장음표시 사용
191쪽
omnibus recte dispositis, ac ordinatis secundum Artem hoc est e in a aequabitur E plano.
Itaque E planum est, quod fit sub duobus lateribus , &c. Numeris autem haec eadem tractari postulat, I Q tir R aequetur 8s , & rursus i A Q - ia A aequetur 83; ergo i Q ἀ- ii R aequabitur 3 A Q - ia A . de per metathesin i A Q- i Q aequabitur ia R i 12 A, omnibusque diuisis per i A q. i R etiam aequabitur ia, & quoniam i Q t i a R aequatur 8s, in locum ipsius i subrogetur agnitus eius valor & i Q Φ aequabitur 8sioninibus rite dispositis nimirum i A in i R aequabitur 81, & res ita se habet a Siquidem 1 Q valet a si cinia ι R in superiori aequatione valeat 3 , & i A, valeat 17 , Itaquei Q in i A, valebit as, huic si addatur i 4s, valor eius, quod ex a AQ in i Rineti 87o, quo diuiso per a a, pretium ipsius i At i R. fit quotiens 8s , seu quod idem est 1 A in i R aequatur 83, nam idem est , ac est i A in i R, ut alibi diximus.
Ad aequationes Contradicentcs , quod attinet, Vietam secuti sumus, qus verbia bis ad haec videntur opportuna. proximum est, ut aperiamuS. Sit rccia r n , diuisa quidem in C.& c u , sit coei sciens b : at ν ii, sit radix e ; sed ν o , sit a ; Mani testum cst quadratum p ii, minus rectangulo . F 1l G. aequale cise rectangulo sub s ii, F a G b u& r G, at eidem rectangulo is ν o, ae- ' e quale est quadraatum ν G, plus inan-gillo F GH, itaque quadratum p Η , minus rectangulo ν M o, cum squale sit quadrato F c , una cum rectat ut o p Ο Η , sequitur huiusmodi aequationes csse conat radicentes , ut ex ipsarum descriptione fit manifestum . In quibus cernimus G ti, nempe cociscientem longitudinem esse differentiam duarum radicum , quarum una est ν H, altera vero ν o; itaque est quantitas oriunda ex applicatione disserentiς quasdratorum ad aggregatum latorum I Et comparationis homogeneum, cuiusnatat est rectangulum M s o. fit ex mutuo ductu ipsarum radicum.
Itaque subgraduales coeffcientes oriuntur ex applicatione differentiς potestatum, ad aggregatum eorum graduum , quos sustinent coincientes ; & speciatim sublat rates coeficientes longitudines, oriuntur ex applicatione disserenti et quadratorum ad aggregatum laterum; Ita quidem o M , coelliciens sublalcralis longitudo , oritur ex applicatione differentiae quadratorum ex F u , & F o, ad aggregatum ex F u , ν G. Quod est obseruandum. At si aequationes fuerint Inue ς; quae sit constitutio, videamus. Si a b a aequetur E plano, & rursus b c e' aequetur E plano; ergo a' b a aequabitur b e e , & per antithesin a -e' aequabitur b a ψε b ei omnibus prop-pterea diuisis per a ,h e aequabitur b . Quamobrem coefficiens longitudo ortum ducit ex applicatione aggregati quadratorum ad aggregatum laterum, in quae cociscientes longitudines ducuntur; ergo coefficiens longitudo sublateralis prouenit ex applicatione aggregati potestatum, ad aggregatum laterum, in quae ipsa ducitur
Cum autem a b a aequetur E plano. In locum ipsius b coefficientis agnitus ciu, valor subrogetur, H -'; ergo a aequabitur Z plano ; de omnibus recte dispositis aequabitur Z plano.Quamobrem Z planuni oritur ex applicatione disierentiae factorum reciprocP ap testate radicis unius in gradum alterius , ad praedictum , cui applicatio altera est, latcrum, in quae coci sciens sublateralis, aggregatum , hoc est ad aggregatum ex alatere, & e latere, cui altera superior facta fuit applicatio. Simili ctiam modo ratiocinandum; si a Fba aequetur E plano , & b e e' aequetur et plano, dcc. Colligemus enim coeficientem longitudinem sublateralem oriri ex applicati
192쪽
ne potestatum , ad disseremiain eorum, in quae coeficiens est laterum. Insuper comparationis homogene proticisci ex applicatione aggregati factorum. reciproce a quadrato radicis inius, in latus alterius, ad praedictam , cui altera secta eit applicatio laterum, in quς coeficiens est differentia, hoc in ad e latus minus sit --.a latere, cui applicatio superior est facta. Obseruandum autem hanc pragmatiam sic instituendam esse. Cum Pt 2 sit agnitus valor ipsius b; sitque pro sita aequatio a' - b a zz κ plano. In locum ipsius b ; si abrogetur agnitus eius valorii puta '; ob id hoc ducatur in a; ut b, ducebatur in a; fiet autem productum seu PH hoc igitur aequipollet ipsi h a i &' subtrahendum est ex ipso a'; quia fit ducendo a' in a i es ut proueniat ex quo si subtrahatur H F. remanebit Vnde iupra cum liac generatim tractaremus , erat a potestas - - - .
