장음표시 사용
131쪽
secundum d in tertium a , ut fieret da cui aequale esse debet sactum sub primo b ct quarto, & quia quod superciscit multiplicatio illud resoluit diuisio , ob id da, factum sub medijs applicatum ad bi estituti quartum, at applicato da ad b, ob
id P erit quartus terininus nempe E in existentibus primo A ri secudo A a, tertio E M stuc G. autem hoc utentes analogismo ad ςqualitatem perueniamus ita ratiocina dum, quandoquidem triangula illa A p a, c ν D, similia simi, erit pariter, ut A p ad ἁ-ρ ise A a, ita e p ad c D. at vero A ν supponitur b, A E, supponitur a. insuper c ν suppinis PD nitur f, & c D eis cis v, unde rectangulum b c ,F d a, ςquabitur f a , qnς qu, dem squalio secum habet proportionem adiunctam, per antithesin enim ad hanc rouocatur b c ' 1 a - d a, & instituto parabolismo, omnibus videlicet applicatis adf- d fiet a ' quare resoluta squalitate in proportionem, erit, ut f- d ad cita b ad a. Vnde ex tribus cognitis quantitatibus quarta innotescit. Alii autem sum casus innumeri, in quibus hactenus dicta obseruare licet. Vt vGro urelius explicetur qua industria ad ςquationem perueniendum sit, praestabit plira in medium asscrre exempla, quorum primum esto. Z uti d exemia aeuorom Durum, O a regato eorundem, reperire taura.
Data sit b differcntia laterum d vero eorundem aggregatum oporteat ; reperire latera . Minus latus esto a , ergo maius erit a q- b ; sed aggregatum laterum est no-ium, siquidem ponitur datum d ι ergo crit ςquatio inter a a H b, ignotum , di d, notum, nempe a a b d. Quamobrem ad squalitatem peruenimus. Secundo proponatur. Z V. iatos ua diuidere , τι recto tam sub paralbo a quadratum iuipartium,
Datum sit latus b diuidendum , ita ut rectangulum sub partibus ad quadratum
unius partium datam habeat rationem , proportio vero data sit vi r , ad s . Pars . ad cuius quadratum deberet rectangulum habere statutam proportionem esto a . ergo pars altera neces lario erit b - a, quoniam autem rectangulum sub liis pari bus ad quadratum unius partium rationem habere debet , vi r ad s , propterea fieri debet rectangulum illud, quod erit b a - a', dc quadratum unius partium esta'; alterutra enim partium sumi potest: proinde erit vi r ad s, ita b a a ad a . Cum autem sint quatuor termini proportionales, factum vero sub med ijs squale sit facto sub extremis; erit qu sita aequatio inter r a', & s b a s a'; S ita quin stionem examinando I atque iuxta eius tenorem datas , de quaesitas magnitudines tractando ad Nualitatem denique peruenitur. Tertio proponatur. α με φ extremo ex tribus iateribus continia proportioabbus, ct a rigato ex secundu ,
. o tertio distinguere singuia. Datum sit extremum latus di summa vero reliquorum sit b; secundum latus estoa ; erit ob id tertium b a , ut patri. Constat autem rectangulum sub extremis aequari quadrato mediii proinde a' aequabitur b d - d a , de hse est aequatio do
qua quςrcbatur . Cςterum ut etiam in prima huius operis parte monuimus, potius expedita methodus exercitatione, de usu comparatui ad aequationem inquirendam, quam prςceptis, atque verborum ambagibus. Ut autem haec Ars ad plana problemata resoluenda plurimum habeat momenti ; obseruandula est atque magnopere curandum , ut perueniatur ad squationem line ascensu planorum ad solida , vel ad plan plana. Dum enim hoc modo instituitur analysis P huius repetitis vestigijs in synthesi ad ipsam contexendam demonstrationem Analysia ad solida ossendit; cum tamen longe selicius, de elegantius sit per plana dei nonstrationem elaborare. Non inficiandunt tamen est , quamuis Analysis ad solida peruenerit demonstrationem is contexi posse non repetitis Analyseos vestigius, solidis nullis adhibitis ; itaut Analyscos beneficio , quod prςsertim in hac Arte intenditur Geometrica tantum cisc
tio comparetur; quamobrem dum proponebatur. Datum laus diuiaere , ira is recta uiam sus partibus ad quadratum unius partium
Praestabit analysia hunc in modum ad quaesitam radicem comparandam, inst,
132쪽
mere . Datum sit latus b quod ea lege diuidendum est , vi rectangulum sub paribbus ad quadratum alterius, rationem habeat, vi r ad s . Datum latus supponatur diuisum, & pars ad cuius quadratum datam rationem habet rectangulnm sub pa tibus esto a , eigo pars altera erit l, - a . Quoniam vero est, vi r ad s. ita rectangulum sub partibus ad alterius partis quadratum , ob id erit, vi r ad s ita b a, Λ-a'ada , & componendo erit vir H s ad s ita b a ad a'; sed b a ad a' est, ut b ada, cum eiulac in sint altitudinis at ergo, ut rs ad s ita b ad a. Quarto proponatur. Dato aggregato titeram , ct Hsserentia eo dem Maenire iatera. IV. Datum sit laterum aggregatum b , data vcro disserentia laterum sit h , oporteat reperire latera. Supponamus latus unum esse a , aliud erit a t h, quamobrem a ath , squabitui b; & per antithesin erit et a zz b - b , atque adeo a aequabitur de hoc tamen infra. Quinto proponatur.
