장음표시 사용
121쪽
Ad ultimum quod spectati primum membrum puta a' b , valet 36, Deinde, a P c' d' , valet i qeo , quo ducto in sit 376oo , huius latus quadratum est a o
git 676. Diuisio quantitatum Surdarum.
Si fuerint datae quantitates communicantes , Opretet diuidere tantum quantita tes , siue numeros extra signum radicate positos , & quod prouenit erit quotiens quaesitus. Vt si oporteat diuidere se 73 a' per ' et 7 a 2 boc est s a R3 per 3 a vi 3 . diuidatur 3 a per 3 a , vel 'uod idem est , diuidatur per 3 , fiet quotiens hoc est i - . Noe secus, clim propositum suerit diuidere v. io 8 a per R 8 a' hoe est 6 a p. 3 per qa hi 3. diuidatur 6 a per a , vel quod idem est diuidatur 6 per Α, fiet quotiens hoc est a Quod si proponeretur R a' -Ρ a' b diuidendum per R a' b' ἀ- ω ὰ nempe a lli a' ,B b j per b ni a' b Oportet diuidere a per b, ut fiat quotiens Φ Vbi hic oportet aduertere
non esse mirandum si applicetur quantitas, quantitati eiusdem omnino diniensi nis ; Tamets enim suo loco docuerimus applicandam esse quantitatem altiorem, d pressiori, tamen non repugnat etiam applicationem fieri unius quantitatis ad aliam eiusdem dimensionis, si per ipsas species intelligantur quantitates discreis; unde si per a intelligatur exempli gratia ro , & pcr b ilitelligatur Α, nullum sequitur ii commodum , nempe si a intelligatur applicari ad. b. Imo etiam illud quoque licet hic, nempe lineam hunc in modum designare - vel vel H- sue : alijsue modissimilibus, non secus ae in Arithmetica, fractiones designare valemus cum dicimus - - , , - - , &c. stactio enim literis exprimitur , imo cum numerator ad denominatorem non habeat rationem commemsurabilem, sed quae similis sit lineae ad lineam, quarum una sungatur munere numeratoris, altera vero denominatoris eiusdem si actionis . Vnde intelligimus lineam a se habere tanquam numeratorem , at b, velut denominatorem eiusdem stactionis , itaut respondeat exempli gratia fractioni Arithmetica: - vel af, adeo ut signascetur eo symbolo ratio, quae est intera, α 3, vel inter et, & R I, vel alia , prout res de qua fit sermo , exposcit. Si vero proponeretur hi a b c seu c h. ab diuidendum per s. a b . fiet quotiense i ut enim si a b si ducatur in e , fit e si a b , ita si e ni a b diuidatur per th a b , fiet quotiens c . Caeter uin, ut supcrius vidimus idem est cst a b , ac cst ' aoc' , hoe enim symbolo denotamus quadratum cx c ductum esse in a b, & ex produ*o radicem elle extractam , at cum scribimus c hi a b , significamus, ducendum essec in hi a b,&ex producto extrahendam esse radicem. Vt enim idem est a ni a b, ac est ' in ab , seu in , R , a b, &c. quod superius luculenter explicuimus, ita hie idem est chi a b, ac cst hi a be . Nec dissimiliter procedendum erit in alijs diuisionibus perficiendis , cum scilicet datae quantitates , nempet diuidenda , & diuidens communicantes fuerint. Quod si quantitates non fuerint communicantes . diuidendae erunt quantitates sub signis radicalibus comprehensae a quantitati autem ortiuae prςfigendum erit commune radicate signum: Vt ad diuidendum P a b a o per bi aia b oportet diuidere a b a b per a' - b , proiieniet autem a b ; si enim i a b diuidatur per i a', prouenit i a b, si vero ab' per b' proiicnit item H. a b. cui prςfixo codem radicati signo , prouenit quotiens tk a b , tantum igitur oritur ex d:uisione ipsius Ra b - a b pcr RP quς ut melius intelligantur, alia asseremus exempla. Si Proponatur με - , - a, diuidendum per R a b , diuidatur a b - ab' pera b prouenit aurem a b ; nam si diuidatur M l, per a prouenit a b , si diuidatur a L per b' prouenit item a b , quare superest tantum, ut prsfiga: nus ipsi ab signum radicate R. Ita si oporteat diuidere ' a' o Fa o .Fa o u per hi a ,Fb id Diuisis a' b Φa' bi
122쪽