Numeristi uncin modum. Sili Q 26 'sita io . Insupersti R- i Q 1 o . Hae quidem aequationes sunt inuolae, & in ipsis coelliciens,& homogeneum se habent, ut dicebamus. Prioris autem aequationis radix cst'8; posterioris vero t- in his vero si periculum fieret, quod enunciatum est, deprehendetur. De his igitur aequationibus haec statuuntur; nimirum. ri4, In aequationibus amphibolis ordinis quadratici, ut b a a' ' χ plano Coessiciens sublateralis longitudo . composta quidem est a duobus latcribus , sub quibus i/--- ctangulum, quod fit, aequale est comparationis homo neo; fit autem radix latus maius, vel minus, e duobus , & aliquando unicum tantum satisfacit. Itaque si sint
duo latera 3 , & 7, erit tali - iuta 31. Sed de his quoque superitis disserui
In aequationibus amphibolis ordinis cubici, in quibus assectio est lab latere , uti, pl. a - a' ' χ solido . Coessiciens planum compositum est ex quadratis trium I, in Proportionalium , & comparationis homogeneum solidum est factum ex duetu est riu extremae, in aggregatum quadratorum a reliquis. Fit autem radix, prima , vel tertia ex illis; Itaque si sint a. 6, 18; erit 364 R - a C ' 7ro, Quadrata enim ipsorum sunt Α, 36, 32 ; ouorum summa 36 , cociscicns componitur a quadratis trium proportionalium praedictorum, & 7io; comparationis homogeneum , con ponitur a ductu alterius extremae trium proportionalium, puta i8. in εο , agSregatum quadratorum a reliquis. At si qui sunt, qui putent, haud bene hunc in modiam explicari huiusmodi aequationis naturam, decipiuntur, non enim per impropria, tra- ρ - , a dita est constitutio. Nec enim refert, qudd per quatuor, vel plures, si placet, Pr
portionalesa, Φ8, 16; explicetur, quorum quadrata sunt 4, 16, 64, 2 6. horum ag-
grcgatum est 33o; &si 16, extremuvnue supradictis quatuor continue proportionalibus, ducatur m 84; aggregatum quadratorum a reliquis, fit i3q , unde prouenit aestiatio 3 o R a C )1344. Radice existente io; Si enim 3 o; ducatur inio; fit 143o. a quo si dempseris Αορω cubum ex io. reliquum fiet 13 q; Id autem ideo accidit; quia si planum aliquod suerit, nillil prohibet illud intelligere diuisum,
in plures partes proportionales, quarum larera , hoc est rectς, quae possunt supradictas partes, crunt proportionales. At si unum ex extremis planis proportion
libus, quod quassi atum intelligo, ducatur in sui latus; fit cubus, qui subtractus a s Iido sub plano praedicto, & latere iam dicto, relinquitur solidum , sub hoc eodem latere, &reliquo plano, quod constat reliquis duobus, vel tribus planis proportionalibus. &ta prout diuisio plani totius fuerit instituta, &c, Insulse tamen loquuntur; nam hic de constitutione aequatinum amphibolarum habetur sermo e in quibus liberum est, Haam, vel aliam radicem sumere compositam ex ijs, quae ad c mcicntem magnitudinem, & ad homogeneum comparationis, faciunt. Haec infra ostendonius. Atque non dissimili modo penes proportionales magnitudines attacliditur constitutio quadrat quadrati. Itaque.
