장음표시 사용
221쪽
Si a -μ 3 b N d pl. a aequetur 2 sol. At vero a Φ b supponatur IDico e - 3 b dpl. e aequari 2 sol. - a by d pl. b. Quonia.Si recta linea diuisa in trifariam,& alia quspiam accepta sit,sub cuiusquid 'to, & sub ipsa diuisa factum sit solidum, illisue additus sit cubus acceptae lineae , ex aggregato autem subtractuna sit solidum aliud contentum sub quodam plano . acceptaque linea , residuum vero cuidam solido sit aequale . Etiam cubus aggre gati ex accepta, & triente ipsius diuist, minus solido sub disserentia inter triplum quadratum trientis, & planum iam dictum, & sub aggregato, ex accepta, & trien te, aequalis erit eidem solido, minus duplo cubo trientis , minus solido sub iam dicto plano, & eodem triente . Hoc Theorema verum est cum intercesserit conditio, in prima sequenti obseruati ne habita . Et suo modo pro alia Theorema condi potest. Ad cuius veritatis indagationem sie procedit Analyta. . Quoniam a Φ b supponitture; ergo e b aequabitur a . Cum autem potestas esset cubus, & cubus ortus ex e b est e a b E-3 , e b i proinde hoc loco ipsius a sustituatur. Cum autem homogeneum unum esset 3 b a', proinde ducatur 3 b in e a b e b'; & proueniet a b e' 6 b' e 3 9 3 b', quod est addendum cubo iam sustituto , dc proueniet e 3 b' e H a , ex quo inrtet subducere d pl. e - d pl. b; productum scilicet ex d pl. in e b , erat enim in aequatione subductum homogeneum d pl. a, & proueniet e 3 b' e ab - d pl. e F d pl. b, quod aequabitur et solido, & per antithesin proueniet aequatio e' - 3 b' e- d pl. e zz E sol a b d pl. b. Conspectus Demonstrationis. F 3 b a' - ἀμ. a aquarur et sol o.
robstrua in primitiua aequatione comparationis homogeneum, maius esse a gregato ex duplo cubo trientis e ricientis longitudinis subquadraticae, & solido eodem triente in planum sublaterale. a C q. II aq R aequatis et o8, est α I R, q. 99 R I C aequabitur i6a, Asire a R, 9.. Vbi obserua an primitiua aequatione comparationis homogeneum, minus esse s Idorum aggregato, quorum unum est duplus cubus a triente coeficientis longitudinis subquadraticae. Aliud est factum ab eodem triente in planum coeficiens sublaterale. Hic aduerte, cum sumitur triens coeffcientis longitudinis subquadraticae ab eo non esse subtrahendum planum sublaterale , ut habeatur coeffciens planum sublaterale pro noua Uuatione, sed potius additionem fieri debere, unde caue ne decipiatis. 3 b a' Α- d pl. a equetur χ solido . Supponatur autem a b esse e . Dico e 3 b q. up . e aequari et sol b d pl. b.
Randoquidem si recta quaedam diuisa sit trifariam ; sitque alia quaedam acce ta sub cuius quadrato, & sub trifariam diuisa factum fit solidum , cui detractum sit aliud sub plano quodam, & sub iam accepta linea , differentia autem subducta sit
222쪽
se eubo accepis lineae; residuum autem squale sit .sdo. Etiam eubus dis rentiς inter trientem, di lineam acceptam, minus solido, sub triplo quadrato trie tis, de eadem disserentia plus solido sub plano iam diisto in rectam, quae quidem, differentia inter acceptam lineam, & eundem trientem, aequabitur sol clo praedicto, plus duplo cubo trientis , minus solido sub commemorato plano , dc
Theorema verum est iuxta ea, quae habentur in prima sequenti obseruatione. Ad huius veritatis indagationem sie procedit Anabsia . Quoniam igitur a -b, supponitur aequarie, propterea e b, aequabitura. Quoniam autem potestas in aequatione cubus erat, & ex e Φ b. Cubus ortus est
VIS : loco illius substituatur, & quoniam
potelias affecta erat negati vh sub quadrato; assirmative sub latere nempe b c φ d plano e , assiciebat enim e hoc est 3 b e' q. d plano e negabatur de e . Proi de intelligatur 3bductum ine labet, ,&proueniet et be isti et a b Hoc a
