장음표시 사용
151쪽
ia 6 C RENAI D. ALGEBRA NOVA .
de per antithesin fiet aequatio liuiusnaodi a -b' a ri l ' d. Hoc autem prius o diu abatur. Numeris haec eadcin hunc in modum poterunt explicari. Sit aequatio a C as R ta laso. Sunt quatuor continue proportionales, quarum prima maior inter extremas est se a 3, hoc est ι & aggregatum ex secunda .& quarta est hoc est so, & fit i ii secunda ex scrie quatuor continue propo tionalium 3, io. ro, o. Et ita quidem est ; nam si radix est io, cubus est iocio; cui si additiciis 2 o, pretium nil pirum radicum, fici ia O, comparationis hom
Si sit aequatio a b' a ' b' d . Sunt quatuor continue Proportionales , qu rum prima minor inter extremas, est b, de disserentia inter secundam , & quartam . est d, & fit a,ssecunda ex Letetico . Dara prima inter extremas , o disserentia inter secandam, or quartam in serie qua
tuor continue proportionalium, repraire secun am.
Data sit b, prima inter cxtremas, & dii serentia inter secundam , & quarta sit dioporteat reperire secundatii. Secunda esto a: ergo quarta erit a Ff d i & qui a s lido facio sub pilinae quadrato, & quarta, aequalis eii cubus ex secunda; proinde si ducamus b', nempe quadratum primae in a d nimirum quartam, fiet solidum b a b d, cui aequabitur cubux ex secunda, nempe a'; & per antithesin fiet aequutio a b' a A b' d; quod prius ordinabatur. Numeris autem hunc in modum. Ni ςquatio a C as R 7so; sunt quatuor continue proportionales , quarum prima est hi as, idest si differentia vero inter secundam, de quartam est hoe est 3o; de fici .i R secunda cx serie quatuor continue proportionalium, I, ro,
Sit aequatio b' a a a b d; Sunt quatuor quantitates continue proportion tes, quarum prima maior inter extremas est b, differentia vero inter secundam, de quartam est d, & fit a, secuuda ex Ecictico. Data prima maiori inser eoremas, or ae erentia inser secundam, se quartam inserie
quatuor continue proportionatium, reperire secundam.
Prima maior inter extremas esto b ; dissereati a vero inter secundam , de qua tam data st d; oporteat reperire secundam ; ipsa autem secunda sit at eGO quamia erit a - d , & quia ctibus E secunda aequalis est solido facto sub quadrato primet, & quarta, nimirum quadratum primae in a - d , nempe quartam fit solidum..b a - b' d, cui squabitur cubus e secuda , nempe a , de per antithesin fiet aequatio b a a b' d numeris autem hoc modo. Sit aequatio 216 R i C zz i 33s, sunt quatuor continuὰ proportionales, quarum prima est , aues id est io differentia vero inter secundam, & quartam est mi id est 6 , de fit i R secunda ex serie quatuor continue proportionalium I 5, 8, 4, 2, ipsa autem secunda duplex esse potest, siquidem haec squalio duplicem habet radicem ob suam, qua laborat, αι βολίαν. . Caeterum animaduertendum, quoniam data est maior inter extremas quaesita vero cli minor; ob id secunda, minus differentia. aequalis est quaesitae . Secus vero si data fuisset minor, de maior in quςstione Bret. Tunc enim minor plus disserentia
Hactenus dicta circa sualitatum quia ticarum consitutionem ex Zeteticis, eo constant, quiam serie trium proportionatiam taurum, factum fas extremis, aquale est quadrato me , ut ex Elementis consas. At cubicarum aquationum constitutis itidem ex Zeteticis , ex eo piari coiauitur . quὸd ω serie quatuor proportionabum laurum , cultis e secando aquatis est sotiis a quadrato primi in quartum, quod primo Analytice, deinde Gemuirice daemonstres mus Ideo
152쪽