Data disseremia disrum titeram, se ratione eorundem inuenire Dura. μι-- V.
Data differentia sit b , ratio vero data sit vi r ad s minoris ad maius; Latus num esto a aliud erit a qε b; ut vero est r ad s, ita ccbet esse a ad a b , qu mobrem erit factum sub extremis , nimirum r a-r b aequale facto sub medijs p
Sexto proponatur. Dato quadrato rectanguiam aequati reperire, estius titera stat in ratione data. Z-KN ULDatum sit quadratum b'; huic autem sit iniunctum aequale rectangulum reperire habens latera in ratione vi r ad s. Latus unum ipsius rectanguli esto a: ergo latus alterum erit: hoc enim pacto rectanguli latera propositam rationem seruabunt,
est enim , vi r ad s, ita a ad V . Cum itaque rectangulum squale supponatur b'; proinde aequabitur b , & ita ad aequationem peruentum Crit. Potest etiam hule Problemati analogismo tantummodo satisfieri ; quandoquidem Ud - -- si supponamus latus unum rectanguli elle a , in omni autem rectangulo, quemadmodum est latus unum ad latus alterum, ita quadratum illius , ad rectangulum sub lateribus, ut si sit rectangulum, cuius latera a , & ο, ut est 2 ad 6, ita 176, quadratum ex a ad rq , rectanguli superficiem ; ob id , vi r ad s, ka a , ad quς- situm rectangulum, quod est b , hoc enim, rectangulo debet esse ςquale, quare erit, vi r ad s ita a' ad b , & conuertendo, vi s ad r ita b' ad x. Itaque ex tribus .c nitis quantitatibus, quatia non ignorabitur. Septimo proponatur. 4
Laius aiatum ira serare , ut partium quadrata simia arrepta ad ara draια- dorentia Zππ-ῶ ν V. partium constitutis habeam rationem. Oportet autem ratimem propinam majoris es ad
Datum latrux diuidendum esto a b, & quidem in duas partes, quarum quadrata simul accepta ad quadratum differentiς partium rationem habeat, vi r ad s , maioris scilicet ad minus. Supponatur latus iam diuisum , atque dimidium differentic partium esto a; ergo b -- a pars maior crit; quemadmodum b - a pars Grit minor. Quoniam autem istarum partium quadrata ad quadratum disserentiae partium rationem habet , vi r ad s. atque horum quadratorum summa est a b H a'; quadratum autem disserentiae partium est a'; erit igitur analogismus, vir ad s ita a b' ἀε a a' ad a' i unde constat huic Problemati satisfieri per solam analogiam.
133쪽
De Antithes, seu transpositione aequationis.