q. a' u ; Diuidere igitur oportet ut a a a b .Fa', per ' a' a b ficta vero diuisione fit, quotiens
Huius diuisionis ea est ratio; si diuidaturi a Φ x a b Gaab - - per Iu 1' q. a a b b sume da sunt corum Dadrata unde
diuidere oportet se es per a , & pro venit q. a', si diuidatur l. et a b per a a b , fit quotiens item H. a' , si vero diuidatur a a b' per a a b , fit quotiens b si diuidatur b' per b' fit quotiens b' unde quotiens integer erit pi
Non secus eum diuiditur ' a .Fia b i ab Φ a a b b' pG R i a bsumenda sunt eorum quadrata, unde si diuidatur t a' per t a', fiet quotiens t a si diuidatur 1 a a b per a sit quotiens χ ab. Si vero diuidatur t a a b pero fit quoties q. b' ubi aduerte a b' bis adhiberi semel in prima, & semel in tertia diuisione, unde restituita a b quod est inquantitate diuidenda, quod diuisione iacta secundum sermam ipsius, constauit. Itaque integer quotiens erit he a' b' Quod si proponatur diuidendum a q. b' per ν ά .Fb oportet diuidere a q. h per suum latus cuiusmodi est yi a d. b', at si quadratum applicetur lateri oritur latus, quamobrem quotiei erit se od si oporteat diuidere a' q. a b' per se a . . b orietur a vi a trinam oportet reductionem sacere ad idem signum radicate , quare ducendum est a' q. a b' in se , vi fiat a' a es b q. a' is, unde diuidere oportet bi a q. 2 a' b' a' b' per hi a .lta, sumptis eorum quadrantis diuidendo a' per a fit quotiens a', quo ducto in a -b , diuisorem fit a' Fb a b hoc subtracto ex quantitate diuidenda, fit reliquua b hoc diuiso per eundem diuisorem a q. ω fit quotieus a b quo multiplicato per a bt b' fit productum a b .Fa is, quo subtracto ex reliquo iam dicto, nihil remanet, it aut quotiens sit a' b' , cuius latus est a P a d b . Haec autem multiplicatione comprobantur, si enim ducamus P a .FU in a Bia δU fit productum a H. a b vel si ducamus a ta b' quadratum quotienti sapia tu in a' q. b' quadratum ipsius Ra q. by diuisoris, fit a t a P b' t a' b' quadratum diuidendς quantitatis ah t a b . Quia tamen id quibusdam non probatur lubet hunc in modum confirmare. Supponamus a Valere 3, dc b, valere Α, argoa , valet y , & b' , valci 16 , atque a q. b' valebit as , quare pretium ipsius hi P U , erit s. Diuisor 'esturtiit s. At vero quod est diuidendum erat a q. a b , ex hypothesi iam dicta a , valcbit et , & ipsius a b', pretium erit 48 , quare a q. a b' valit, it 7 I. Cum igitur diui-N 1 dere
123쪽
dere oportet a q. a b' Per P a ,si, , perinde est, ac diuidere s per-s , fit autem quotiens is, at cum diceremus quotientem fieri a Ra .Fb recte se habet; nam es ests, & b' est i5, e quibus fit as, cuius latus eli 1, quod ducium in 3 facit Is . Male igitur alij pragmatiam instituunt. Sit iniunctum diuiderea' bc per a ,FR aQRbe diuisori, e , fiet quotiens a - Π: b c , quod mul- a - ' b c quotienstiplicatione comprobabitur, si enim diuisor -- at hibe, ducatur in a - ' bc quotientem iam dictum, producitur a b c . quantitas diuidenda . Diuisionis autem instituendae ratio est, quia si diuidatur a per a fit quotiens a , quo ducto in a fit a' hoc su tracto ex a' remanet b c ducto autem inpibe, fita' b c atque adeo reliquum diuidendi erit a R b c beat si apibe diuidatur per a fit quotiens ' b c quo ducto in Q. R b c , fit productum b equo lubtracto ex reliquo diuidendi, - b c nihil remanet; unde diuisio est absoluta, de ad finem perducta. At si solet operae pretium diuidere a q. a' a b c Fbc ra .FRbc qu tiens fieret a t se b c , proptereaquod a' i a P a' b c q. b c est quadratum ipsus a t 'b c, quadratum autem applicatum lateri restituit latus. Ita similiter si propositum sit diuidere ab tb Rib cperat Rbc fit quotiens b. eade enim quatitas b oritur si diuidatur a b per a & b ' b c per R b c propterea ex huiusmodi diuitione quotiens pioveniens erit b ; quod multiplicatione comprobatur .
