장음표시 사용
171쪽
AD assequenda aequationum primordia , atque adeo, 'earum natur:
dignolcendam plurimum facit deductio , quae Κ οἰ- dicitur; propterea non grauabimur liue de ratione deducendi aequationes magis compositas a simplicioribus traei itionem instituere idque eo libentius faciendum albi. trati sumus, quia inde aperitur via ad aequationum Eductionem, qua de re, pau lo post nobis erit agendum non sine commodo Artincis , praesertim in Arithmeticis itio etiam in Geometricis non exiguae est utilitatis , quamuis alia via nos incedentes nulla sisne ad id quid ' cogat necessitas , vicin eostro Geometra Promoto, manifeste constabit. AEquatio, quam generatim supra definiuimus quae, vel a Quaestionum, siue Problematum, utcunque prop0siuorum terminis conamu iter deducitur, Comm is appellari consueuit. vel Canonici dicitur, aut qualem ex ea, alia quae proprie huiusmodi est , deducitur, aut quia absoluth huiusmodi sibi vendicat nomunctaturam. AEquationes isitur illae, quae etsi Canonicae non snt, quoniam tamen ab ijs, ut ab originalibus suis aliae deducuntur, quae proprid hoc nomine sunt insignitae, propterea Canonicarum aequationum originales non iniuria nuncupantur . Hoc autem pacto aequationes illae se habent , quae per multiplicationem ex radicibus bino js immediate conficiuntur, in quibus producta ex multiplj atis r dicibus aequantur radicibus multiplicandis sub forma tantummodo multiplicationis, ordinatis. Ab his , quibus minus bene accommodata est aequationis descriptio, duae propriε
deducuntur species Canonicarum, quarum unam Primariam, alteram Secundariam appellant; Canonicae fortasse nuncupatae, cum per earum applicationem, tanquam per canones radicum numerus in aequationibus communibus determinatur. Can
escarum igitur aequationum species primaria est , quae ab originalibus per deri u
tionem constituuntur ι retessi siquidem formali sedicum binomiarum ordinati ne , obtinente alteram aequationis originalis partem, & ex alterius partis homogeneis, homogeneo dato per affectionis mutati emin situm reliquis oppositum translato: fit aequatio quam Primariam Canonicam dixerunt. Secundaria autem earum est, quae a primarijs per reductionem constituuntur
ablato siquidem de medio uno ex parodicis primariae aequationis gradibus, fit hcede qua loquimur aequationis species Secundaria. uatio autem Reciproca, de qua saepe in sequentibus mentio fit; ea est , cuius homogeneum datum facto ex cocificientibus, & reciproch potestas facto P gr dibus parodicis, aequatur. Sunt etiam ςquationes, quae Collaterales appellantur, simplices illae, in quibus fieri potest hynobibalinus , per depressionem gradus parodici, itant facta aequa depressione tandem aliqua magnitudo solitarie existat, veluti homogeneum :date messur 'cui possint reliqua homogenea comparari, sunt igitur illae, in quibus dignitates collaterales existunt; ut si ςx una ςquationis parte existat quadratum, ex Altera vero radix; Sunt etiam squationes Lorrelatς, quς nimirum similes sunt , & ijsdem datis magnitudinibus constant, siue assectionum parabolis , siue assectionum horum geneis, de quo postea. Hςc eo alacrius tractanda suscepimus, quoniam in animo est ne dum Specios in Algebrain tradere, quatenus Geometi icis effectionibus inseruit, & prout cuiqtie li-
172쪽
cet ea uti ad Geometrica re luenda Problemata, sed etiam quatenus inde nos ire, Numerosa se erudimur, ut huius penitiora introspicientes, asscqtiamur, quae hactenus in tenebris latitarunt. .