In aequationibus amphibolis quadrato quadraticis assectis sub latere, nempe b soL a- a' ' κ plano plano; Coeiliciens solidum est compositum ex cubis quatuor con- atinuE proportionalium, & comparationis homogeiaeuin fit ductu alterius extreinς in cuborum aggregatim a tribus reliquis, unde ut radix prima, vel quarta . Quare
193쪽
est aggregatum quadratorum a reliquis, quo ducto in d , fit d C q. P quan
t um proteiis remanet, si ex d q. d ς H. auferatur d ; remanet enim d ς ΦHac itaque industria cognouimus unde illud enunciatum, ortum ducat quod clarius hunc in modum euinces . Siquidem liberum est extremam accipere , sumamus igitur alteram Itaque aggregatum quadratorum , nempe d'H. g'-R d catur in F , & proueniet d g .H. a quo si subducas θ: cubum ex V rem nebit d g' H. At vero tantum tit, si ab extrema eadem, ducatur m ae q. g aggregatum quadratorum a reliquis, fit nempe q. t seu d g' t - - . Quae diximus de huiusmodi equatione suo modo caeteris accommodari possunt.
Haec tamen in primis consideranda sunt. Caeterum persimili modo, cum altera adhibetur extrema, procedendum est, &c. Proximum est, ut Contradicentes perpendamus , quarum primo cum Vieta, comstitutiva persequemur.
si a' δ b a aequetur et plano, & rursus e' - b e aequetur Z plano. Sunt quidem duo latera, quae disserunt per b , coessicientem; at vero iactum sub illis, aequale est et plano, fitque radix a , latus minus. & maius. Sunto enim latera F, 17, di i Q q. ia R aequatur 83 , si autem ι R, 3 ; Ru sus i Q - ia R aequetur 83 , & i R fit 17 , α ita est, ut quisque poterit --
periri . Haec autem abs praecitato Auctore tradita, possunt Geometrice ostendi. Si enim recta quaedam per tuaequalia secetur, quadratum unius segmenti, puta minoris, v-na cum rectangulo sub ipsis segmentis , 'aequale est quadrato totius lineae , minus rectangulo sub tota, & segmento maiori. Itaque segmentum minus , crit latus minus, tota linea erit latus maius, de segmentum maius erit coeificiens , quare coeri. ciens erit differentia laterum , ut patet . Hinc autem facile tutelliges squationes contradicentes ordinis quadratici te habere , ut dicebamus; est enim coeticiens disserentia laterum, quorum ductu fit comparationis homogeneum.
Deinde si aequatio fuerit ordinis quadratoquadratici, ut si a q. b soL a aeque
tur E planoplano ; & rursus b sol. e aequetur a planoplano. Sunt quatuor comtinue proportionales a quibus cubi, alterne sumpti disserunt per b solidum; fit vero E planoplanum ductu alterius extremae in differentiam cuborum a reliquis alterne sumptarum, estque a , prima minor inter extremas, & e est quarta. Sint igitur continud proportionales , I, a, , 8, &r Q. q. R, aequabitur
Hsret hic quidem Geometra , cum hae sint aequationes extra limites eius, quam profitetur Artem ; quadratum enim in quadratum si ducatur , fit quantitas imaginaria , a cuius contemplatione prorsus aboret; tamen Arithmeticus haec sua meditatione persequitur; de quod lineis accommodata vidimus , suo modo numeris aptari possunt; ut nil addendum videatur ; solum , hic subi j cimus consideratu dignissima . Enunciatum est s a' q. b a aequetur E plano, & e' - b e aequetur 2 plano. Duo esse latera, quae differunt per b. Attende qusis harum aequationum naturam, Si aq. b, aequetur e , utique differentia laterum a , & e, erit b ob id e - b ςquabitura, at vero si a t b, quod e , supponimus squari, ducatur in a fiet a' t b a , quod aequabitur ei, quod fit ex e - b, m e. nempe e b e ; Si itaque a' t b a aequo tur 2 plano, de e b e aequabitur a plano; nam ut dicebamus a t b , supponitur aequari e , dc e - b qropterea equabatura , tantum igitur proueniet ex ductu irsus a, in a t b, quantum ex ductu ipsius e , in e - b ; sed ductu ex a , in a i b fit
E planum, propterea ductu ex e in e - b proueniet E planum. Hoe itaque modo perspecta fit quadraticarum contradicentium natura, ac earundem constitutiva innotescunt.
