장음표시 사용
211쪽
Caeterum ex hactenus traditis, constabit aperrE , unde huiusmodi aequationiai ratio proueniat. Interim , & modo iam explicato potest quidem ostendi , vn constet ratio , qua veritates iam traditς fuerint adinventae. Si b a F a aequetur et solido. Et rursus b e' e ςquetur 2 solido. Sunt tres proportionales, quarum alterne sumptarum disterentia est b ; at vero Eselidum fit ductu alterius extremae in quadratum differentiς reliquarum alterne sumptarum. Dum; prima intelligitur, minor inter extremas, a est differentia, alternhniinpia primarum duarum, & e differentia duarum postremarum. Sunto quidem proportionales et, a, 4, utique 3 Q-i C aequatur 4, fit a R, t. Rursus 3 Q - a C aequatur 4, fit i R, a. Vel sento proportionales a. 4, 8. Vtique is Q. F r C ςquabitur 3 a , dc fit i R, a. Rursus 6 Q a C aequabitur 3 a, & fit i R; q. Hae autem squationes numeris explicari nullo negotio potant. Si b ae q. a aequetur E planosolido, & rursus b e' - e aequetur E plano- solido. Sunt quinque continuε proportionales, quarum alternξ sumptarum differentia estis; at E planosolidum fit ductu alterius extremet in quadrat quadratum differentae reliquarum alternε sumptarum ; Atque dum prima intelligatur minor inter extrornas , est a differentia quatuor primarum alterne sumptarum , de e differentia quatuor postremarum.
Et rursus II Q ' i Q C aequabitur toooo fitque i R io. Si proportionales dentur, i, 2, 4, 8, 16, certe alterne sumptorum differentia erit ri; nam si ad i. addatur 4 ; fit 3, cui addito t6i fit at . Deinde ad a , addito 8 ; fit io a Constat autem at differre a ro per ii; Fieri autem roooo, ut dictum est; patet, nam ad a; addito 8; fit Io, & ad Α, addito 16, fit io; perspicuum est horum differentiam esse io, cuius quadrat quadratum est ioooo i quo ducto in I extremum unum fit ioooo . Deinde fi ad i , addatur 4; fit & si ad a addatur g , fit io quorum differentia est 3 , cuius quadrat inquadratum est 6as, quo
ducto in I 6, extremum alterum, fit ioooo. Ut supra autem poterunt ςquationes , ad examen vocari.
Si b planum a t a quetur et planosolido . Et rursus b planum e -e' aequetur Epalnosolido. Sunt sex eontinue proportionales , quarum extremae ductae in differemtiam quartς, de primae faciunt b planum. At vero E planosolidum fit, seu componitur ex cubo differentis quartae, & primae in b planum, plus quadrato eiusdem disserentiae . Vel componitur ex cubo differentiae quintae, & secundae in b planum, minus quadrato illius differentiae, inter quintam, de secundam. Cum autem prima intelli itur minor inter extremas, est a , differentia primae , de quartae, & e fit differentia secundae, de quintae. Sumo proportionales t , a, 4, 8, I 6, 3a, de a 3 t C t r QC aequabitur 9 solo, fitque i ii , 7; Et rursus a 3r C - I C aequabitur 96o o fitque i R , i . Sint sex proportionales numeri iam dicti; differentia primi, de quarti, dum intelligitur primus minor inter extremas, est 7, haec autem differentia , si ducatur in extrem nam summam, sit a 3r; fit vero ρ6o o, ex 3 3 cubo differentiae quarti, & primi , nempe 7, in a 8o, hoc est a 3t, plus 49; quadrato eiusdem differentiae . Vel ex cubo numeri i , qui est differentia secundi, & quinti in 31 , differentiam inter 23 i , αrso quadratum eiusdem a , producitur idem numerus 96 o. si b sol. a' t ae aequetur E planosolido . Et rursus b sol. e' - e' aequetur 3 plano solido. Sunt sex continue proportionales, quarum extremς ductae in quadratum ex differentia primae, de tentae faciunt b solidum. Fit vero χ planosolidum ex b soli do, plus cubo differentis inter tertiam, & primam, in quadratum eiusdem differe tit . Vel fit E planosolidum ex b solido, minus cubo a differentia inter secundam,
ει quartam, in quadratum illius disiere ρ inter secundam, & quartam. Dumque prini intelib
212쪽
Intelligitur minor inter extrems, fit a,tertia minus prima,& e, sit quaria minus seeunda 'Sint proportionales et, a, 4, io , 3a , di 297 Q Φ i QC squabitur tyis 6t nt i R , 3 , &rurius 297 1 Q C aequabitur astio , fitque i R 6 . Hec vero ' -- supradii horum iniitatibne, di declarari. α dcmonstrari poterunt.