At summopere decet nos esset sollicitos de huiu modi deducendi ratio e; propterea quod pate*cta via tunc demum ad reductionem videtur , cum constauerit , v de reducenda aequacto sitam originem traxerit, & quisem, ut ab amitatione Pura , deducitur Assecta; ita contra & affecta ad puram Aocatur; sed quo pacto sint haec usurpandae ex insta dicendis expiseratum erit. Neminem praeterit rati rdinandi binomias radices in multiplicationis formam. Hinc vero sit qua nimirum aequationes, cuiusque ordinis ab originalibus uis, deducuntur. Vnde cum oblata fuerit Canonica quaedam aequatio, ad quem ordinem pertineat inspecta Atestatis natura considerandum est. Primo autem quadratici ordinis se se offerunt aequationes e quibus prima sit Si igitur fuerit t bc, supposito quod b, aequetur a. miluatio affrinatiua ab originali sua in qua factum ex radicibus binomiis multiplicatis aequale est ipsis multipli eandis radicibus sub Anna tantummodo multiplicationis ordinatis , quae quidem improprie sibi aequationis vendicat nonaei v. atque rationem: ita se habet: b G Si igi rursuppona'lias b,aequari a: ex hac hypothesi, utique a se baequabituro H Vnde si a, ςquetur b i consequens est ut aequatur O ; erat*utem --bc., ergo b c , aequabitur O; de per antithesim
aequa itur b c. Hunc itaq'ein modum apud nonnullos quadratici ordinis
aeuuatio , ab orisinali sua deducitur. . mireris autem, quod ex a bina Fc fiat productum aequaleo; si namque α - baequaturo; perinde est ducere a b in a-c ac ducere o, in a c: inuo aut eiusfit O; H in multiplicatione uigi i comitigit ; si enim o, ducatur in a, vel alium quemcumque numerum fit o, de his tamen agentes de Maximis, &Minimissura dicemus iasiori calamo scribentes . Nec dissimilitis si 'aequatio fuerit --ικη. At si fuerit α ιβολκ. n. si fuerit, aequatio P 2:: b c; posito quM b, vel c, ς luetur a, deducitur ab originali. in qua fictum ex radicibus binomijs multiplicatis, aequale est ipsis multiplicindis radicibus sub forma, tantummodo multiplicationis Ordinatis , quae quidem impropriε sibi aequalionis vendicat nomen, atque rationem; ita se habet 'I ''T : . Nam ponto quod b, vςlς, aequetur a; ex hac hipothesi erit a baequalis in vel sia, aestu ir ca crista - aequalis R, Si igitur supponamus a aequari b, vel c; erit quidem zz o. At vero aequatur MI ... propterea b c aequabitur Oi essib& aequisitur bc.' Hunc itaque in modum supradictae aequationes ab originalibus suis deducuntur rQuod si aequationes fuerint cubicae, non absimilis est modus eas ab originalibus suis deducenai; undC.
173쪽
bd si fuerint Reciprocae cubici quidem ordinis, ut si fuerit a b a - c d a Φ b c d posito quod aequetur a , deducitur ab originali sua dessignarii , .
qua factum a radicibus binomijs multiplicatis ςquale in ipsis multiplicandis radicibus in formam rasitummodo multiplicationis ordinatis, quae quidem impropriE sibi squationis nomen, atque rationem vendicat,& ita se habet Petet a b a' te d a b ed; x hypotnesi igitur, quod b, quetur a; erit a - b qualis o, si ita- que, bςquetur a , etiam .: . . aequabitur O. At vero . . . . squatur a b a F cd a b c d , ergo a' ba' b c d a b c d quabituro ; ergo per antith sin a - b a - c d a squabitur b c d. m ei Atque hunc in modum caeters squaliqnes huius ordinis Reciprocae ab originalibus suis deducuntur. Nee absimili modo ac supra, clim de cubicis quationibus loqueremur, procedendum in aequationibus ordinis quadratici, se per ex hypotheu, quod a , quetur b modo enim consimili ab originalibus suis deducuntur; quemadmoduin etiam si huius ordinis ςquationes extiterint Reciprocς , prout de Reciprocis ad cubicum oridinem spectantibus, paulo antea didum essa & ita de cςteris, &c. φ o Deducuntur autem aequationes affectae, ab ijs, quς purae dicuntur. Itaque. Si sit aequatio a' ' et plano ; a b esto e i de erit e ψε a b e ta E pl. - ω Cum enim sit aequatio a' ta et plano; sitque a - b aequalis radici e; ergo etb ςquabitur a ; si itaque e qε b subeat eandem multiplicationis assectionem, quam sufit a, set quadratum ex e q. b, aequale quadrato ex a, est autem ex hypoth s a' aequale et plano ; ergo quadratum ex e b , Squabitur E plano ; at, ut patet
