장음표시 사용
201쪽
uod multatum quadrato-quadrato radicis, nempe d , remanet d g' Φ rara . Quod erat comparationis homogeneum . H c igitur bωriti, cinis turam. Nec dissimiliter, clim altera adhibetur extremarum. Inaequationibus amphibolis Quadrato ubicis affectis sub latere ut b pl. pl. a a - ti Lino solido. Coeificiens plan planum componitur ex quadrato-quadratis,
: continue proportionalium . &' comparationis homogeneum ni ductu'' '' iee tum quadrato quadratorum a quatuor reliquis , utq;
- ν sol solido. Coessiciens planinsolidum componitur ex quadrato-cubis sex con- Prozoitionalium; & coinparationis homogeneum, sit ductu alterius extremaelii a 3 cgatum qii adrato cuborum a quinque reliquis, fitque radix Vnde sint x, R QC iso, RQ C 8oo, R QC oco, R QC 2 oooo; io. Diccinusi ianua R - i C C aequati aq9, 9ro; fitque i R et, vel ro. 'DIt hie nonnihil immorari, perpendendo quaedam admiratu dignissima . -- Quadratum, unde aequatio quadratica sumit nomenclaturam, exponitur a binario, quamobrem eius constitutio , penes duo latera, attenditur . ' Cubus; vii de eubica dicitur aequatio, exponitur a ternario, quapropter eius comnitutio Denes tria latera, & quidem contii h proportionalia, attenditur. alato quadratum, unde quadrat quadratica aequatio denominatur , aternario exponitum Quamobrem eius constitutio penes quatuor latera , de quidem quadrat M ubica a quinario exponitur , quamobrem eius constitutio penes quinque latera, & quidem continue proporti ''Cubi, cui, indocubo cubica aequatio a senario exponitur, propterea eius comstitutio, penes sex latera, dc quidem continue proportionalia attenditur. Penes igitur tot latera ariendi debet uniuscuiusque ex recensitis aequationibus y eonstitutio, quot sunt unitates, quibus exponens Potestatis constat. Et hoc in pri. Inii, est aniniaduersione dignum . Interim aduerte quam magnia in his mysteriatim,
Cuti digna scitu in xcathematicis tractentur Disciplinis. At vero praetermissis
' -οὐationibόs amphibolis inna planorum snes, atque sumptis iis quaeraclidae sunt, h.e obseruare licet. In aequationibus amphibolis cubicis, affectis sub quadrato, ouemadmodum b a' - a ta et solido. Cociliciens Iongitudo ex tribus proportion libus componitur. Comparationis homogeneum fit ductu alterius extremae in qu dratum compositae a duabus reliquis, fitque radix composita a duabus primis, vel duabus postremis. Vnde s sint α, ε, 8, Dicemus i Q - C aequaria θῖ; fitq; i R6, vel 12. naee subiicienda superiunt. - , o v αSint tres proportionales d; g; harum aggre um est d t g t & hoe est coeffciens. Quadratum compositae, a duabus reliquis g t -- li pro extrema sa-- - maturd , est e l. x l--H. Hi quo praedictam extremam , hi d
202쪽
rai comparationis homogeneum . Hac igitur arte sum assecutus huius aequationis
Nee dissimili modo, tam altera adhibetur extrema. In aequationibus amphibolis Quadrat quadraticis affectis sub cubo, vi b a - 1 ' Σplan plano. Coefficiens longitudo composita est ex quatuor continuh pr portionalibus, comparationis homogeneum fit ductu alterius extremae in cubum compositae a tribus reliquis , fitque radix composita a tribus primis, vel tribus postremis. Vnde si sint a, 4, 8, 36. Dicemus 3 o C --r QN aequari 439o . fitquei R io, vel 28. In aequationibus amphibolis , Quadrat cubicis ut b a' a 2 plano solido. Gessiciens longitudo componitur ex quinque continuh proportionalibus, de Comparationis homogenem; fit ductu alterius extremae in quadrat quadratum compositς ex quatuor reliquis ; fitqne radix composita, ex quatuor primis, vel quatuor postremis. Vnde si sint i, a, , 8, 16. Dicemus 3 i Q Q i Q C ςquari 8ioooo. fitque