Caeterum cum habetur sermo de quamor continue proportionalibus particulam risuὸ aliquando neglectam , subintelligendam volumus; ut cum opus est exprimere num minor, vel maior sit prima inter extremas, subaudienda particula est minor, vel maior prout res ipsa postulat, &si aliquando vel emanuensis, vel Typographi incuria fuerit omissa . Hic non praeterito, pundam ali uin in rebus Mathematicis hamd mediocriter ver - - - tum , a Misatum furin, existimns esse suris quationes, in quibau solida aratu tur
gnitudinem, ut proueniat ordinata aquatio a' ta . Ita si s a' d ptino a, aequetor se se υ, ωα sebis, selida aquatio non es, c.m omnia debeant avocari ad b, ut fiat aquatio a' q. zzz - .a ct ita de con mimus, quispiana sui natura dicenda sunt, quamuis fotida re ascensum dici posint ; quidem Una in aquationibus raia ordinatis ad stiri assen. I AH pianorum eorundem ductu in longitudγnem ιν , vel aliam consimium , prout aquatio serat specubus instituta . Sotiri vero dici non possum ciam aequationes a Misarie numen . .' ituram sortiantur, at in huiusmodi aquationisus , altior potestas , non asiendis ad tres Zmensiones, quod ad sobdum requiritur, O quamuis inter solida siai comparario, nihil reueri, id enim prouenit, quia nos dum i a rite fiunt ordinata secundum Artis praceprat,stiuendus enim fuerest λ rabo mus, ut astior gradus potesatis nomen sibi vendiere, orex ea aquatio sub at, quo Wriit, cum per eum, qui parasissemus instituitur, altior ρ iestas emergis, ut itaque sobri dicimere tur aquationes, oportet, ut in ys astior potestas, Dium sit dimensionum, misecubum esse necesse est, redi a vero homogenea naturam eiusdem consequuntur. Hae innuisse n'u abendum duximus ab instituto , cum de aequationum natura di stratur. Illud i ver se se obsera considerandum . nempe culicar m aquationum, - ν' ς naturam, atque constitutionem ex alus quoque Zeteticis indagari . Viae a, . si M a F ι' a zz b' d. Sunt duo iatera, quarum unam es indiu sum; nempe b ; H- mu- eus e. ιreuis autem d, in duo segmenta diuisum, ut quadratum V s b, a quadratum ius se menti rationem babeat, quam pria tam sumentum ad aliud segmentum eiusdem, sit amiema, primum segmentum ex Zetetico . μει
Datis duobus lateribus , unum eorum ita diuidere , ut quadratum indiuisi , ad quadratum e segmento diuisi eam habeat rationem, quam segmentum idem, ad mentum reliquum.
sis quatio a b' ata ι' d. Duo saut utera, quorum unum b, alterum 2 , auge- ' αἰ- .. dum tremenso , ut quadratum AP M. quadrarum crementi rationem habeat , quam is cubita crementam , ad litus cremento adauctum, sit autem a , crementum ex diutico . m
Datis duobus lateribus, unum eorum ita augere , ut quadratum alterius ad quadratum crementi, rationem habeat,quam crementum ipsum, ad latus cremento adauc
LMerasias b, sed, oporteat cm. Lauri ae, fieri debeat addisio, cremento, quoddicatur a, erga adauctum erit d 4ba, ut autem es b' ad a' ita debet esse a ad P se a mis luatis extremis, ct me siet quatio ae α ι' d Α' ι' a, ct per antithesiis μι a' b' a zzι d. sit aequatio ι' a T: b' d. Duo sunt titera , quarum unum b , alterum d , mi- - de alis; ad cuius quadratum , quod sit ex priori quadratum , rationem habet , ii irim Dius ad residuum, sit autem a , illud quod minutionem patitur ex Mutico . Datis duobus lateribus unum eorum ex alio quodam auferre , ut quadratum prioris ad huiusmodi lateris quadratum rationem habeat, quam idem latus ad residuum Latus unum it, b, alterum auferendum ae, oporteato Gauaesitum larus esto a τι residuum erit a d, ut aurem b' ad ae, ita dura me a, ad a - d multeticatis extremis, o
153쪽
Isim quattur titera c--ὶ proportia ira: cubus a secanis qualites sobri facta . quadrata primi in quartum.