no, cum itaque e b c q. b' aequetur a plano; per antithesin fiet, ut supra est a b c ' Σ pl. b'; hoe autem ordinabatur, Vides igitur Qua industria , ex pura aequatione, affecta deducatii . Hse est per decrement uni meductio. Si sit aequatio a et plano. Hine assectam aequationem deducemus hoc pacto. Supponamus a Q b esse e ; ex bae autem hypothesi proueniet aequatio F a b e et E pl b . Cum enim sit aequatio a' ta et plano; sitque a 4. b aequalis radicic; ergo e b a aequabitura, radici; si itaqueχ - b , subeat eandem affectionem, multiplicationis, quam subit a ; fiet quadratum ex e - b, aequale quadrato ex asest autem ex hypothesi a , aequale E plano , ergo quadratum ex e - b, aequabitur E plano. At ut patet ex genesi , quadratum ex e - b, est c' a b e q. b' hoetiagitur aequabitur et liano; cum itaque e a b e H. d' aequetur E plano; per antithesin fiet, ut supra e' a b e zz a pl. b' hoc autem ordinabatur . Vides igitur qua arte ex pura squatione deducatur assectas quod Vieta. ingeniosh explicauit. Haec est per crementum deductio. Si sit aequatio a' ' χ plano; b a, vel a q. b esto e ; dc a b e - e' aequabitur. b E plano. Siquidem a' supponitur aequari a plano, & b - a; aequat λ est radici e; ergo b e aequabitur ai&b' ab eq. e' hoc est quadratum ex b eaequabitur E plano, & facta ordinatione, fici squalio, ad eum qui sequitur modum
At si a q. bi squetur e; ergo e - b; aequabitur a ,&e' - ab eq. b hoe est quadratum abs e - b aequabitur et plano , & per antithesin fiet a b e e ta b
174쪽
His μοι mira numeris explicari pessura, ct in grauam Tyronum a exemplam
Supponamus i α π 144 ita tet, M. vari uco autem b intestatur numerus 4, atque i R s r A hoc esset na secumia mox , ergo quomam i R F ψ ; aquatis r in I A i erit ob id agoatio inter I a - Ο I R ' Me quadratum abs a A, - 4 nempe A α - 8 A Φ i5 aquabitur aqq, utrinque abiatis I 6; remora I A 8 A ' 8 ; cuius aprationis radix es Io, ars ex 16, aufer tur 4 idi nempe crementum , rem nebit i et, urior i us R. Sed de his quoque Vieta: Nobis aequationum assectarum a puris eiusdem ordinis inis sis ι. ita se habet deductio. amavitis
Primo squidem illud se offert considerandum a selinomia radice , puram aequationem oriri , cum autem binomia euaserit, tunc se prodit affectio ; unde eadem Ma... T. magnitudo, & sol inomia sit, & binomia ; illa purae aequationi hcc autem affecis primordium est a Non ibimus inficias, etiam soli nomiam affectae squationi inse uire, cum ad libitum sit latus assumere , & ex eo potestatem cuiusque generis effingere . quae deinde, vel affecta esse poterit homogeneo sub uno ex parodicis gradi. bus, una sue multiplici affectione, prout homogenea ipsa pro diuersitate parodic rum graduum plura, vel pauciora fuerint, dc affectio diuersimode se se habere potest, siue potestas assiciatur, ut diximus, siue sit assiciens . Tamen hie sermo est de assecta aequatione , quae ductu potestatis in se affectionem consequitur , collata cum homogeneo datae mensurς. Hoc itaque pacto res se se habet.
Sit aequatio a ' E plano. Recta n M, diuisa sit in Li quidem ipsa xM,estoa;&LM sit b,ergo xx,erita ata quae dicatur e ;s igitur x L, puta a a bb, esti e .ergo x M, erit e Bb quae cum sit at proinde e b , aequabitur a ;Manifestum est autem, quadratum K M, aequ te esse quadrato x x, plus duplo e b 'rectangulo x L M ; una cum quadrato L M; hoc est ae ψε a b e Φb'; hoe igitur aequatur a , seu 2', hoc est 2 plano; unde per antithesin e F ab e , aequabitur t
Sit squalio a' Tet E pl. Recta x L . poducta sit cremcnto ι a b .ia; si autem x L; idem , qudd a, at Ue- . a .ro x M , si t b ; ergo x M , erit a F b, -- quae dicatur e , si igitur x M, puta alb; Κ e b L b M est e, ergo x L , erit e b; quae cum ' e sit a ; propterea e bςquabitura, Ma- . nisestum est autem, quadratum K Lἰ aequari qu drato xv, minus, duplo rectangulo x M L, plus quadrato L M ; hoc est S- a b e .Fb', hoc igitur ςqvatura', seu 2', vel Z plano, quare per antithesin e a be, aequabitur Z pl. - b . Sit aequatio ae ' E plano. Recta x L . subducta sit rem x M , aut K i. I aucta sit cremento t. M , . Sit autem x L , idem, quoa a ; at vero x M , vel x M , sit b ; sed L M , vel
175쪽
M, erit e; cui quidem squatur b a , vela b,& x x erit b e, de cadem erit e b utraque dicitur MProinde b e ςquabitur a ; cui e- 'tiam aequalis erit e b ι Manis
stum est autem quadratum x M,vel L M mi, niis duplo reAangulo x M I. ἐν una cum quadrato LM,vel x M aequari quadrato x L , ergo b' - a b e q. e aequabitur a , seu 2' vel et plano ; e go a b e e' squabitur , - κplano . Itaque ex ςquationibus puris eiusdem ordinis, aequationes affectae de- si ductae sunt.