Iterum ad inuersas, quod attinet Instiper si b pl. a - aequetur α Blido, dc rursus e' - b pl. e aequetur et sol, ω-μν-. ado. Sunt tres proportionales, quarum quadrata simul iuncta conficiunt b pl. . At vero extremarum summa ducta in mediae quadratum facit χ solidum. Vel extrema 'rum altera ducta in aggregatum quadratorum a duabus reliquis, facit E solidum , fitque a , alterutra extremarum, & e, earundem summa. Vt si stit i , a, , & aiR i C aequabitur zo, fitque a R, I, vel 4. Rursus a C at R aequabitur zo. sitque i R, s . Vel sint proportionales a , ε, 8, & 8 R- i C aequabitur 16o, fi que i R , a, vel 3, dc rursus a C - 84 R quabitur too, fitque i R, io. Si b a at aequetur x solido , de rursus b e' t e aequetur E solido. Sunt tres proportionales, quarum summa est b, at vero composita e duabus primis *ddita compositx, e duabus reliquis, dc hoc aggregatum ductum in uadratum iacit a solidum. Vel altera extremarum dueta in quadratum compositae
duabus reliquis iacit et solidum; de fit a alterutra praedictuum e positarum, ας media inter ipsas extremas.
Sint proportionales i, 2, 4, dc 7 Q - a C aequabitur 36, fitque i R 3, velo, de rursus C aequabitur 36, fitque I R, a. Vel sint proportionales a , , 8, dc i4 Q - a C aequabitur 288; dc fit i R. 61
vel ir, dc rursus rosei C aequabitur a 88; fitque 1 R, 4. Quae prosecto sunt manifesta; Si enim sint et, a, , numeri continuis p orti nates, summa ipsorum est 7; compositus vero numerus E duobus primis, est 3 ; at ex duobus reliquis est 6 ; quorum summa est s. quaeducta in mediae quadratum facit a 6, eodemque pacto discurrendum est suppositis proporticinalia us a, , 8. 'Quandoquidem cum fuerint aequationes a Q- r Cta 288. dc i in t C: et a88. Sunt tres proportionales et, q, 8; horum summa est ra , t vero a 88. fit si s , compositus e duobus primis addatur ia, composito e duobus reliquis, de proueniti 8; hic autem numerus si ducatur in io quadratum medij, prouenit a88 . Vel si salter extremorum numerus ducatur in 36 quadratum copositi a duobus reliquis,fit 1 88. Fit autem in prima aequatione a R valor , alteruter praedictorum compositorum, nimirum 6, compositus ex 2, dcq; vel ia , compositus e duobus reliquis. In altera vero fit i R valor 4, medius proportionalis, dcc. Caeterum haec omnia demonstrari possunt, ad eum quem superius explicuimus o-I. -υ.
modum i supradictorum enim imitatione, dc quae hactenus in medium attulimus, de quae deinceps afferemas ostendi commode possunt.
213쪽
Qua industria Analysta viiijs laborantes
aequationes emendet, oc quo pacto ευμ κ sat.