ψεεμ Recis αstri' o. , amithesis , oppositionem significat, unde autem si hoc mo- in do dicta , ia in in prima parte explicatum iuit, ubi etiam quo sensu hoc ilia . ,: ..a loco usurpetur insnuatum eli; non cnim hic accipitur, ut apud Rhetores quibus i- - dem est , ac assumptiua causa , unde καέων Aim, dessendi id dicitur , quod per se improbabile assumptis extrinsecus auxiliis, defenditur ; Analysts vero oppositionem& contrapositionem sonat ; contingit autem , ut commemorato loco explicuimus , cum aificientes , affectaeue magnitudines ex una aequationis parte in altera partem transeunt sub contraria affectionis nota; quamobrem recte antii licsis dicetur quai tatis ex una aequationis parte in alteram panem sub contraria affectionis nota, tra spositio. Itaque si aliqua magnitudo allicitur nota per antithesin affecta euadat nota , di contra . Per antithesin debemus omnino cenam magnitudinem ex unas luationis parte constituere, cui reliqua comparentur; vel etiam ita fit, ut magnitudines omnes affecis, aut nota abundantiae, aut nota desectus unam aequationis partem constituant; ita Vt partem reliquam occupet cyphra o , seu numeralis cim
culus, ut in sequentibus planum fiet. Quo autem pacto perficiatur ex ijs, quae in prima parte tradita suut cura laborem addisces. Sit ςquatiora H rbta sa - s b, utrinque addi debet s b , hoc enim assici-citur nota - , ac huius restauratione choc nonaen prout attinet ad signum consueu it appellari 2 debet huius operationis initium sumi ,&fictra Φrb Fsb js a ; modo auferri debet r a, ut fiat aequatio rb I sb sa sera; scur B s b ' s - r Ja. Si sit aequatio b' bata a a ba reuocabitur per . antithesin ad hanc b T a a'; utrinque subtrahendo b a. Si vero sit b' - a a , utrinque addito a , per antithesin fiet b' ta s a'. 1- ω j. Si autem sit aequatio a' - d pl. τ b a; primo reducetur ad hanc a q. b a d pl. g', de rursus a' b ata g' se d pl. ubi vides certas omnino in gnitudines ex una aequationis parte constitui. Si sit a b a ta d a b a b g per antithcsin ad hanc reducetur a b a - data b' - a b gi ubi obseruandum hanc operationem fieri, ad hoc, ut cognita ab incognitis separentur: ob id , & si a b g assiciatur nota restaurari non debet. Illud autem non est ignorandum, non debere subtractionem fieri nisi minoris 1
134쪽
Ex hactenus dictis constat aperiE quantitates assems signo utrique parti addisi ab utraque parte eximantur, & sub signo Φ transferantur. Liquet etiam qua ritates signo A. assectas subtrahi utrinque ipsas eximendo ex una parte in alteram transserendo sub signo ; quo fit, ut quidquid vel subtractione, vel addition
transfertur contrario signo assiciatur. Quamuis haec operatio recid quidem fiat per additionis, & subtractionis regulas nihilo tamen minus artificium istud duobus hisce praeceptis continetur, quod di in prima parte traditum est. Primum. transponitur mutat sim m . Seu quod idem est; omni, ratio Ist mutato/gno. Huius autem praecepti sensus est . qiuod particula aequationis hegata transpositatu alteram partem fit assirmata, ut contra particula a firmata fit negata.
Secundum. Homogenea. Heter mea
Huius autem sensus est: Si particula transponenda in altera parte similem deno ' 'minationem habuerit, fit subtractio minoris a maiori. Si particula aliqua ipsius ς' quationis transponenda habens signum quodcumque cx illis duobus Q -- h buerit in altera palle aequationis magnitudinem maiorem ciusdein denominationis, cum eodem signo subtrahenda est magnitudo illius particuis a magnitudine, & idem relinquendum signum, quod habet illa magoitudo, a qua fieri debet subtractio, atque adeo transpositio, lucogiendo est a magnitudine minori. Si vero particula transponenda habuerit in altera parte magnitudinem denomi- . inathionis eiusdem cum opposito signo , addendaque est magnitudo illius particulae
huic magnitudini, & relinquendum idem signum , quod habet magnitudo , cui st
DE nomine hypobibasini abunde in prima parte scripsimus , deducitur a Graeco verbo quod opponitur νω-; itaque cum hoc inter c tela significet ascendere facio, illud proinde significabit descendere facio; significat υ,--- quoque idem, quod subduco , imδ est etiam minuo. Fit igitur nomen istud hypobibasinus ad significandam quandam minutionem potestatis, & pamdicorun graduum, quam quidem, etiam minutionem , deprescinem appellant. . Oniam igitur s*pe saepius contingit, datas omnes magnitudines in gradum duci, atque a-oco non dari purum comparationis homogeneiami, ita ut homogeneum sub dat Omnino mensura non . statim offeratur. tune fieri debet hypobibalinus, qui ut dic bamus nil aliud est, quam depressio . sive mauis minutio potestatis , & parodicorum graduum; licet huiusmodi depressio , minutio , siue etiam subducti Q aequa cile debeat, ut mox dicemus obseruato ordine scalae donec homogeneum sub deprcssori gradu in datum omnino homogeneum cadat, cui reliqua comparamur. Fit autem hoc artificio, nimirum subducendo gradum depressiorem parodicuin, tum a potestate, cum ab alijsparodicis gradibus, quo opere haud immutatur aequalita'. Esto aequatio a b a 'κ pl. a, si fiat hypobibasimus aequatis ad hanc reu m cabitur a Φ b a zz κ pl. illud enim est omnia. solida diuiso per diuis 'rem . ,' communem, seu quod idem est omnia solida ad communem applicassu magnitudinem. Sit prςterea quatiora ' sba sa fiat hypobibasinus, & ita pr dictas luario ad hanc reuocabitur ra' sb -sa; omibus nimirum applicatis ad a, viti qM magni, se με
135쪽
Cui rei F s a , quod cquabitur s b ; est autem hoc quidem notum , utpote rectangulum a duabus magnitudinibus r. & s, quas notas supeonimus, ut a in nit am ., .. intelligimus. Hee vero operatio illi innititur principio , nimium a commuci diuisore non immutatur aequalitas.