uationes autem in quibus Cubus assicitur sub quadrato ab ijs in quibus asse tio est sub latere , deducuntur, quς quidem deducendi ratio multum momenti habet, ut ex sequentibus planum fiet. si sit aequatio at - 3 b' a ' et solido; a - b esto e ; & erit e a b e .et sol. F a b Quoniam enim a - 3 b' a aequatur 2 solido, & est a - b ςqualis radici e ; e go e q. b aequabitur a , quamobrem cubus ex a t b multatus solido abs a b e in et b aequabitur Σ solido. At vero cubus ex a ' b est e t a b e' t a b e t b , & s lidum affectionis est 3 b'e - 3 b', ergo facta ordinatione secundum Artem, erit e M
Vel si a a b a aequetur E solido a b esto e , & e' - 3 b e aequabitur et solido ab Goniam enim a - 3 b' a aequatur Z solido, est autem a b r dicie, aequalis ergo e - b, aeauabitura. Proinde cubus ex e b, multatus solido abs ab in e baequabitur Elafido,&non dissimiliter, ac supra procedendum, &e. Si sit aequatio a b' a - a et sol, b - a esto e , & erit quidem a b e e πa b - Σ solido. Cum enim a b a - a aequetur et sol sitque b - a radici e , qualis; ergo b - γquabitur a , quapropter solidum factum ex 3 b' in b - e minus cubo ex b e ς- quabitur z sol. at vero solidum illud affectum constat 3 b - 3 b' e,& cubus negatus de solido, constat b q. 3 b c - 3 b c .Fe', ergo omnibus riti ordinatis, pr ueniet ςquatio 3bc' e ta ab - χ solido. Vel sit eadem aequatio, ut prius 3 b'a - a' ta et sol. Itaque b 1 a esto e , deerit 3 b e' - e' ta a b q. Z solido. Cum enim a b' a a aequetur 2 sol. sit autem b q. a radici e aequalis, ergo e b aequabitur ar ergo solidum ex 3 b' in e - b a minus e b aequabi tur et solido . Solidum autem illud assectum constat 3lb' e 3 b , de cubus negatus de solido iam dicto constat e q. 3 b c' - 3 b' e.b' quamobrem facta ordis natione secundum Artem, fiet aequatio 3be'-oeta ab tχ solido. Si sit aequatio a' Φ 3 b' a ta E solido; dc quidem a - b esto e , ergo i e F 3b e' q. o b e aequabitur et solido b'. Quoniam enim a q. 3 b' a aequatur Z solido, est autem a - b, radici e ,ςqualis ergo e Φ b aequabit ut a, quare cubus ex e Φ b, adscito solido abs 3 b' in e tb; aequabitur Z solido . At vero cubus ex e q. b , constat e se a b e' t 3 b' e q. b solidum autem affectionis constat 3 b' e q. 3 b', propterea iam ordinatione secum dum Artem, set ςquatio, ut supra c) Φ3 Se q. 6b'eta E sol. b .ril. Si sit aequatio, ut supra a Φ 3 b' a T Z solido, de quidem a H. b csto e , ergo e a b c t 6 b' e squabitur et solido i 4 b . moniam enim a t 3 b' a ςquatur et solido ; est autem a ' b radici e , squalis; ergo c - b aequabitur a , quare cubus ex e b adscito solido abs 3 b' in e baequabitur Σ solido. At vero cubus ex e b constat e a b e' 1 3 b' e is solidum vero affectioiiis 3 b' e q. 3 b' ; propterea facta ordinatione secundum Artem, fiet aequatio, ut supra e a b ae q. 6 b e' ta E solido H. 3 b'. De hoc insta.
176쪽
piantitate mlao; fiet residuum a , quod anellimuse, eum igitur a - b, aquetur
e , ergo 'r amithesime .Fb, aequauisse a, ct quia ero estiatio a t 3 P. .c hic verbiumitur e t b, oco usi u a: propterea, debet e b, fusi e multiplicationem, via; igitur H aor e b, in se cubio; or siue t 3 b e , ε 3 ι'e t ι' cse quosam a , ducebatur in a b' eum esset sedidum asciens 3 ι'a; faciendum est igitur scidum ex e q. b, in 3 b' facta matri catione ; prouenit 3 ι' e-3b ut pares; cum veri potesas foret assecta per adiunctionem huiusmodi solidi, propterea fotidum hoc est adrindam potesati, nempecuso iam dicto ex e .s b, sit aurem aggregatum e -3b e 6 Pe ι zz n solido ;separentur autem ignotae quantitates a notis, ut fiat aquatis , apta ad exhibendam qua tam rata em, O proueniet per antis uario e ε 3 b e t 6 Pe zz α sol. 4b' ut constat, neque dissimili modo ratiocinacium de careris aequationibus hactenus traditis ad hane ordinem pertinentibus, ct hunc in modum variatio sis radicis cremento , vel δε- cremento quantitatis nora εἰ de quo etiam in 'ruentibus reduis sermo. Obseruandum es autem, assectionem, in seu Caris attenri penes assectionem solidorum in apratione, quod mamo re considerandum est indesiquissim non modica suboriri potest 'uiuocatio . Vndes homogeneum sub Pradu radico, tu primaeva aquatione a ciatu 1-GIO t idem , quoque ad bendum in s. uatis ι orsi a triar nota - , idem retinem
Ad maiorem in rationem possumus numeros a Aera, s fuerit aequatio a' l. 3b ata α solido ex h'pothesi, quod a baque re, unde sequitur e q. b, aequari a ; SVpsummus a ebrior b; esset; ergo aquatio ilia eris I e q. Ia R et 288. Me auum a bet tibiι η ; quamM rem eius casus erit 6 , o 3 b e' valebit 96i insuper 5 b e, valebit itidem y6, horum summa es 2 6; arsi ex 288,r mliis, aufer tur P, quorum pretium es 32 remanebit pariter idem numerus 1 6. Praeter ea, qua apud Victam leguntur, nobis Iureis alia in messium ' erre ὀδεα nis gratia.