PRaeparatione curantur aequationes vitiis laborantes , quae cum alioquin in
chanicen respuant, explicabiles fiunt: vel nimirum noua instituta Zetesi , vel Plasmatis, siue etiam Syncri seos repetitis vestigijs . Pluribus autem modis praeparatio contingit, E quibus quilibet ad aequationis propostae , siue re , siue n
mero, felicem explicationem conducit. Primo quidem fit quadam transmutatione per additionem, vel subtractionem. Se eundo per immutationem terminorum, ut qui primus, per metanaorphosin postr mus euadat, & contra. Tertio per iransmutationem quarundam aequationum ilia
alias. Quarto per aequam diuisionem . Quinto per quandam speciem irregularis
descensus. Primus quidem praeparationis modus valet aduerssis squationis vitium; illud Grς-ci, Latini autem nimiam, seu multiplicem asellioneini appellant hic a tem transmutationis modus expuigario per uncias dici consueuit; propterea quod fit per quasdam additas, vel subtractas coefficientis partes, etenim hoc artificio. Potestates affectae sub extremo parodico gradu, quem sostinent coessicientes radici homogeneae regulariter huiusnodi affectione liberantur, salua numerorum symmetria, ut si fiterit a'-a b a ' E plano, aequatio , atqueadeo potestas est affecta,& quidem sub extremo parodico gradu, cuiusmodi est a , quem sustinet b coei ciens radici homogenea , hac autem praeparandi ratione haec aequatio , & caeterae liberantur assect: one, salua numerorum symmctria . Quoniam vero multiplex aequiatio est. pro multiplici potestatum natura ; alia siquidem est quadratica, alia cubica, alia quadrato quadratica , &c. Hoc obseruandum , nempe omnium huiusinodi transmutationum speciem, fieri per determinatas coel ficientis partes; sed ratio partium diuersa, pro aequationum diuersitate , quod etiam in opere plasmatico contingere notauimus. In aequationibus igitur quadraticis, pars adsibenda pro huiusmodi tramsmutatione, est coefficientis dimidium. In cubicis est tertia pars. In quadrato. quadraticis est quarta pars, in quadrat cubicis est quinta pars, in cubo cubicis est sexta parsi It aut denominatio submultiplicis proportionis, nimirum partis ad totum , h beatur ab exponente potestatis praeposita particula sub , ut denominatio rationis multiplicis, ad partem adhibendam , ex ipsomet cxponente desumatur; quare cum quadrati exponens sit a ; propterea in hac pragmatia sumenda est pars, ad quamcoessiciens rationem habet duplam; in cubis rationem habeat triplam , &c. atque adeo pars erit subdupla coel ficientis in quadratis; subtripla in cubis, & ita deinceps , dic. & quia assectiones sub co gradu proficiscuntur a cremento , vel decremento, quo affecta intelligitur radix, de qua primo quaerebatur; Propici ea in aequati nibus quadraticis coericiens magnitudo dupla est dicti crementi , vel decrcuienti,
in cubicis est tripla, & ita deinceps , exempli gratia ; Si sit aequatio P l a b a ' κplano, quoniam aequatio quadratica est, coethciens magnitudo: puta a b, dupla est crementi illius, quo radix intelligitur assecta , etenim a , intelligitur actici crenae to b. Deinde
214쪽
Deinde si sit a q. 3 b a': E solido . Quoniam aequatio cubica est , 3 b c G-
ciens, tripla est illius crementi, quo radix a , intelligitur assecta, &c. Proinde ad Pla sina delendum. Illud enim plasnaticum esse neminem latet ; contraria via sunt partes coincientis conditionariae, quas uncias appellant , contraria inquam via sunt acci pientiae hiatiusmodi conditionariae unciae coel ficientium radici homogenearum . Prinpterea in quadratis oportet sumere dimidium , in cubis trientem, dee. & huiusmodi conditionarijs uncijs conditionariae autem sunt, pro potestatis , atque adeo a