namque multiplicato a t si b c per b , fit productum a b t b ' b c , quotiens igitur est quantitas b , qus ducta in diuisorem a i P b c , facit diuidendam quantit tem a b t b R b c
Propositum sit diuidere R iab - a' t b' per a t b . Oportet autem procedere , . ut dictum est, dc proueniet quotiens ' a b - a t b. Si enim Rb 1 ab , diuidatur per a t b, hoc est per eius quadratum a t a a b t b diuidatur a it a a b - 2 a b b , oritur a b , cuius latus est yi ita , at si a i b diuidatur per a b , fit quotiens - a H. b . Haec vero multiplicatione
Diuisor est a t b , quotiens vero hi a b a t l, si enim -a i b ducatur in t atb fit productum a t b , at vero si hi a -b ducatur in f a 1 b fit productum hi a ta a b - b' P, ad id enim oportet a s b quadratice multiplicare, ut constat ex praeceptis suo loco traditis, per huiusmodi vero multiplicationem producitur es
124쪽
t et a b l b ducendum in a' - li', nempe quadratum ipsus ν , & fit M t 2
a b et a b b , cuius latus est ni a a a b - , a - b , atque adeo productum
integrum erit quantitas illa diuidenda 1. a i , ita ibi a' t b' . Recte igitur enunciatum fuit ex supradicta diuisione oriri R Gb a s b. Propolituin sit diuidere a t a b tabR GS per a R . t b proueniet quotiens ν a tia i b. Siquidem a a tb diuidendo a b M , H, facit quotientem b, at vero a te a t b diuidendo a' t a b , facit quotientem hi i ibi, propterea ex illa diuiasione orietur si a -b l. b. Id autem multiplicatione confirmabitur , ut a la- π t btere hic cernere licet. Verum non erit tanabs re numeris liςc illustrare, sat erit . tamen hoc unum cxemplum explica se . a' a b q. a b Et Litb Supponamus ipsius a valorem esse 3,
at vero ipsius b pretium esse ψ, igitur θ' valebit y . & b' valebit is, quarea' t b' , valebit a I , unde is us a tb pretium erit s , at a' valebit 27 , αa b' , valebit 8 , quare ipsius a' t a b valor erit 11 sed a b valebit Ia , di quia D a tb' valet , utique a b hi PT, valebit do, unde, cum a' t a b valent 7s , tota quantitas nempe a' t a b tu valebit m s , est igitur diuidenda quantitas, cuius valor est & quia diuisor est a α - , di a valet 3 , ut 3ea tb , valet S , ipsum a N r b , valebit is , perinde igitur erit diuidere a t a b t a b is a't b' per a a t b ac diuidere 131 per is , ex hac autem diuiso'ne oritur 9 sed quotiens ex predicta diuisione dicebatur esse i, Esse t b , mani se stum est autem huius pretium esse 9 , siquidem tu i ibi est s , at vero b est ex ,- -9. Optime proinde Diuisio ad eum, quem diximus in um , perficitur . Diuidatur a b - c d per se a b e d , fiet autem quotiens Ra b Φ Re d , est enim a b quadratum ipsius ih a b , quadratum autem applica tum lateri restituit latus. Deinde si per diuidatur emergit φ mox autςm Re d, diuidens c d , ob eandem rationem: faciet 'ed, siquidem c d est quadratum ipsius Rcd, quare integer quotiens erit se a b t.' e d , quod est magnopςxς obseruandum . In his autem diuisionibus se se quisque debet exercere. Proponatur a b c ' b c, diuidendum per a q. ' b c. Diuidatur a per a fit quotiensa', quo ditino in diuisorem a se R b e fit a t a ' b c hoc subtracto ex diuidendo a tbc 'be remanet i bc bc- a 'bc. Deinde diuidatur besebc - a'Rbc per eundem diuisorem , & fit quotiens f b e , hoe multiplicato per a P b c diuisorem, fit abctbc 'be quo subtracto exbcstbc a' 'bc, remanet -a' 'bc abe modo diuidatur a R b c a b c per eundem diuisorem , fit quotiens a ' b e , quo ducto in diuisorem a FB R b c fit productum a 'bc ab c, quo substracto ex - a' 'bc ab e nihil remanet; atque adeo diuisio ad finem
Praeerea sit iniunctum diuidere a b e d' per se a b R e d, set quotiensa dicit Rab t abiei R e d autem hieductus in diuisorem' a b - Reddabit
quod cernere licet hic a latere ex apposito paradigmate, 6bi nimirum supradicta instituitur multia plicatio quotientis per diuisorem.