IC-3ocis33o Raequeturr 7 ,s Idris .i C ε 3o Iraqua a s: --IR S. f . 7oRquetura est a ro . a C - Ram Dur; roo fit e I R I. x 6o R-3a es a R 8 . is R IC aqualitari 8; sitque I It 3. Obserua in primitiua aequatione primi exempli, triplum quadratum trientis lon- ω gitudinis subquadraticς minus esse coeficiente plano sublaterale. Aggregatum vero ex comparationis homogeneo, & duplo cubo trientis, maius este solido , a plano sublaterale in trientem coericientis longitudinis subquadraticae. In primitiua aequatione secundi exempli, triplum quadratum trientis longitudi- ω - nis subquadraticae maius esse coesciente plano sublaterati . Aggregatum vero ex comparationis homogeneo, & duplo cubo trientis maius ese solido a coefficiente plano sublaterale in trientem coeficientis subquadraticae. In primitiua ςquatione tertij exempli triplum quadratum trientis coeficientis IotPgitudinis subquadraticae maius esse plano e Giente sublaterati . At vero aggregatum ex comparationis homogeneo, & duplo cubo trientis, minus esse sol, coa c inciente plano sublateres in trientem coecteientis longitudinis subquadratico Vel si supponatur b - a squari e; ergo b e squabitur a i Cubus autem ex b D - εν - e est b a b' e q. 3 b e' - e , hoc istitur subrogetur Ioco ipsius a , cui ad
223쪽
roo C. RENAI D. ALGEBRA NOVA .
iC - 3o eq. aio e quatur 396 s i R 6. 9o R a Ct aratin is et paei R q. 1c 276R iratur 688 est ι R4. I C et R aequabitur 72sitque I R6. Obserua in primitiua aequatione primi exempli triplum quadratum coesticientis lonoitudinis subquadraticς minus .esse coefficiente plano sublateralea. At vero asegregatum ex comparationis homogeneo, de duplo cubo eiusdem trientis, minus e te soli.lo ab eodem coerficiente plano iublaterale in trientem praedictum coeliicientis longitudinis subquadraticς. Obserua in primitiua Uuatione secundi exempli triplum quadratum trientis maius esse coeficiente plano sublaterale . At aggregatum ex comparationis homogeneo,& duplo cubo trientis, maius esse solido ab eodem triente in coelficiens planum sublaterale. Obserua in primitiva tertij exempli: triplum quadratum trientis mellicientis io gitudinis subquadraticς maius esse coetsciente plano sublaterale . At aggregatum ex comparationis homogeneo, & duplo cubo trientis iam dicti minus esse solido ab eodem triente in coefficiens planum sublaterale. Si fuerit a a b a' - d pl. a Z solido. Supponatur autem a b esse e .
Dico e d pl. c aequari a sol. l. a b' t d pl. b . Supposito quod ab ςquet e. Quandoquidem. Si recta quaedam diuisa sit trifariam , acceptaque sit quaedam alia recta, sub cuius quadrato factum sit solidum , itemque aliud nat solidum sub quodam plano, & sub recta accepta, utrumque vero subtrahatur ex acceptae cubo, residuum vero squale sit cuidam solido. Etiam cubus ex differentia inter trientem diuisae, & acceptam lineam minus solido sub aggregato ex triplo quadrato trientis, & plano iam dicto , & sub discrentia inter acceptam, & trientem squa
lis est prsdicto solido, plus duplo cubo trientis, plus solido sub plano iam dicto , &
Ad cuius veritatis indagationem sic procedit Analysta. Si a b aequetur e , ergo b - e aequabitur a. Quoniam autem potestas in m quatione cit cubus. Cubus autem ortus ex b - e est , 3 b' c, a b e t e . Hue itaque substituatur loco ipsius a . Quoniam vero homogeneum unum erat
a b a propterea ducatur a b in b' t a b e 1 e', quadratum scilicet ex b t e, de proueniet a b 6 b' e q. 3 b c', & quia aliud homogeneum erat d pl. a propterea ducatur b t e in d pl. , & proueniet d pl. b t d pl. e . Subtrahatui autem a b t o b e q. 3 b e', ex b) q. 3 b' e t 3 b e' Φ e . de remanebit e 3 b' e a b ex quo subtrahatur d pl. b d pl. e, & remanebit e 3 b' e a b d pl. b- d pl. e, quod aequabitur Z sol. , &per reiteratam antithesia fiet e a b deha sol. q. a bl q. d pl. b. Conspectus Demonstrationis.
et 3be' aquabitur 3ba'. . Ita.