Recta L M, diuisa sit in x, &ipsa quia dem x M , dicatur a , at x M sit b , sese a mentimi κ L, sit e . Proprerea cadenti. ΚΜ, qus dicitur a, erit ei, b. Ex hyp t laesi vero x M, cubus plus, triplo solido a quadrato L M in x M longitudinem aequatur 2 solido. Manifestum est autem cubum ex x M., aequalem esse cubo segmenti x L , plus triplo solido a quadrato x L in L M, plus triplo solido a quadrato L M, in x x , una cum cubo eiusdem L M, at solidum triplum a quadrato L M in x L . una cum triplo cubo ex L M , additum cubo iam dicto ipsius K M , facit cubum ex x L , plus triplo solido a quadrato x L, in L M, longitudinem, plus triplo solido a quadrato L M, in x x, longitudinem. una cum cubo eiusdem L M, plus triplo solido a quadrato L M, in longitudinem x L, una cum triplo cubo ipsius L M.; quς simul quidem squantur x M , cubo, plus triplo
solido abs x M, quadrato in x M , sed hoc ςquatur et solido , ergo el 3 b c' 3b' e ,εε b q. i b' e Φ a b ςquatur a solido, & per antithesin e ,3be 'ε 6 b e ςquabitur Z solido b'aiςc tame est cubica aequatio affecta sub quadrato, di latere. sit aequatio a' - 3 b' a et solido. Recta x M, multata sit segmento L M, at i a quidem x M, dicatur ar & L M, sit b
177쪽
segmentum vero x x , esto e I propterea eadem x M, quae dicebatura, eruet baManifestum est autem cubum ipsius xu, ' a '
aequalem esse cubo segmenti x L, plus - - - - --.
triplo solido a quadrato xi, in L M, Κ e Lb M plus triplo solido a quadrato LM. in x eΦb
x, Vna cum cubo eiusdem x M; At soli. dum triplum a quadrato L M , in x L ,
una cum triplo cubo ex L M, subtractum ex iam dicto cubo relinquit cubum ipsius xi. plus triplo solido a quadrato x x in x M, minus duplo cubo eiusdem L M, quae simul quidem aequantur cubo ipsus x M , minus triplo solido a quadrato L M in x M ; Sed hoc aequale est E solido ergo e is a b e a b aequabitur et solido , & per antithesine a b e' aequabitur a solido q. a b . Haec εquatio cubica affecta est sub quadrato latu. --.- Sit aequatiis 3 b' a - a ta x soli-
Recia xu sit ba qua subtracta sit x i, b a '' ut remaneat L M , at vero segmentum --x L sit a: Ut L M remaneat b aeadem K b - e L e ML M, esto e , ut x L sit b - e . Manife- b 'stum est autem cubum segmenti x L, esse aequalem cubo ipsius x M, minus triplo solido abs xv, quadrato in L M, plus triplo solido ab L M, quadrato in x M, minus e bo ipsius L M. Solidum autem triplum de quo negatur cubus ex x x , est triplus cubus ipsus x M, minus triplo solido a quadrato eiusdem x M, in L M,1 quo u subtrahatur cubus ipsius x x, remanet cubus L M, plus duplo cubo ex x M, minus triplo solido a quadrato L M in x M , quae quidem aequantur triplo solido a quadrato ipsus x M, in x L, minus cubo ipsius x L; sed haec aequantur Esolido; ergo e -a D ab aequabitur 2 solido, & ordinatione facta secundum Artem, proueniet aequatio 3be' e ' ab -χ solido. ς quatio cubica est assecta tantum sub quadrato. isti reis in Persmili artificio , etiam ςquationes cubicae, quibus nullus terminus deest a cu- λιδε . - bicis , in quibus deest secundus terminusi deducuntur. Haec autem deductionis magni facienda est, ut in ista constabit. - ., tisi a Si st a' ψε pl. a et sol. Supponatur a ,s b esse e , & inde fiet aequatio e a b e hi. e ra E sol. F d pl. b-b . inandoquidem supponitur a d pl. a, ςquari et solido , estque a Q. b aequalis radici e ; propterea e - b a sub iam , a quabitura, per antithesin , ut patet; quare cubus ex e - b i additus solido abs dν--- - ' pl. in e b aequabitur et sol. ; est autem cubus ex e b, solidum constans e 3 b e a b' e b , & solidum affectionis est d pl. e d pl. b , ergo facta ordinatione secundum Artem, fiet aequatio, ut supra. Si sit a -d pl. a ta a sol. a - b hsto e , essio fiet aequatist e , a b ς'. 