125쪽
. . comprobabimus eXplicatione numerorum; interim adnotet
stim a Luia diuisionis institutio; ous filii ixta praecepta tradita; est cnim a b latus quadratum ip- . sius a b si enim a b ducatur in se fit a' b' praeterea c d est eodem modo latus ipsius e d haee latera simul iuncta ficiunt a b t c d , in hoc autem aggrega- tii ra, ducatur latus quadrato-quadratum eiusdem a' b' nempe D a b , fiet enim
Non dissimiliter, a b , ut diximus est latus quadratum ipsus es b' , & e d latus quadratum ipsius c' d hqc duo latera simul iuncti faciunt ab ted in hoc autem aggregatum ducatur latus quadrat quadratum ipsius c' d , nempe Red. Itaque totum quod ex diuisione caizrgit, erit ab teu Ra b ,h ab ted ' c d , & ita diuisio commemorata perficitur. Si Vcio quotiens iam dictus multiplicatus fuerit per diuisorem ' a b Red producitur t ab ted ab - . ted c d hoc est i a' b' tabed,& ab edic d 'totum autem hoc a b illo in additione subtrahendum ob notam, symbolumve defectus, quare , similibus de medio sublatis, fiet residuum a
b c d' nempe quantitas diuidenda.' Mus -- Caeterum hςc illii tirantur numeris hunc in modum a , valeat 16, b, a , c,q,& d , ς. Itaque a b orit qoo, at c d erit 36, unde abicd erit 436 sed la a b, crit ' 4oo, nempe sto, quare ducatur 436 in zo, & proueniet 8 ao , & hoc erit pretium ipsius icta Ied R a b . Deinde idem 436 , pretium ipsius a b c d , d catur ino, pletium ipsius ' cd, & proueniet 26 io, quo addito ad 27ro, fit it 336. At si a b , valet oo , D a b , valebit zo, & si c d valet 36, lac d. valebit 6, qu
re ab Red, pretium erit ιψ, quo ducis in ta 336 , fit is 87o . Hoc autem est etiam pretium diuidendae quantitatis a' d' - c' d' siquidem a valeta 16, &b'valet fias, ex horum mutua multiplicatione prouenit i6oooo, at vero si d kalet 9, d valebit Si, & sic valet 4,c'valcbit i6, at ex is in8i fit raps. Si vero a' b' valeti 6ocoo. & c d' valet ia96, horum differentia a 387o , erit pretium ipsius, a' ti' c' d', ut superius diccbamus.1,- ι .. Propositum sit diuidere a Φ a' N b c - bic R b c - a b c pera ptbe, fiet quo---tiens a H bc a a P bc, quod multiplicatione comprobabitur , & numeris illustrabitur. Interim adnotetur inciliodus diuisionis siquidem ex multiplicati ne diuisoris per quotientem fit quantita4 diuidenda. Explicanin Diuiso enim a 'per a sit potiens es , cum vero diui- a',εε bela a 'beso a per a fiat quotiens a', a - ' b c
c, fit reliquum a a labe - a labe Φa' ' b c b e ' b c 1 a b ebeω bc ab e , diuid, hoc est a'. - bcla b c abctur hoc ipsum residuum per eundem diuisorem , & fiet quotiens b c adiungendus priori qi totienti a , multiplicetur b c per a R b c diuisorem , fiet productum se abc-bcstbc quo
subtracto ex x a 'bc - bcRbc abc fiet reliquum a a 'bc a abc, diuidendum per eundem diuisorem, facta autem diuisione , fit quotiens ra 'be, quo ducto in a 'bc diuisorem , producitur a a' 'bc a abe, quo subtracto exa a 'be --a abc, nihil remanet, unde diuisio ad finem perducta est , &ex praeceptis traditis diuidemus etiam hoc plurinomium a se ab c d Φb 'bedri ad a Wbe b c d Rbc aiybc b c d - cl Rbc per a D be , fiet autem quotiens multiplication
126쪽