Si d pl. a a b a' - a' squetur a solido. Supponatur autem a ,s b aequari e . Dico
224쪽
Dico Gl 'Hb e e aequari r solido a b d pl. b. Quandoquidem. Si recta quaepiam diuisa sit trifariam,& quaedam accepta sit sub cuius quadrato, & sub diuisa solidum subductum sit a solido sub quodam plano,& sub accepta, raram
ac ex residuo subductus sit cubus acceptς,residuum autem aequale sit cuidam sol. Etiam solidum sub aggregato, ex plano iam dicto, ac triplo quadrato trientis , & sub aggregato ex accepta, & triente minus cubo huiusmodi aggregati, ςquale erit ei,dem, solido plus duplo cubo trientis, plus solido sub iam dicio plano, de triente. Ad cuius veritatis indagationem. Sic procedit Analysia. uoniam a b supponit tur es ergo e b aequabitur a quia autem potestas erat cubus. At vero cubus ortus ex e - b est e 3 b e ' 3 b'e -b ; propterea
hoc eius loco sustituatur. Quoniam autem homogeneum primum erat d pl. a, homo- Ti. . in o
Nihil hie obseruandum occurrit. Si a b a' t d pl. a a' aequetur x solido, & a - b supponatur e . Dico assis e F, aequari χ sol. - d pl. b - a b . Quandoquidem. Si recta diuisa sit trifariam,&aliaquspiam accepta sit, sub cuiu quadrato, & sub diuisa factum sit solidum, cui additum sit solidum , sub quodam plano, & sub accepta, & ex aggregato subductus sit cubus ex accepta, residuum vero aequale sit cuidam solido . Etiam solidum sub aggregato ex plano pr di & ex triplo quadrato trientis diuisae , & sub differentia inter trientem, & accentam, minus cubo huiusmodi disserenti 'aequale est eidem solido, minus solido sub plano pridi , & triente, minus duplo cubo eiusdem trientis. Ad cuius veritatis indagationem sic procedit Analo. Quoniam a b supponitur e , ergo e t b aequabitur: a, & quoniam in aequati ne potestas erat cubus, cubus vero ortus ex e t b, est C t 3 Cudus autem negabatur de homogeneor quorum unum erat 3 b a , aliud d pl. a;
225쪽
Conspectus Demonstrationis. 3 b a' t d pl. a - a' apiatur αδεο .
d pi. q. 3 b e -e' qua iura sindo - d .b a . 24. Φ roo R - C aequatur a oo, ct es t io. 29 a R - t C aequabitur 376,stque I R a. Hie obserua in primitiua aequatione comparationis homo eneum mitis esse asegregato ex duplo cubo trientis coeficientis longitudinis subquadraticae , et solido facto ab eodem triente, in coessiciens planum sublaterale. 3o Φ roo R - a C aequabitur rq , se est i R 6. goo R - , C aequabitur 3 36otque R 4. Hie obserua in primitiua aequatione comparationis homogenem minus esse asegregato solidorum, quorum unum est duplum cubi trientis coeficientis longitudiani, subquadraticae; aliud vero est solidum factum ab eodem triente in coeniciens planum sublaterale. Si a b a' d pl. a - a' aequetur et solido. Supponatur autem a b esse e . Dico h - 4 pl. e - e' aequari et solido .hd pl. b a b . Quandoquidem. Si recta ouaedam diuisa sit trifariam, & alia quaepiam accepta sit ; iub cuius quadrato , & sub diuisa factum sit solidum , a quo subtrahatur soli dum, si b plano quodam, & accepta, dc ex residuo subtrahatur cubus ipsius accep- .rς . Etiam solidum sub differentia inter triplum quadratum trientis, &planum praedictum, de sub differentia inter acceptam , dc trientem , minus cubo eiusdem dis ientis; aequale est eidem solido, plus solido sub plano praedicto , de sub triente, munus duplo cubo trientis. Ad cuius veritatis indagationem se procedit Analysia. Quoniam a - b supponitur e , ergo b H. e squabitur a; cum autem potestas via
aequatione seret cubus, cubus autem ortus ex b e est b q. 3 b' e q. 3 be' i e . proinde loco ipsius a' sustituatur . Cum vero de homogeneia negaretur potestasi homogeneum autem unum erat 3 b a'; ob id a b ducatur in b' t a b e q. es, ut fiat a b q. o P e Φ a b e'. Quoniam vero alterum erat d pl. a affectum signo duacatur d pl. in b t e, ut proueniat d pl. b H. d pl. e auferendum ex a b H. 6 b' et a be dc remanebit 3 b' 1 6 b' e t a b c d μ b - d e, ex quo dematur embus iam dictus, de remanebit 2 b b' e d pl. b - d H. e e . Quod α irabitur et solido, de per antithesin ab id pl. e. - e' aequabitur et solido in d oti b
Conspectus Demonstrationis. 3 ι-- ae . a - - α filio.