quationis conditione I assicitur radix ; atque hunc in modum fit de qua loquimur trasmutatio ι unde in Qiadratis radix est affecta codilicientis semisse, in Cubis ,
Si potestas assecta fuerit, assmute, ut a potestas assecta sit adiunctione homogenei sub a b, cocticiente longitudine, de a parodico extremo gradu , cuiusmodi est a' ' a b a za et plano. Cum itaque sit aequatio affirmata: radix assicitur affirmatE a comditionarijs unciis ipsius a b, cociscientis, & radix sic affecta statuatur e ; atque adeo e , minus conditionarijs unciis iptius cociscientis , aequabitur a ; Se sub hac noua sp cie primo aequatio proposita diriget in , ac ordinabitur noua, quod exemplo rem iblustrabimus.1i a' Φ a b a aequetur E plano. Haec aequalitas plasmatica dicenda est , cum in otiline climacticarum magnitudinum latus proxime quadrato succedat, & hic prinponitur, quadratum allaetum sub latere, cumque astectio sit per assirmationem ,
propterea fuit plasma per additionem semissis coetscientis sub latere ; quamobrem ad plasma delendum, fieri debet expurgatio per semissem ipsius coeffcientis, &ut Graeci dicunt, per Propterea a b, radix nempe adaucta nota magnitudine b i quae dimidium est
coeficientis ab; dicature; ergo e - b, aequabitur a , cum autem aequatio plasmat
ca suerit proposita a' t a b a aequale a plano; ob id quadratum abs e - b, plus plano sub b bis in e - b, squabitur et plano, factaque de e , ordinatione se
cundum Artem, reperiemuse' - b aequari E plano ; ac demum per antithesin e' in
quabitur et plano i b', & ita aequatio primo proposita exuta est actistione sub g
Si vero innotescat ei nequit a; ignorari. Sit unius a, valor ; & b; Io; E planum vero sit ias, utique a s b ; valebit Is; de ita e , valebit Is, si vero ab e , auferatur b, nempe de is , subtrahatur Io , r manebit I nimirum a , at vero quadratum abs e b, hoc est a serit a s , huic si
addatur planum factum sub et b in e b hoc est sub ao , & s , quod est roo , fiet summa Ias, aequalis alteri ςquationis parti . Si sit squatio a ' 3 b a'-d plano a'κ solido . Cum in ordine magnitia,
num climacticarum proxiis cubo succedat quadratum. Hςc aequalitas. in qua cubus assicitur sub quadrato Plasmatica erit , & aliunde eL ficta i quoniam est affectio assimata iob id Plasma suit per additionem a cumque sit aequatio cubica , fuit per additionem trientis 3 b, coericientis, prout cubi conditio requirit. Itaque ad tollendum Plasma, fiat expurpatio diatri temorion. hoc est per tertiam parim ; atque adeo a b; esto es proinde e b erit a, de ob id c bus abs e b, nimirum e a b e l. a b e b' plus solido abs 3 b in qu dratum ex e ta b plus solido abs d pl. in e b , aequabitur E solido, de ordinata squatione, e -ὸ pi. - aequabitur Z lido d pl. b a b . Et haec noua aequatio pura est, ab at sectione illa sub quadrato , qua primum
aequatio proposita. obruebatur. e Secundo a potestas assiciatur multa homogenei sub a b c Aciente, de a extremo parodico gradu, cum affectio sit negata utique a , assicietur negate a conditionariis ab , coeficientis mcijs, Scita statuetur e , atque adeo e plus illis conditionarijs unciis
ipsius a b coeficientis aequabitu a, dc ita ςquatio illa primum proposita, sub hac noua specie dirigetur, de ordinabitur noua, quς quidem eueniet prorsus immunis ab illa assectione sub extremo gradu.Proponatur a - a b a squari a plano. Quoniam aequatio est huiusmodi, ut quadratum