aru rionam ex aerarim; sin tamen
SIt a, primum in serie quatuor continuE proportionalium , secundum esto b , Grit ob id - tertium, ut patet, ex huius Artis Elementis; si enim b ducatur in se quadratice fit b' quo applicato ad a ; primum, fit -ii deinde si v ducatur in se quadratich , si quo applicato ad b, secundum, fit ergo quartum erit insunti itur quatuor latera continue proportionalia a, b, i, Ducatura, primum in se, & fit a' quo ducto in quarium , fit productum . Hoc autem aequatur b', ut patet ex diuisionis praeceptis. Nam si diuidatur a' b' per a' b, prouenit b . quod multiplicatione comprobatur , si enim a' b ducatur in b' fit a' b' , ut
constat. Q Int quatuor latera continuξ droportionalia A , a, c, n . Dico cubum ex se undo z, aequalem esse solido facto a quadrato, ex A primo in quartum v. Quoniam enim iam dicta latera sunt continue proportionalia, ergo, & CO-rum quadrata continuξ proportionalia erunt. Itaque, ut est quadratum ex Α, ad quadratum ex a , ita erit quadratum ex st, ad quadratum ex c, & ut est quadratum ex a , ad quadratum cx c , ita quadratum ex c, ad quadratum ex D, sed, ut quadratum ex , ad quadratum exo, ut patet ex Elemetis ita esta ad D, ergo erit quadratum ex A ad quadratum ex E . Ut v ad D et atque adeo factum sub extremis nempe factum sit, quadrato ex A , & latere o aequale erit facto sub medijs, nempe sub quadrato ex x, & eodem latere a , sed factum sub quadrato ex a ,& eodem Iatere a , cst cubus eiusdem a , & factum subquadrato ex A , & latere n , est solidum , sub quadrato primi lateris comprehenso , & latere quarto; ergo si fuerint quatuor latera continuE proportionalia; cubus e secundo aequalis est solido a quadrato primi, in quartum .Quod erat .stendendum. Haec faeilh numeris declarantur, nam si sint quatuor numeri continuE proportionales, ut 8, ia, 18, 27, si multiplicemus D quadratum ex 8, per 27 numerum quartum, reperiemus, fieri numerum ira 8, quantum sanξ facit secundus numerusia, si cubicd multiplicetur. Cum itaque sit prima b , in aequatione illa a' -μ b' a ta b d , seeunda vero am secunda, de quarta sit d, certὰ ipsa quarta erit d a , &ex antea dictis cubus d secunda, ut a' aequabitur solido, a quadrato primς b, in qna tam d a: quadratum ex b est b' solidum vero iam dictum erit b d b a, huic autem aequabitur a ; ob id per antithesin fiet a F b' a.b d. Alia quoque est cubicarum aequationum constitutio , ex Zeteticis , earum scili-eet, in quibus affectio est sub latere , squidem aequatio fuerit me, et κη, & αι -- ri, 4 ; singularis tamen est , cum videlicet quadruplus cubus a triente eodificientis plani, cedit quadrato solidi datae mensurae , hoc est comparationis homogenei Vnde.
154쪽
Si fuerit aequatio a 3 b pl. a zz d sol. Tune b planum , est quod fit sub Isteribus, a quibus , qui fiunt cubi differunt per d solidum , fit autem a , differentia laterum, quod ex Zetetico deprehenditur . n nata Hsserentia cabrum, se rectanguis sub iateribus, disseremiam titerum reperire. Vides igitur quae sint huius aequationis constitutiva, & quo pacto se biniscit S . - , , . . constitutio, quod si numeris placeat explicare Si i c Ρ 6R aequatur 7 erit F hoc amm . est a rectanguluin sub lateribus, quorum cubi differunt per 7 . & fit 3 R latcTunia differentia i , suppositis lateribus i , & a. Vel si I c q. 36 R aequatur et o8 , erit θhoc est i a rectangulum sub lateribus, quorum cubi differunt per aci8, & fit I R laterum aifferentia 4, suppositi . lateribus a , & a quidem Gibus ex a, est8, at ex 6 est ai6 , quorum differentia est zo8 , at si in , differentia laterum a , & 6, cubice multiplicetur, producitur 6 , cui addito i- producto ex 3 6, plano coericiente in , radicis pretium, fit summa ao8, aequalis comparationis homogeneo. Si a a b plano a, aequetur d solido . At vero d , solidi quadratum praestet quadruplo b plani cubo ; est b planum, rectangulum sub lateri , quorum cubi componunt d solidum, & fit a, aggregatum laterum, quod Vieta ex Letetico de
Dato rectaneuisse, titeribus, ct aggregato cisorum, inaremre Otera. Haec inferius ostendentur . Numeris autem hoc modo.
Si 1 C 6 Raequetur 9 est e hoc est et, rectangulum sub Iateribus, quorum ci bi aggregati faciunt v, fit i R aggregatum laterum ex hypothesi quod latera sint' 'di ig/ Requetur 1 1s est quidem hoc est i et, rectangulum sub lateribus,quorum eubi simul additi, faciunt ar ; fitque i R. 8, laterum agarcgatum, suppositist Usta plano a. aequetur b plano d, sunt quatuor lines proportionales, sub
quarum medijs , vel extremis fit b planum, differentia vcro cur arum est d, de ,-- ι,-- fit a differentia mediarum, quod Vieta desumpsit ex Zetetico . Da a d remia extremarum, se rectangulo sub mediis , vel extremit in serie quature
continue proportionalium, media um d cremiam rvcri re a. --. Haec inferius constabunt. Numeris autem hoc modo.