i R; is, vel 3o; Neque dissimili artificio lice inuenies, ut in pr cedentibus . In squationibus amphibolis Cub cubicis, affectis sub quadrat cubo vi b a' a' ta 1 solido solido. Coinciens longitudo componitur a sex continue propo tumalibus. Comparationis homogeneum fit ductu alterius extremς in quadrat cubicum compositς a reliquis; fitque radia composita ex quinque primis, vel quinque postremis . Vnde si sint i,a,q, 8, a 6, 3 a. Dicemus 63 QC - i CC ςquaris i 6, a 3a , 832. Et sadem ratione, qua sipra hςc assequi licet. Hic obseruandum occurrit, quod omnibus his commune, est & quid inter eadem intersit, nempe discrimen ortum ab affectionum diuersitate, quamuis cadem sit omnino potestas, . Collatis igitur duabus ςquationibus , b pl. a - a' ta et soli do, & b a' - a π χ solido. Commune quidem utrique est, carum constitutione attendi, penes tria latera contrara e proportionalia. Itemque ia utraque ternarium facere ad coessicientis magnitudinis compositionem; In illa enim componitur ex quadratis trium proportionalium , in hac vero ex tribus ipsis lateribus proponi natibus; Propterea differunt, quoniam in illa componitur coessiciens, utpoth planum ex quadratis, in hac, utpote latus ex lateribus: In illa comparationis hom geneum solidum est; fictum ductu alterius extremς in aggregatum quadratorum a duabus reliquis. In hac autem fit ductu alterius extremς in quadratum compinsits a duabus reliquis; In illa quidem atteneditur aggregatum quadratorum a tet, quis duabus, E tribus proportionalibus; quemadmodum cuique notare licet. In hac attenditur quadratum compostq a reliquis illis duabus e tribus proportionalibus . Similia quoque in reliquis suprapositis eouationibus obseruanda sunt, nempe in quadrat quadraticis amphibolis affectis suo latere, qnaternarium fac re ad coelficientis constitutionem, quemadmodum etiam ad constitutionem coe ficientis in ςquatione quadrat quadratica affecta sub cubo, &e. Disterunt veroppnes ea, quς cuique licet adnotare. Vnde superiora deducantur, inquirendum superest..Consideremus igitur aequationem illam b pl. a a ta E solido. Dicebamus au- autem cum Vieta cocisciens planum componi ex quadratis trium proportionalium,& comparationis homogeneum solidum esse factum ex ductu alterius extremae in apgregarum quadratorum a reliquis. Idque deprehenditur hae Arte, Sint proportionales d. g. E ; Sunt autem proportionales, ut patet. Deinde duc itur quilibet terminus in se quadratich, ut fiant a'ig' horum aggregatum est d' se ' q. lis, quo ducto ind, fit d' q. dg q. Qt a quo si dematur d=, cubus ex d,remane it d ς At si ex extremis una puta d , ducatur in aggregatum quadrat rum a reliquis, puta g' H. E fit productum d g'U hoe autem est idem cum di to iam residuo . Vnde satis aperie constat coeffciens planum componi ex quadratis trium pr mortionalium, cuiusmodi est g q. d B At vero comparationis ii mogeneum beri, ut dictam est; patet, etenim d , modo una ex extremis, α g q.
203쪽
est aggregatum quadratorum a reliquis, quo ducto in d , fit d τ .l. Ψ- quan
t iam proteisto remanet, si ex d q. d ς q. auferatur d' , remanet enim d g q. - r. Hac itaque industria cognouimus unde illud enunciatum, ortum ducat quod clarius hunc in modum euinces . Siquidem liberum est extremam accipere , sumamus igitur alteram F. Itaque aggregatum quadratorum , nempe d' l. g' q. et ducatur in F , & proueniet dg H. a quo si subducas ii cubum ex V remanebit d g' Φ P. At vero tantum tit, si ab extrema eadem , ducatur in d' q. g aggregatum quadratorum a reliquis, fit nempe P seu d g' r - . Quae diximus de huiusmodi equatione suo modo caeteris accommodari possunt.