226쪽
Oblerita in primitiua 'quatione prioris exempli aggregatum ex comparationis homogeneo, & solido a triente coet scientis longitudinis subquadraticae in coeruciens planum sublaterale maius esse duplo cubo eiusdem trientis. Obserua in primitiua aequatione secundi exempli aggregatum ex comparationis homogeneo , & solido a triente coefiicientis longitudini subquadratici in eoetaeiens planum sublaterale , minus e duplo cubo eiusdem trientis. Vel b a esto e 3 o d pi. e - e aequabitur a b d pl. b x solido. 3o Ioci R I C quctur 26 , Ur est i R 6. a oo R a C aequabitur 736squai It 4 . Hic porro non pigebit aduertere a quationes canonicas secundarias a primariis, ad soli nomiam cum alias esset binomia sic a quibusdam reduci. Vt si fuerit ata Q. b c ad hanc reducunt a b', mutata scilicet specie e in speciem b . ut illaeuadat et: a q. sublatisque iis, qui se mutuo interimunt ob coatrarias notas fieri squationem a ta b', & haec de ordine quadratico, ad cubicum ordinem, quod attinet, squationem trinomiam cuiusmodi est a b a q. b c a.
b e reducunt per 'lationem secundi termini a'. Ponunt enim b F e aequari d , & in inuatione trinomia reducenda mutant d ita b H e, dc prouenit aequatio, ε qua reiectis pamticularibus ex contraditione redundantibus, prouenit squalio binomia iam dicta , &st suo modo de caeterit, quod animaduertisse iuuat.
aequationes negationis vitio laborantes transmutatione quae minoinati is appellatur , emendantur ; l c autem transmutationis species nomenclatura est consecuta ab eo anal sismo ad quem primum proposita aequatio, reuocatur, cum in eius sormula, terminus ille, qui primo quaerebatiar est primus; is, qui post metabuphosnprimus . fit postremus, vel contra. Per hanc autem tranimulationem , ut diximus emandantur aequationes negationis vitio laborantes, in quibus affectionum homo.
genea validiora, de Potestate negantur; fitque per analogiam rationis implicitae de qua supra verba fecimus, applicando scilicet homogeneum, ad radicem imm de qua quaeritur, unde quaedam alia suboritur incerta radix, sub cuius specie primum pro positam aequationem dirigere, de nouam ordinare liceat. ita fit, ut illie affectiones negatae, transeant hic in affirmatas, & contra salua numerorum symmetria exemplis Me autem illustriora fient. A -bphaaequetur Z solido. Quoniam potestas est negat E affecta debet aenuatio in explicabilem transmutari, de quidem in assirmate affectam . Propterea esto e planum; ergo merit a; ex fiat cubus, isq: est Deinde ducatur in b planum ; cum enim homogeneum esset b pl. a, hoc est , planum d cebatur in a i modo duci debet in id , quod ipsi a a qui pollet, & fiet quod si auferatur abs remanebit & hoe aequabitur χ M. Iidoi omnibus autem ductis in epi pl. planum, &χsbl.sol.solidum b pl. Z sol. e pl. pl. aequabitur Z sol. e pl. pl plano. Omnibus autem applicatis ad χ solidum, de et solidosolidum b pl. epi. planum aequabitur e pl.pl.plano, & per antithesin e pl. pl. planum Φ b pl. c pl.pl. aequabbtur et solidololido, vel e plani cubus b pl. e pl. quadrato , squa intur Z solidi
quadrato. Hsc autem aequatio explicabilis est ea Arte . quam in 'rima huius operis parte B b 1 tradidi-
227쪽
