장음표시 사용
51쪽
52쪽
Vandoquidem superius operationes nonnulus muta breuias explicuimus ; Lbet his easdem explicare di entius. Dicebamus, ci/m oportebat diuidere ae-ό', per a -- b, ' operationem esse sic instituemiam , τι nimirum diuidatur ae , per a , proueniet fi enim in quotiente a , quo ducto In a - ό,Ist a' - a b, hoc autem subtracto ex a - ι', remanet - b' t a b inquidem subtrahenso a' ex a' - b , cum oporteret Iubae,cere ae - a riplus subtrahimus, quam oportu; ob id fieri debet adlauio usius ab , ad id, unde sit subtractio, or remanebιι - ό' t a b , perinde enim es fuducere a - as, ex a - b , aes subtraherea' ex a' - ό' t a b; ab ipso autem -ι' t a b subdurere oportet - ι' t a b , id et Melicet, quod sit ex maia plicatione ipsius a-b, diuisoris , per b , secundum terminum
53쪽
54쪽
- a' b, atque adeo - 3 a' b - b'; a, reliquis ut αλλυκιν , parit in pragmatia, cuina - et a' b - - 3 a b', ut hic cernere licet; instituta multiplicatione quotientis in diuisores a. Ita pariter hic - a d - b' ci cum scilicet E - b , per c - d, nempe quotiens Per diuisorem multiplicatur. Σ' - a a b b a - b a b.Faab b a a a b q. ab Productum a a P bε3 a b' - b Caeterum illnd est perpetuo obseruandum, quod etiam superius innuimus, ut quotientes singuli, in diuisorem ducantur, productorum, ut a diuidendo subtractio nat , ah Ei . . Ita plane , ut aliquo utar exemplo, cum diuidebatur a -- 3 a' bf3 a b - b , pera - b. Primo diuidebatur - b , per - b. quotiens erat,b', duci debet in a - b, ut fiat Φ a b' - b , quo sit btracto ex 3 ab ' - bi, remanet ψε a a b , quo diuiso per - b , fit - et a b , hoc vero dueto in a - b , fit - a a' b-a a b , quo subtracto ex - 3 a' b δε 3 a b , remanet μ a' b, hoc diuiso per - b , fit quotiens t a', hoc autem multiplicato per a - b, fit productum a - a' b, quo subtracto cx a - a' b, nihil remanet. Non disti init iter, cum hic diuiditur a c - a d - b c-b d; per c - d; fit quintiens a' - b . Ut etiam superius vidimus , & multiplicatione comprobatur . Primoeni in diuiditur Φ a' c, per c ,& fit quotiens a', quo ducto in c - d, fit es c - a . ..d, quo subtracto ex a' c - ω d, remanet o. Deinde diuiditur b c, per c, & fit . quotiens - b , quo ducto in c - d, diuisorem fit productum b) c t b d, quo su tracto ex - b c q. b' d, remanet O , fit igitur quotiens a - b', quod multiplicatione comprobatur . Placuit haec iterum adnotare, ut superiora exempla melius intelli
55쪽
56쪽
57쪽
dendo, remanet autem y P l radet Adest 3PH. Mox ver. diuidendum residuo 3 ae e , per e', prouentet ver. 3 ae , quo ducto in 3 ae t e , fit productum s ae t e . hoc autem fibtracto ex residuo , remanes Ia ae e t d P . At ver. si diuida tir a des , per e' , proneniet Ad e, quo mul plicato per 3 ιe t e', proueniet i a d' e r d P, qtio μό- tracto ex irae et Ad e , nihil remanet; atque hunc in modum ad finem operario '
Operationis autem conspectus sic se habet.