Nec Arte dissimili, in squationibus ad hoc genus pertinentibus discurrendum. Vnde
194쪽
vnde eum esset inuatio ae t b solido a zz et pi plano , enunciariam fuit esse quatuor proportionales , a quibus cubi, alternE dii serum per b solidum,&et pi planum sit ductu alietius extreme in disicientiam cuborum a reliquis alternό sumpi
Si f. bpl. ML a aequetur et solidosolido,&rursus es-bplanosolido e , aequetur γ --. 'rix solidosolido . Sunt sex continuE proportionales , a quibus quadrat ubi alto'e s n. sumpti disserunt per b planosolidum . Fit vero E solidosolidum ductu alterius -- -- tremet in disserentiam quadratocuborum a reliquis est e sumptorum , estq;M a
prima minor inter tremase, vero sexta. i
aequabitur a a, fitque I R; 2. . . . a
Quadrin cubi supradictorum terminorum et, a, 4, 8,r6, 3a; si sumantur, herne fiet, a,&at. nempe si ad a, addatur 4; fit 3; cui si addas io, fit *3 ; deinde si in .a, . addatur 8 ; fiet io, huic si addatur 3a; fiet 4a; constat autem et, differretiar , per ar. Deinde a a, fieri ductu alterius extremae in disserentiam quadrato cuborum a reliquis alterne sumptorum &c. Patet; sici uidem si ad a ; addatur 8 , fit Io , huic addito 3a, fit ina, mox autem si ad 4, addas 16; fiet et o , patet autem ro , disserre a a, per 2 2. Ducatur a a, in I, alteram extremarum, & fit a r. Rursus si ad 1, addas , fiet 1, huic si addas 16, fiet 1i, deinde si ad a, addas 8, fiet io, manifestum est , io , a at , disserre per tr. Ducatur hic in a . extremarum alteram , &fiet aa , ut prius. Ad aequationes quod attinet, si 1 R valor est i , I CC valebit et , & ai R , valebunt a i , horum summa est aa, altera aequationis pars . Si i R sit a , I CC valebit O , & ar R, qa, si a tollas a D, remanebit itidem dii &e. . - - Si a b a , aequetur E plano plano, & rursus e' - b e , aequabitur Z plano-
Sunt quatuor continud proportionales , quarum alternE sumptarum disserentia est b , & fit z plano-planum ductu alterius extremae in cubum disserentiae reliqua--δε rum alterne summarum,&dum intelligitur prima minor inter extremas esse a , di L ferentia alternE sumpta trium primarum, e disserentia est trium postremarum. Sunto proportionales continuE I, 2, 4, 8,& 1 Des C, aequabitur γ 6 Hs-ώ. fit 1 R, 3l,& rursus s C, aequabitura is, fitque i R,6. Vel sunto continue proportionales a , ε, 8, 16, & r QQε io C, aequabitur 3 36, & fiet i RI 6,&rurnis i m - 'io C, aequabitur 3436,& fiet io R, i a. Si sint continue proportionales a, a , ε, 8; Sumantur alternE nimirum 1, & q, n iam a deinde a ,&8,&adi, addatur 4, & ad a, addatur 8, sient s, & io, horum diise Arita aris. fetentia est 3, deinde a16 ; fieri ut dictum est dec. patet nam a , dissert ab 8 per 5, ducatur in se cubice, & fit aio , hic ducatur tu i extremum unum; fitque a16. Deinde i, differt a 4, per 3, huius cubus est a , siquidem 3'. est bice ductus facit r. hic vero numerus ducatur in g, extremum alterum, & fit aio, & sic de exemplo altero.
Ad aequationes quod attinet; Si r R, valet 3, utique t m valebit 8 i, & s C ,
valebunt 333, horum summa est aio, altera aequationis paria Deinde si x R, va- Ρι let 6, a QM, valebit 12 6 , & s C , valebunt rogo . si vero a ia97 , auseramusio8o, remanebit iis, pro altera aequationis parte. Haec autem iuuat subi jcere . Sint continuE pr Irtionales d, g, - , MF- . Gessielem erit in F g d----. Siquidem est differentia alterne sumptarum, conti h proportionalium Anai inca At vero si prima sit d, differenti, reliquarum alterne sumptarum est H F g - sv -
195쪽
H. io ψd Φisg'- d g iocis is Mid's' Vniuersam hane pragmatiam habes hic extensam quam magni iacias oportet, huius enim imitatioise omnia Theoremata reperies . Quod si Maiores hanc artificiosam analysin omiserint ; factum id putes, quoniam in primis curabant, ut post ritas eorum ignenia coleret. inuciua admiraretur; inueniendi quidem Artem ignorans.