Si i C - 24 R, aequetur 36, sunt quatuor continue proportionales, sub quarum mediis, vel extremis, quod fit planum, aequale est ri hoc est: R, differetia vero e trematum est ρ id est , & fit a R differentia mediarum ex serie continue propor tionalium I, 2, 4, 8. Vel
rumvero extremarum continue ptoportionalium 1, 3ν 93 7 . . .
Si a b pl. a aequetur b plano d . Sit vel d semissis quadratum maius b
olano Sunt quatuor proportionales lineae rectae sub quarum medijs, vel extremis hi b planum , aggregatum autem extremarum est d, fit vero a , aggregatum medii uini liue autem victa dedii ix ζη ῖς ς iς0' . .. . zmiisum Dato aegregata extremarum , o rectanguis sub medys, vel extremis in serie quatitur
continue proportionalium, mediarum aggregatum adinvenire.
Haec inferius perspicua sient Numeris autem haec modo. Si i C - 1 R aequaetur 7 a. Sunt quatuor continue proportionales sub quarum mediis, vel extremis , planum quod fit aequatur liac est 8 . Aggregatum erit marum est P hoe est y , & fit i R aggreSatum mediarum ex serie quatuor conti- nud proportionalium, 1, , q38 Vςi . t Si i C, 8i R aequetur 36 , sunt quatuor continue proportionales sub quarum mediis, vel extremis, planum quod fit aequat ut 'i' hoc est 27 , aggregatum exit marum est hoc est 18 , & fit i R aggregatum mediarum ex serie quatuor coimii: iue proportionalium ιν 3, 9, 7.
155쪽
uleris i , a quibus, qxi fiunt cubi dissemu per Uodum ; sitque a disserentia ui
CVbas di otia latera , plus stari a tripis rectanguis sub iisdem Ateruus, atque
asi rentia eorundem, aprasis est disseremia cuborum ab iras. LAtus unum esto a. & quidem maius, alterum verb b, nempEminus, horum differentia est a b, huius cubus est a a b a' ε 3a b , huic si addatur a b a ab a, solidum, ne e factum per mulutiplicationem disserentis laterum, scucet a b in triplum rectangulum sub lateribus , nimirum 3 b a , fiet a b . Huius autem generis sunt aequationes istς i c Φ48 o , cuius radicis pretium est 6 ; altera erit x cΦ a R irro , cuius radicis valor est tot Prioris quidem radix erato, disserentia laterum, quae nimirum supponebantur 1, & 8 ; posterioris estro, ex hypothesi , quod latera sint,
Cum verbdiceremus;sia 3 b plano a 3ba --.3 b axquetur d solido , dummodo tamen - 3b ad solidi quadratum praestet quadruplo b plani cubo . hoe est quadratum solidi datae mensurae praestet quadruplo tu a triente coeficientis plani. esse quidem b planum rectangulum sub lateribus a qui bus, qui fiunt cubi, componunt d solidum , fitque a. laterum aggregatum. Id
vel 5 constat; in cuius gratiam esto, quod sequitur Theorema. illud autem est animaduertendum scilicet in huiusmodi demonstrationibus , a nobis veritatem spectari, non autem attendi symbola , siue species . quibus magnitudines designantur. quae scilicet, apprimξ refrendeant ijs quas in aeteticis adhibui nius,hoc enim puerile duximus; unde si ibi, in serie quatuor cotinuε proportionali si primum lacum obtineat b , secundum vero a , hie non idem attendimus, cum ad rem non saciat, sed naturali ordine procedentes, primum locum a , secundum verh b, concedimus, quod aduertisse luat , etiam in gratiam eorum , quae dein ps i tura sunt.
156쪽
i IVM aggregati titeram, minus solido facto a triplo re an is seb iam is in adit gregatum taura π, aequabi est aggregau culinam ad Urim Durabo. Latus unum esto a , aliud vero sit b. laterum aggregatum est a Fb, cuius
b solidum autem factum a triplo rectangulo sub lateribus in laterum aseotegatum est 3 b a' ε 3 b' a, quo
dempto ex cubo iam dicto , remaneta ἀε b . Huius generis aequatio est illa i e - 48 R T: sao ; cuius radix est io ; ex hypothesi laterum a ,
di 8, 1 quibus cuui additi conficiunt
labore ex Elementis ostendi possiant. Deinde, ad illam aequationem,quod attinet cum diceremus si a' Φ 3
pl. a squetur b plano d, esse quatuor c6tinuh proportionales magnitudines, sub quaru mediis, vel extremis fieri b planum, disserentiam extremarum esse d, fierique a , mediarum differentiam, constat ex eo, quod mox sequitur.
