veris r dicibus, ac ob id alterutra cognita, ut pura b, alteram c aequalem esse V,&co. gnita e alteram b aequalem esse Sie igitur se habet huius aequationis constitutio, unde quam maxime patet aditus, ut ex sequentibus perspjcuuφ siet ad eiusdem explicationem.
Cohςrent autem haec cum praecedentibus sint enim tres proportionales magnitudines, e quibus, utraque extremarum est radix in aequatione, in qua planum sub latere, dataque coessiciente rimitudine assicitur multa quadrati, unde in supraposito schemate hic repotito, a c potest comparationis homogenem iuxta priorem aequationis mimam , de iuxta posteriorem, ultimus est eius terminus; at E p radix una, altera etiam, Ax utraq; Vera;&rc - .sulum AEa, assici rur multa quadrati a a, iis tangulum vero a A et , assicitur multa quadrati A η aggregatum ex A a, τε radicibus
est aequale coecteienti longitudini, ex radice v ii, di radice A a , rectangulum aequale est quadrato 1 n , seu a c. In huiusmodi i itur aequatione perspicimus cocilicientem A E. esse aequalem aggrato utriusque radicis, atque deprehendimus cognita r dice A g, fieri cognitam Ea, & contra, &c. Quae tamen secundo loco attulimus ad praedictarum aequationum constitutionem indagandam, per συγκρι- indagantur; unde non est cur aliquis E Neotericis id sibi arroget, cum iam piaedicto modo ea suerint comparata. Quod ita planum fiet. Proponatur a -b a zz Z pl. , & rursus e b e ' E pl. cum igitur quae uni
aequantur sint inter se aequalia a -b a aequabitur e b e, & per antithesin e - a' quabitur b e-b a, omnibusque per c ha diuisis, fiet aequatio id este a zz b. Isitui b coessiciens sublateralis eu differentia duorum laterum , quo
rum vvum cstralium ,alterum autem verum , oriunda ex applicatione differentiat
quadratorum ad aggregatum laterum praediciorum , di quia a Φ b a aequatur et plano in locum ipuus b subrogetur agnitus eius valor , nempe ' ergo a' se a aequabitur et plano, hoc est omnibus rite ordinatis ) id este ar aequa bitur a plano; est enim e a , aequale huic stactioni - 'ἱ3', si namque diuidatur a z-e' a per e a orieter ea pro quotiente i unde addiscimus et planum fieri ex mutua multiplicatione duorum praediistorum laterum, haec superius intendebatur. ae ut melius intelligi queant, numeris explicare non pigebit. Proponatur i Q Φ ia R ta 83, de rursus iAQ ia Azr 8s, erit aequatio i Q B ia II ta 1 A Q - ia A, & pcr alitithesin t A Q in i Q ra R Fir A omnibusque diuisis per i A A i R erit aequat lo ia . & quia I se iii aequatur ps, in locum ipsius i et subrogictur cognitus eius valor , &eiit quatio i Q i R si, & Omnibus rite ordinatis, set , 'N: . Id est.
1 A in i R aequabitur SI. Vnde
148쪽
- a-8s P q. t 7 ac Ia a - Ss zz PVnde hactenus tradita colligimus cum veritate consentire namque radixi R est s , & A est i , illa vera, haec autem lina , quod ex multiplicatione d prehenditur, si enim ducatur 2 q. 17 πο in a- 3 ' o fit producinm a , ii ta a - 83 π o. Agnitum etiam est compar tionis homogeneum , nempe 8s , fieri ex multiplicatione falsae radicis tr in veram 3. De his tamen fit sh in sequentibus disserendum . Interim illudadnotetur, puta laterum praedictorum , nempe a7 , & s , quadrata esse a89, as quorum disserentia est et , quς si applicetur ad aa , aggregatum eorundem lateriam , oritur coe&c ens sublateralis Ia. Quae vero de seperiori aequationis, diximus genere, sim debito modo de aliis duobus generibus, irempe apophatica, & amphibola intelligenda lant, ut cum late in sequentibus explicabimus. . Si implicatioribus , praeferenda simpliciora sunt, mon nihil spei milii blanditur futurum, ut haec, quae nos excogitauimus quadraticarum aequationum primordia vliquo digna plausu aexistimentur. Harum autem principia simi, a quibus ipsς fiunt. sunt, de cognoscuntur , cum haec sit ipsius principii ratio, sed quoniam hae non transeendunt planorum limites, planorum autem principia immediata sunt latera, quorum ductu producuntur, harum igitur aequationum immediata principia erunt ιat ex lateris di tactione , non nisi latera oriuntur; hinc istarum aequationum primordia, latera ipsa dicenda existimavimus. Ad primam igitur arctuationem, quod attinet, in qua quadratum asscitur adiunctione plani sub latere, dataque e ciciemur longitudine, constitutio sile se habet per ς γρομι-c ἰ M. Sit recta D o secta utcunque in t secta vero sit pio aequalis ipsi B a. manifestum
est , quadratum ex D a , una cum recta gulo D a ν; aequari remngulo D p o , est enim quadratum ex D v. una cum recta gulo Das aequale rectangulo ν D a , hoc
est o x o, si itaque D a , si erit radix; a ν , vero coeficiens quidem sublateralis; cum
quadratum ex D a , una cum recta