D Arabolismus dicitur a παραβα es verbo , quod inter e tera significat applicares autem quidpiam per aliud diuiditur, fit qusdam applicatio, nimirum di uidendae quantitatis, ad diuidentem, unde fit ortiva quantitas , ob id ipsa diuiso, . non incongrue applicatio dicta, parabolisnus consueuit appellari.
Potestatis gradus nomen sibi vendicet,&ex ea tandem aequatio ritu ordinetur, qu0 pere sit, ut ex se Potestas ipsa subsistat. Tune enim fieri debet ipse Parabolismus , quando accidit altiorem gradum , ad quem ascendit quςsita magnitudo, non ex se subsistere, sed in aliquam magnitudinem duci, quo opere non immutatur ςqualitas . em - Sit ςquatio ba ψε dpl. a ' χ sol. vel ba H d' a' κ' fiat parabolismus, & aequa- hanc reuocabitur a - Pa '. o seu a' H. v a P . Omnia enim solida applicantur ad b, quo opere non immutari squalitatem perspicuum est; Illud enim est omnia ad communem quantitatem applicasse , atque adeo , ςqualitatem retinuisse . 'μ Insuper esto squalio da dg a b ga ba'; omnibus applicatis ad d ad magnitudiuemcnmyd omnia sunt applicanda &fitςquatio a' gama,ta U&ita consimili modo procedendum cst in alijs aequationibus quibuscunque. LV Sit aequatio da 4 b data da' omnibus applicatis ad d , fiet aequatio a' b a iE . Quo opere a' liberatur a comite d atque adeo ipsa aequatio rite ordinatur, cum id ad elusilem explicationem requiratur. Hincinu. Innititur autem hςc operatio eommuni principio; Tqualia si per eundem diuiso' et' dividantur, aequalitas non immutatur. Ubi vides operationem hanc instituendam esse applicatione omnium ad eam quantitatem in quam potestas ducta erat, ideo enim ad hane applicatio fieri debet proptcrea quod eo haec operatio tendit, ut potestatem reddat per se subsistentem cum potestas, a comite soluta sit per parabolismum ; caetera quoque ad Candem sunt quantitatem applicanda, tunc enim diserte erit aequalitas expressa, ac Ordinata, reuocanda si placet ad analogismum, ea lege, ut quae sub extremis fiunt, tum potestati, tum actistionum homogeneis respondeant ; sub medijs autem homN mensura, Analogismus autem ordinatus series est . trium , quatuor magnitudinum, sic affecta in terminis, siue puris, siue affectis , ut omnes sint dat: si unum excipias, de quo, quςritur ciusue potestatem,& parodicos ad eam gradus, ita homogeneum comparationis tanquam productum sub mediis, habeatur, sub extremis vero factum, tum potestati, tum affectionum homogeneis, respondcat. Sic enim ignota quantitas comparabitur, de eam, de qua solliciti sumus, assequemur.
De Parabolismo, hoc est Applicatione ;siue Diuisione .
136쪽
De transiitutanda squatione in proportionem ,
Hoc praecipuum est Algebrae munus, nimirum aequationem ad analogismum
reuocare, seu aequalitatem in proportionem transmutare. Obseruandum it, que factum sub extremis aequale esse quadrato medij , & contra , quando nimirum tria suerint latera proportionalia . Vel factum sub extremis squari facto sub medijs , quando fuerint quatuor proportionalia latera . Ηρο autem facile nos assequemur. Quamobrem si proponatur ra Θsa z sbad hanc analogiam reuocabitur, vix q. s ad s, ita b ad a, si vero fuerit aequalitas ra i sata sb F rb, seu quod idem est rq sJ az: s - rJb supponendo quidem r terminum esse minorem, quam s, ad hanc reuocabitur proportionem, ut r-s ad s r, ita b ad a.