SD ouamin titera em ti-ὸ proportionalia, e M a disserentia medio m , ρωμtida facto ex tripis recta-guis sis meos, via extremis, cte em Hsserentia meri νι- agoam os stiri, a rect-guo simpis 'adicto in disrentio extremorum. Sunto latera continuξ proportionalia a, b, V; .m differentia mediorum est , - ---- huius cubus est b' - 3 v Φ 3 G - d . At vero rectangulum sub mediis est , cuius triplum est 3 quo ducto in b - ου differentiam mediorum Iaterum, producitur 3 3 E quo addito ad cubum iam dictum fit b . Hoc idem autem euenit, si multiplicetur b- , rectangulum sub mediis , per b a ιγῆ differsitia extremorii, & pr uenit - im hoc est b M- . Caeterum supposuimus a, maius esse . N extremum ex quatuor lateribus pro- ' - . , portionalibus , proinde b , maius est quam , quamobrem differe tia mediorum laterum est b
quemadmodum differentia extrem rum est a n . autem eu met , eodemque modo demonstrabitur si supponamus a, extremum
Quod attinet ad constitutionem aequationum cubicarum in quibus affectiones exist ut sub quadrato, quid oporteat ostendere, inseritis dicemus. Si
157쪽
sit cubicarum aeqnationum constitutio haec non Una est, quia non una aequatio cubica, alia enim est in qua affectio existit sub latere, alia in qua asmmν αα sectio existit sub quadrato alia denique in quaduobus praedictis modis affectio contingit, nempe sub latere , di per σκν εω -ύαν των GHHis cum neoterico, aliam deinde quam nos exeogitauimus longh simplieiorem allaturi, ut in quadraticis , haud in- fel iciter credimus praestitisse.
Ad primum aequationis genus, quod attinet , in quo affectio est sub la
Pr πι- a- Si fuerit aequatio a F d a g zz o. Huius igitur constitutio superiori moest. Sint duae ςquationes a d balc o,&a - b' o multiplicatis inter se, fiet a b c et o . Ex hypothesi vero quod c' praestet b' haec erit natura persi initis superiori; facta itaque collatione terminorum , qui tertio sunt loco habiti, erit ς' b , aequaled quare si vera radix b cognoscitur, constatc' aequale tore d' P b , quo siti, stituto in locum ipsius c', cum prius esset a' Φ ba-c o erit utique a b a se .l Q. b o. Haec autem aequatio ad duas reliquas radices respicit cum vera radice b, concurrens ad c iformandam propolitam aequationem, Vltimis vero terminis inuicem collatis fiet g α'b c , quare e aequabiur V i atque cognita vera radice b , aequationem hanc a' Φ b a P o ad duas quoque reliquas radices respicere, atque cum vera b , concursere, ad risormandam aequationem propositam fit manifestum. Si vero sueritaequatio a d a g o; eius constitutio ita se habet, sint duae , quationes a' bba,Fe' o,&a bri o, multiplicatis adinvicem produci-- .m . tur aequatio a b c ' o. Ex hypothesi autem, quod b' , praestet c , erit haec natura persimilis superiori propositae aequationi . Facta igitur mutua istarum duarum aequationum comparatione , collatisque terminis utriusque tertio loco habitis , erit b' c d . Vnde deprehenditur e ' est e aequale b' - d', quo substituto in locum ipsius c' , cum prius esset a' q. b a Φ c'o erit utique a Φ b at b' d' π o. Haec autem aequatio ad duas ieliquas radices respicit cum vera b ,concurrens ad ei formandam propositam aequationem . V ltimis vero terminis inuiccio collatis, fiet g b c quare c' aequabitur. ' ; cognita autem vera radice baequationem hanc a' i b a t V o ad duas reliquas radices respicere fit manifestum .' Si aquatio a d' a Φ ς' Tr o, eius constitutio sic se habet; fiant duae aequationes a' o b ae c O, & a b π o, multiplicentur inter se , ut fiata , . b c ' π o. Hse natura per similis est 'priori; facta igitur mutua earum comparatione , collatisque terminis utriusque tertio loco positis , habebimus b' Φc d', vii de sit manifestum c aequale esct d b', atque cognita vera radicob ; hanc ae litationcm a' Φ b a se b d o, ad duas reliquas radices respicere. Ultimis vero iet minis ad inuicem collatis, habebimus g b c , atque adeoc' ta V quamo: rem cognita vera radice b; fit manifestum hanc aequationema' θb a --Σ o, a duabus reliquis radicibus concerni. Et haec est apud nonnullos supradiciarum aequationum constitutionis ratio. -- Mihi praedictarum aequationum cubicarum longe aliter . & quidem per simpliciora procedens est constitutio per-υς γραμμης ό ης. Sunt autem immediata solidi principia planum , de latus; clim itaque nos inqui-
cubicarum aequationum constitutionem, atque adeo constitutiva; duo sunt -- a. illa, quae immodiale concurrunt, a nobis iecognoscenda primordia , at si recta diuidatiar in partcs , utrumque fit obuium , illud multiplicatione partium, hoc vero
p p diuisione totius in part F.