Haec tamen in primis consideranda sunt. Caetcrum persimili modo, cum altera adhibetur extrema, procedendum est, &c. Proximum est, ut Contradicentes perpendamus , quarum primo cum Vieta, comstitutiva persequemur.
Si a' δ b a aequetur et plano, & rursus e' - b e aequetur Z plano. Sunt quidem duo latera, quae differunt per b , cocssicientem ; at vero laetum sub illis, aequale est et plano, fitque radix a , latus minus. & mai . Sunto enim latera F, i , di i Q q. ia R aequatur Ss , fit autem ι R, 3 ; Ru sus i ta R aequetur 83 , & i R fit i 7 , α ita est, ut quisque poterit cxperiri . Haec autem abs praecitato Auctore tradita, possunt Geometrice ostendi. Si enim
rem quaedam per tuaequalia secetur, quadratum unius segmenti, puta minoris, v-na cum rectangulo sub ipsis segmentis, 'aequale est quadrato totius lineae , minus rectangulo sub tota, & segmento maiori. Itaque segmentum minus , crit latus minus, tota linea erit latus maius, & segmentum maius erit coericiens , quare coeci. ciens erit disserentia laterum , ut patet . Hinc autem facile tutelliges squationes contradicentes ordinis quadratici te habere , ut ἰdicebamus, est enim coeticiens di, serentia laterum, quorum ductu fit comparationis homogeneum. Deinde si aequatio fuerit ordinis quadratoquadratici, ut si a b soL a aequetur a planoplano; & rursus e b sol. e aequetur a planoplano. Sunt quatuor comtinue proportionales a quibus cubi, alternξ sumpti disserunt per b solidum, fit vero E planoplanum ductu alterius extremae in differentiam cuborum a reliquis alterne sumptarum , estque a , prima minor inter extremas, & e est quarta. Sint igitur continud proportionales, I, a. 4, 8, & 1 QQ. l. 3 R, aequabitur
Hsret hic quidem Geometra , cum hae sint aequationes extra limites eius, quam profitetur Artem ; quadratum enim in quadratum si ducatur , fit quantitas imaginaria , a cuius contemplatione prorsus aboret; tamen Arithmeticus haec sua meditatione persequitur; de quod lineis accommodata vidimus , suo modo numeris aptari possunt i ut nil addendum videatur ; solum , hic subijcimus consideratu dignissima . Enunciatum est si a q. b a aequetur a plano, & e b e aequetur et plano. Duo esse latera, quae disserunt per b. Attende qu so harum aequationum naturam, Stal b, aequetur e , utique differentia laterum a , & e , erit b ob id e - b squabitura, at vero si a t b, quod e , supponimus squari, ducatur in a fiet a' t b a , quod aequabitur ei, quod fit ex e b, in e . nempe e - b e ; Si itaque a' t b a aequo tur Z Plano, S c b e aequabitur et plano ; nam ut dicebamus a t b , supponitur aequari e , & e - b qropterea squabatur a , tantum igitur proueniet ex ductu lysius a, in a t b, quantum ex ductu ipsius e , in e - b ; sed ductu ex a , in a i b fit
2 planum, propterea ductu ex e in e - b proueniet E planum. Hoc itaque modo perspecta fit quadraticarum contradicentium natura, ac earundem constitutiva innotescunt.
Nee Arte dissimili , in squationibus ad hoc genus pertinentibus discurrendum. Vnde
204쪽
vnde cum esset inuatio ae t b solido a za et pi plano , enunciarum fuit esse quatuor proportionales, a quibus cubi, alternE differunt per b solidum,&z p planum sit ductu alterius extremel in disserentiam cuborum a reliquis alternό sumpto-
Si c. bpl. sol. a aequetur et selidosolido,&rursus es-bplanosolido e , aequetur ρ - - - αχ solidosolido . Sunt sex continue proportionales , a quibus quadrat ubi altesse ε - γ, sumpti disserunt per b planosolidum . Et ver b κ solidosolidum ductu alterius Q - tremet in disserentiam quadratocuborum a reliquis alterne sumptorum , estquq a
prima minor inter tremase, vero sexta.