gulo D E s , nempe quadratum radicis plu e, homogeneo sub latere, de coeffetente longitudine, aequale sit rectangulo , D n o , erit rectangulum Da G, seu a Gn, ii mogeneum datς mensurae, itaque D E erit radix una, cui aequatur ν G, quamobremn a, minus p o, aequabitur οἱ nempe nihilo, unde D E erit radix vera , & a G , radix silla , illa enim plusis o aequabitur o ; harum disserentia x ν, est ipsa coinciens longitudo . Hinc addiscimus disserentiam duarum radicum, quarum una est vera; altera salia in aequatione de qua loquimur esse coincientem longitudianem , atque cognita radice vera n x, seu ν o. per additionem coeficientis longitudinis a r neri cognitam radicem salsam a o ; ut contra cognita falsa a G, per sib- tractionem eiusdem coineientis longitudinis a s fieri cognitam radicem --ram ν o, seu D t, & comparationis homogeneum puta rectangulum D E o, lautor, fieri ex radice quidem vera va, lauso, in falsa x o quamobrem si O g, fuerit a,& a o suerit c., & s c, denique b. comparationis homogeneum nempe rectangulum ti a o , seux o helub e , est autem a - b squalis o cum a aequetur b,&ns, este b.
proinde fiet squalis : a - b .c quod si placet fieri comparationem inter po
sitiuum, & negativum crit o a b c zz o. Hic aduerte cum c si maior quab; per additionem ipsus 4. c ad - b fieri aequationem assirmativam , Vides igitur qui simplex sit huius aequationis Ostitutio, & quomodo abs lite, Zeteticis, vel collatione cum alia aequatione, propositae aequationis primordia comparentur
149쪽
Alia Si placet potest etiam eadem recta arpellari a , de b; cumenim a supponatur adi qualis b, unde a -b est aequallio, prointerea eadem dici potest a , & b, unde adhuc a b , aequabitur O . Tunc vero schema se haberet , ut hic. Manifestuui est quadratum ex o x , una rectangulo D E p aequari rectangulo p o ε . Si itaque D a fuerit radix, g ν , vero coessiciens tu, latetalis erit. Cum igitur quadratum ex DE una cum rectangulo D E F , nempe quadratum. radicis, plus homogeneo illa: 're, & coefficiente longitudine , aequale sit rectangulo ν ret; rectangulum Wo η, erit homogeneum datae: nsurae. Erit igitur D. v radix vera, dc D ν radix ialsa; haec enim plus v et aeq uabitur in harum autem dis' serentia ε ν , erit c sciens longitudo. Hinc addiseimus disserentiam duarum radia - Cum, quarum una est vera, altera salsa in ς quatione, de qua loquimur esse coeta cientem longitudinem, atque cognita vera radice v x per additionemi coessicienti EJr, fieri cognitam radicem falsam o F, ut cognita falsa D R, per subtractionem eiusdem cocticientis longitudinis a r fieri cognitam radicem veram Pal. & comparatio nis homogeneum, puta rectangulum, P v x. fieri ex radice quidem vera o Α, & silusa D r, quamobrem, sina fuerit a. de eadem sib.&Dν sit ei comparationis lim- mogendum, nempe rectangulum ν D v, est b c; est autem a - b ualis o cum a
e sciente longitudine, cuius constitutio
: haec est. Bifariam institui potest hypothesis, vel
protracta D p in o , it aut ν o sit aequalis irii o ν, & haec dicatura, at s o dicatur b; vel supposito , quod D s , sit a cademquo dicatur bi quia tamen in secunda hypothe, si adhuc a - b , aequatur O , non minus , quam in prima , & cadem currit demo stratio, ut in antecedenti licet aduertere, propterea secundam hypothesin amplectemur; ergo. Sit recta D s, secta in f, utcumque, uianu. sest uin est quadratum exornauitatum re tangulo D F aequari rectangulo p D a , est enim quadratum ex D ν, aequale rectam gulo D F h, una cum rectangulo F D B, unde quadratum ipsum ex D E, multatum re arangulo Dr ν, aequabitur rectangulo ν D E, si itaque D n sit radix, erit a s coemiens, sublateralis, cum itaque quadratum ex D p, minus rectangulo D E E , nempe quadratum lateris minus homogeneo sub latere, & coecticiente longitudine, aequale sit rcciaugulo νnt, rectangulum FDxerit homogene datae mensurς , staque D ν eriti latus vitum , cui cum aequetur eadem D p, erit D F, minus v ri aeqiulis o , nemph ni,hilo, unde n s erit radix vera, & o a radix falsa , illa enim plus o a aequabitur ci . harum differentia ε ε est ipsa coefficiens longitudo. Hinc addiscimus differentiam iduarui adiciu , quarum una est vera, altera falsa in ςquatione, de qua loquimur, esse, cociscientem longitudinein, atque cognita radice vera, o p per subtractionem coes scicii: is longitudinis εν fieri cidinitam radicem falsam v x , & cognita falsa radice D aper additionem ciusdeni coemientis, fieri cognitam radicem veram n ν , & comi parationis homogeneum , puta rectangulum p D x, fieri quidem ex tradice vera n Fin sallam v x, quamobrem si v ν, fuerit a itemque b, di v a sinit c, comparationis
150쪽
homogeneum, nempe rectangulum p o n est b c , est autem a - b aequalis o, cuma, aequetur b, & h ν est b - c, proinde fiet squatio a.b c, quod si plaeet seri comparationem inter positiuuin, le negativum erit a - b c zz o. Hic aduerte cum b, si maior , quam e , per additionem c ad b fieri aequationem n gatiuam.