ινηιώ- . Si fuerit aequatio in qua cubus allicitur adiunctione solidi sub latere . datoquo coc isti cicinc plano. Sit rccia quidem D s, utcunque diuisa in x, hor est autem hypothesis bifariam in stitui, vel scilicci Protracto D ν, in G, it aut ν o,iit aequalis ipli D s , & o F , dicatur ux , a, atque ps, dicatur b. Gemadmodum superius etiam dicebamus, clim ageremus huiusmosi ratiotre indagandi aequationum primordia atque adeo naturam .... Vel supponendo D F, esse a , itemque b.
158쪽
Quia. tamen si supponatur eadem dicia; dicuqu , adhuc a - D, aequabitur O, non minusquam si b , foret distincta ab a , eadem vero currit demonstratio ; propterea secundam am- amplectemur hypothesin. Sit ergo recta D p, secta utcunque in s , Manifestum est cubum ex D a , adauctum solido a plano D Ε ν , in latus D a , aequari solido a pla-
Si itaque D s, sit radix ; erit planum D E F, coe ficiens planum sublaterale; cum igitur cubus ex D E, plus IollaO a plano D a p, in Dr, hoe est radicis cubus, plus homogeneo sub latere, & coeficiente plano, aequalis sit --
lido a plano F D ε, in D E , latia , solidum a plano F D E , in D E , latus; erit homog neum datae mensurae. Itaque D E, erit radix, cui cum aequetur ipsa n g, imo sit eadem, erito x, minus u Ε, aequaliso, nempe nihilo, unde DE, erit radix vera, at coefficiens sublaterale erit planum F D E, minus quadrato ex D n . Hinc addiscimus dis. serentiam duorum planorum, quorum unum est quadratum a radice vera, alterum autem planum proueniens ex applicatione homogenei datae mensurae ad eamdem veram radicem, esse in equatione de qua loquimur, planum coegi ciens subi terale. Quamobrem sina, fuerit a , itemque b , planum autem ortivum iam di tum sit e planum: homs eneum datς mensurς erit solidum , nempe b c planum iest autem a b aeotialis o ἱ cum a , aequetur b, & eadem quantas sit a , itemqueb, planum ortivum test e planum, si ex c plano , auseratur b', prouenit c planum b iiii quod si ducatur a , fit c planum a - b' a , quo addito ad a , nempe cubum eiusdem a , fiet a' t c plano a - b' a , quod aequabitur solido a b in e planum, unde oritur aequatio b c plano , quod si c planum intelligatur ad quadratum redactum fiet aequatio b c . At facta comparatione imter resitivum, & negativum erit '' P a - b c zz o. Huius aequationis radix vera est b, nempe lateralis, altera plana , falsa , ut a' tb a t b . Vnde sunt duae aequationes una vera altera impossibilis, a quarum mutuo ductu superior oritur aequatio i est autem aequatio vera a - b zz o at impossibi. lis est a' t b a c' ta a. Si fuerit aequatio in qua cubus assicitur multa solidi sub latere , datoque eoeG- ciente plano, mihi per δαρεσιν της γρα-- ορδες constitutio sic se habet. Sit recta quidem v ν , utcunque diuisa in x i,otest autem hypothesis bifariam institui . Vel scilicet protracta D ν, in G, it aut ν o sit aequalis ipsi o ν, unde hςc dicatur a , illa vero b , . Vel supposito , quod o ν , sita, eademque dicatur bi quia tamen in secunda hypothesi adhuc a ba
aequatur οἱ nempe nihilo,non minus, quam in prima , & eadem currit demonstratio ; propterea secundam hypothesin ampletiemur, ergo recta Dν , secta sit utcunque in E i Manifestum est cubum ex D p, minus solido abs D r, in rectangulum D p E, qu ri solido abs o ν, in rectangulum p Dx. Si itaque D ν, sit radia , rectansulum o p a . erit planum coeficiens sublaterale; Cum igitur cubus ex n s minus solido abs n F, in rectangulum o p a , hoc est misenus holitogeneo sub latere, & coeficiente plano, aequalis sit solido a , plano ν o s. in o r. latus, solidum a plano F D E, in D ν, latus erit homogeneum datae mens is . Itaque D F, erit radix; cui clinisquetur ipsa o ε, imo sit eadem, erit o ν, minus D p, est a , itemque b , at etiam po foret b, D p qu dratum est b', &rectangulum F D E ,
D E est a , itemque b, foret etiam b, ipsa ν G, rectangulum F D a, est c planum; rectangu- Ium D E F, est C pim.