tradidimus ad explicandas cubicas aequationes assi ath affectas subdata coeffciem te magnitudine . t a autem innotescit e pl. etiam innotescet at nimirum applicatione Z sol. adeplanum cognitum . Anal limus vero enunciativus de a ; erat ut a ad C et lat. Ita hi C a sol.sol. ad a b pl. hoe est e planum. Vnde terminus de quo primum quaercbatur est primus, &c. Vbi obserua nouam radicem aequari quadrato veteris radicis, minus coeffciente plano; perinde enim est a' b pl. ac est e pl. quς ut melius intelligas. Sit a C - 96 R aequalis qo effera i R ergo i CH 96 Q. quabitur loco fitque i R 4, unde applicato ho, comparationis homogeneo ad 4, fit quotiens O, pro radice ςquationis propositae; est autem, ut io, ad Ih C Ao, ita ni C i6ooad , ut constat ex opere multiplicationis. Si enim per e planum intelligamus i R , α per E iolidum oi cotE E sol.sol .solidum valebit o oo , & e pl. pl planum vat stiri C, quare valebit At vero b pHolidum valet 38 o, ob id H- Φ. v valebit iis . . Itaque πει squabitur qo. Omnibus ductis in t C, fiet squalio 6 ooo 38 o Q o C. At vero per antithesin fiet 4o 38 inta 6 ooo omnibus diuisis per ψo, fit a C l 96 Q 16oo. Huius autem aequationis radi Nest 4, applicetur Oo ad 4 , fit quotiens io. radix primum quaesita , ct fit analogismus, ut supra dictum est.
plicetur et o ad a, & orictur Io.
Si i C - 6o R aequetur 32, etiam i C P 6o inaequabitur torq huius aequationis radix est 4, ob id ar applicetur ad 4, de orietur 8, radix, de qua primum
quaerebatur. Quod si comparationis homogeneum in sua soliditate si irrationale ; facultate tamen velut quadratica rationale; in noua enim aequatione evanescit asymmetriae , propterea sussicit homogeneo comparationis auferre characterem irrationalitatis ,
in reliquis procedere, ut supra, nempe loco signi in substituere &loco R tu rogare Q. Itaque. --- -- Si i C io R aequetur D 48. EActa V esse 1 R, & i C Φ Q aequabitur 48, fitque I R a, atque adeo ia erit radix primum quaesita . Si enim a R valor est, 1a; cubus erit se i728, de insaper io It valebunt hi letoo i auseramus minorem 1 maiori, Ze remanebit B. 48; communis enim diuisor est 3, qui diuidens trigiacit quotientem 1 6 , cuius , est a i & diuidens ia oo , tacit quotientem Aoo , cuius Restao; ablato et Oarq rein et . cuius quadratum est i6; quo ducto in 3 communem diuisorem, fit 48; c ius se est ' 48 , estque disserentia inter se ira 3 ,
H.-rum ai Si r C - 2 R aequetur δὲ os, etiam i C a Q aequabitur 4s; sitque i R,3 sum quamobrem si applicetur ad 3 fiet quotiens P si estque radia, de qua primum
Sed haec Analytich demonstremus. Μ. . . Adverte postposito numero significari potestate ut et sol. a fgnificat χ solua uadratum,&c. --θimbo A - b pl. a aequetur E solido, & e pL equetur m ostendendum est e pl. 3 tb pl. e pl. a aequari Z sol. 2. '' ' Quoniam enim squatur e pl. omnibus ductis in a , et sol. uabitur e pl- Omnibus applicatis ad c pl. ergo aequabitur a ; omnibus ductis in b planum . Ergo aequabitur b ph a, ct quia erat aequalea; ergo eorum cubi aer quales erunt, quare aequabitur a , hine auferatur b pl. a , illinc aequipollens aequabitur a b pl. a . Sed a b pl. a , aequabatur Z LI., ergo aequabitur Z solido . Omnibus ductis inept. 3, de a sol. epl. 3 aequabitur et sol. 3 - ΣωLbpLepl. a, omnibus diuisis per χ ML , & c pl. 3 ae-Ho his quabitur a sol. a - b pl. e pl. a, & per antithesin e pl. 3 O b pl. e pl. a aequab
Ita si a b a' t d pl. a aequetur E sol. Ex hypothesi quod e pl. aequetur ' de e pl. 3-b E sol. e d pl. e pl. 1 aequari et ita. Σ demonstrabimus.