Ω-- ἰυ ει Itaque operatio absoluitur, ut hic luculenter conspicitur. IV Quod si diuidendae quantitates proponantur , quae modis iam inplicatis diuisi , T 4 - nciri non patiantur, subscribendus est diuisor ipsi diuidendo, ut in fractionibus vulta garibus fieri consueuit. Si igitur sit iniuitiatum diuidere b', per a , fiet quotiens F. Item b c , per a , pr lieni et quotiens . Item b d , per a , fiet quotiens . hisuper b c d , per a ,
Si vero oporicat diuidere b d 3F d g, per a , fiet quotiens α'M. Quod si oporteat diu de re a' b .pl. pcr b-d, fiet quotiens e v - . Praeterea si diuidere oporteat b - d , per g , fiet quotiens , & ita de reliquis; foret enim inanis labor alia exempla percurrere. Radicum
58쪽
RADICVM EXTRACTIO. HV C etiam pertinet operatio illa , quae Radicis extractio dici solet, quae qui--.- dem operatio persimilis est admodum illi , qua in vulgari Arithmetica ex βρο
proposito numero radix erui solet. Quemadmodum a ductum in a , facit a', cuius latus dicitur esse a, ita ex a', si extrahatur radix prouenicta. Non dissimiliter, clinia da a , ductum in a, producit a , ita ex a', cxtracta radiis erit a; Huc usque de quantitatibus simplicibus. Hac de re tamen in sequentibus redibit sermo.Qu si quantitates compositae fuerint, ex quibus radix extrahenda sit, non dissi- ἔκ-- , εἰ-
mili modo procedendum erit, se habet enim extractio radicis simplicis quantitatis πί
quemadmodum cxtractio radicis ex numero , cuius radix unius sit figurae, seu characteris: Extractio vero radicis ex quantitate composita, se habet , ut extractio ra- est dicis ex numero, cuius radix plurium sit figurarum. Non igitur siccus extrahendia est radix ex quantitate composita, quam ex numero, cuiuS radix pluribus characi . ribus constet. Haec tamen exemplis explicare iuvabit. Iniunctum sit latus quadratum cxtrahere ex a' t a a b 1 b'.5 Primb extrahenda Ei-νωα est radix cx a , qtiae quidcin est a , quae in se ducta quadratich facit a , quo subtracto ex a , remanet O , deinde multiplicat O a , per a , fit a a, per quod diuidatura a b , & fiet quotiens b , adscribendus, priori radici inuentae a , si vero ducatur Gaiah. a , in b , fit et a b , quo subtracto ex t a a b , remanet O , multiplicetur verob, in se, fiet t b' , quo subtracto ex t b', remanet O , atque operatio ipsa ad finem perducta crat, ita ut radix quaei ita sit a t b. EXEMPLUM. Quadratum
Vides igitur qua arte ex composita quantitate quadrata radix extrahenda sit; quod si propositi im fuerit radicem quadratam eruere ex quantitate composita es a a' b t b , non dissimili artificio procedendum erit. Primo extraho radicem ex es, eaque si a , quae in se ducta facit a , quo subtrado ex a , remanet O. Deinde multipli- 'cato a', per et, fit a a', per quod diuido - a a' b',&fit quotiens - b', subducendus priori radici inuentae a , ut fiat a' - b . Hinc si ducatur et a , in b , fiet a Mb , quo subtracto ex 2 a' b', remanet O. At vero si b', in se quadratich ducatur, fiet 1 b', quo subtracto ex t b , nillil remanet, eritque operatio ad finem perducta, unde quaesita radix erit a' - b . Propositum deinde sit quadratam radicem extrahere , ex a' - 48 a t i5 . Extrahatur primo radix quadrata ex 36 a', eaque est 6 a, quae in se ducta tacit 36a', quo subtracto ex 36 a', remanet o. Deinde multiplicetur 6 a, per a , & prou
nit 1 4, per quod diuidatur 48 ai& prouenit pro quotiente Α, sudducendum ipsi
59쪽
a. Si vero ducatur 6 a, in - 4 a, fit - 48 a , quo subtracto ex - 48 a , rem net o. Si autem - 4, ducatur in se quadratice fit Φ ιο . quo subtracto ex i
16 a - ΣΦ a 36 a' - 48 a tpropost uin sit exesta ab tb tabe tracte , radicem quadratam erim. herc, cxtrahatur prim5 radix quadrata ex a , eaque est a , quae in se ducta iacit a quo subtracto ex a , remanet O. Deinde ducatur a in a,&Gaa, per quod diuidere oportet a a b , & fit quotiens b, quo addito ad a, radici prius inuentae, fit a t b , mox vero ducatur sta, in b,&fita ab , quo subtracto ex a a b , remanet O , at vero b , quadratich in se ductum facit b , quo subtracto ex b , remanet O. laeinde ducatur a Fb, ina,&fita ala b, per quod oportet diuidere a be H a a c, & fit quotiens c, adscribendus priori radici a 4 b.&fiet alb Fc: Si verb ducatur a a Φ et b , in e , fiet productum et a c Φ a b e ; seu quod idem est ab ethae, quo subtracto ex ab cla ac, nihil remanet I atque demum ducatur e . in se quadratich, ut fiat C, quo subtracto ex c , remanet O , & ita ad mnem erit operatio perducta, & radix erit a 3B b . c. a fa ab tb tabel xae te' Quadratum a a ta ab tb tabcta a cic -
Diuiser primus a a per-Diatior secundus a alab a a tabaper aa a primus diuisor Secundus diuisor
Et consimili quidem artisicio procedendum erit in metractione caeterarum radicum , unde si proponatur a t2 ab tb' - a b c - 1acic', Radix eruetur a tb - e. Quod si radix tatralienda sit eubica suo modo etiam eruetur , obseruatis praee piis iuxta cxi ntiam liuiusmodi potestatis. Iniunctum igitur sit radicem exta stere cubicam ex a t 3 a' b f 3 a b t b . Primum oportet, cubicam radicem extrahere, ex a cuius radix cubica est a, quae ducta in se cubice sicit a , quo subtracto ex a , remanet O.