159쪽
D F, aequalis ot nempe nihilo. Vnde D ν erit radix vera , at coei sciens lablaterale erit quadratum D s, minus rectangulo ν DE. Hinc addiscimns differentiam duorum planorum, quorum unum, nempe maius est quadratum verae radicis; at minus est planum proueniens ex applicatione homogenes datς mensurae ad ipsam veram radicem tu aequatione de qua loquimur esse coecteiens planum sublaterale quanto brem si v s. Detit a, itemque bet planum ortivum iam dictum ν D x, sit c planum, homogeneum datae mensurae erit solidum, nempe b e planum; est autem a b aequalis O; chira a, aequetur b; eadem quantitas est a , itemque b , planum ortivum est e plavium ; si ex b' auferatur c planum, prouenit b' - c plano in quod si ducatur a, fit b a c plano a , quo subtracto ex a , remanet a b' a t c ph a i quod aequabitur solido abs b inc planum, unde oritur aequatio' 'P.: ata b c plano, quod sic planun intelligatur redactum ad quadratum, set ςquatio a a b c . Et facta comparatione inter positiuum, & negativum fiet a b c o. Huius aequationis radix vera est b, nempe lateralis, altera plana falsa, ut a' t ba t c'. Viide sunt duae squationes, una vera, altera impossibilis , E quarum mutuo ductu supinior oritur aequatio, est autem aequatio vera a b o at impossibilis
sciente plano, nobis haec est constitutio per διαιρε της γρομφως η Θης. Dr, cst a, itemqueb, ut p G, aequalisi si ot, foret di & recta gulum D p, est e planum, rectangulum v
Sit recta n ν , utcunque secta in x, porcit autem hypothcsis bifariam in stitui , vel scilicet
protracta D ν, in o , it aut c, sit aequalis D n ,
unde haec dicatur a , illa vero b ; Vel supposito, quod D ε , sit a . eademque b ; quia tamen in secunda hypothesi adhuc a - b, aequaturo, nempe nihil O , non minus quam in prima , &eadem currit demonstratio , propterea secundam amplectemur hypothesin. Sit ergo D ν , utcunque secta in s ; Manifestum est solidum ex D p, in quadratum D s, mi- nus cubo eiusdem o x, aequari solido abs DE, in rectangulum o x p; si itaque o g, sit radix, rectangulum p D E erit planum coefiiciens sublaterale , cum igitur solidum ex D x. in rcctangulum p D R, minus cubo ipsus D a, aequale sit solido ab eadem ut, in rectangulum D v ν, solidum ab ipsa D E, in rectangulum Da p, erit homogeneum datae mensure. Itaque D E, erit radix , cui cum aequetur ipsa D a , imo sit cadmia, erit o r, minus D E, aequalis O, nempe nihilo; quare D s, erit radix vera, & rectangulum p D x, cociliciens planum sublaterale. Hinc addiscimus planum proueniens ex applicatione homogenei datς mensurae ad radicem , plus quadrato ex eadem vera radice esse, in aequatione de qua loquimur, coericiens planum sublaterale; quamobrem, si h s, suerit a, itemque b, planorum aggregatum iam dictum crit rectat gulum snx, scilicctb',Fc plano; homogeneum datae mensurs erit solidum , nempe b, cplanum; estautem a- baequalis O ; cuma, aequetur b, & eadem quantitas est a ,
itemque b, planum ortivum est c planum , si b' addatur c plano, prouenit b' 4 cplano , in quod si ducatura, fit b' a 3b c plano a , quo si auferatur a , remanebit b ao c plano a a', quod aequabitur solido abs b in e planum , unde oritur aequatio ' a ' b c plano, quod si e planum intelligatur redactum ad quadratum erit a b c , & facta comparatione inter positiuum, & nega tuum , fiet
Huius aequationis radix vera est b; nempe lateralis, altera plana, videlicet a' Φb a C. Vnde sunt duae ςquationes, una vera altera item polsbilis, e quarum mutuo ductu superior oritur aequatio, est autem aequatio vera a b π o at item possibilis est D q. b a c o.