ae Fabed Φa' p. b c d q. ad x Fabcd.sa' Bb c d .Fad a P bc-bc dytbe-aRbe Iib c d --d 'be. Quod numeris licebit citra discultatem explicare, diuisionis vero methodus evdem est cum praecedentibus. Illud porro silentio non praeteribo , videlicet huiusmodi operationes, ut recth ex Ex-MMUe cantur, praeter Artis praecepta , longam, assiduamque exercitationem requiri. sine qua nemini licebit expeditam, promptamque pragmatiam comparare, studiosis igitur est insudandum, ad hane enim Artem capessendam improbus labor exigitur, segni vero , ac impatientes laboris ab huiusmodi studijs arcendi sunt. Numeris autem hςc illustrare facilE quidem erit. Supponamus ipsius a pretium e se i6, b, vero as , at c esse ο , ergo a' valebit qo96 , quoniam vero a , valet I 5, eius quadratum erit 136, quo dulio in io, pretium ipsius b c fiet asso. Itaque Σ36o , erit pretium ipsius a' R b c e ue addito ad 4-6, valorem ipsius a , fit 6616 pretium ipsius a q. a' P b c at vero b c , valet ioci, hoc aut ducto in io, praetium ipsius b c , fit iooo pretium ipsius b c ' b c quo subtra to ex 6616 , pretio ipsius a' q. a' ' b c remanet 3616, subtrahatur i6- , valor ipsius a b e fit reliquum qo96. Nunc perpendamus pretium producti ex diuisore in quotientem , diuisor est a- ωι,-- . fi b c hoc est id minus io , nempe 6 , quotiens dicebatur a .Fbclaayibe nempe 36 q. ioo q. 3ao, hoc est 676 , quo multiplicato per 5 fit productui o36 , quantum est pretium quantitatis diuidendae. Caeterum in hac, quam ait
limus diuisione, quidam neotericus haud ingnobilis Analyta deceptus est.
eundem diuiuisorem diuidendum fieret enim quotiens Q U. Insuper idem eumniet in diuisione linius R a' tb' per d fiet enim qnotiens praeterea si opus stetit diuidere ν per d - e fiet quotiens E SM. Aduerte autem fractioncm illam superiorem, & similes aliter etiam scribi piae, undela λυ, si dic F d, scribi poterit quotiens ne dum, ut supra, sed etiam hoe modo . .. ire Ita quoque de alijs intelligendum suo modo.
Quandoque contingit, ut quantitas irrationalis intelligenda sit ducta in aliduam quantitatem ratimalem, diuisio vero instituenda sit per aliquam quantitatem, ut cum proponitur a D a tb , diuidendum per b fiet quotiens J nt, se, quod si alter quicumque diuisor fuerit, non dissimiliter procedendum, ut si per a vi b sore instituenda diuino, fieret enim quotiens ri .- insuper propositiun sit diuide
127쪽
111 CRENAI D. ALGEBRA NOVA .re a' hi per c t e fieret quotiens p. FP . Qus ut melius innotescant , il
lustrare numeris' iuvabit. Supponamus a valere et, eius quadratum valebit at verδ b valeat 3, eius qua- ' ρο ' valebit 9. quare a b' valebit 36, unde R a h , valet 6, necesse est; haec 'si intelligatur ducta in a pretium ipsius a , fiet productum ia, lioc autem propon tur diuidendum pera H. b, lioe est per 3 , & dictum est oriri ita est proptereaquod, si ia diuidatur per 3 fit quotiens a at si a diuidatur per snempe a per a b, fit quotiens - quo ducto in 6, pretium ipsius ih a b fit pro-d uictuin a e. Hinc igitur perspicue constat recte diuisioncm illam ad eum modum inii itui. Fractiones autem ex diuisionibus passim contingunt, unde si a ' si a b c d diui- .H, . di debeat per a t l, - c fiet quotiens s ita si fuerit a' Φ ni a b e d diui- dendum per a i R b c , fiet quotiens ad modum flaictionis .