aequabitur a a, sitque t R; a. . : ta a
Quadrinincubi supradictorum terminorum i , a, 4, 8, is, 3r; si sumantur, alternEfiet, a,&ai. nempe si ad a, addatur 4i fit 3; cui si addas 16, fit *a; deinde ad .a, a. ιων--. addatur 8 ; fiet 1 o, huic si addatur 3 a ; fiet 42; constat autem a, disserre a a i , per a . Deinde eta, fieri ductu alterius extremae in disserentiam quadrato cuborum a re liquis alterne sumptorum &c. Patet i siquidem si ad a ; addatur 8 , fit Io , huic addito 3a, fit a, mox autem si ad 4, addas is; fiet et o , patet autem ro , differre a 41, per 21. Ducatur a 2, in I , alteram extremarum, & fit aa. Rursus si ad 1,addas , fiet s, huic si addas i 6, fiet hi, deinde si ad a, addas 8, fiet Io, manifestum est , io , a za , differre per tr. Ducatur hic in a . extremarum alteram , defiet aa , ut prius. Ad aequationes quod attinet, si r R valor est i , i CC valebit l, & ai R , valebunt at, horum summa est aa, altera aequationis pars . Si 1 R sit a , I CC πι- ρουμ ε μυlebit σε, & ai R, qa, si Aa tollas a 6 , remanebit itidem 1 a &e. - - Si es 4ε b a' γ aequetur et plano plano, & rursus e' - b e , aequabitur Z plan
Sunt quatuor continud proportionales, quarum alternὰ sumptarum differentia est b, & fit E plan planum ductu alterius extremae in cubum differentiae reliqua--λrum alternὰ sumptarum, de dum intelligitur prima minor inter extremas esse a , di Vsii. ferentia alterne sumpta trium primarum, e disserentia est trium postremarum. Sunto proportionales continuE I, 2, 4, 8,& i Q F s C, aequabitur a 16, dc fit i R, 3l, dc rursus i C, aequabitur a i6, fitque i R,6. Vel sunto continuEpto'Ortionales a, q, 8, i 6, & r m 9 ro C, aequabitur 3 16, & fiet i K, 6,&rursiis i to C, aequabitur 3436,& fiet I R, ra. Si sint continue proportionales i, a , 4, 8; Sumantur alterne nimirum 1, & q, sis Am a deinde a , & 8, & ad a, addatur 4, & ad a, addatur 8, sient s,d: io, horum disserentia est 1, deinde ai6 ; fieri ut dictum est dic. patet nam a , differt ab8per 6, ducatur in s cubis e , & fit aio , hic ducatur tu i , extremum unum; fitque a I 6. Deinde i, differt a 4, per 3, huius cubus est a , siquidem 3'. cubice ductus facit , hic vero numerus ducatur in g, extremum alterum, & fit aio, & se de exemplo altero.
Ad aequationes quod attineti Si r R, valet 3, utique i valebit 8 i, & s C ,
valebunt 333, horum summa est a Io, altera aequationis pars Deinde si a R, v selet 6, a QM, valebit ia96, & , C , valebunt lo8o . Si vero a ia97 , austramus ac8o, remanebit iis, pro altera aequationis parte. Haec autem iuuat subiicere . Sint continuh proportionales d, g, -- , Q - . Gessiciens erit 'F g --, d ----. Siquidem est differentia alterne sumptarum, continue proportionalium Anai,nea At vero si prima sit d, differentia reliquarum alterne sumptarum est Q- in I
205쪽
Vniuersam hane pragmatiam habes hic extensam quam magni facias oportet, huius enim imitatione omnia Theoremata reperies . Quod si Maiores hanc artificiosam analysin omiserint ; factum id putes, quoniam in primis curabant, ut posteritas eorum ignenia coleret. inuenta suspiceret, ac admirantur; inueniendi quidem Anem ignorans.