Superest ad extiemum aequatio , in qua homogeneum sub latere dataque coefii. ciente longitudine allicitur multa quadrati, cuius constitutio haec est. Bifariam institui potest hypothesis , vel
protracta Dp, in G, ita ut FG, sit aequalis D r,
de haec dicatur a at F o, dicatur di vel surro illo, quod o a dicatura, di eadem dicatur b , quia tamen in secunda hypothesi adhuc a - b aeqnatur O, non minus quam in prima , 5e eadem currit demonstratio, ut in prima huius licuit aduertere; propterea secundam hypothesin amplectemur,
Sit recta D ν, utcunque secta in x; Maniustitum est rectangulum ν D E minus quadrato D E aequari rectangulo D E p ἔ qu, re ablato quadrato ipsius D v, ex rectangulo ν n r, remanebit restingulum o x p est igitur rectangulum s D E , minus quadrato ipsius D a , aequale rectangulo o E p . Si itaque D s, si radix, erit u ν, coethciens sublateralis longitudo i cum itaque recta gulum ν D s, nenpe homogeneum sub latere, de coessiciente longitudine , minus quadrato ipsus v x, scilicet radicis aequale sit rectangulo D x ν, erit rectangulum DE p, homogeneum datae metis urs. Itaque D s, erit radix una ; cui cum aequalis sit b, imo est eadem, erit D E, minus D E, squalis o nempe nihilo, unde D s , erit radix vera , & quia idem contingit de E p ; proinde, a p , erit altera radix vera, quarum aggregatum est o ν; Hinc addiscimus aggregatum duarum radicum , quarum utraque est vera in aequatione de qua loquimur , esse coefficientem longitudinem , atque cognita radice una, fieri cognitam alteram per subtractionem ipsius ac iliciente longitudine, & contra altera , &c. & comparationis homogeneum puta rectangulum D E r, fieri quidem ex radice n g, in x ν; quamobrem si v s fuerit batque o E fuerit c, comparationis homogeneum, nempe rectangulum D a p, erit bc; est autem a b aequalis o I cuma, aequetur b, imo sit eadem , & o r . erit b c proinde fiet aequatit a - a' ' bc leuncta comparatione interpositiuum, & negativum; erit M : a b e o. Cubicarum aequationum, in quibus assectiones existunt sub latere natura, atque constitutio ex riteticis aperitFr.
Hactenus explicuimus constitutionem aequationum quadraticarum, nunc proximum est, ut aequationum cubicarum naturam explicemus , earum nimirum in quia bus auectiones existunt sub latere , harum autem natura tum ex Zeteticis . cum etiam alijs modis innotescit ; primo de constitutivis ex Zeteticis verba faciemus . Si sit aequatio a F b' a ' b d . Sunt quatuor quantitates proportionales, qua- tr -- rum prima, maior, vel minor inter extremas est b, & aggregatum ex secunda , &quarta est d, fit autem a , secunda, quod cum Vieta ex Zetctico deprehendemus . Inferius tamen in scholio demonstrationem intueberis. Data prima, or araregato exscunda , O quarta in sene quatuor continuὸ proportio- Zimm m.
Secunda esto at ob id quarta erit d a, at veris cubus e secunda aequatur solido sub quadrato primae, di quartae. Sunt enim proportionales termini hi hoc in do, ut quadratum primae ad quadratum secundae ita secunda ad quartam ; proinde ducatur b', nempe quadratum primae in d - a, quartam , & fiet solidum , b d υ a, atque adeo, ut dicebamus cubus e secunda, nempe a , aequabitur b' d b a,