Cubicarum aequationum in τι bus assectiones existunt sub quadrato natura, at-τie conititutio ex Zeteticis, aperitur.
160쪽
Hucusque agentes de aequationibus cubicis, naturam, atque coiistit ut ionein ex fruum us ex Zeteticis, alijsque modis; at vero earum tantummodo in quibus asei cu nes existunt sub latere, nunc idem prςctabimus, in constitutione earum , it quibuβ affectiones existunt sub quadrato, & primo quidem ex Teteticis, deinde ab F, modis prςsertim eo, quem nos adinvenimuS. Si sit aequatio a Φ b a' . Sutit quatuor continue proportionales , quarum prima minor inter extremas est bν differentia vero inter secundam, & quartam , estu. Fit autem a , differentia inter primam, & tertiam, quod cum Victa ex Ectetico cognoscemus. D M trama minore inter extremu , se disserentia inter fecundam , est quartam in s ric qualuor continue proportionatius reperire disserentiam inter trimam , cr tertiam.
Dara sit bi prima in serie quatuor continue proportionalium, eademque minor inter cxtremas, differentia vero secundae , de quacis sit d , Oporteat reperire disicrciniam inter primam, & tertiam. iax sita disserentiam esto a ; ergo tertia erit a Q. b ; cst autem ut a, ad d, ita b d i ergo erit ipsa secunda , cum sit ut differentia primae , & tertiae ad disse cutiam iccuedae ,& quaris, ita prima, ad secundam , At vero rectangulum sub Psima, dc tertia, aequale est quadrato secundae; proinde b a Q b' rectangulum sub Prima, & tertia , ςquabitur - nempe secundae quadrato et omnia vero ducantur ina', & per b, dividantur , & fiet aeouatio a Φ b a b d , quod prius ordinab
Sit aequatio 1 C Φ et Q - . Sunt quatuor continue proportionales, quarum prima minor inter extremas est 2;differentia vero inter secundam, & quartam est D hoc est i a ; & fit i R disserentia primae , de tertis, dec. ex serie proportion iidin a, 4, 8, 16. Si sit aequatio a b a' ta b d ; Sunt quatuor continud proportionales , quarum prima, maior, vel minor inter extremas est b , aggregatum vero secundet , di quartς est d, & fit aggregatum primae, de tertis ex Letetico . Data prima, ct amegaro ex secunda, o quarta in serie quatuor continue proporti
natium, reperire Ggregatum pr ma, O tertia.
Data sit pima b , maior , vel minor inter extremas, aggregatum autem ex secu da, & quarta sit d . in scri e qua; Iur continue proportionalium oporteat reperire ag gregatum in Prima, de tertia. Huiusnodi aggregatum sit a, ergo tertia erit a b; est autem, ut a ad d ; ita bad et quamobr- - erit secunda, cum sit, ut aggregatum primae, & tertiς, ad aggregatum secundae , & qu Nae , ita prima ad secundam ; rectangulum vero sub prima& tertia squatur quaiurato secundae ; quare erit, aequatio b a b nempe rectangulum sub prima b; dc tertia a - b, hoc est b a - a', ςquabitur quadrato e secunda es hoc est . . Omnia ducantur in a' atque dividantur per D , fiet aequatio a b a' ' b d , quod prius ordinabatur. Sit aequatior C - 2 Q 8on. Sunt quatuor continue Proportionales prim quarum inter e tremas cst a; aggregatum autem ex secunda , & quarta est , 'F id est dio,& fit i R aggregatum primς , & tertiae, ex scri e proportionalium a , Α, Κ, is, & quidem si i R valet io, aggregatum ex prima a , & tertia 8 ; eius cubus est iocio; aquosi subtrahatur roo; radlaum pretium, remanet 8oo, comparationis homogeneum.
Si fit quatio b a' a b d Sunt quatuor continue proportionales, quarum prinia est maior inter extremas b; diderentia vero secundae, de quartae est d, fit autem a , distarentia primς, & tertiae ex Zetetsco. Dara prima maiori inter exuemas, o disserensia sicunda, ct quartae inserie quatuor continue proportionalium, reperire disseremiam prima tertia. Data sit b, prima in scri e quatuor continue proportionalium eademque maior timer exYtienias differentia autem secundς, & quartς fit d; Oporteat reperire disserentiam primae, & tertiae. a laesita disseremia esto a , itaque tertia erit b - a, ut autem est a ad d , ita