207쪽
Recte igitur illud; In hujusmodi equatione sunt quatuor continue proportionales, quarum alternε sliptarum disserentia ethla;&fit Z noplanu ductu utriusvis extremae in cubum disterentiae reliquarum alterne sumptarum s Dumque intelligitur prima minor inter extremas, est a differentia alternE sumpta trium primarum , & eis differentia trium postremarum. Di Aimus autem supra ri 6 mpa attoni homo. neum fieri, &c. quod , ut d claremus et, differt ab 8 , pei 5 i idque quoniam in ratione dupla coincidit, cum differentia reliquarum alterne sunt piarximi; nati s a , secundus tς minus addatur ad 8 . vltiiuum fit io , a quo si dempseris 4, remanet 6 i cuius cubus ducendus est in i , extremum alterum , c. Quod i Deciosa resolutio': cemer t. ubi generalem rationem efform ndi comparationis. hό- eheum ψbseruauimus .
Verum enim vero . Radices fiunta H enunci uisu . .
Hic obseruandum occurrit , nos aliquando in fractionum usi superius redue. tionem ad minores te minos negle cisse, α. quidem vitandae obscuritAtis causa , I Pronibus enim est magis obuia praseatia per rinil liationem speEierum, quam per applicationem. Si quis tamen curiat eadςm eleginti ori tractare, bc operabitur. Ad paginam quidem 1;8. Sι sin quataρr ou -sremvri τι uis esse . iam a
Sit a , primum in serie quatuor continue proportionalium ; secundum esto b . erit ob id tertium; Si enim b, madratice in se multipsicetur, fit b', quo applicato ad a, fit - - tertium; deinde si in se quadratice multiplicetur quo applicato ad b, secundum, fit hoc autem elidendo b;'fit , & hoe est quartum; sunt igitur quatuor latera continuὰ proportionalia a I b; -- ν - μ. Ducat tir a , primum in se quadratice , & fit a'; quo ducto in quartum fit pr duetum hoc squatur l, , siquidem elidendo a'; remanet b . Non dissimiliter pagina lini; hoc modo.
MAnt quatuor iatera continue proportionalia; Au a digerentia mediorum, pias sobris D ex tripo rem uis sub meos, vel extremis, o e m Hsserentia mediorum, qualis effluis a re ut is tripla praedicto, in disserentiam extremorum . . Sunt latera conuaue proportionalia , a ; b; - Θ disserentia mediorum estb - - , huius cubus est b' - 3 ἀε 3 - -; at vero rectangulum sub medijs est - , cuius triplum est 3 - - , quo ducto in b 'μ-; differentiam mediorum laterum, producitur 3 - - 3 quo addito ad cubum iam dictum , fit b Q - . Hoc idem autem euenit, si multiplicetur rectangulum sub medus, pera , BI differentiam extremorum prouenit b - . . Cςterum supposui mi V a , maius esse cxtremum e quatuor lateribus proportionalibus ; proi de b i maius est, quam -' quam rem differimitis inediorum laterum est b quemad Modum disserentia extremorum est a z .
minerentia inter primam , ct tertiam ad disse tiam inter secundam , ct quartam in
serie qua r ωψι- rvoraionali π, es ut prima adsecundam, asque adeo ut secunda ad tertiam, τι tertia ad cy rtam.
Sit prima a lacn a b, tertia erit -- di quarta erit ulse igitur sunt in continua ratione; ut vero discientia inter primam, & tertiam, est a ita qnidem differentia inter secundam,&quartam est b. 9stendendum est, ita esse -- a ad - b, ut a ad b; QOniam enim si sint proponionales ai - - bi a; & ba erit factuim sub effremis, squale facto suo med ijs propterea a b; aequabitur-- ab . Afita se habet, nam a b ; 4dem est , quod At vero ri b; idem est quod at elidendo a , fit ; ut prius; quare proportinnales erum hae magnitudines, ut a ad b ἔ-ita a ad b. .Quod nobis erat iniunctum ostendere Insuper pagina 147. In serie oriatuor conti e proportito lim', ut es Vim ad secundam , cis. ita am garum prima, ct tertia, as argregatum secundae, quaistae.