Si fuerit aequatio b a'a' ad hanc reuocabitur proportionem, scilicet, ut b ad et ita E ad at est enim factum sub b, & a, aequale quadrato ex E. Si sit aequatio huiusmodi a ba data ab d Bagd ad hune reuocabitur analogismum, ut ab - d ad ablagita d ad a. Si vero sit aba data ab g Ψεν fiat, ut b d ad ag Fb ita bad a. Aduertendum autem prccipud eum plana sue si proportionalia etiam Iatera esse huiusmodi, ut si sint τ d b - g d 'd'; a', & etiam latera proportionalia esse, ut ' g d' i 4 b t ς -- d i P a Qί ς' -d 'πι b' tς -d' ;d; a, &- g'-d' ' 4b .Fg -d' ; dia
hoc perpetuo obseruari debet, & contra poterit etiam aequalitas in proportionem uasmutari, ut cuicunque perspicuum esse potest. Si fuerit aequatio ab abdzz d ad hanc reuocabitur analogiam a b d di a b extrema enim lice inuicem multiplicata producunt quadratum ex d. Si fuerit rbΦs beta sa - ra ad hunc reducetur analogi sinum, vi s - r , adr q. s ita b ad a. Insuper si sit aba data b d Fadgad hunc redigetur analogismum , ut ab dadb I agit ad ad a. At si fuerit ab g b za da aba, fiet analogisinus , ut d - ab ad ag b, ita b ad a. Et si fiterit aba da' b ab g fiet analogisnus, ut ab d adb agita b ad a.
At hunc in modum caetera perficienda sunt. Illud porro silentio non praeteribo, nempe, sime Isaepius usu venire, ut in illis te minis proportionalibus ratiocinandum couuertendo componendo, diuidendo, &e. idque vel continuit postquam aequatio ad proportionem fuerit reuocata , vel nulla aequalitate praeeunte, quod frequentius euenit, ut non pr unte aliqua ςqualitate, erit, vi r ad s. ita a b ad a Φ b, conuertendo igitur erit, vi s ad r ira a Ψ b
137쪽
λ- ἡ Πῖ. Si fuerit, ut a b ad d ita a a ad 2 a-a g - b per conuersionem rationis net,
Ω--ἀ-. Plerumque contingit, ut opus sit duplare antecedentia, vel conlequentia rationum iri si fuerit analogismus huius inodi, nempe , ut b ad d ita a ad a a Φ a g - , etiam duplatis antecedentibus proportionales erunt magnitudines, nemiis , ut et bad d, ita a a ad 2 a Φ a g - b. Qi-- ut autem licet hoc modo arguere, licebit etiam subduplatis antecedentibus . , Quod autem de antecedentibus diximus de consequentibus quoque intelligendum . ,ria volumus, ut si fuerit quemadmodum d ad b, t a a F a g- bada duplatis co sequentibus etiam proportionalia erunt hunc in modum , nempe , ut d ad a b ita a alag - badaa. Quandoque vero duplanda sunt omnia , quod contingit quando in aequatione fuerit fractio ψ , dc sic uio modo de aliis fractionibus: ' Quandoque resolutio incipit per analogismum , nec ulla est Opus ςquatione nem. pe si fuerit, vi b ad d ita a ad a a a g b duplatis antecedentibus fit, ut ab ad d ita a a ad a a a g b, & per conuersionem rationis, ut a b ad a b
d ita a a ad 2 g, b , subduplatis antecedentibus, ut b ad a b - d ita a ad x g b , & conuertendo , ut a b d ad b ita a g-b ad a, & permutando, ut a b - d ad a g q. b ira b ad a, ubi ex tribus cognitis quantitatibus ea , de qua
Aliquando vero ex analogismo gradum facimus ad squationem qua comperta ad alium analogismum progredimur, ut ex duabus, vel tribus nugnitudinibus cognitis ea, quς latebat manifesta reddatur , itaque erit, vi r ad s ita a b ad ah l, , autem analogismo ad aequalitatem traducto fit aequatio ra Frb sa- s b , & bis antithesi repetita fit ςquatio rhq sb' sa - ra, quae rursus ad analogiam reuocatur, fitque, vi s r ad r in s ita b ad a.