197쪽
Recte igitur illud; In hujusmodi ςquatione sunt quatuor continue proportionales, quarum alternε sliptarum differentia est bi &st χ noptanu ductu utrius uis extremae in cubum diderentiae reliquarum alternE sumptarum ι Dumque intelligitur prima minor inter bi tremas, est a dimerentia alterni sumpta trium primarum , dc Odifferentia trium postremarum. Diximus autem supra zi 6 mpa attonis homogeneum fieri, &c. quod , ut d claremus , , dissert ab 8 , per 5 idque quoniam in ratione dupla coincidit, cum differentia reliquatam altern) sumptari in ; nam si a , secundus t minus addatur ad 8. vltimum fit io , a quo. si dempseris 4 ,' remanet 6; cuius cubus ducen diis est in i , extremum alterum , c. Q uod Deci qsa resolutio': cerner et . ubi generalem rationem efform ndi comparationis homo.eneum ψbseruauimus .
Hic obseruandum occurrit . nos aliquando in tractionum usi superius redue. tionem ad minores terminos negleuxisse, dc. quidem vitandae obscurit tis causa , T ronibus enim est ma s obuia pragmatia- per i ltilillivionem speEierum, quam per applicationem. Si quis tamen cupiat cadςm elegantiori fosipa tractare, Dc OP rhbitur. Ad paginam quidem 1;8 .
Sit a, primum in serie quatuor continue proportionalium ; secundum esto b ;orit ob id tertium; Si enim b, madratice in se multipli et urs fit b', quo applicato ad a, fit - tertium; deinde u - , in se quadratice multiplicetur , ut quo applicato ad b, secundum, fit hoc autem elidendo b;'fit , & hoe est quartum; sunt igitur quatuor latera continuὰ proportionalia a I b; ; - ἱ- . Ducatur a , primum in se quadratice , di fit a' ; quo ducto in quartum fit productum hoc squatur l, , siquidem elidendo a'; remanet b . Non dissimiliter pagina i i; hoc modo. Si sint quatvir iatera continue proportionalia; cultu a d er=tia mediorum, pias Arais facto ex ira o recta Dis sub meos, vel extremis, o eassim iusserentia medissem, aqua ui es stiri a rectingulo tripis praedim, in die,--m extremor . . Sunt latera commve proportionalia , a ; bi differentia mediorum esth - - , huius cubus est b 3 F 3 -υ- --; at vero reet ingulum sub medijs est - , cuius triplum est 3 - - , quo ducto in b- - ; differentiam mmdiorum laterum, producitur 3 - - 3 quo addito ad cubum iam dictum , fit b - . Hoc idem autem euenit, si multiplicetur rectangulum sub mediis, pera- ueris differentiam extremorum a & prouenit bt Ccterum supposui a, maius esse cxtremum quatuor lateribus Eoportionalibus , proi de b i maius est, dum -'; qua m rem dicti inua' mediorum laterum est b -- quemadRodum differentia extremorum est a Q. Ita pagina 4 6. Digerentia inter prima or tertiam ad isse iam inter secundam , ct quanam in
sexu quatuor conumve proportionali M' , es ut prima adsecundam, araque ario ut secunda ad tertiam, et ι'Iertia ad quartam.
sit prima at secunda b, tertia erit & quarta erit qF- igitur sunt in continua ratione; ut vero discientia inter primam, α tertiam, est - - a ita qnidem differentia inter secundam, & quartam est b. Ostendendum est, ita esse -- a ad b, ut a ad b; Quoniam enim si sint proportionales v a; προ
- b a: & b: erit fadum sub eqrcinis, squale facto sub medijs propterea a ti; aequabitur a b. Afita se hiuet, nam . a b iidem est , quod
At vero a b; idem est quod - at elidendo a , fit f; ut prius; quare proportinnales erunt hae magnitudines, ut a ad b 1 ira a ad b. .Quod nobis crat inuinctum ostendere iInsuper pagina 147. In serae statuor cantisia proporationalium ut es prima ad secundam ,- ita agam garum prima, ct tertia, as aggregatum secunda, o quana.
