장음표시 사용
181쪽
Omis tor, puta iam ad piantrara matri Datione peruenit, quodsi HAd huic furit, ut revera es applicatum sit tuom, ut constat. Nihilominus, mare Uno nisum cras mim
cum is applicatione Itarratur , sitque solara magnitudo assecta per communem ductum homogenea sus iatere , quo pacto etia- ob eodem comminem mutii cationem , sit asienses ad ima inarias quantiωtes, ex parte honisgenes durae mensurae; atque adeo hae Arteat nis Naesce, est modo etiam per iti a solita, sit altioris ordinis aquationum deductio . Draque huiusmodi deductio non per multiplicationem tantum, sed etiam pre Gerationem , a vinculis aulicationis; quod es obseruaudum ; ad dirostenda aquationum primo
Superior aut cin deductionis ratio Vietaea est ; quae verb nostra nunc sequi
Si a' i b a aequetur E plano, Manifestum est homogeneum datae mensurae aliam per applicationem ad coenicientem longitudinem induere possie Qrmam , itaque applicatione facta , proueniat Ortiua magnitudo dita ut illa aequatio ad hanctit reuocata a -b a b d , ic ex hypothesi, quod e ςquetur b a , per applicationem proueniet ' a; quare in superiori aequalitate , ad analogii tum reum Dis a imo cara sit ut a q. b ad b, ita d, ad a, ergo si loco ipsius a , substituatur 4 , fiet ut de Μ Φ b ad b, ita d ad Ἱ- v le per multiplicationem institutam inter exircina, de me clia, rursus proueniet aequatio .F c' ' b di omnibusque ductis in b , fiet e tb e b e . Itaque aequationem in qua quadratoquadratum incitur affirmate sub quadrato, per interceptum analogismum ab aequatione in qua quadratum assi ditur assirmate lab latere, deduximus, Quod oportebat, dcc 'δε,-- Si a' - b a aequctur Z plano Manifestum cst homogentum datae mensurae aliam per cius applicationem ad coincientem longitudinem induere posse se am ; Ita- applicatione facta, proueniat ortiva magnitudo d; it aut illa aequatio ad hane sit iis reuocata a ba' bd, dc ex hypothesi quod e' aequetur b a per applicationem l . proueniet μου a , quare cum saperiori aequalitate ad analogisnum reuocata , sit via b, ad b, ita d, ad a; ergo si loco ipsius a, substituatur i, fiet ut F - badb ,- - - ita d adq; unde per multiplicationem institutam inter extrema , & media, rursus aequatio-- e' ' b d ; omnibusque ductis in b', fiet e b' e' π b d. Itaque aequationem in qua quadratoquadratum assicitur negate sub quadrato per intem - -- - ceptum analogismum , ab aequatione in qua quadratum assicitur negate sub latere deduximus, Quod oportebat, dcc.
- b aequetur ' plano , Manifestum est homogeneum datae mensurae , a. Ais timesseri liam per eius applicationem , ad coessicientem longitudinem induere posse se itaque applicatione facta, proueniat ortiva magnitudo d , it aut illa aequatio ... hanc sit reuocata b a - a' ' b d ex hypothefi , quod e aequetur b a per applicationem proueniet Η ta a, quare cum superiori aequatione ad analogismum reuocata sit, ut b - a ad b ita d ad a ergo si loco ipsius a , substituatur de , fiet uti, adb; it ad ad P; unde per multiplicationem institutam inter extrema , de media; rursus proueniet squalio e E bd; omnibusque ductis in b , fiet b e e' π b' d. Itaque squationem quadratoquadraticam ' λλως affectam, sub qu drato per interceptum analogismum ab ςquatione , in qua quadratum assicit himogeneum sub latere , deduximus, Quod 'portebat, dec. Quadratoquadrata quidem affecta ab assectis quadratis quoque deducuntur, de quo hic aliqua dicenda occurrunt, at primo cum quadratum fuerit assectum sub lo
a' ' b a ςquetur et plano; Hinc deducetur ςquatio quadratoquadratica , puta
m- Hunc enim in modum ratiocinandum. Cum sit squalio a' q. b a zz et plano, e so per antithesin es squabitur Z pl. - b a , utraque parte ducia quadratice, fiet aeret 8 pl.ph a b χ pl. a 1 b' a'. At vero ancinio illa b' a' ex squatione propofita interpretationem accipiens, valet b' E pl b' a; etenim si sit squatio a g pl. b a, de utraque pars ducatur in I,', fiet b' a' ta b' χ pl. b a, liuiusmodi pro terea adscita interpretatione, ordinationem facta sccundum Artem, proueniet equatio,
182쪽