3 b' q. bpl. e ' a sol. - d pl. b b . - .. ιμ- Quoniam enim a Φ d pl. a aequatur et solido , & est a b radici e aequalis , ergo e b aequabitur a; Itaque cubus abse Fb, additus solido ex d pLinetb. aequabitur a solido. At cubus ex e b constat e ,3 b e q. 3 b' e Fb ;s -μν ἀιν lidum autem affectionis est d pl. etdpl. ergo omnibus ordinatis ex Artis pri ceptis fiet aequatio, ut supra, M. . ... Si d pl. a zz E sol. b a esto e , & erit aequatio e a b e' q. ο - Du Q a b -o pl. e b q. d pl. b - 2 solido. MUM Quoniam enim ae q. d pl. a aequatur Z solido I est autem b - a radici e, a qualis ; ergo b e aequabitur a , atqueadeo cubus abs b - e, adiunctus solido abs d pl. in b e aequabitur Z solido . Sed cubus abs b - e , constat b - 3 b' e q. 3b e et solidum autem affectionis est Φ d pl. b - d pl. e ergo rite omnibus or-- ώ dinatis secundum Artem, fiet aequatio, ut supra. - Sit suerit aequatio a d pL a ' χ sol. a H. b esto e , erit igitur aequatio e
178쪽
Quoniam enim a d N. a ςquatur 2 solido; est autem a q. b radici e , aequalis i ergo e - b aequabitur a; proinde cubus abs e - b multatus selido abs d pl. in e b aequabitur et .lido. Sed cubus abs e - b constat e a b e a b e b selidum autem assectionis est d s. e i d pl. b facta ordinatione secum dum Artem, fiet aequatio, ut supra. Si sit a d pl. ara et sel. a - b estoe, de erit aequatio e t a b e' H. i , d ol. e ' E BL .F d pl. b b . Cum enim a d pl. a aequetur 2 selido; est verb a - b radici e , aequalis; er-- --go e t b; aequabitur a , ob id cubus abs e b; multatus lalido abs d pl. in et Naequabitur 1 selido. Sed cubus abs e t b constat et i 3 b e' a. 3 b3 e a. b . Soliadum autem assectionis est d pl. e - d pl. b, facta ordinatione secundum Artem
siet aequatio, ut iupra. μορ--a-
Si sit aequatio a dpl. a ' et solido b a esto e ; & fiet aequatio e 3 b e - Φ b o pl. e ' b - d pl. b - Z solido . Caeterum a3 - d pl. a aequatur Eselido ; est autem b - a ; radici e , aequalis: proinde b - e ςquabitur a , quam brem cubus abs b - e multatus solido abs d pl. in b e aequabitur et solido. Sed cubus ex b e constat b -- 3 b' e 3 b e' - et . Solidum affectionis est dpl. b q. d pl. e ergo facta ordinatione secundum Artem i, prouenici aequatio , ut
rite secundom Artis prccepta ordinatis, fiet aequatio, ut iupra. Oia r .Hες
-3--3 b e -b omnibus autem rite ordinatis, proueniet equatio, ut iupra. μ'
Si sit aequatio d pl. a a' a solido b a esto e , & proueniet equatio a pl. b' e 3 b e' - e d pl. b - b g solido. Quoniam d pl. a a aequatur et solido; estque b - a radici e ςgualis ergo b e ςquabitur a , proinde d pl. in b - e minus cubo ex b e squabitur a solido; at vero solidum abs d pl. in b - e constat d pl. b - d pl. eLcubus ablatilius est b Φ 3 b' e a b e F e ; Omnibus ria ordinatis secundum Artem , proue- ueniet ςquatio, ut sepra. Idcc tunt iuxta Viet ς inuenta, ad quorum maiorem explicationem non pigebit hic paululum immorari. Repetamus igitur primam illam ςquationem a d pl. et solido, a qua deduci ςquationem affectam tam sub quadrato, quam sub latere dictum suit. Supponendum est a Φ b esse e , quod plasmaticum est, cum itaque et ''nota quantitas b, addita sit ignotae a; aucta est radix de qua quaeritur huiusnodi
cremento, at si at b,ςquetur e; per surariam, fieta aequalis e - b. In illa autem ae