Deinde ducatur a , in 3 , ut fiat 1 3 a', per quod diuidere oportet i 3 a' b , ut fiat quotiens t b , mox vero ducatur 3 a', in b , ut fiat 3 a' b . quo iubtracto eq; a' b , nihil remandi ; deinde ducatur b', nempe quadratum ipsius b, in 3 ut fiat a b , quo multiplicato per a , radicem prius inuentam, fit 3 a b , quo subtracto G3 a b . remanet O. Deinde ducatur b, in se cubich, ut fiat b', quo subtracto ex b . nihil remanet, & operatio ad finem perducta erit, ita ut quaesita radix sit a t b. Cubus
60쪽
Diuisor 3 EVides igitur qua industria procedendum sit in extractione , cubicae radicis, ex
cO. aposita quantitate proposita. Propositum sit, radacem cubicam extrahere, ex 27 a Φ 14 Γ Φ 36 a Q 8, pri-nib eruatur radix cubica , ex ar a' , eaque erit 3 a , quae cubich ducta in se tacit 7 a', quo subtracto, ex 27 a , nihil remanet. Sumatur autem y a', quadratum ex et a , cuius triplum est 17 a', per quod diuidatur 1 a', & proueniet quotiens χ, adscribendus priori radici 3 a; ducatur autem a , in a7 a', ut fiat a', quo sub tracto ex s4 ae, remanet o i mox vero ducatur a , in se quadratice; ut fiat Α, quo ducto in a a, fiet i a a, cuius triplum est 35 a, hoc autem subtracto, ex 36 a, ni hil remanet, denique ducatur a . in se cubicε , & fiet 8, quo subtracto ex 8 , nihil superest, & Operatio ad finem erit perducta, ita. ut radix quaesita sit 3 a t a. Noli absimili artificio, utendum erit ad cxtrahendam rassicem ex 8 a' lisa' i a' Φ a 7 ; primo enim oportet, radicem extrahere cubicam ex 8 a , quae quidem est a a', quae in se cubicε ducta facit 8 P. quo subtracto ex 8 es, remaneto. Quadratum ver6 ex a a', est 6 a', cuius triplum est i a P, per quod si diuid tur 36 a', fit quotiens 3 , mox vero multiplicetur ta a , per 3 , ut fiat 36 a', quo subtracto ex 36 a', nihil rcinanet. Deinde sumatur 9, quadratiun ex 3, illius autem triplum est a , ouo ducto, in a a', fiet 34 a', quo subtracto, ex sin a , nihil remanet . Denique ducatur 3 , in se cubice, ut fiat 17 , quo subtracto, ex 27, remaneto, & Operatio ad finem erit perducta, ita, ut radix sit quaesita a a' Φ 3 . Propositum sit, ex 27 a a Φ 9o a' - 8o a Φ 6o a' - a 4 a q. 8, primo eruatur cubica radix ex 27 a , eaque est a a', quae in se cubicE ducta facit ar es, quo subtracto ex ara , nihil remanet. Deinde sumatur 9 a', quadratum G 3 a , radice iam inuenta,&accipiatur eius triplum cuiusnodi est a7 a', eritque primus diuisor, per quem oportet diaidem a', ut fiat quotiens- aa, ascribendus primri radici i mox vero ducatur a 7 a', in se a a,& proueniet - 14 a', quo subtracto
Deinde ducanir - a a in - 2 a, quadratich in se, ut fiat q. 4 a', quo ducto in ε 3 a'. radicem prilis inuentam, fit v. ia x, cuius triplum est 36 a', quo subtracto ex P po es, remanet Q sina'. Postea ducatur-a a in se cubicE, ut fiat - 8 a quo subtracto, ex - 8o a , remanet - a a' . Nunc vero ducatur in se quadratice 3 a' - 2 a, ut fiat s a' - ra a Q a', cuius triplum est 27 a' - 36 a Q ia a , erit- qua secundus diuisori per quem si diuidatur Φ σε a' &c. fiet quotiens Q a, adser be clus priori radici 3 a - 2 a . Ducatur autem a I x - 36 a' i ta a', in a, ut proueniat a' - 71 a Φ 24 a', quo subtracto ex Fε δ' - 7a a Q 6o a', remanet 36 a . Deinde ducatur a , qtiadratich in se, ut fiat Φ q, quo multiplicato per Φ 3 a - a a, radicem prius inuentam, proueniet Φ t 2 a' - 8 a, cuius triplum est q. 36ω - 2 a, quo subtracto ex 36 a a a nihil remanet. Denique ducatur idemq. x, in se cubich, ut fiat Φ 8, quo subtracto ex Φ 8, remanet o. Ita ut ad finem