ut supra dicebamus i Igitur squalio quadratoquadratica assecta a quadratica asse ta sub latere deducitur. Sed numeris hςc illustremus. si i Q t io R aequetur a , etiam i Q Q l. r so R ςquabitur 2976 . Cum enim i Q Φ Io R aequetur a ; per antithesin etiam i Q 24-io R , & utraque parte ducta quadratice; fiet i Q Q π 175 - 48o R t ioo Q . At vero too Qvalebunt et Oo - iooo R, nam ςquationis utraque parte ducta in roo quadratum ex Io; producitur squalio roci Q rq oo ioco R Quamobrem si loco ioo Q substituamus et Oo - rooo R, hoe est ad 3 6 48o R, addamus 24oo - roooR , fiet summa 2976 - Ι 8o R , & erit a QM ' 2976 - 148o R , & per antithesin fiet i r 8o R ' a 9 6. Hinc itaque patent, quς superius attulimus; cum scilicet quadratoquadratum ab affecto quadrato sub latere deducitur. Sit deinde a quatio Nce dissimiliter si a - b a aequetur a plano; proueniet etiam aequatio huiusm modi a' - by -- i b κ pi a ta a pl.pl. t b' Z pl. , & in hac non secus , ac in prae denti discurrendum. Numeris haec declarantur; nam. Si r Q io st aequetur z4; proueniet hinc aequatio i Q Q - 148o R' 2976
Quod si fiterit aequatio αμφιβολα, Vt si b a - a' aequetur 2 plano ; prouenit aequatio hunc in modum b , b E pl. a - a' ' b' et pl. - E pl.pl. , quod ex supra
traditis facillimum est deprehendere. Si ii R - i mequetura ; erit etiam aequatio huiusmodi 8o3 R - i Q Q Tu 3 et 8; quae sic declarari possunt. Quoniam enim ii R- i mequatur 24, fiet perat tithesin i Q ii R - 24; utraque parte ducta quadratich, fiet i Q Q T i a iQ- uer 8 R t 3 6. At vero iri Q valent i 33 i R - 29o ; etenim si utraque aequationis pars ducatur in t a i , quadratum ex ii ; fiet lar 333 i R - 29oq. Itaque iat Q valent, ut supra dicebamus i 33 i R - 19o : proinde si ad - set 8R t s 76 addamus i 33 i R - aso , fiet summa 8oa R - Σ3αῖ , aequalis ipsi i Q Q, ut dictum est. Quod si aperienda est deductionis ratio biouadratorum assectorum, tam sub quadrato, quam sub latere a quadratis affectis sub latere; ita ratiocinandum. Si a' t b a aequetur z pl. q. d pl. erit etiam aequatio a' - 1 o pl. b a' t a b Σ pl. a 2 pl.pl. - d pl. plano.Quoniam enim a' t b a aequatur a pl. d pl. fiet per antithesin quatio a' - dpl. E pl. - b a , utraque parte ducta quadrarich, fiet a' - ad pl. a' Φ d pl. pl. χ pl. pl. a b et pl. a i b' a', omnibus autem rit E ordinatis , proueniet aequatio, quam superius attulimus. Si i Q q. io R 8o Φ i5 hoc est ρο, composito ex 8o, & is , erit etiam aequatio i Q Q - 13a at 16oo R π 6 rq . Cum enim sit i m io R π 8o i is erit per antithesin i Q - 6 so - io R, & utraque parte ducta quadratice, fiet I Q Q - 3a Q t 236 π ο oo - 16oo R i eo adi ordinata ςquatione secundum, Artem proueniet i Q Q- a 3 et Q q. i5οo R z 6iqq.
m de, speciebus diximus, a Muris a ommodami possunt. Vis per a' intelligamus I 36. Daut i usa, Arsit 6, insuperper b, intelligamus ro; τι per d, is , ct ter Eo, o eodem pam ratiocinando. inuenies aquationem inter ea, qua diximus, ct hae eadem declaratio iuxta praescrip - radicis varum feri poterit in Gnatione numerosa, etenim t α ατ-bit 47 a , o 16oo R valebant s6oo , iraut i a 32 .eta 6oo R valeant 6i4 , quantum malet altera aquationis para . Ita irim se i iod aequetur 9ο , per ami- fiet I 96 - Io R , oraque pane Acta quadratis ,
183쪽
Si b a a' inuetur E pl. - d pl. etiam a b d pl. a t i a pl. a' - a' aequabitur Z pl. pl. - d Pl. plano. Si in I i Q aequetur 84 - 6o hoc est a disserentiae inter 8 , dc 6o ; etiami 68o R t et 8 Q - i Q in ta 3 16, dcc. Sed haec ad Artis integritatem, absolutamque tractationem ex Victa dicta sint, quod nostrum est subiiciamus, Ze quod attinet ad affectionem biquadratorum, sub latere, de quadrato, non aliter instituenda solum id ad Sam ; etiam a quadrato aD secto sub latere deduci posse quadratoquadratum affectum sub quadrato, de latere,quaimiis homogeneum dat s mensurae simplex constitueretur , unde cum fuerit a' tb a ta E plano i Perspicuum est per antithesin fieri posse a π χ plano b a , de utraque parte aequationis ducta quadratice fit a , squale E pl. pi a b χ pl. a tb' a , de per antithesin fiet x b' a' q. a b E pl. a T: E pl. ph hunc enim in m