198쪽
sit prima a, secunda b, tertia erit , & quarta - Θ. Aggregatum ex prima, tertia est a Φ-: aggregarum ex secunda, & quarta est b , - - F. Ut autem est a ad b; &c. ita est a ' ad b , quod multiplicatione comprobatur multiplicatis enim extremis, & medius fiunt, producta aequalia i ducatur a in b- is fit a b 8, hoc est a b H - , ducatur b in a q- iit a b 4ε - - .
Hae igitur ratione in superioribus operationibus fractiones, quas dicebamus, admini os terminos rediguntur ; quod ibi, ut diximus negleximus ob eam quam attulimus causam . Deinceps vero, siquidem Lectorem supponimus in his instru tum, &ab huiusmodi stud ijs paratum , fratctiones ad minimos terminos redegimus , ut in proxime habita pragmatia videre licet, & in sequentibus etiam hoc idem i tueri licebit. Atq; etiam alibi supra ubi reduetio Ad minimos terminos neglecta est, huiusmodi reductionem cuilibet facillimum erit ex praeceptis traditis, perficere.
A DWrte circa Met turis , exempti gratia, ordinis quadrat quadratui . Vt eam diceremui Issa' tb Mido a a1M ur L. Mansplano ; ct rursus e' - b sc e M' Dir et pia oviano; quatuor esse continue proportionaos, a quibus cubi orene sumpti differaui per b solidum , sit vero Lρtinastinum docta alurius extrema in disserenuam e barum a reliquis alier nὸ se raram, es 'e a, prama minor inter extremas , cte es qua se, si quis eius quoque veritatis demanserationem desideret, sic Anal tere se habet. Sint d, g, - , seu continuh proportionales, quarum cubi sunt sum a Maci'; g'; -; - P. Si igitur alterne sumantur; ut d , & ΗΘ item g , & fiet aggregata d' q. & g Φ quorum differentia est τ t Q d JH hoc autem ducto in d, alteram ex extremis, fit d g q. - - - d' - - - , dc hoc erit comparationis homogeneum. At vero cubus primi termini est d , cui addito cubo tertii termini, hoc est, addito Q - fit d q. - deinde cubo secundi termini I hoc est g) addito ad cubum quarti termini, fit - - t g quorum differentia est i g d O , dc hoc est coefficiens solidum, quod ductum in d alteram extremarum , facit H - Φd g d' θ - hoe autem si adsciscat d , facit - - Φ d g -- quod xat comparationis homogeneum, dic. Nee dissimili modo cum altera adhibetur extrema, &e. Recte propterea dicebatur esse quatuor continue proportionales, &c. Hoc itaque mordo, aequationis ad hoc genus pertinentis naturam tum a secutus. Interim aduerte sit nili artificio caetera quidem inquiri, quae de quationibus cuiusq; ordinis traduntur ; atque adeo, quς ab alijs 3 in re de qua agimus explicata sunt, inueniri, nullo labore, possunt. Si es 4 b a , aequetur a solid solido; δc rursus es - b e , aequetur z solido-s
Sunt sex continuE proportionales, quarum alterne sumptarum differentia est b , fitque E solido-solidum ductu utriusvis extremς in quadrat cubum disserentiae reliquarum alterne sumptarum , denique prima intelligitur minor inter extremas , fita differentia alterne sumpta quinque primarum , & e differentia quinque postre
Sunto continuε proportionales 3, 2, 4, 8, 16, 3a, et CC t 2r QC, aequabitur sis 363 a. Fitque i R ii; do rursus a CC at Q C, aequabitur si 3363a, fitque
Si enim ad a, addatur 4, fit s. cui si addatur 16 , fit ii . Deinde si ad a , as datur 8, fit io, cui si addatur 3a, fit a, differt autem a , a a ιν per 21. . At vero It 3363r, fieri ductu utriusvis extremae in quadrato ubum differentiae, Z Patet
199쪽
patet, siquidem, si ad a. addatur g, fit io, cui addito 3a, fit Ar i Deinde ad 4, si
addas io, fiet zo, liquet autem ro, differre a 41, per za . Si vero at , ducatur in se quadratice fit si 3363a, ut perspicuum est; hoc autem ducto in i , extremum unum
Deinde si ad 1, addamus 4, fiet s, huic addito 16, fit ar, si vero ad a, addamus 8, fiet io; Differt autem Io, i at, per Ir , huius quadrat cubus est ictio iqui ductus in ῖa, extremum alterum, producit II 3632 . Caeterum radix est Ii, & 22, nam i , ε, & is, conficiunt a I, at et, de s , es ficiunt Io, quorum differentia ιι ι vel 3a,8 , & a , faciunt qa , at io, & 4, i ciunt ao, quorum differentia ra. Si vero fuerint aeqitationes Inueris; ita ratiocinandum. Si b a - a' aequetur E plano i & rursus e b c aequetur E plano.