215쪽
dratum inciatur sub latere , & latus quadrato proxime succedat, aequatio plasmatica est aliundeue effecta ; cum vero sit assectio negata , fuit plasma ser subtracti η , di quoniam squatio est quadratica, erit ob id plasma per subtractionem se
messis coericientis, iuxta conditionem quadrati, quae est potestas rationis duplica-tς. Itaque a - b, statuetur e , ergo e q. b erit at atque adeo quadratum abs e tb aequabitur E plano, at vero si a quadrato ex e q. b, subtrahatur planum illud ab e 4 a b remanebit C b' proinde e' b' aequabitur E plano , di per mullic sin e' aequabitur E plano b . Proponatur a - 3 b a aequari et solido. AEquatio plasmatica erit per subtracti nem trientis coeficientis , ad tollendum itaque plasma fiat expurgatio per diatri te-mOrion, seu per trientem, & a b statuatur e, & aequatio de ipsa e ordinabitur, si itaque a - b statuatur e , ob id e q. b erit a , atque adro cubus ab e H b minus solido abs 3 b, in quadratum ex e b aequabitur E solido a itaque e - 3 b' e a b' ςquabitur Z solido, & per antiti iesin e a b e aequabitur x solido H α h . Proponatur homogeneum sub a b coeficiente ,& a extremo gradu assici multa a potestatis cum itaque potestas negetur de homogeneo a flectionis, & potius assiciat, quam asciatur unci ς conditionaris ipsius b coenicientis multabuntur a potestate,& statuetur esse e; atque adeo unciae ipsius b coeffcientis, minus radice e aequabit tur a , sub hac vero noua specie aequatio prima proposita dirisetur, di nona ordinabitur, quae quidem prorsus immunis erit ab illa affectione iub extremo gradu.Proponitur a b a - a' aequari Z plano, haec aequatio plasnorica est, fuitque plasma per subtractionem radicisi, a limi se cocilicientis . Statuatur b a esse e , ergob - e crit a, proinde quadratum abs b e , nimirum e a b e q. b' si aufer tur ab illo plano , quod continetur sub b e , & a b remanebit b S, de hoc residuum aequabitur κ plano, & per antithesin fiet e b E plano , immunis ab assectione , &c. Numeris autem haec onuita possunt illustrari; ex hactenus vero di in facile constabit quomodo in caeteris aequationibus procedendum sit.
remedium es aduersus aequatianum πουπαλαν
iis, in Arie, ut nihil maioris momenti reperire liceat. Si a' Φ a b a aequetur Z plano. Supponatur a Φ b, esse e. Dico e aequari E plano Φ b . Quandoquidem; Si recta linea bifariam secetur, eidemque addatur quaedam in directum , quadratum autem adiunctae, plus rectangulo sub adiuncta , & diuisa, sequale sit plano. Quadratum aggregati ex dimidio diuisae, & ex adiuncta, aequat erit eidem plano, plus quadrato dimidij iam dicti. Ad huius autem veritatis indagationem sic procedit Analysta. Sit a 4 b aequetur e , ergo e - b aequabitura . Quoniam autem potestas in aequatione quadratum erat, & ex e b quadratum ortum este' ab eq.b'; hoc pro terea, illius loco substituatur ; cumque aequatio foret assecta adiunctione plani sub latere, dataque coeficiente longitudine, etenim ab at assiciebata' per assinnationem; proinde intelligatur ab , ductum in e - b, cui aequi pollet a , & proueniet a b e- a b', quo addito, ad nouam potestatem a b e Φ b'; proueniet e - ου'
216쪽
con parandum cum eodem et pl. , quod erat comparationis homogeneum, unde erit x iliatio e b'T: E plano,& pzr antithesin fit e Z plano P. Quamobreaequatio illa acti ate affecta in simplicera, ac puram reducta es quod opus dicitur in m.