Affectio quadratoquadratorum, est vel sub cubo, vel sub cubo . & quadrato. Ad primam affectionem , quod attinet: de his enim in presenta loquimus, noα ignorantes alijs quoque modis affectionem contingere. Si a' t b a squetur E plano, etiam a Rio m a' aequabitur Cum cnim a' t b a aequatur Z pl. fiet aequatio per antithesin a' π χ pl. - b a omnibus ductis in a , dc erit a' ' Σ pl. a - b a'. Clim autem a aequetur et pl. b a;
184쪽
tithesin ad hanc reuocabitur a q. b et plano ' E plano a b a; utraque parte diuisa per E pl tb', proueniet aequatio ergo ς-
a' aequari et plano - b a , tantum igitur va- designato valore ipsius a id ita exprimetur a quabitur a . Dicitur autem
let ipsum a' ; propterea ex osi enim loco ipsius a , intelligamus , de hanc fractionem ducamus inb; quandoquidem in b , ducebatur a , facta vero multiplicatione ἱ proueniet Hac velo subducta fractione ex E plano; cum esset E pl. - b a, remanebit 2 pl. - seu quod idem est μ; etenim si a Z plano subtrahi debet reduci debet ipsum E planum ad trabionis naturam, & hac instituta praPmatia, proucniet ab hoc autem, si subtrahatur fractio remanebit, ut supra obserua, in illa redin tione , ductum fuisse a pl. ind nominatorem E pl. tb'; atque adeo prouenisse , quod dictum est ἔ quamobrem aequatio proueniet a' πRedeamus nunc ad primam aequationem a q. b a ' et plano adueta utraque par- ωνιά , ad
te quadraticE, prouenit squatio huiusmodi a' Q a b a) l P a' ' E pl. plano. At vero accepta interpretatione ex designato gradu ipsius a quadrati valore, illa quibdem assectio b a', idem planE erit, quod hac autem adscita interpretatione, atque omnibus secundum Artis praecepta dispositis , proueniet aequatio a ta' ta ero et . Atque hunc in modum quae alias a Vieta tradita suerunt, sic enucleauimus, ut facile cuique perspecta esse possint, quare si i Q i R aequetur i 7, etiam i Q ro C quabitur 926ι. Namque per b; intelligimus i 6, per 2 planum, vero ι92, & per a , ac per i R, M. intelligimus ; proinde a valebit et o C, & valebit 9a6i , etenim Z pl. pl. pl. valor est 337 23 illic numerus si diuidatur per 3 3 pretium ipsius et pl. tb', fit quotiens 926i ; at vero i Q Q est et oi , & et o C valent 686o . Itaque i Q q. ao C valebunt fasi, quantus est valor alterius partis ipsius aequationis. Si a b a aequetur E plano; etiam a a' aequabitur Utar ipsius Vi eis numeris, hoe enim nihil refert , &si i Q - 1 R ςquetur 1 etiam ι a'- Q. - et o C aequabitur si si, quod eodem pacto declarabitur. Si b a - a Q aequetur E plano, etiam a ςquabitur . Si ai R - i inquetur 98,etiam is C- i QQςquabitur et 7 4;declarantur, ut supra. Cum autem assectio suerit, etiam sub quadrato , ab aequatione quadratica assecta sub latere a nobis deducitur, per interceptum analogismum ; etenim. Si a q. b a aequetur Z pl. : manifestum est homogeneum datae mensurae per applicationem ad coefficientem longitudinem posse nouam suscipere formam i quamobrem applicatione iam , proueniet ortiva maῆnitudo , exempli gratia d; igitur aequatio illa , ad hanc erit reuocata a q. b a ta b d . Hac autem ad analogismum redacta , fiet ut a b ad b, ita d ad a , quare etiam horum terminorum quadrata proportionalia erunt; proinde, ut a' a b a q. b' ad b' ita d ad a ; ergo multiplicatis extremis, &medijs; fiet aequatio huiusmodi a - a b a Fb a , quod aequabitur b' d'. Hoc enim pacto aequatio ordinata est. Et quidem huiusmodi ratione ςquationes quadratoquadraticae , in quibus asse tio est sub cubo, & ouadrato, ab aequationibus quadraticis affectis sub latere, per
interpositum analogismum deducentur. Per cliniacticum autem regularem ascensum cubicae ςquationis amphibolae, ubi ais is a. affectio est sub latere, a quadraticis affectis sub latere, deducuntur, etenim
Si a' ἀ- b a ςquetur 2 plano; per communem multiplicationem ipsus a , fit cubita a -b a' ta E pl. a; de se tamen inutilis, cum desit homogeneum datae memsurae; propterea ad id consequendum dicam ut a Φ baςquatur et plano , certh per antithesin fiet a' ta z plano b a. quoniam autem a b a' erat squalis et pl. a; adscita interpretatione qudd a aequetur E plano ba; ducatur hoc iii b; hoc enim
pacto in locum ipsius gradus a substitutum erit E pl b a , & illud solidum per
185쪽
i o C. RENAI D. ALGEBRA NOVA .