Duo sunt quidem latera, ad quae sic se habet magnitudo b; ut haec tanto excessu superetur a maiori latere, ut hic ductus in idem latus faciat E planum , nem comparationis homogeneum; at vero tanto excessu superet latus minus, ut hie du tus in idem latus minus , faciat idem et planum; od primo numeris , mox vero Geometrice tractabimus. Sint 4;6 & 8 it aut i , excessus , quo 8, superat 6 - , ductus in 8 i si elat io - - , & 6 π 3 superat 4 , excessu 2 θ qui ductus in Α, faciat lo 4-, ergo i Q - 6 aequabitur io ἰ-; fitque i R S. Et rursus 6 R - i Q aequabi tur io fitque I R, 4, Latera igitur sunt O , & 8, atque 5 - - , coessiciens se habet, modo iam exsicato. Sint insuper 5; 8 - - , & io; It aut i - , excessus, quo ro , superat 8 ; ductus in io; faciat ty; quantum facit a 'F, excessus, quo 8 P superat 6 ; ductus in s. ergo I Q - 8 R aequabitur 13 , sitque i R, io , di rursus 8 - - R i Q iquabitur as j fitque I R, 6. Insuper sint 8; io ψ, & ra itaui I - excessus, quo ra; superat io ductus in ta; faciat I9 - quantum facit a q- excessus, quo io H, superat 8; ductus in S; ergo i Q - Io H- R aequabitur ι9 τ fitque i R ia ; & rursus to R - i inaequabitur is st, de fit 1 R, 8. Hie autem obserua tres esse quantitates, quod commune est tribus quibuscunque quantitatibus; itaut facta a lateribus in coenicientem constituant planum, quod applicatum, ad laterum aggregatum, coeffcientem restituant.
Caeterum quς paulo antea dicebamus, nullo labore Geometrich Ουndi possunt,
est enim Theorema. si i tres prantitates ratit prima si perante cundam, secundasperet tertiam, vel prima deficiente asecunda, delimia d vir a rertia , disserentia vera inter primam , est secundam ducta in primam, tantum facia/, quamum H merentia inser secunda- ,intertiam, ducta
in tertiam. Gaium maxima, minus rectangulo sus eadem , cse media aquais est rectangulo fata minima, o media, minus quadr-o eiusdem minima.
Quoniam enim si duae sint rectae, quarum maior, quae dicatur prima secta sit per inaequalia , minor , quae dicatur secunda sit squalis maiori ipsius primae segmento aquae sit itidem per inaequalia diuisa a itaut factum sub prima , de minori segmento,cquale sit facto sub segmentis secundae, sequitur intentum . Quadratum enim pri-mς, minus rectangulo sub eadem, & segmentorum viro, puta maiori, idem est , quod rectangulum sub eadem, & segmento reliquo, nempe minori; Et rectangulum sub secunda, quae supponitur ςqualis maiori segmento primς; & segmentorum uno pu' minori, minus quadrato eiusdem minoris segmenti, idem est, quod rectangulum sub ijsdem segmentis . Sed factum sub prima, & segmento minori, ex hyp thesi ς niale est facto sub segmentis secundς; ergo quadratum primς minus rectam gulo sub eadem , & segmento maiori , aequabitur facto sub secunda, & segmeuto minori, minus quadrato minoris. Et hςc de ςquatione quadratica . Si b plano a a squetur E solido , & rursus e -b plano e squetur e solido Sum tres proportionales, quarum quadrata, alterne accepta disserunt per b pi
200쪽
niuini fit vero et solidum ductu alterius extremae in differentiam quadratorum a re
liquis; estque a p prima minor inter extremas , dc quidem tertia.