UTili ima est in veratio, ιρου factas ma'nitudines ad integras revocamiu ; Haud rarissiquidem contingis inaequatim τι repari magnitudines fractas , quaesi mn rc-daeantur ad magnitudines integras neque t fluiser ex Darι. Data sit framo oporteat eam in integras magnitudines transmutare . Fiat , o dad b ita ε' ad aliud quidpiam , quoa sit α', ct ita erit irim , PMd . Sit flat vi d ad ι iras ad ferit a fidem, quia nam ι dData sit fractio - . Hanc autem oporteat ad integras magnitudines reuocare. Fiat mi g adsita b' i P ad aliud qui piam , quo ι α', δ' ita idem erit et ' quod actio
Data sit factio Uaam oporteat ad insegras magnis fines reuocare. Fiat τι da , ita b aa aliam quampiam magnitudinem, qua sit L, ct erit sirim , quod . Data sit 'actio , quam oporteas ad integras magnitudines reuocare . Fiat τι fadg , ita bt d ad aliam qtia iam magniturinem , quasi α, o erit,idem , quod Proponatur , sias it fad ri s , ita b ad aliud, quod sit Δ, cst erit E idem, quod superiar ια framo Hac operatio numeris ita rari potes; supponamus stactionem esse se b est. ---rus io, d ver. 3, itaque b d valebit 3o, H g sit 3, quamobrem fractio in valebit 6 , si namque a o dividantur per 3 sit quotiens o , quantum orirι debus disponantur termini liti sic, ut ys reperiatur quartus proportionalis, nimirum s fiat, is 3 ad 1 o, ita 3 ad
abud, ne e 6. Demonstrator fatic haec operatis. Si enim duo sint Irtera, fab quibus recta ulum aliquod comprehen ur, hae vcr. ad latus diuidens anmetur , Huidens erit primus Ieseminas, In serie quatuor proportionatium terminorum, o latera erunt Iubsequentes termiani sic, ut quotiens locum quartum in ilia serie seniatur, ut at L dictum , explicatumque fuit. Molia hic posient in mediam asseres , ea tamen cum ex hactenus traitis facile infelis Fat, libenter si enito raetereunda duximus en/m es adoret e qua arte sit facienda reisuctio factarum magnisi aenim ad ιntegras , quod omn/no erat auimaduersione dignum eum non ra . eueniat , et i in aquationibus huiusmodi fractae magnitudines reperiantur , quae msi ad ma itudines integras reuocentur, aequationes haud ex Icari P ῖnt.
128쪽
IAm superius in Algcbra Diophantea nos aequationem definiuimus, est autem
quatio, quae Graecis dicitur σι α χόα, nomen enim hoc aequationem importat, ut O in 'rae aequalitatem significat, definiuimus vero dicentes ςquationem effeta comparationem inter certam, & incertam magnitudinem. Itaque nil aliud aequatio est , quam proportio aequalitatis inter duas magnitudines, duasue quantitates , vel res variξ de nominatos quarum una sit certa , de nota, altera autem incerta, & ignotai siquidem inter ea, que sunt eiusdem denomia
nationis, cquatio vel est inutilis, ut inter a, & a inter I a', & a' inter a Φb a, & a' r b a , vel non erit squalitas , ut inter a & s a, vel 3 a -b a& a' tb a, &c. Huius autem aequationis varia sunt genera, quemadmodum memorato loco e pituimus; quamuis enim aequatio communi quadam usurpatione suo quantitatum duarum, vel plurimum quacumquς aequalitate capiatur, hic tamen proprie accipiatur, prout est quantitatis quaesitae cum quantitate aliqua data, alterius ad alteram facta comparatione, distincte ordinata aequalitas . In qua quidem pars quaesititia potestas est , vel pura , vel affecta , ut mox docemus pars autem data comparationis homo geneum dicitur etenim illa magnitudo incerta Radit est , vel Potestas, At vero Potestas pura est , vel assecta , & assectio aut est per rimationem , aut per negationem. Sit aequatio a' ' Σ'. Seu a' ta b d. Potestas, nempe a est pura ; Si vero fuerit aequatio a' b a κ . Potestas est afferta, de huiusmodi aD sectio est per assirmationem, diciturque assici ediunctione plani sub latere dataque cressiciente longitudine; Haec vero aequatio Greeis dicitur πιιτα -- hoc est assi maliva. Si vero fuerit aequatio a' D a ' Σ' dicitur potestas assem per negati nem, eaque dicitur assici multa plani sub latere, dataque coeficiente longitudi . diciturque Α παναὶ seu apophatica, hoc est negatiua . Quando autem assiciens homogeneum cuiusmodi hic est b a , de Potestate negatur negatio est directa . Ilulud porro assiciens homogeneum diuisur quoniam eiu idem est dimensonis seu eandem dimensionis naturam participat cum Potestate , & cum Comparationis homa-geneo, vel unico verbo, quoniam eandem dimensionis naturam participat cum c teris magnitudinis in aequatione existentibus, At; si Arei aequatio b a a' ' κ .