quatione a, lapponebatur cubich ditista , chin cubus ipsus adauctus solido ab e dem radice in planum coefficiens foret squalis homogeneo datae mensurae , cuiusmodi est E solidum , proinde . e b, aequipollens radici a , cubich ducatur, ut proueniat e 3 b e' q. 3 b' e - b , iuperest, ut subeat eam, quam a , asse tionem solidii solidum quidem assiciens est .F d pl. e - d pl. b i praeponendum est sym lum i , cum issectio veteris aequationis sit per assirmationem ς est enim aequatio illa κασα tron propterea orietur aequatio e - 3 b e' q. 3 b' e - bt i dpl. e - d pl. b ' χ solido; quantitates autem ignotae unam obtineant aequationis Partem, Ut qu. ae suntignotae cuin illis comparentur , de erit e - b e' t i indu e
179쪽
Haec igitur squalio deducitur cx illa , quam superilis attulimus . Haec numeris explicari possunt inam per d pl. intelligamus et o ; & per Esolidum, intelligantus 8, adeo ut aequatio fiat i C t et o R za, 8 At vero per b, intelligamus quemcumque numerum , exempli gratia I , & r il lis esto 1 A, hoc est una secunda radix, ob idt A -s aequabitur 1 R; ergo cubo abs i A nimirum i AC - is A ut s A ias; si addatur selidum absao; in i A s, nempe zo A - roo, fili AC - i s A Q t ys A - ars , & aequabitur 3 , factaque ordinatione secundis Artem ; proueniet aequatio 1 AC-i Aat 9 A - γ73. In illa autem i Ct io R π o, radicis valor est α; in hac vero est T. Itaque a 3 b hoc est e , erit 7i quod si a t b, aequabatur e , ob id at b, valebit 7 I ergo cum b, valeat ex hyapothe si s ; fiet di, valor ipsius a. Si quis autem nostra deductionis forma uti velit, imitando quae supra docuimus
de alijs squationibus , facile consequetur intentum , non enim omnino dissimilis est deducendi ratio ; propterea prae oculis illa , qua suo loco usi sumus , habeatur, citra laborem enim aequationibus etiam de quibus nunc disseritur, satisfieri poterit. Contingit etiam aliquot potestatum planas, vel solidas radices habentium, apo testatibus simplieiuni radicum deduci ; Igitur aequatio in qua Quadratoquacitatum est potestas assecta sub quadrato , deducitur quidem ab aequatione in qua quadratum assicitur sub latere . Itaque s a' ηε b a aequetur et pl. ab huiusmodi ae quatione deducitiar altior iam dicta , cx luporbes , quod b a, iit e' vel e planum,& e' ,h b e' aequabitur b' E pl. Cum enim a' H b a aequetur 2 pl. , sitqueb a, aequale e', ob id H aequabiturai quamobrem quadratum abs P adiunctum plano sub b, & '' , nempe E -e inuas bitur E plano, omnia quidem ducantur in b', ergo c' ψε b' e' aequabitur b' κ pl. .& quia e , statuitur radix plana , propterea sic erit munctanda, quam superius attulimus, aequatio e pl. quadratum θε b' e pl. π b' a pl. Et quidem, ut magis superiora explicentur . si statuamus b a, aequari e ι manufestum est productum ex b, in a , aequari quadrato ex e , id enim eo genere I quendi significamus ; at si quadratum aequetur facto sub duobus lateribus per applicationem ad unum ex illis, aliud emergit , .ut constat, quare si e , applicetur lateri, quod appellatur b; utique magnitudo ortiva fiet a, hoc enim pacto magniti do ortiva ducta in metientem facit planum, quod applicatur ; Itaque D ducatur in . b ; et prouenici e', ut constat, hoc autem addendum cst quadrato ex V , ut enim P aequatur a , ita huiusmodi quadratum squabitur ae , est autem quadratum praedictum propterea fiat additio, ut dictum est, quandoquidem proposita illa aequatio erat affirmative affecta , atquc proueniet e' ' χ plano; quod si omnia ducantur in b', non tolletur qualitas, cum per communem multiplication L. aequalitas adhuc subsistat, de hunc in modum tollitur fractio , ut proueniat P Φ b e b' E pl. quia vero, radix plana supponitur, proptereaquod b a , cui supponiatur aequari e , planum est ; ob id retenta natura ipsius radicis enuncianda squalio est ; atque adeo exprimenda radia , prout ipsius cxigit natura, unde dicemus ei a quo symbolo denotamus quadratum ipsius e plani, & formabimus aequati cuia, ut supra tradidimus, nimirum e pl. 2-b'. e pl. zz b' κ pl.