228쪽
Rursus , a b a -b pl. a aequetur Z solido , e planum aequetur e planicubus t b E sol. e d pl. e pl.quadrato squabitur a solidiquadrato. Deinde, a b a q. d pl. a' equetur Z pl.plano e sol. ςquetur ergo e sol. qu. adratoquadrato - d pl. Z pl.pl. e sol.quadrato 1 b Z pl.pl.quadrato e solido quabitur Z pl.pl.cubo. Si a' - b a d pl. a' aequetur Z pl. plano . Haec equatio transmutanda est inexplicabilem, eum negatione laboret; ob id explicationi minus idonea sit. esto c sol. ergo a. Proinde ex his quae proponuntur τί m- cquabitur et pl. plano. Dubis omnibus in e sol. sol. io . sol. , & Z pi. pl. pl.pl. pi pl.pl. planum b χ pl.pI. pl. pl. pl.pl. e sol. - dpl. Z pl. pl. pl.Pl.e sol.sel. aequabitur Zpl.pl. c sol sol. sol. solido, adhibita congrua antithcssi, omnibusque diuisis per Epl. pl. , & e BL quad. quadratum q. d pl. E pl. pl. e sol. quadra Q l b Z P .pl Pl pl. e sol. aequ/bitur a pi pl. euis; seue sol. quadratoquadratum l. dpL Z Pl.pl. e sol. quadrato b Z pl. pl. quadrato e sol. aequabitur 2 pl. pl. cubo. AEquatio numerosa sit i Quin- 3C-8Q oessim et esse rR,&i Q. Q Φ oo Q 8, 73oo R ςquabitur iaso oo, & fiet i R io . Itaque si ad io, applicetur so . emerget , pro radice primum quaesita: hoe autem sie intelligendum est, ut 8, coeficiens sub quadrato, ducatur in Io , comparati nis homogeneum, & producetur oo; Deinde 3 cociliciens sub cubo ducatur in
asoo, quadratum ex so , comparationis homogeneo , & producetur soo . Deinde so, homogeneum comparationis ducatur in se cubice , defiet 1 a socio. Quando vero squationis quadratoquadraticae comparationis homogenetim in sua pl. planitie fuerit irrationale, facultate tamen veluti cubica rationale, ut si iQQ-- S
ic aequetur C 8o, & i Ma t 8 C aequabitur go, fitque i R a , quamobremi dix primum quaesita erit R C i o,proueniens ex applicatione RC8oad, C 8 nempe ad
a. Itaque noua aequatione asymmetria evanescit.
Quod si hactenus dicta numeris aptentur, longe facilius percipientur. AEquationes inuersε negatς minus sunt explicabiles I ad carum tamen dissiculi tem tollendam, conducit metamorphosis qua videlicet in suas correlatas transmi tantur; utilissima quidem est ad tollendas vocum amphiboli s in correlatis aequationibus ad habendam ex data radice unius, alterius notitiam. Ob eum autem sinem instituitur, ut quae aequatio primo proposita per irregularem climacticum d scensum fuit, ea ope suae correlatae reducatur ad depressiorem, ac ob id magis ex plicabilem; quanto enim depressor, tanto etiam explicabilior aequatio est . . Valet aduersus amphiboliam, atque dismechanian in squationibus cubicis, quadratocubi cis, & ex inde per binos alternos gradus climabicos; non ita tamen proficit reducitioni aequationum quadraticarum, quadratoquadraticarum,& exinde per binos albternos gradus climacticos , ad quarum eXplicationem Analyta utitur climacuca paraplerosi . Huius vero transmutationis quae M-ρπή dicitur perficiendae sorma, sic se habet Potestati radicis, de qua quςritur adi jcienda est potestas radicis mus alis, siquidem haru aggregatu commode in prς dicto climacticarum ordine diuisionem suscipit. Secundo homogentum comparationis , una cum translatis affectionum homogeneis, de addita potestate affectae magnitudinis comparatur, quae recipiat eandcm diuisionem; hac enim comparatione inciditur in aequalitatem correlatam , vel assirmatam , vel directe negatam . Cognita autem radice potestatis addititis comparantur magni tudines ex una parte oriundae ; magnitudinibus oriundis ex altera. Hsc tamen prae cepta dissicile sine exemplorum illustratione intelligi possunt. Decepiuntur autem, qui putant huiusmodi transmutationem absolui per boe, quod inuersh negatς, in suas correlatas transmutentur, non enim ob eum finem timstituitur, sed transmutatio in correlatas est veluti medium , quo utitur Artifex ad consequandum intentum , nempe propositam aequationem amphibolam altioris ordinis, ad depressiorem reducere. Proponatur b pl. a a aequari et solido. Hsc est aequatio ambigua, ob id in inse
229쪽
. zo 6 CRENAI D. ALGEBRA NOVA .