adscitam interpretationem, erit alio modo expressum; factaque multiplicatione , m ueniet a' q. b E pl-b'a, quod Qquabitur a plano a , eadem enim rectinetur aequationis pars ; cuin qua erat comparatio instituta , quare ordinatione iacta per an
ut hesin congruam Pylai in Q. b' a -a' ςquabitur bE plano. Vnde huiusmodi facta est aequatio Oida, in qua cubus de homogeneo negatur, deducta ex squalion quadratica; quae numeris hunc in modum declarari possunt. τροπι -- Si sit lintio Reta et , etiam laqR - a C ςquabitura o. cum enim i in io Raequetur et , omnibus ductis in il fiet i Ci roruta a Riat vero i inequatur et - io R, ut per antithesin est manifestum est ergo adscita hac interpretati ne ad exprimendum valorem ipsorum. io in proinde erit 1 C t et o - leo I 'a ti, de ordinara squatione , erit ia4 R- a C ' ΣΑΟ ; & ita quidem est , siqui dem in aequatione i io R a radicis valor est et , itaque t C valebit S.& idi R valebunt 2 8, at si a r 8 subducamus S, cum sit aequationis pars ii in R
nocticus ascensus erit a b a' π Z pl. a, & quia erat a b a ' χ pl. per an tithesin ; fiet a zz et pi ba; quare in locum ipsius a', substituatur aequipollens apl. b a; unde ducatur E pl. - b a in b, ut fiat b E pl. - b'a, ad exprimendum homogeneum illud b a'; propterea a - b Z pl. - b' a , aequabitur E plano a , Eordinata aequatione, fiet a - Σ pl. -b a - b Z pl. quod erat facienduim. Itaque.
nam, M. Si b a. a' aequetur 2 plano , etiam b' - a plano a - a aequabitur i, xplano.Quoniam enim b a - a' aequatur Z plano , omnibus ductis in a fiet b c - a Z plano , & quia a - a', aequabatur E plano , per antithesin fiet b a Σplano ' a'; ergo ipsius a' pretium erit l, a - e plano , hoc igitur ducatur in b. adratu . exprimendum valorem illius solidi ba'; per adscitam interpretationem ipsius b a ,&fiet b' a b E plano et plano a , & per antithesin i, - E pl. a - a' aequabitur l, et plano. Vnde Si i R i Q quetura etiam 37a Ri C aequabitur 3 6. Insuper. Si a' d. b a aequetur bd; etiam a -S t d a' aequabitur b d . Quoniam enim a F b a aequatur b d , omnibus ductis in a ; fiet a l. b a ,ia b d a ; at vero cum a' t b a aequetur b d , per antithesin b a, aequabitur b d a utraque parte diuisa per b; fiet V - .a. Hac adscita interpretatione , ad ex prium isa niciamina valorem ipsius b d a, proueniet a t b a' ' b d da', propterea quod
ducatur in b d; siquidem a , ducitur in b d , fiet diu Prur; hoc est , omnibus diuisis per b; fiet b d d a , At vero superior aequatio a i ba' ta b d da' per antithesin fiet a q. b .Fd a' tar bd'; quamobrem ab illa si periori squatione quadratica deducta est haec cubica assecta sub quadrato. Vnde Si t Q. q. ia R aequetur lo8, saeto ex ia in 9; etiam 1 C ai Q aequabitur
972, cum enim ι in Ρ-R aequetur ros facto ex ia in s ; omnibus ductis in i R. - fiet i C q. ia in a ios R, At vero '--E aequatur 1 R hac ergo adscita interpretatione, ad exprimendum valorem ipsarum ros R, erit i C ia 97 a s
186쪽
Quarundam aequationum constitutio Perpenditur. c A P V TX X. P Raecipua quaedam est quariandam aequationum constitutio; siquidem nonnuu
lae sunt correlatae nuncupatς, quas superitis descripsimus, e quibus , aliquae sunt ampli'olae; aliae contradicentes, aliae demum inueriae . Amphibola aeditatio quid si, iam superius notauimus, in qua scilicet potestas de homogeneo as-wctionis negatur; unde , cum utraque ita suerit, & in utraque , eadem coeficiens magnitudo , idem hymogeneum datae mensurae, huiusmodi aequationes correlatae; ει milesque dicentur. Contradicentes illae vero sunt, in quarum una potestas assimath assicitur, in altera negat h.