208쪽
sit prima a, secunda b, tertia erit , & quarta Aggregatum ex prima, tertia est a ; aggregatum ex secunda, & quarta est b H -. Vt autemb; dcc. ita est a ' ad b-- , quod multiplicatione comprobatur multiplicatis enim extremis, & medijs fiunt, producta aequalia i ducatur a in bsit a b , hoe est a b q. - , ducatur b in a fit a b R .
Hac igitur ratione in superioribus operationibus fractiones, quas dicebamus, ad minimos terminos rediguntur ; quod ibi, ut diximus negleximus ob eam quam ' attulimus causam . Deinceps vero, siquidem Lectorem supponimus in his instru tum, &ab huiusmodi studiis paratum , fratctiones ad minimos terminos redegimus sui in proxime habita pragmatia videre licet, & in sequentibus etiam hoc idem ii tueri licebit. Atq; etiam alibi supra ubi reductio pd minimos terminos neglecta est, huiusniodi reductionem cuilibet facillimum erit ex praeceptis. traditis, perficere.
uir z--; quatuor esse emt τὸ 'oportionales , a qvibus cubi alterne sumpti di ferant per b solidum , sit veri a mnasianum ductu alternis extrem in disseremiam tu barum a reliquis alter ne semptarum, esque a , prima minor inter extremas, ore es qua ta ,s quis eius quoque veri sis demonstrationem desideret, sic Anal ece se habet. Sint d, g, Q , seu Hia continuE proportionales, quarum cubi sunt s. --
erit comparationis homogeneum.
At vero cubus primi termini est d , cui addito cubo terti j termini, hoc est, addito H - fit d φ deinde cubo secundi termini, hoc est g addito ad HFcubum quarti termini, fit - - t g quorum differentia est qἰ- t g d f . ω
hoc est coefficiens solidum, quod ductum in d alteram extremarum , facit Q. d g d' -- di hoc autem si adsciscat d , iacit - --d g quod rat comparationis homogeneum, &c. Nee dissimili modo cum altera adhibetur extrema, &c. Recth propterea dicebatur esse quatuor continue proportionales, &c. Hoc itaque mo: do, aequationis ad hoc genus pertinentis naturam sum a secutus. Interim aduerte simili artificio caetera quidem inquiri, quae de quationibus cuiusq; ordinis traduntur; atque adeo , quq ab alijs 3 in re de qua agimus explicata sunt, inueniri, nullo labore, possunt. Si a b a , aequetur et solid solido; de rursus es - b e , aequetur E solido-s iido. Sunt sex continuε proportionales, quarum alterne sumptarum differentia est b , fitque E solido-solidum ductu utriusvis extremς in ciuadrat cubum differentiae reliquarum alterne sumptarum , denique prima intelligitur minor inter extremas , fit a disserentia alterne sumpta quinque primarum , & e differentia quinque postr
Sunto continuE proportionales r,a, , 8, CCt 2r QC, aequabitur sis 3632. Fitque i R ii; & rursus I CC - 21 QV, aequabitur fitque
Si enim ad i. addatur 4, fit s. cui si addatur I 6, fit a t. Deinde si ad a , assetur 8, fit io, cui si addatur 3 a, sit Aa, differt autem qa , a 21ν Per 21. At vero It 3363a, fieri ductu viri uiuia extremae in quadrat cubum differentiae,
209쪽
patet, siquidem, si ad a. addatur S, fit io , cui addito 3 a , fit 4r; Deinde ad 4, si
addas 16 , fiet 2o, liquet autem ro , differre a 2, per a a . Si vero a a, ducatur in se quadratice fit sis 363a, ut perspicuum est , hoc autem ducto in i , cxtremum unum