Plei unque si stimus in ipsa aequatione, qua explicata secundum Artis praecepta, Q --m reperta scilicet eius radice, hoc est potestatis affecti, di quidem huiusmodi ; prout
' pol estatis natura requirit. Quoniam vero fractionem aequari integrae magnitudini non rard contingit; obiis id reliquum est , ut hac de re sermonem instituamus; non omnis tamen stactio in , --δε' sua membra resolubilis est , nisi nimirum illa , cuius numerator resolubilis est in duas magnitudines, quae suo ductu numeratorem iesumessiciant. Hujusmodi autem resolutione liuitatur aequalitas in proportionem. Resolutio ipsa hac Arte perficitur. , ,--a. Dcnominator stactionis resoluendae, & integra magnitudo, cui stactio ipsa aequatur, sunto extremi termini quatuor maῆnitudinum proportionalium , magnitudines vero , quae suo ductu numeratorem eiciunt sunto medij termini in eadem serie , & contra; hoc enim pacto absolutum erit, quod oportet. tamen in re hςc obseruanda conditio, ut videlicet primus.terminus , de se- ω- in cundus sint quantitates homogeneae , siue eiusdem generis , quemadmodum etiam tertia, & quarta eiusdem debent esse naturae, quandoquidem heterogeneς comparari inuicem non possunt. Ratio enim duarum est magnitudinum eiusdem generis mutua quedam secundum quantitatem habitudo; tres vero termini quandoque sufficere quidem possent; nihilominus si unus bis accipiatur duorum munere fungitur, propto ea quatum constituendos esse terminos haud iniuria dicebatur. Iumio sit squatio a . Opinteat fractionem hane in sua membra resolu rei n
138쪽
te, ut aequalitas in proportionem transmutetur. Resolubilis est enim numerator indui, magnitudines, quae essiciunt illum . . . . . . Sunto termini extremi d, & a; medius autem ba seu duo medij b bis repetitus, de fiet analogismus, ut d ad b ita b ad a. Quoniam enim est, ut d ad b ita b ad V, ut patet; factum enim sub extremis aequale est facto sub medijs i ergo erunt termini proportionales ; sed V aequaturiph a i proportionales , ut supra. Secundo esto aequatio d'. Numerator resolubilis est in duas ouatitates, ut E-νω n. supra requirebatur; fiant extremi termini a , ded'; medij vero b , &b', ut sit
ut ad b, ita b ad d'; de ob eandem rationem ternum sunt proportio. nales, & conuertendo, ut d' ad ti it ab ad a Tertio sit g. Sunto extremi termini a , dc g medii vero b , & d, ut fiat a--m. nalogismus, ut a ad b, ita d ad g, & conuertendo, ut gad d ita bada. Quoniam est , ut a ad b, ita d ad ag , & haec stactio aequatur ipsi g e , . ut a ad b , ita d ad g . Possunt etiam fieri extremi termini b , d , die. Quarth si aequatio ' i' sunt extremi termini g, & f, medij vero b , & --m m. vel contra fici analogismus.d vel contra fici analogi si Vt a - g ad b, ita d ad f, & conuertendo, dec. Quinto proponatur ςquatio ta e fiant extremi termini a , medij autem b, mu& d g vel g , ta b d , vel di ac b g ; ostendemus autem eodem pacto quo supra terminos illos esse proportionales. Sexto proponatur ta s extremi termini fiant a , di s medij b Φ g, de d vel ri contra, dec. ut fiat analogismus. Vt a ad b ,εε g. ita d ad f, vel contra, dcc. Septimb si proponatur aequatio π a sunto extremi termini g , de a medit E pia Πvero b . d , dc b - d vel contra, ut fiat analogismus ob rationem similem prinςedentibus vi g ad b d , hab -d d - - - .. 3 ma Um Octauo pro natur ' f fiant extremi termini a , de s medius verb b Φ d nam ex ductu b Φ d in se fit ille numerator; fiet analogismus. Vt a ad b Φ d ita b d ad s. vel contra, dce. Nono si aequatio ' s fiant extremi termini a , de f, r