Inuersς denique in quarum una potestas assicitur multa homogeneae assectionis In altera homogenea affectionis assicitur multa potestatis. Harum autem peculiares, praecipuςque sunt constitutiones, qua de re Vieta etiam edisserit loco supra citato de Recognitione ςquationum. . Quia tamen haec non uni inuationum generi conueniunt; propterea , ut etiam Vieta obseruat, generali quadam ratione tractanda sunt, ut deinde , uni vel alteri uationi accommodentur a quod ut elarius intelligas; cum dicimus in ςquationeis amphibola ordinis quadratici, coessicientem longitudinem oriri ex applicatione disseremiae quadratorum ad differentiam laterum i & comparationis homogeneum ori, rr ςx applicatione disserentiae reciproch a quadrato unius, in radicem alterius ad differentiam earudem radicum id suo modo non tam de aequationibus quadratici, quam cubici vel alterius ordinis, intelligenda sunt. Unde si fuerit aequatio amphibola ordinis quadratici a R - 1. zz ys cuius radices sunt 3 , & is, coessiciens et , ritur ex applicatione differentia inter , & as, quadrata radicum is,& s, proposis quationis, ad 1 , differentiam earundem radicum, si enim diuidatur per i , prouenit a ; Deinde si 36t, quadratum radicis maioris, puta ist, ducatur in f, radicem minorem, fit rgos, & si as, quadratum radicis minoris ducatur in is, radicem maiorem, fit s, horum differentia est 133o, qua diuisa per i , di rentiam ipsarum radicum, fit quotiens os; nempe comparationis homogeneum. Sed haec etiam in cubicis , ut si 36 R xi C aequetur 7ro ι cuius radices sunt 2, I 8 ; cubus exa, est 8, at ex i8, est 38aa , quorum differentia est s8r , quae si applicetur ad io, differentiam ipsarum radicum a , de x8, prouenit 36 coeniciens planum sublaterale. At vero si s 83a, cubus radicis maioris ducatur, in a, radicem minorem fit ii 66 ; de si 8 cubus minoris ducatur in i 8, radicem maiorem , pr ducitur 3- ; at si ex ri 66 , subtrahatur i- , remanet ii 2 o, quo diuiso peri 6 , differen iam laterum, prosilit in quotiente 7ro , solidum comparationis nimirum homogeneum.
Generali propterea quadam ratione' instituenda est pragmatia , unde genera adhibendo specierum loco, sic operabimur, quod etiam apud Vietam videre licet. Si b parabola in a gradum a potestate, aequetur 2 homogenes , de rursus b Parabola in e gradum - e potestate, aequetur.a homogenes. Proinde b parabola in a gradu a potestate, quabitur b parabolς in e gradu - e pote stat per antithesin vero statuendo a , maiorem, qua me, quod liberum luc est, ob prae-
187쪽
i a C RENAIAD. ALGEBRA NOVA . .
sepositam radicem atraphibolam; ob id a potestas epotestate, quabitur b parabolae in a gradum b parabola in e radum . Omnibus autem per a gradum egradu diuisis, proueniet aequatio huiusmodi aequabitur b parabolae. Hinc autem addiscimus b parabolam oriri ex applicatione disserentis potestatum ad differentiam graduum. Quoniam vero b parauola in a gradum, minus a, potestate , squatur χ homogeneae, si in locum ipsius b parabolae subrogetur cognitus eius valor, & ea quidem subrogatione , aequatio reformetur, nouaque instituatur Hinc addiicimus a homogeneam oriri ex applicatione differentis reciproch ap testate unius radicis in gradum alterius ad differentiam graduum. Quamobrem squationibus ambiguis cuiusque ordinis hςc satisfacere quicinia possunt, & uniuersa haec Theoria aptari potest singulis aequationibus , si vi icet loco potestatis intelligatur quadratum , vel cubus, oce.& loco gradus intelligἡ . latus, siue radix; denique loco homogeneae intelligatur quantitatis genus, prout ae quationis natura exigit, unde si tuerit quadratica, i melligatur planum , si cubi ais: intelligatur solidium, &c. οEt quod initio notauimus hie sacilE constabit, si nimirum, quivi inserius praest
bimus, generatim tradita, speciatim tractentur, & aequationum speciebus, sitan, mirum quadratici siue cubici vel alterius ordinis extiterint congrud aptentur. Si fuerint contradicentes, ut si a potestas b coefficiente in a gradum, equetura homogeneo, & rursus e potestas b coeffciente in e gradum, aequabitur et ii mogenco; Propterea a potestas b coelficiente in a pradum, aequabitur e potest ii b c ificiente in e gradum, & per antithesin quidem e potestas - a potestate, mirabitur b coefficienti in e gradum Φ b coeffciente in a gradum; propterea diuisis omnibus per c gradum is a gradu , aequabitur b c Geienti.
Hi ne addiscimus b coessicientem subgradualem oriri exti applicatione differen
tiae potestatum ad aggregatum eorum, quos substinet coelliciens, graduum. Cum autem a potestas b coessiciente in a gradum aequetur et homogenem in locum ipsius b coeficientis, subrogetur agnitus eius valor, nimirum
de huiusmodi subrogatione si reformetur inuatio , a potestas ' in a
gradum, aequabitur Z homogeneo; omnibus autem rite ordinatis, atque dispositis i 'ςquabitur Z homogenea.