Itaque R Cplano Hrb' - b; aequabitur a , de qua primo quarebatur. Sit i Q-8 R aequale 48 , di p. 6 - boc est aequabitur i R. Si enim aequatio fuerit ι F 8 R T. 48 , sumatur is quadratum dimidio coeruientis sublatera lis illudque addatur ad 48, comparationis homogeneum, asegregati autem latus, puta 8, multatum codem dimidio exhibet , pro radice ςqu tumis propositet purs enim aequalionis radix est 8, quae multari debet, ut dictum, ut prςdeat radix aequationis assectae initio propositae. . . Si sit aequatio a' - a b a ta et plano. Supponatur a - b esse, e . Dico e , inquari et plano A. b . Quandoquidem si recta quaedam diuisa sit bifariam , eique in directum alia iis adiecta, quadratum autem totius, minus rectangulo sub aggregato ex adiecta, de diuisa, &lub ipsa diuisa aequale sit plano. Quadratum differentis inter adiectam, & dumidiam, aequale erit eidem fano, plus quadrato dimidiae iam dictae. Ad huius veritatis indagationem sic procedit Analysta. Si a b supponature, e b aequabitur a . Quoniam autem potestas quadratum est , & ex e Bb qu dratum ortum est e Σ b c aB b', illius loco , hoc substituatur ; Cumque potestas a ceretur nega tue erat autem aequatio a' - a b a 2 et E plano proinu intelligatur ductum e b, quod squipollet a intelligatur inquam ductum in a b, &proueniet a b c ab', quo addito, ad e' - a b e b , di proueniet e b ta E plano, de per antithesin e' ' a plano νεε b' aequatio igitur neg te affectata puram, ac simplicem redum est. Conspectus Demonstrationis.
Itaque R E pl.-b -b aequabitur a , de qua primo quirebatur sit i Q - 8 R aequale 48,α ' 6 - , hoc est ra aequabitur x R. Si cnim aequatio fuerit 1 in 8 R zz 48. Sumatur a 6, quadratum ex ε, dimi- --φ a.dio coelficientis sublateralis illudque addatur ad 48, aggregati autem latus, adauc- r tum praedicto dimidio exhibet i a pro radice motionis proposits , Pusς enim ae ----aia quationes radix est 8, quς augeri debet, ut dictum est, ut prodeat radix aequatio-nis affectae initio propositae. I Si a b a - a' aequetur a pl. Supponatur autem b - e, vel b t e, eae a. A, Dieci
217쪽
Dico e , Mirari P - 2 plano.Quandoquidem ι Si reesta linea laeta sit bifariam , & non bifariam , rectangulum autem sub tota, & parte alter tra maus mira stato ei isdem. aequale sit plano. Quadratum intermedis sectionis, aequabitur quadrato dimidiu, minus plano iania dicio. Ad huius veritatis indagationem sic procedit Analysta. Si b - a aquetur ei utique b - e aequabitur a. Quoniam potestas de homogeneo negatur; potet las vero est quadratum. Quadratum autem ortum ex b e est b ab est b', proinde hoc loco illius substi tuatur. Intelligatur autem b - e ductum in a b. & proueniet a b a b e ; cumque de homogeneo negetur potestas ex a b a b e subtrahatur , - a b e Ρe', & remanebit b e' ' E plano, & per antithesin erit e H. E plano.b', α
Vel si a b ςquetur e utique b F e squabitur a. Quoniam potestas est quadratum, & quadratum ortum ex b e est , Φ a b ee' proinde hoc illius loco substituatur. Cum autem homogeneum de quo negatur potestas esset a b a; propterea in a b. Intelligatur ductum b Φ e, quod aequi pollet a, & proueniet a b q. a b e, ex quo subtracto b - a b e H e', & remanebit b e', quod aequabitur E plano . Et per antithesin fiet e' ἀ- E plano b', α rursus e' ta b E plano. AEquatio igitur composita ad simplicem reuocata est; cumque anphibola sit duplicem habet radicem. In priori quidem reductione; siquidem b - e aequabatur a ex b subducto e , cognito reductione; proueniet radix una. Et quoniam in secunda reductione b t e aequabatur a ; propterea ipsi b addito, e reductione cognito; proueniet radix altera eiusdem aequationis. Conspectus Demonstrationis,
Vel 8 t ' is, hoe est 8 Φ4 hoe est ia aequabitur a R.