Deinde si ad a, addamus ε, fiet 1, huic addito 16, fit ar, si vero ad a, addamus 8 , fiet to ; Differt autem io,i at, per ri, huius quadrato-cubus est i6iori qui duetus in 3a, extremum alterum, producit Ii 3632 . Caeterum radix est ii, & aa , nam i , , & Io, conficiunt a i , at a, & 8, es-ficiunt i o, quorum differentia ιι ι vel 3 a,S , dc a , lachant qa , at io, dc q, Ω ciunt ao, quorum differentia a r. Si vero fuerint aeqsiationes Inuersae; ita ratiocinandum. Si b a - a' aequetur E plano idc rursus e b c aequetur E plano. Duo sunt quidem latera, ad quae sic se habet magnitudo b; ut haec tanto excessu superetur a maiori latere , ut hic ductus in idem latus faciat E planum , nempra comparationis homogeneum; at vero tanto excessis superet latus minus, ut hie du
tus in idem latus minus , faciat idem E planum; primo numeris, mox vero
Sint 4; 6 τ, dc 8 it aut i excessus , quo S, superat 6 - , ductus in 8 i fi elat io & 6 - ; superat φ , excessu 2 - - qui ductus in q, faciat Io ergo i . 6 Q R, aequabitur Io -h; fitque i R 8ι Et rursus 6 R - Q aequabitur 1o , fitque I Ri Α, Latera igitur sunt O , dc 8, atque 5 -, coessiciens se lisbet, modo iam explicato. Sint insuper o I 8-, dc r O; It aut i - , excessus, quo io, superat gra- ; ductus in io; faciat is; quantum facit a , excessus , quo 8 superat 6 ; ductus ins, ergo I Q - 8 e R aequabitur a I, fitque i R, io , de rursus 8 - - R t Q inquabitur as sitque i R, 6. Insuper sint 8; ro ψ, de ra it aut et excessus, quo ra a superat ro h ductus in ia; ficiat I9 quantum facit a excessus, quo ro - , superat 8; ductus in S; ergo I Q - Io θ R aequabitur ι9 e fitque i R ia ; dc rursus io θ R - a inaequanitur is P, dc fit a R, 8. Hie autem obserua tres esse quantitates, quod commune est tribus quibuscunque quantitatibus: itaut iam a lateribus in coenicientem constituant planum, quod applicatum, ad laterum aggregatum, coeilicientem restituant.
Caeterum quς paulo antea dicebamus, nullo labore Geometrich osvndi possunt,
est enim Theorema. Si t tres priora H rante cundam, secunda tertiam, vel prima inficiente Uec riserara ad ciat a tertia , disrentia vera inter priniam , ct secundam ducta in Arimam, tantum facia/, quantum d eremia inser secum , O tertiam, ducta
in tertia . . uadratum maxima, minus rectanguis ses eadem , o media quale es resetangulis sub minima, est media, minus quaismo eiusAm minima.
Quoniam enim si duae sint rectae, quarum maior, quae dicatur prima secta sit per inaequalia , minor , quae dicatur secunda sit squalis maiori ipsius primae segmenta tquae sit itidem per inaequalia diuisa i itaut factum sub prima, de minori segmento, ςquale sit facto sub segmentis secundae, sequitur intentum . Quadratum enim pri-mς , minus rectangulo sub eadem , de segmentorum uno, puta maiori, idem est , quod rectangulum sub eadem, de segmento reliquo, nempe minori: Et rectangulum sub secunda, quae supponitur squalis maiori segmento primς; dc segmentorum unos uri minori, minus quadrato eiusdem minoris segmenti, idem est, quod rectans um sub ijsdem segmentis . Sed factum sub prima, dc segmento minori, ex hyp thesi ςovide est facto sub segmentis secundς i ergo quadratum primς minus recta gulo sub eadem , de segmento maiori, aequabitur facto sub secunda , δι segmeuto minori, minus quadrato minoris. Et hςc de ςquatione quadratica . Si b plano a a isquetur 2 solido , de rursus e b plano e ςquetur Eselido . sum uer proportionales, quarum quadrata, alterne accepta differunt per b pi
210쪽
nium; sit ver5 et solidum ductu alterius extremae in disserentiam quadratorum r liquis: cstque az prima minor inter exiremas, & quidem tertia. Sint proportionales i , ni a , a: ergo 3 R r C ςquabitur a ; fitque i R , i ιRursus 1 C - 3 R luabitur et, fitque i R, a, vel sunt proportionales 2, 4, 8,& .