Hine deprehendimus , Σ homogeneum oriri ex applicatione aggregati factorum reciproce a potestate radicis unius, in gradum alterius, ad praedictum , cui applicatio laeta est graduum, aggregatum. Ad inuersas demum, quod attinet. Si a potestas b coeticiente in a gradum aequetur et homogeneo, dc rursus eadem b coeffciens in e gradum e potestate .mu ur Z homogeneo. Propterea a potestas - b c iliciente in a gradum aequabitur b coincienti in egradum e potestate , & perrantithesin a potestas e potestate aequabitur bcoessicienti in a gradum ψε b coeffciente in e gradum, omnibus autem pei e gradum a gradu diuisis aequabitur i, coecteienti . Itaque deprchendimus in inuellis plane negatis subgraduciles proficisci ex applicatione potestatum, ad aggregatum eorum in quos comiciens est graduum; cum autem a potestas bcoesciente subgraduali in a gradum ςquetur 2 homogeneo; in locum ipsius b e L scientis, subrogetur agnitus eius valor, scilicet : ergo a yotestas et . quabitur χ homogeneo, atque adeo omnibus rit E di. spositis, ac ordinatis A : aequabitur Z homogeneo igitur. Homogeneum datς mensurς prouenit ex applicatione disset entiae factorum reciprocEa potestate radicis unius in alterius gradum, ad praedictum , cui applicatio altera est sacta graduum in quos coeffciens subgradualis est, aggregatum. Quia tamen adsunt inuersae, quarum una per assirmationem assicitur, altera pernegationem, ob id .
Si a potestas Φ b coefficiente in a gradum aequetur et homogeneo , & rursus eadem
188쪽
dem b coeffciens in e gradum epotestate, aequetur 2 homogeneo . Propterea a potestas b coessiciente in a gradum , aequabitur b coelficienti in e gradum e potestate , & per antithesin a potestas Q. epotestate, aequabitur b coessicienti ine gradum b coeffciente in a gradum . Omnibus igitur applicatis ad e gradum - a gradu, aequabitur b coefficienti. In his igitur inuersis eoeilicientes subgraduales proficiscuntur ex applicatione asegregati potestatum ad disserentiam eorum in quos coessiciens est graduum. Cum autem a potestas F b coeffciente in a gradum, ςquetur 2 homogeneo , in locum cocssicientis subgradualis subrogetur aequus valor , nempe cr-go a potestas B in a gradum aequabitur 2 homogeneo , & omnibus rite dispostis, ae ordinatis aequabitur 2 homogeneo; Igitur deprehendimus. Homogeneum datae mensurae oriri ex applicatione aggregati factorum reciproch a potestate radicis unius in gradum alterius , ad praedictam, cui altera facta est applicatio graduum, in quos e sciens est, differentiam. Hucusque generatim, sequitur modo , ut eadem speciatim tractemus, & primo initio desumpto a constitututione aequationum amphibolarum. 6d has autem constitutiones deprehendendas, haud mediocriter comparatio conducit, quam Graeci appellant. Si b a - a' squetur et plano , & rursus b e c' aequetur E plano; cum utraque eidem Z planosquetur, consequens est , ut inter seςquentur; quare b a - a' Huabitur b e e'; ergo per antithesin ex hypothesi. quod a maior sit quam e , quod hic liberum est ; & a e aequabitur b a b e; omnibusque diuisis per a - α hoc est a t e aequabitur b. Itaque b, est summa duorum laterum quaesitorum, oriunda ex applicatione differentiς quadratorum ad differentiam laterum. Cum a tem b a a' aequetur κ plano; si in locum ipsius b , subrogetur cognitus illius valor, nempe siue at e; utique id est e a aequabitur E plano; quare et planum erit id, quod fit sub duobus quaesitis lateribus, ortum ex applicatione di Lierentiς fictorum reciproce a quadrato unius, in radicem alterius, ad a - e; hoc est ad disserentiam laterum, etenim a - e disserentia est inter a , & e ut patet. Caeterum si diuidatur a' e' per a - e , oriri a Φ e mani sectum est; etenim si a' diuidatur per a i prouenit a ; ut constat, quadratum siquidem lateri applicatum , restituit latus , at per si diuidatur, emergit i , & e', si per e, diuidatur
Ex diuisione ipsius a' e e' a per a - e fieri quotientem e a ; Manisest um est. Hactenus tamen dicta numeris tractari possunt hac Arte. Supponamus ipsius a, valorem esse 5; ipsius vero b , esse io; demum ipsius a plani esse a ; ob id erit aequatio io R t in z a , & si valor ipsius e , ut 6, erit aequatio eadem, ut patet, distinctionis tamen gratia secundis radicibus utemur. Prior ςquatio erit io R i Q zz a . Secunda ro A - i A. zz a , & ita quidem est; nam in priori io R, valebunt clo , & t Q Walebit 36 ; horum differet tia est a 4, ut patet. In secunda, seu posteriori io A , hoc est decem secundae radices erunt o, de i A Q valebit i6, quorum differentia est itidem et , & quia quς uni squantur sunt inter se squalia , proinde to Q - r A Qaquabitur ro R - i
io, & ita est, siquidem et Q valet 36, a quo ablato x A Q cuius valor est I 6 , r manet 2o hic si diuidatur per i R t A, cuius valor est Σ, fit quotiens Io , ergo Io, componitur m duobus qussitis lateribus, & h summa oritur, ut dictum est. Cum autem io R - I Q uetura ; si in locum ipsius io, subrogetur RE. Pseui R t i A certe . 3 id est i A in i R ςquabitur a ; proinde a est Ll, quod fit sub duobus quisitis lateribus, dcc. terum . Id est i A in t R Uuari a , patet; siquidem i Q valet 3οῆ ergo i mn i A, erit 144 a quo si auferamus i A Q in x It cuius valor est 6, remanebit q8, quo diuiso per i R - 1 A, cuius valor est et, fit quotiens a 4.