iniis simpliciter lecto umsub putat riuo ad culus simpliciter assectu sub
i titere. Si a t 3 a', E solido. Supponatur a t b, esse e. ι- - Dico e - 3 b' e, aequari E solido ab . Quandoquidem; Si recta linea diuisa sit trifariam, eidemque adiecta sit alia ρος- α Cubus vero ex adiecta , plus solido sub quadrato adiectae, de sub recta diuisa, aequale sit solido . Cubus aggregati ex ad tecta ; & triente , minus solido ι--. sub triplo quadrato eiusdem trientis, & sub aggregato iam dicto, aequale crit
218쪽
tammemorato solido, minus duplo cubo trientis' iam dicti. Ad huius veritatis indagationem sic procedit Analysta. Quandoquidem a t b supponitur aequari e; ergo e b aequabitur a. Ouoniam in autem potereas erat cubus , & ex e b ortus cubus est e et b e et b e b Orminde hoc in noua aequatione, illius loco sustituatur. Cum ex iis ita μ ν me'
ariuatio igitur illa proposita ad simpliciorem reducta est. Conbctus Demonstrationis. a' 3 b ae aquain a filiis
, Ct ira aequatur 168,&i R est is o C - 48 Raequatur 7 o, fitque ill a SSi a a b a', aequetur E selido. Supponatur a - b esse e Dico e 3 b' e, aequari et selido ' a b . Quandoquidem. Si recta quadam sit linea, ac eius pars se uiseriam diuisa ἰ ei, bus autem ipsius lineς , minus selido comprehense sub quadrato eiusdem, & sub trifariam diuisa parte , cuidam selido fuerit aequalis o cubus disserentiς inter memtem, & latus cubi iam dicti, minus selido sub triplo quadrato trientis, &-mmium disterentia, aequabitur eidem sorido plus duplo cubo trientis ad huius veritatis indagationem sie procedit Analysta. 'Quandoquidem a b supponitur e ; ergo e t b aequabitur a. Quoniam autem potestas erat cubus . Cubus autem ortus ex e t b , est e t a b e 1 bil
ε 3be'lab et b ,& remanebit e - 3 b' e - a b , quod aequabitur et sol, do; per antithesin vero e - 3, eaequabitura lalido i a b . I tiatio igitur illa pro. posita, ad simpliciorem naturam reducta est. - . rConspectus Demonstrationis.
219쪽
Dico a b e - e' aequari E solido x b . Vel supponatur b a esse e Dieci 1 b e e equari 2 b' - Z lalido. e. Quandoquidem ; Si recta linea diuisa sit trifariam: & in ea Dara malo triente, sub cuius quadrato , & linea ipsa trifariam diuisa solidum cor:
neam quo demptus sit cubus acceptae partisi residuum autem sit 1
aequale; etiam solidum contentum sub triplo quadrato trientis, &pars assumpta trientem superat , minus cubo eiusdem differentiae, erit aequale solido iam dicio minus duplo cubia trien i . - si Et si fuerit recta trifariam diuisa , in eaque assumpta sit pars minor ν' cuius quadrato , & sub trifariam diuisa contentum sit lolidum i ex quo mcubus reae partis, residuum aequale sit solido i etiam solidum compreheem
ul, ii iplo zia o tricntis , & sub'differentia , qua triens superat
piam, minus cubo huius istidi disset ciniae , erit aequale duplo cubo trientis , minus praedirio solido nia Ad huius veritatis indagationem sic procedit Analytra . . . Qitandoquidem a b supponiturςquarie, proinde et b aequabitur a .