Dieitur seu amphibola, hoe est ambigua , de Planum autem sub latere dataque coelii ciente lossitudine in hae equatione assicitur multa quadrati, & quia Potestas regatur, de asciente homogenea sub gradus, proinde negatio indirecta
dicitur. Magnitudo autem certa, cui reliqua comparantur, dicitur comparationis homogeneum. Quando verb designatur Σ' pro comparationis homogeneo , potest
etiam subrogari et planum; hoc enim interest inter hςe, quod, t planum se habet. tamquam genus, non transcendit tamen aequationes, at verb c se habet tamquam species est enim quadratum, species plans magnitudinis . Quandocumque vero Radix de qua quaeritur in sua base consistens datae magnitudini homegeneae comparatur arctuatio simplex absolutε dicitur ut si a aequetur b. Cum autem Potestas quaesitae radicis purae ab affectione datae homogenes eomparatur. ςquatio solet simplex climaetica nuncupari. Vt si sit a': et E plane. At cum Potestas quaesiis radicis aseM sub designato gradu dataque coericiente, datae magnitudini comparatur homogeneς equatio , hoc est polinomia est pro multitudine , ac varietate affectionum , de tot potest affectionibus implicari ipsa Poteo stas,
129쪽
stas, quot ad Potestatem gradus sunt parodici, ut etiam in Algebra Numerosa die tum est. Gradus autem parodici ad Potestatem dicuntur dignitates insta Potesta tem extilentes in aequatione i Cum autem in infinitum procedi possit in Scala graduum palodicorum: proinde, & actistiones in infinitum procedent, 'que adeo, &aequationes. Sufficiat autem innuisse varietatis originem. Quoniatis autem quatuor ad summum numero sunt, quae requiruntur ad aequationis explicationem. Primum aequationum inuentio. Secundum inuentae aequationis Antithesis Transpositio seu Reductio. Tertium Parabolismus, hoc in Applicatio, seu Diuisio . Quam tum Analysiis, hoc est Resolutio, seu Radicis extractio. De his igitur agendum su. lectorem monitum volumus nos in superioribus, speciebus sie usos fuisse, ut ordinatim illas collocauerimus, iuxta ordinem alphabeti, quς in ordine praedicto praecedunt, unde maluimns scribere a b, quam b a, Quamuis in idem recidat, idque factum a nobis suit, quoniam haec literarum , seu specierum ordinatio magisost obuia nitem ex usu ipsarum, at in posteruin, cum vocales , ad incertas, ign8tatque quantitates designandas, adhibeamus, potius libuit illas tractare quatenus in iis se se exercuerunt celebriores Analystς, & nos quoque eos imitati facere consuς iis , unde in aquationibus illud obseruabimus , ac in extractione radicis ex illis quare potius scribimus a' Φ b a zz Σ', vel a' b a E plano, quam a Ba b - Σ , seu P q. a b a plano, & ita de reliquis. Hic enim a ,significat quantitatia i oram, dc propyerea ob eandem rationem in sequentibus scribemus e lb e - α' seu e' ψε b e et plano, & ita de reliquis. Illud quoque superest aduertendum , quod paulo superilis innuimus , de in prima huth Upias patre notaui nus , quamuis comparationis homogeneum non necessario esse debeat, determi atς speciei cum solum requiratur homogenea natura inter xnuationis Ine i ii , unde si porcstas planitiem non transcendit, comparationishzinencum, planum dicatur , atque adeo recte instituatur aequatio hoe modo ' aB b a zz T plano, nihilominus, plerunsue expedit ad speciem certam destialere, nempe in planis ad quadratum, in selidis ad cubum, dic. quamobrem pasio h s. aequaxionis sarinulas usurpauimus, nempe a -b a ' χ' insuper a Fb ul a . ob eandem rationem, pr stat etiam coetsciens planum adspe-- adeo a Φ b' a se et is id enim expeditius perficitur nec irrationabiliter id sit; propterea quod si quadratum est, planum est, & si cubus est etiani oecesse ca solidum esset solum enim aliquid videtur ingerere difficultatis , quoniam statim quis suspicatur huiusmodi planum esse quadratum , cum tamen adae liu in nihil faciat ; verum si quis assueuerit omnem dissicultatem abi j ciet, at a reperici elegantilis rem ipsam hunc , quem diximus in modum , tractari. Veii , ivt uagmue sat M, Jςs parui momenti est, atque adeo , viro modo res expliceretur pthil refert, silum haec innuisse sit satis. Postremo loco videtur obseruatione dignum a nempe non semper omnes commemoratas quatuor optaytiones ad aequationem explicandam, atque adeo ad Pr hiema resoluendum requiri, sed aliquando sciscere primam , cum secunda , qua doque, imo stequenter rςMiri tertiam, plerumque cxigi qnariam. Sed hic non om- mittam animaduertendum , stilicet, saepesepitis contingere, ut eidem Problemati per pliares aequationes fieri satis possit, prout varia positio fit analyseos initio , de varia ipi s Dati tarctatis a Tunc butem par est semper simpliciora, implicatioribus praeserre , nisi quεs omnia velit ad ostentationem faecundi iis , illius, quam callet Artis, comiscere , unica non contentus resolutione, de quibus multa nos insequentibus asseremus . In resolutionibus etenim perficiendis , plurima praeceptis
uniuersalibus explicatu dificilia, obuia fiunt, nullaque adhibita industria sua sponte
130쪽
. De aequationis inuentione .c A P V T X.