me ad resolutionem idonea. Ad amphiboliam igitur evitandam. haec est instituenda, de qua loquimur, transmutatio. Clim igitur i, pl. a a aequetur a solido ; adhibita transpolitione, a ςquabitur i, pl. a - κ sol. Vtrique parti addatur e , ut primo enunciatum fuit; Primum enim potestati radicis de qua quaeritur, nempe a addi d bet potestas radicis sque alte ; videlicet e , de fiet a e' , & hoc squabitur b pl.
ae et solido. Hoc potestatum aggregatum a -e diuisonem commode recipit ab a-e dum enim laterum aggregato applicatur summa cuborum . quadratorum aggregatum ciuergit, minus rectangulo comprehenso sub ipsis lateribus, quapropter ex huiusmodi applicatione orietur a c a ,9 e . Reliquum cst, ut altera ςqualitatis pars, nimirum b pl. a-c E sol. applicata ad a-e ; faciat aliquod planum datum , iam ortis reliquis comparandum. nempe a' - c a te'. Hoc commodissime fiet, si in locum ipsius e t sol. sultituatur b pia e , erit enim b pl. a B b pl. e, quod quidem diuisionem recipiens abs a-e, facit b planum , ex hac
enim applicatione, oritur b planum. Cum vero e E sol. aequetur b plano e ergo etiam per metallidita e ' - b pl. c sqeabitur χ solido. Quoniam autem a t e squatur b pl. a Q. c et solido, & in locum ipsius c E sol. sustituitur b pl. e. Si fiat communis applicatio; hoc est utriusque partis ad a in e inter orta, erit
aequalitas, atque adeo a' ea st c' aequabitur b plano . Innotescat autem e esse d; ex analysi, adhibita congrua, decentique prsparatione, & a' - d a q= d' aequabitur b plano, & ordinata aequatione da a ςquabitur d b plano. Et ita squatio illa inverse negata b ph a a' ' χ solido, transmutata est in directE negatam, & eiusdem ordinis : - bpl. eta 2 solido . Itaut, fiat climacticus irregu latis descensus in squationem depressiorem de radice primum proposita, explicabilem Itaque a d a d ςquabitur N, & ordinatione facta da a' ςquabiturd' b plano. Vnde Supponatur b pl. a a aequari et sol. , ex hypothesi, quod e a eiςquetur bpl. - M. Ostendendum est e b pl. e ςquari Z solido. Quoniam igitur b pl. a a ςquatur Z solido, ergo per antithesin b pl. a squabitur E solido a , de rursus b pl. a - χ solido ςquabitur a' at ex hypothesi e a e ςquatur b pl. - a' ergo e a c-a' ςquabitur i, plano, sed sactum ex e
a e q. a' in a-c est a' Φ e , & factum ex b pl. in a ,h e est b pl. a b pl. eein o a' H e' ςquabitur b pl. a i b pl. e. Sed b pl. a - κ sol. ςquatur a crgo e tbpLa- χ sol. squabitur b pl. a s b pl. er utrinoue sublato b pl. a & c E sol. aequabitur b pl. e ergo e quabitur b pl. e 1 et solido, quare c' - b pl. e aequabitur Σ solido. Atque hunc in modum facta est transmutatio inverse negatae in directh negatam eiusdem ordinis: Sed hie non sistit Antilicis industria: Si igitur innotescat e cise d,
a da ,Fd' aequabitur b plano, & ordinando da a' aequabitur d b plano. Numeris haec eadem tractemus, is R i C aequetur 3o , ergo r C - 19 R equabitur 3 o. Haec autem squalio reducetur ad hanc s R i Q - 6 fitque i Ra, vel 3. Nam si sit a, s ii valebunt io , a quibus subtracto 4, quadrato ex a , remanet 6. Item si sit 3; ue R valebunt is a quibus subtracto 9, quadrato ex 3 remanet 6. Modo, si unius radicis valot est 1, 19 It valebunt 38, a quibus subtracto 8; cubo ex et, remanent 3 o. At si s R valet 3: i' li valebunt 37, a quibus subtracto 27 cu ex 3, remanent 3 o. Cperum illius aequationis I C iv K 3o, innotescit radix I; Nam reducitur ad 1 C lis QT: 9oo cuius radix est 6 per quam si dividatur 3o, comparationis