Sint proportionales i , ni a, ii ergo 3 R - 1 C squabitur a ; fitque a R , i , Rursus a C - 3 R inuabitur et, fitque i ii, a, vel sunt proportionales 2 , 4, 8 ν&
Quadratum enim ex i , est i ; ex et , est in , quorum aggregatum est y , a quo si BQ rei idempseris a ; quadratum ipsius R et , rc manet 3 , cocificiens . Item quadratum eκa est 4; quadratilia ex 8, cst y , quorum sum macilο8; a quo sidςmpseris io, quadran
Deinde ad comparationis homogendum quod attinet. Si t, una e duabus extre--amis, ducatur in a i differentiam quadratorum a R a , I a , quae sunt a , & q, fit a comparationis homogeneum. Item si a i extremarum una ducatur in 8 , differe tiam quadratorum, quae sunt i5, & 64 ; fit 96 , comparationis homogeneum. Non erit abs re hic nonnihil immorari. Et cert E si sint tres proportionales 1, 2, i , & quadrata alterne sumantur diseserunt per 3 , siquidem huadratum ex i, est i cui si addatur 4, quadratum eXMt s, a quo si auferatur et, quadrarum ex se a remanebit 3, de preterea manis sium cst a, fieri ductu alterius extremς , &c. Nam si sumatur pro extremo ι ι dis ferentia quadratorum a reliquis, erit et , qui ductus in a; facit a Si vero sumaturai differentia quadratorum a reliquis , erit i, quς ducta in a; facit a ;De ςquationibus nullus est ambigendi locus ; nam si i R valor est i ; 3 R , Ualebunt 3: & i C valebit i ; Si auferamus i ,13 , remanebit et . numerus consti 'tuens alteram aequationis partem. Pr terea si i R valor sit 1 , 1 C valebit S , dc AR valebunt 5, his ablatis abs 8, remanet idem numerus a . Ad aliud exemplum quod attinet , quadratum ex a est 4, cui si addatur.' , quadratum ex 8 , fiet summa ο8 , a quo si auferamus io, quadratum ex 4, re manebit a. Deinde si a 6 , quadrato ex 8; auferamus is, quadratum ex in , remanebit 48 qui ductus in a a facit 96: Vel si a quadrato ex Α, nempe i6; auferamus 4, qua eratum ex a , remanebit numerus i a ; qui duetus in 8; facit pariter ς6. Ad aequMtiones, quod attinet. Si i R valor est a z celte si R valebunt io ; a quo si aute-
xamus 8; cubum ex eodem a retrianebit 95 ; iaciens alteram aequationis partem . Si vero i R dicatur 8, eius cubus erit si a , sa R, valebunt i5 . Si vero a stramus 436 abs Ira , remanebit 95.
Sunt quinque magnitudines continud proportionales, a quibus quadrat qua drata alterne sumpta differunt per b plan planum: fit vero E plan solidum ductu alterius extremς in digerent tam quadrato quadratorum a reliquis alterne sumptis fitque a , prima, at e, quinta. Vnde si sint continue proportionales I , inae a, minino si Q 'QR8,2.uQ rQCςquab.io,&fiti R i,&i QC-ii Rςquab.io,&fiti l a. Et quidem si quadrat quadrata numerorum illorum continue proportionalium alternε sumantur, differunt per ir; etenim si ad ii quadrat quadratum ex x; ad datur 4, quadrat quadratum ex si Q a 4, fit si cui si addatur I 6, quadrat qua- dratum ex a , fit at . At vero si ad a, qua)rat quadratum ex ' QM a , addatur 8; quadrat quadratum ex At Q Q 8 , ni io ; constat autem io , differre a at per Ir . At vero to , fieri ductu alterius extremi, &c. patet, siquidem si ad a quadrat quadratum ex ina 2; addatur g; scilicet quadrat quadratum ex R , fit summa io, at vero ad 4, numerum, qui est quadrato-quadratum ex ' in
Q , si addatur is, nempe quadrat quadratum ex a , fit a o. Manifestum est autem io, differre a io , per io, hic si ducatur in a , extremum unum , fit io, dcc.
Deinde si ad 1, addamus 4; fit si si vero ad 1, addamus 8, fit Io, differt autem ro ais , per 3 3 hie si ducatur in a ; extremum alterum , producitur idem