189쪽
Nos autem aliter huiusmodi aequationum constitutionem inquirimus , & quid taratione satis obuia. Sit recta ν M , secta in punctis c, oit aut rectangulum is ν ς, minus quadrato r o, squale sit rectangulo u s e b . minus quadrato νc ; seu quod idem a iest tectangulum ν o M, ςquale sit rec- -- rangulos c ti, Manisestum est per rec- F e C G e Hram F u, reprςsentari coefficientem a longitudinem, & ν o M , rectangulum& ei aequale rectangulum ν c M , es lacomparationis holmogeneum ; quamobrem radix maior erit r o , minor vero I c , quoniam autem rectangulum F G u , aequale est rectangulo ν C ii, crit ν c , aequalis G u, ut constat ex Elcmentis, quamobrem coefficiens longitudo, est aequalis aggregato radicum; sed hoc commune est omnibus squationibus amphibolis, verum haede quibus loquimur, sunt correlatae, sunt enim limites, ijsdemque magnitudinibus constant , & affectionum parabolis, & affectionum homogeneis, etsi radicibus diuersis existentibus, tum quia ipsae aeqnationum sormulae , oe duabus pluribusque radicibus ex sui constitutione sunt explicabiles : vel in ijs diuersa est affectionbi
nota, &c. At si ru, est coesciens, & radix una sit ν o, nempe maior, & ν c sit minor, dis inhia iasis. serentia quadratorum ν o, F c, ςqualis est differentiae rectangulorum M p c, & u νc, ιμ- ωι- . at si tam predictorum quadratorum disseremia, quam rectangulorum , applicetur ad differentiam laterum, puta e o, ex applicatione disserentiae quadratorum, ad c coritur ν o, plus ν c, hoc est ν Η , ex applicatione differentiae rectangulorum ad eandem eo, disserentiam laterum, Oritur s M, unde, ut supra ν is , est aggregatum duarum radicum, oriundum ex applicatione disserentiae quadratorum ad differentiam laterum. Quoniam vero rectangulum H p o , minus quadrato F o , aequale est re tangulo ν o ii ; propterea liquido constat comparationis homogeneum fieri cx multitiplicatione duorum laterum quaestorum , illudque oriri ex applicatione disserentiae factorum reciproch a quadrato , radicis unius aequationis, puta a quadrato ex ro, in C ii, radicem alterilis,&reciproce, ad c o, disseremiam laterum , quς pi iid ex hactenus traditis perspicua sunt. Repetatur superior figura, itaque,s ii, erit b, at vero F G, erit a, &Fc, erit e I quoniam vero ractangulum, b . ii F o, minus quadrato p ., ς quale est a ex hypothesi remangulo M p c, minus quadrato F c , nempe rectangulum P e C G e Hr o ri , aequale est rectangulo p c it , ' a proinde , ut patet ex Elementis p c , aequabitur c u i atque adeo tam s C , quam o M, erit e , insuper tam ν o , quam c M, erit a , hinc igitur harum correlat rum aequationum naturam deprehendimus , eiusmodi esse , ut diximus; nempe cos scientem longitudinem esse aequalem aggregato radicum , & ex applicatione differentiae quadratorum a radicibus, ad earundem radicum differentiam, oriri earundem radicum aggregatum, atque adeo coessicientem longitudinem. Fatendum tamen haec communia esse aequationibus amphibolis, quatenus de duabus radicibus sunt explicabiles; hoc enim modo , maior radix, constituit aequati nem unam eadem coefficiente longitudine retenta , eodemque comparationis ii
mogeneo, quamobrem idem de minori radice cum dici possit, propterea hae erunt aequationes similes; Vnde si exempli gratia, s quatio una suerit et o R i inrio , haec duplicem habet radicem , nempe io, & 4. Quatenus igitur instituitur pquatio per radicem maiorem, fiat b a - a' ' E plano; quatenus per minorem, fictb e e a plano hae itaquc sunt aequationes similes, ut ex traditis aperte comstat ,
190쪽
stat, sed hoc nil aliud est, quam per utramque radicem unius a quationis, duplicem
aequationem instituere; proinde, ut aduertebam; haec communia sunt aequationibus amphibolia laborantibus, in quibus, ut suo loco vidimus de quadraticis amphibolis loquentes radicum aggregatum, aequale est coei scienti longitudini ; unde utramquGradicem ex aequatione proposita eruere perinde; est , ac duplicem aequationem in- si uere, penes duplicem,quam proposita,habet radice ςquatio; C aerii dum eruitur radidi , sublato comparationis homogeneo , a quadrato dimidiae coincientis , fit resuduum, cuius latus, additum praedicto dimidio i exhibet radicem maiorem: subdit tum eidem exhibet minorem. Illud porro non prςteribo, quandoque, utramque radicem, di maiorem, & minore propositae aequationi amphibolae satisfaccrer aliquando unicam tantum.