ἰξ ' ζ, fiant extremi termini C, dc x medius veris b d , de erit, ut S' Ub d ita 'b d ad a . Vel sint extremi termini g', dc a' medij vero b , de d . Hoc eodem modo procedendum in reliquis stactionibus, cum ςquantur integris monitudinibus, numeratoresque simi resolubiles, ut supra iam *pe dictum suit. Quando autem numerator stactionis non est resolubilis ad eum.modum , ut di- Ω- ---ximus , stactio nequit in sua membra resolui, inde tamen non fit, quin ςqualitas a ipsa ad proportionem reduci possit, ut superius innuimus. Fitque hac Arte ; ira tionis denominator, de integra magnitudo , cui comparatur fractio, extremi sisttermini ex tribus proportionalibus I r ad sat vero ligata, quam parenthesi significamus, esto terminus medius, ut sit aequatio ta a s sunto extremi termini li, de a, medius vero sit numerator, unde fiat analogismus h ; ' b d fgJi i
utem est stactio aequalis ipsi a ; erunt proportionales ob id illa de aliis aequationibus intellige, dcc. Vt si solet termini, ut supra - - .' a ; fiet analogismus
πω ubi ut aera perect homogeneonim natura: si enim ' sic insti
tuenda est analogia, vi b , de e sint antecedentes, unde fiat, ut b ad c ita.d' ad illud utinum i illudque sit e, dc sic de est exi . . Ouandoque euenit, ut per analogismum ultimo loco bal atur ignota quantitas non seorsim , sed vel affecta per negationem notae quantitatis , vel per assirmati
139쪽
nem per negationem, si fuerit, ut b- c ad c ita a d ad a d ubi quarto loco e tat a - d . Hoc autem nihil est , nam certum est ex tribus cognitis quantitatibus b - c; c, & a d; quartam quadam innotescere , hςc autem non est aequalis a seda minus d . Si igitur adinvenis quantitati addatur nota illa quantitas a consui sciquantitas quaesita aequalis a . Ita per amrinationem, si fuerit, virq sads, ita ab adb se a in quarto loco estat quantitas ignota, sed non seorsim, verum, ut ea innotescat, satis superque est ex- tribus illis terminis notis r Φ a-, colligere quartam quantitatem, nam haec erit squalis non quidem a , sed b Φ a, quare si ex inuenta per analogismum quantitate auferatur nota quantitas b, quς relinquitur nota, fiet squalis a . mma -- Illud porro animaduertisse oportet, per alium analogismum fieri polle notanta scorsum quantitatem, quςsitam, qua de re paulo infra sermo redibit. 3 se rem AEquationes igitur praedictis modis ad proportiones sibi respondentes, reuocan- 'tur. Vnde ri Hismi Si fuerit b a ' ed, erit per congruam Minimatq; resolutiuo ordine procede gob ad e ita d ad a. Vel etiam permutando erit , ut b ad d ita c ad a e Vel comti. νὼ - . tra ex proporitone colligitur aequatio per . λ v m uos fuerit b a e a zz d f facto parabolismo , proueniet to za a fet a icin analogismus, ut b c ad d ita s ad at vel etiam permutatim , ut bc ad f ita d ad a, vel contra ex proportione, &c.
Σ - τω iii. Nee dissimiliter si fuerit b ahe d-d sfacto parabolismo, per b, erit: zz a. Atque adeo fiet, ut b ad e s ita d ad a vel permutatim , ut b ad d ita cos ad a. Vel contra ex proportione, &c. i. -υ , Ωςrit b c d f-e s facio parabolismo nempe omnibus applicatis ad b e fiet ' a fit autem analogismus , ut b c ad d
e ita s ad a , vel permutatim , ut b c ad f ita d-e ad a . Vel contra ex proportione colligitur aequatio. Si fuerit bata c' d' per parabolismum fit: M a. unde analogismus, ut bad c Q d ita e - d ad a vel permutatim , ut b ad c - d ita e q. d ad a . Vel contra ex proportione colligitur inualitas. Si fuerit b a zz c'Φ e a amithesin fiet b a c a ' c' facto paraboli Lmo , omnibus videlicet applicatis ad b e fiet ta a. Vnde fit analogismus. Hb ad c ita c se a ad a , &diuidendo, ut b e ad e ita c ad a . Vel conir ex proportione fit gradus ad aequalitatem. Si fuerit b a' c e a per antithesin fiet b a se e a zz c' instituto parabolismo, nempe omnibus applicatis ad b Φ c fiet a. Vnde analogismus , ut b ad c ita e - a ad a , & componendo , ut b F cita e ad a. a pio III Si fuerit ba bd r e a per antithesin et b a zz c a m b d , N. rursus ba in ca a b d instituto parabolismo, omnibus scilicet applicatis adb c fit - . zz a. ' Vnde analogismus, ut b ad e ita a ad a d , & diuidendo, ut b - e ad e ita d ad a - d, & per compositionem rationis contrarie fustem , ut b - c ad b , ita d ad a. Vel contra ex analogia fit proceos ad squalitatem, dcc. 