homogeneum propositae aequationis, fit quotiens I , sumendus pro coefficiente nouae aequationes 3 R - i Q ta 6, in qua comparati nis homoseneum est radix illius aequationis i C H. i Q Q Tr 9oo. Proponitur b a a aequari et solido; facienda sit transmutatio de qua loqu imur: cum etiam a aequetur b a E solido; addito e sutrique aequationis parti, dc a' m e aequabitur b a' se e et solido: in locum vero ipsius χ solidi e iustititatur i, e , ut videlicet diuisio inititui possit per a H. e , diuisio inquam utriusque partis, cum itaque ex hypothesi Z sol. e aequetur b e' fiet per antithesin oe t D e' ' χ solido itaque a q. c' aequabitnr b a b e', si vero instituatur diuisio per a Φ c fiet aequatio
230쪽
quatio 1 e b a b e, hoc est b in a e; at vem innotescat e esse dper doctrinam superius traditam, de ordinata aequatione b a Φ d a - a' aequabitur i,' H. b d , quamobrem aequatio illa inuecih negata, nimirum b a a' a solido transsonnata est in affirmatam ordinis eiusdem, nempe e q. b e' ta a sol. ita vid ta radice nouae aequationis fiat irregularis descensus clymacticus in aequationem depressiorem, Itaque. Si b a a' aequatur χ sol. & b e' et aequetur et sol. innotescat autem e essed,&da .Fba - a' aequabitur b d t d , unde.
Si 7 Q - aequetur 36 QSo 7 Q q. i C aequabitur 36, cuius aequationis radixin a, ergo ex dictis 9 R I Q aequabitur i8, & fit i R 3, vel O.
Proponatur a pl. pl. b-a Ouari Z pl. sol. eringatur quadrat quadratum ex e adc sumantur singularia planopsam simpliciter, nec repetita, & erunt e a e t a' ' a' e-a'. Ducantur omnia in e se a , & fiet e' H. a , at vero ex iis , quς pr ponuntur ae valet b pi pl. a et pl. sol siquidem cum sit b pl. pl. a a' ta et pi sol erit per antithesin a b pl.pl. a Σ pl. sol. virique parti addito e , dc e q. Pquabitur e' t i, pl. pl. a et pL sol. applicetur utraque aequationis pars ad e 4 a.& ex prima parte orietur a ι- q. a' e' a e q. a', quid autem oriatur ex secunda non liquet; comparetur tamen tali planosolido, ut plan planum ortivumn
ro radicis valor erit et, nam a QC valebit 32, hinc ablato a a omnium radicum pretio, remanebit Io. Proponatur b a' - a' ae vi et pl. sol. , & per metathesin utrique scilicet parti addito e , & a F e aequabitur b a' - χ pl. sol. q. e', utraque pars applicetur ada ΦWillic oritur a' - a e a' e a e q. a , quod si b M b e' aequetur aluteri parti, ea quoque commodam diuisionem recipiet ad a t e , de orietur o a' - ba e Φbra be' iacta, positaque aequalitate, ut aequatio rite ordinetur, starii
quaesita radix fit io. Quoniam autem Anastrophe contraria via aliquando usurpatur, ut cum in ambigua aequatione, contingit radicem unam dari ex duabus vel pluribus, de quibus potest aequatio explicari; hic repetuntur Anastrophes vestigia ad radicem correlatam assequendam; & inde varia proficiscuntur Theoremata. Si a b pl. a aequetur E solido, & rursus b pl. e aequetur et solido . Inia tescat autem e esse d, & a d a aequabitur b pl. d . Cum enim a b pl. a mquetur et sol & rursus b pl. d-d' aequetur et sol ergo a b pta aequabitur b pl. d d',&per metathesin a' t d' squabitur b a s b .d, de utraque aequationis parte mulsa per a td,& ct d da aequabitur b pl. , qua aequatione ordinata secundum Artem a da aequabitur b pl. d', unde Si i Q - IR 1C-8 aequetur ,sequitur 8 R r C aequari 7, cumque i R possit esse ii& i Q - 1R aequabitur 7, quapropter radix primo quaesita erit ' - Φ
quationis parte ducta per d q. a, & d t a' da aequabitur b d , qua aequa