Quadratum enim ex t , est I; ex et, est , quorum aggregatum est s , a quo si Ee lirare idempseris a; quadratum ipsius vi et , rc manet 3 , cocificiens. Item quadratum exae si in; quadratum ex8, est 6 , quorum sumi a st 68; a quo si dςmpseris i 6, quadrantum ex 4, remanet Ii, coel sciensi &c Deinde ad comparationis homogencum quod attinet. Si i , una E duabus extre ' U. - . esinis, ducatur in adisserentiam quadratorum a se et, & a , quae sunt a , & q, fit comparationis homogencum. Item si a i extremarum una ducatur in 8 , dissere tiam quadratorum, quae fiunt is, & ; fit 96, comparationis homogenem . Non erit abs re hie nonnihil immorari . t Et cert E si sint tres proportionales i , et, a , & quadrata alteriid sumantur disserunt per 3; siquidem quadratum ex i, est ii cui si addatur 4 , quadratum ex a fici s , a quo si austratur et, quadratum ex ibi a i remanebit 3 , di prςterea manis: stum est a , fieri ductu alterius extremς , &c. Nam si sumatur pro extremo a ς dis serentia quadratorum a reliquis, erit a , qui ductus in a; secit α; Si verb sumatur a: differentia quadratorum a reliquta, erit i, quς ducia in a; facit a ;De squationibus nullus est ambigendi locus ; nam si i R valor est i i 3 R , v lebunt 3 i & i C valebit a ; Si auferamus i , a 3 , remanebit et , numerus consti tuens alteram aequationis partem. Prςterea si i R valor sit Σ , 1 C valebit 8 , & 3R valebunt 6, his ablatis abs 8, remanet idem numerus a.
Ad aliud exemplum quod attinet, quadratum ex a est 4 , cui si addatur μω quadratum ex 8 , siet summa ο8 , a quo si auferamus io, quadratum ex Φ, re
manebit a. Deinde si a 6 , quadrato ex 8; auferamis is, quadratum ex in , remanebit 48 qui ductus in a i facit 96: Vel si a quadrato ex 4, nempe 16; auferamus 4, qua dratum ex a , remanebit numerus iat qui ductus in S; facit pariter ς6. Ad aequMtiones, quod attinet. Si i R valor est a z cei te si R valebunt io ; a quo si aufe- ramus 8; cubum ex codem a; remanebit 95 ; faciens alteram aequationis partem . Si vero a R dicatur 8, cius cubus erit Iia , de si R, valebunt i5 . Si vero a seramus 4r6 abs yia; remanebit 95.
Sunt quinque magnitudines continud proportionales, a quibus quadrat quadrata alterne sumpta disserunt per b plano-planum: fit vero E plan solidum ductu alterius extremς in disserentiam quadrato quadratorum a reliquis alterne sumptis fitque a , prima, at e, quinta. Vnde si sint continue proportionales I ' Maea, Num QM,' QR8, a. u. rQCςquab.io,&fiti R, i,dei QC-ii I squab.io,dcfiti l a. Et quidem si quadrato-quadrata numerorum illorum continue proportionalium alterith sumantur, disserunt per Ir ; etenim si ad x; quadrat quadratum ex I; ata datur 4, quadrat quadratum ex Ili Q Q. , fit 1; cui si addatur I6, quadrat quadratum ex a , fit a i. At vero si ad a, quadrat quadratum ex Q a I addatur 8 ; quadrat quadratum ex R Q Q 8 , ni io ; constat autem io , disicrre a 3i per D . At vero ro , fieri duitu alterius extremi, dcc. patet, siquidem si ad a quadrat quadratum ex ' Q. a. a ; addatut 8; scilicet quadrato-quadratum ex R , fit summa io, at vero ad 4, numerum, qui est quadrato quadratum ex R in Q , si addatur 16, nempe quadrat quadratum ex a , fit a o. Manifestum . . est autem io, differte a ro , per io, hic si ducatur in I , extremum unum, fit io, dcc. Deinde si ad 1, addamus ; fit si si vero ad a, addamus 8, fit i o, dissert autem. . io a s , per i ; hic si ducatur in a ; extremum alterum , producitur idem numerus Io . Z a Cael