Si vero a' - b a aequetur E pl. facta, simili hypothes, ac supra, nempe b a,etae', vel e planum, & e b' e' ςquabitur ν η pl. Vel e pL 2 b' e pl. zz b' κ pl. Insuper si b a - a' ςquetur et plano ex eadem hypothesi, quod b a , sit e , vel e planum b' e e aequabitur b' et pl. Si a' 'F b a squetur Z pl. ex hypothesi, quod b' a sit e , vel e solidum, fiet es tb .e N Z pl. Cum enim a t b a, aequetur et pl. supponatur vero b' a aequari ci ergo E mu bitur,a; Itaque cubus ex E una cum O, nempe squabitur a plano. nibus vero ductis in b'; fiet e -b e aequalis b' Σ pl. Et quidem, ut magis superiora explicentur. Si statuamus b' a squari e , mantia sestum est ex applicatione ipsius ad b', oriri a ; proptereaquod b a solidum coim stans ex b', in a , aequale est solido, nempe e'; si igitur hoc solidum applicetur u
180쪽
necessario fit magnitudo ortiva a; hse enim dum in metientem , puta b', facit stalidum, quod applicatur , scilicet c' ; si igitur H , squetur a; fungatur e eodem numere, quo sun3itur a ; propterea, ut a , ducebatur in b i duci etiam debebit in b, ipsum & het productum - , hoc autem addendum est ipsi ei ducto in se quadratice, ut enim aequatura, ita quadratice ductus, aequabitur a , quadratice multiplicato, nempe a i illud autem est ἰ:, de huic addendum est , quoniama', tactum erat per assirmationem ipsius ba; igitur fiet aequavo H et plano nempς c H b e aequabitur b a pl. , videlicet omnibus ductis in b', dcc.
Si enim EF, quod est quadratum ipsius E sibi adsciscat V, quod est factum exEin b; coel ficientem londitudinem; fit E , quod squabitur κ plano, at si illa
quationis pars ducatur in b , fite q. b e ; nam si ducatur in is, prouenit es; si vero ducatur in is, fit productum nempe b e3. Itaque e q. b e , ςqu bitur b' E pl. Ex his intelliges ni fallor quanta sit adhibenda industria in indagam da aequationum natura. Itaque. Si a' - b a aequetur et plano . Supponamus b' a esse e , vel si placet, e seli, dum, & e b e aequabitur b' a pl. Si ba a' squetur E plano ;b' a esto e .vel e solidum; ω e e aequabitur P
Si a q. b a' ςquetur a solido, b a est e , & es q. b e aequabitur b et sol. Cum enim a q. b a' aequetur a solido; sitque ba, aequale e'; ergo V qquabitura; quare ex propositis l. V aequabitur E solido, omnibusque duciis in b' ,& e q. b' e aequabitur bl Z sol. quia tamen e' radix ponebatur plana , fiet aequatio c- nuncianda e planum 3 H. b' e plani a zz b' a solido. Et quidem ut magis superiora explicentur . Si statuamus b a, aequari e ; consoquens est ex supra traditis . si e applicetur uni ipsorum laterum , puta b , fieri magnitudinem orti m a , hoc enim pacto magnitudo ortiva ducta in metientem , iacit planum, quod applicatur, & non dissimiliter ratiocinando , ac supra deprelie demus. fieri iuuationem, quam diximus. Si a b a aequetur z solido ; b a esto e' vel e planum si placet. dee b' e aequabitur b κ sol. Vel e PL 3 - b' e pl. a ' b E solido. Si b a' a ae ausur 2 solido', a esto e vel e planum, de P e e' squabitur b' et sol. Vel b' e pl. a - e pl. 3 ' b' E sol
lariZcorum a s 6 A lsumn 2o 8o. Itaque rectedite mus i 236 A aquari a o 8o cum igitur enunciatum fuerit c b' P aequari ι' x, M. Per e inlinigamusat, nempe b a, quod esse 5 dicebamus, cor eriι ipsius es pretium , τι Erctum es; qo96, oin mera b' e' obit et o 8o, o siti summa et o 8o i qua aram eadem consurgit summam ι' hoc es 216 in hoc est8o eodem modo in caeteris aquationibus ratioc naa da Hia MVen paululum immorandum; atque considerandum a νealitas quantisatibus , imisoaxias deduci, etiam per aquiZoilentiam eam rutis. Si enim excogitemus quadrarum ata quoa , cuius latus, sit unum. . duobus rectanguli , ius atrerum sit coe eiens longitudo itaui, hoc aggregatum conseratur alicui magnitudini data; Planum itata, conlicienti anticarum, resiluit Iatus qua ara; atque adeo huiusmodi planum applicatum, latus est , huius autem lauro quadratu ., quantitas reatis es , tamen tuad plaxum anticatum quadratice aeu iam, Dor quoque pluatim, nam tineis planum nu-νήυν ad ρ amplanum ascendat, δε-