'uvIrra. Si suerit ba bdeta cast c d per antithesin fiet bata rursus b a - c a ' e d ἀ- b d , & per parabolismum fitta a. Vnde analogismus, se b ad c ita a in d ad a d, di diuidendo , ut b - c ade ita a d ad a d ex hoc analogismo colligitur, de de qua quaeritur quantitas, de si non seosim exhibita , hoc enim nihil refert, nam ut superius quosve tetigimus , quarta per analogismum, quantitas , allata si augeatur nota quantitate ι qua Pernegationem, ignota quantitas ascitur, ipsa quantitas ignota comparabitur. Aha, & si longiori dii cursu , via superest, per quam procedens analysta , seorsim quantitatem ignotam consequetur, quod etiam superius adnotauimus; Si enim fuerit .vt b ad c ita a se d ad a d , inuertendo quidem erit, ut c ad b ita a - dad
140쪽
ad a t d, & componendo contrarie tamen, fiet is c ad e tb ita a - d ad a a. erat autem, ut b c ad c ita a d ad a d, modo est ut c ad c t b ita a -dada a erit, vi b e ad c t b ita a d ad a a, vel ita d ad a , quod ex aequalit te col li tur ; unde quantitas igiama , quae supponebatur a , hoc analogismo deprehenditur seorsim ab omni alia seiuncta quantitate, uti perspicue constat. Si fuerit bdibata cd ea per antithesin fiet bd Fbat ca tacd,& semita a. rursus ba .Fca Ted - bd , facto parabolismo fiet ' a aequalitate ad
proportionem reuocata, set, vi b ad c ita d - a ad d-a, componendo, ut bH. c ad e, ita a d ad d q. a. Deinde cum sit, ut b ad e ita d - a ad d a, ii uenendo erit, ut e ad b ita d-a ad d a , & per conuersiopem rationis , utc ad c - b ita d q. a ad et a quare cum bH c, t c, c - b sint proportionales, quemadmodum ad , d la, a a, suntque bonae acceptae in eadem ratione proinde, ex aequalitate erit, vi b H. e ad c - b ita a d ad a a seu d ad a ; Contra ve- ro ex analogismo inscrtur aequatio.
Si fuerit ba Fbd' ea c d per antithesin fiet bal bd q. cd zz ca,&rursus bdic draca ba instituto parabolismo, fiet aequatio ' a erit proinde , ut cad b ita aqε d ad a - d, & diuidendo , ut c -badssi ita 1 d ad a d . Rursus cum sit, ut c ad b ita a Q d ad a - d , erit in uertendo, ut 6 ad c , ita a d ad a Q d, & per contrariam compositionem rationis , ut b ad b q. cita a d ad a a. Cum itaque sit, ut c badbita b q. cadbi,& insuper, ut a d ad a- d, ut a dadaa; suntque fine acceptae in eadem ratione , proinde ex aequalitate erit c - b ad b-c ita a d ad 2 a siue d ad c . Contra vero ex analogismo insertnr aequatio.
a . Quarto eum sitit proeortionales cΦb bb - ,&ad aq. daa suntque S Inae acceptae in eadem ratione proinde ex aequalitate erit, ut e q. b ad b e ita ad ad et a seu d ad a. Contra vero ex analogismo, insertur aequalitas, M. Si fuerit ba bd ed - caper antithesin fiet bata ed Φ bd - ca, rastra Mindi rursus bat catacd tbd. Instituto parabolismo omnibus nimirum applicatus ad bl e prouenit a zz d. Proinde erit, vi b ad c ita d - a ad a - d, quare fiet d aequati: a, neque enim maior,
neque minoi esse potest. Si fuerit bd ba ea - c d per antithebn fiet bd ' balea ed -- de rursus fiet bd q. cd balea. Instituto parabolisino , omnibus scilicet . applicatis ad b q. e fit d zz a proinde erit, vi b ad c ita a - d ad d a, atque
ii ne concluditur d aequalis a. Hla porro non est cur amplius immoremur, ex hactenus enim dictis existimo - μ; euique perspectum suturum qua arte uti oporteat. ad huiusmodi μωμοργαν perficiendain , est autem operς pretium se se ad hanc pragmatiam adiicere icuin inde maximh pendeat aeqv tionum explicatio, dc cuiuscunque Theoremati , vel Pr mumisiis. blematis, analysis, atque synthesis; quamobrem non grauabitur Analytieae Disi: plinae studiosus tradita, quae sunt hucusque praecepta memoris committere, ut cum opus suerit, obuia sit de quo quaeritur resolutio , & via pateat ad quamcunque resolutionem, compositionemque instituendam. u