ΙIsdein prcceptis indagatur ςquatio speciosa, quibus, de numerosa , cum igitur
proponitur Problema resoluenclum, ea debet Aalysta curare, memoria que amplecti prςcepta , quς ibi nos exposuimus . si itaque sit quaestio de longitudine, &ςqualitas , aut proportio sub inuolucris eorum , quς proponuntur , lateat. Dic mus longitudinem quςsitam esse Latus a Si vero quςstio sit de planitie lateat autem aequalitas, planities quςsita; Quadratum esto. Si de soliditate, quetritur, & squatio lateat, soliditas , de qua quaeritur Cubus esto, & ita ascendet , vel descendet sua vi per gradus quoscunque, comparatarum magnitudinum, ea de qua est quγstio. His autem consideratis si sit res bluendum Problema magnitudines ip* qu si-stς, & datae, sic tractari debent, compbrari, atque adeo addi. subtrahi, multiplic ri, ac diuidi, prout quςstionis sensus requirit. Hoc enim pacto ad aliquam ςqualitatem peruenitur . Exemplis hςc omnia declarabimus. Admonendus prius tamen Analysia ne sinat , ut animo excidat suo, squalitas, quς est inter factum sub ex- trcmis terminis in serie trium proportionalium , & quadratum medij , ut neque ea quae est inter factum sub medijs, de sub extremis in serie quatuor proportionalium lice enim consideratio plurimum conseri, ad squalitatem indagandam. Hic tamen diligenter adnotandum occurrit, quod plerosque Tyronum decipit, et
nempe non quamcumne squationem idoneam csse , de quo etiam superius nonnulla tradidimus. Hoc igitur in loco oportebit aduertere sic ςquationem instituendam esse, ut in ea, certa cum incerta magnitudine comparetur, unde cum magnitudo incerta , cum certa fuerit collata, innotescet incerta ipsa de qua quaeritur, magnitudo.
Haud bene itaque institueretur operatio: si dus sint magnitudines certς , ac notς, puta b, & d, velit autem, ut d , sit secunda e quatuor proportionalibus, b, vero sit disserentia, inter primam, & quartam. Dicatur vero a esse quarta, itaui prima, sit b -b a at vero secunda ex hypothesi, cum sit d superest indaganda tertia , udi igitur d ad b Φ a ita a ad aliam nempe - ἴ - his vero habitis, quandoquidem sunt proportionales da b a; a i atque adeo in b in a ad d, ita ad a propterea factum sub extremis, nempe b a a', . 1 inama squabitur facto sub medijs , nimirum b a a' . Hςc autem squalio inutilis raest, cum idim sit ex utraque ςquationis parte, & quidem analogismum ex ae- sequalitate deducentes, ex analogismo, & rursus ad squalitatem redeuntes inutilem laborem perserimus. C um autem hune in modum instituta fuerit squalis ne inutilis fiat alia incedendum via ; Si itaque fuerit triam umgulum c p D, in quo A e sit parallela ipsi e D . Supponamus autem A s esse a, A s esse b , cro est e d, e s esse s , & c e esse e erit vib ad d, ita a ad non est autem hine inserenda aequatio , inter factum sub medijs, de sub extremis, cunia. de huiusmodi squatione ad analogi Linum deuentum fuerit, ut enim quam tum terminum reperiremus, duximus