diuta potestas erat cubus , & cuinis ortus ex et i, est e q. a b e q. 3 b e Φpropterea hoc eius loco substituatur. Quoniam vero solidum iri ultatur e at solidum sub latere a b , & quadrato radicis ; proinde e t a b e t b nempinuadratum ex e t b ducatur in 3 b; proueniet enim 3 b e' q. 6 b e q. 3 D , quo subtrahi debet C Φ 3 b e' ε 3 b' e q. b', & remanebit a b e e t a b ,
quod aequabitur et solido ; per antithesin vero 3 b' e - e aequabitur Esolido a b . Proposita igitur aequatio, ad simpliciorem naturam redacta est. Secundo. Quoniam b - a supponiture; ergo b e aequabitur a ; quoniam a tem potestas erat cubus , at vero cubus ortus ex b - e est, ab et 3 e ; proinde hoc eius loco substituatur; solidum autem erat multatum cubo , de erat solidum sub latere 3 b, & sub quadrato radicisi proinde b a b e t e De Quadratum radicis ducatur in 3b; proueniet enim 3 b 6 b' e t 3 ue , ex-zo subtrahi debet b 3 b' e t a b e e , factaque subtractione; remanet a b b' e t C, quod aequabitur et solido, & per antitheun repetitam, a b e - π Pquabitur a b a solido . Conspectus demonstrationis. a b a' a
Reductis curarum assectoritan tam sub c Mirato, quam sub re , ad cutis simpliciter lectu sublatere. Si es a b c t d plano a aequetur et solido; sitque a t b e . Dico
220쪽
Dico e 'plano e 3 b' e aequari 2 solido i plano b - a b . Quandoquidem. Si recta linea diuisa sit trifariam, eique adiecta sit recta quaepiam; cubus autem ex adiecta, plus solido sub quadrato adiectae , di ea, quae trifariam initio diuisa est, plus sol. sub quodam plano, & sub adiecta squalis sit cuidam sol.
elibus etiam aggregati ex adiecta, de triente, plus solido, sub disserentia inter planum dictum, & triplum quadratum trientis, & sub eo quod diximus aggregato, ςqualis erit eudem soluto plus differentia,quς est inter solidum sub eodem pL, α triente, di duplum cu-humeiusdem trientis'. Hoc Theorema verum est,cum interfuerint conditiones positae in prima sequenti obseritatione, dc suo modo pro alijs alia Theoremata condi possunt. Ad cuius veritatis indagationem se procedit Analysia. Si a b aequetur e; ergo e - b aequabitur a. Quoniam autem potestas in squatione cubus erat, de ex e - b cubus ortus est e - 3 b e t 3 b' e b'; propterea hoc loco illius substituatur, de quoniam potestas erat affecta assi alluc tam subquadrato, quam latere, 3 b a' t d plano a assiciebat enim a . Intelligatur proinde 3 b ductum in e' - a b c t b , quod aequipollet a , di proueniet a b e - 6 b' et a b , quo addito,ob aiscctionem aifirmatam, ad e - 3 b e' 13 b' e -- b , & proueniet e b e t a b'. Intelligatur deinde ductum d pi in e b,oc proueniet d pl.e d pl.b, quo addito ad e e t a b', de proueniet e t d pi 3 o' e t ab'- d pia b; quod qu bitur a solido, & per antraesin e t Spi. b e squabitur a solido id plano b ab . Cubus igitur affectus tam sub quadrato , quam latere , ad cubum simpliciter assectum reductus est; atque adeo aequatio in qua cubus erat affectus , ut dictum est ad simpliciorem est redacta Conspectus Demonstrationis.
a C . 36 R aquatitur 3 aq8, Atque I R i q. Vbi obserua in primitiua aequatione planum sublater1le malu esse triplo quadrato trientis coecteientis longitudinis subquadraticς . Et aggregatum, ex comparationis homogeneo, de solido facto a triente coessicientis longitudinis subquaci licς, in planum sublaterale maius ese duplo cubo eiusdem trientis.1 C-27 13o R a inur 376, ct i Res a. t C - ita R apiabitur 88 AtqM 1 R, 13. Vbi obserua In primitiua aequatione planus sublaterale minus esse mplo quadrato trientis longitudinis subquadratὰς; & aggregatum ex comparationis homo neo, de selido a facto a triente coericientis longitudinis sub quadraticae in planum sublaterale maius esse duplo cubo eiusdem trientis. I C-27 Iao R aequetur 336, 9 est a. 1, 3R i C aequalitur et a fitq*ς R 3 . . , Vbi obserua in primitiua aequatione triplum quadratum trientis messicientis Io gitudinis subquadratici, maius esse plano coeficiente sublaterale; & aggregatum ex comparationis homogeneo, de solido facto a triente coeficientis longitudinis fui, quadraticet, in coeticiens planum sublaterale minus este duplo cubo eiusdem trientis.