Deinde si b pl. a a aequetur, et solido, 3e rursus etiam b pl. e - e' aequetur χω-lido ; non dissimiliter ratiocinando hinc necessario consequitur b pl. a a' aequarib pl. e - e , & per metathesin statuendo a, maiorem, quam e; quod est hic ad libbitum, ob eam, qua ςquatio laborat amphibolam fiet a c' aequalis b pl. a bpl. ri atque omnibus applicatis ad a c , ex applicatione disserentiae cuborum ortiatur a t e' t a e , quod multiplicatione comprobatur; si enim a' t e' t a e , ducatur
in a - e , fit productum a e , ergo ex applicatione a - e , ada - e , proii
niet a' t e' f a e ex applicatione vero b pl. a - b pl. e , ad eandem differentiam a - e, oritur b pl. Itaque fit, ut es t a' q. a e , aequetur b plano. Vnde deprehemdimus b planum, esse aggregatum quadratorum, a duobus de quibus quaeritur lateribus, una cum eo , quod fit sub ijs plano ; illudque oritur ex applicatione differet tiae cuborum ad disserentiam laterum . Cum vero b pl. a a aequetur E solido si in locum ipsius b plani subrogetur agnitus eius valor nempe seu quod idem esta' ' e' ' a utique si V nimirum a e q. e' a aequabitur Z solido. Sed haec sunt perpendenda; nam si a F e -a e, valor agnitus ipsius b plani, ducatur in a, fiet a -a e -es e, a quo subtrahendus est cubus a erat enim bPl. a - a E solido de remanebit a e ψε a' e χ solido. Vnde constat ipsum comparationis homogeneuin , fieri ab aggregato laterum in planum sub lateribus ;oririque ex differentiae ipsorum sectorum reciproce a cubo unius lateris , in latus alterius, applicatione ad differentiam ipsorum laterum . Atque hic iterum illud est inculcandum, quod superius de huiusmodi aequationibus quadratici ordinis dictum fuit. Illud est animaduertendum, nempe clim superi sis esset aequatio b a - a' ' χplano; deprehensumq; esset id est a-c tantum enim prouenit, ex applicatione a e ad a e, P aequari b, si in locum ipsius b, subrogetur agnitus eius va- rerum. lor, puta scuale fieri et L seu ae tantum enim prouenit ex applicatione , insius a e-ae ad a-eὰ quod aequetur χ plano; Idque hunc in modum manifestum anet. Si enim valor cognitus ipsius bi puta a se, ducatur in a , fit a -a e . Ergo perinde est a'-a e, ac est b a: Si igitur ex ae t a e subtrahatur a' remanebit a e , quod aequabitur E plano, cum esset ba a squale Z plano. Imo hoc idem eueniet loco ipsius a Fe atque adeo ipsius b, adhibendo AE; nam si ducatur ' in a, fiet itaquς idem est ac est ba. Sed perinde est UE acesta' a e quod multiplicatione comprobatur, nam si ducatur a Q a e in a - e prouenit a - a es; ergo cum proueniat, ut diximus a'-a e, ςquale b a, auseratur a , ut prius, clim ς quatio esset b a a'κ plano. Ergo a e aequabitur et plano; quod supra cnunciatum
Verum etiam , de Contradicentes, suas constitutiones habent, unde si es b a eouinis . . aequetur et plano i & S b e aequetur itidem Z plano, necessario consequitur a b a, aequari e b c , & per antithesii e a' aequari b e ,εε b a ; omnibusquG-- applicatis ad e Φ a, prouenietqGF, nempe c - a aequabitur b; crgob, coeffciens est differentia duorum, de quibus quaeritur laterum, oriunda ex applicatione disserentiae quadratorum, ad aggregatum laterum. Gp---ι
Cum autem a' b a aequetur et plano . In locum ipsius b , coeficientis subrogetur cognitus eius valor i nempe ergo a' fi a aequabitur E plano ; &